1、考研数学三(微积分)-试卷 12 及答案解析(总分:62.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:11,分数:22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 f(x)= (分数:2.00)A.f(x)在点 x=1 连续,在点 x=1 间断B.f(x)在点 x=1 间断,在点=1 连续C.f(x)在点 x=1,x=1 都连续D.f(x)在点 x=1,x=1 都间断3.设 f(x)=|x|sin 2 x,则使导数存在的最高阶数 n=( )(分数:2.00)A.0B.1C.2D.34.设 f(x)为可导函数,且满足条件 (分数:2.00)
2、A.2B.1C.D.25.曲线 y=(x1) 2 (x3) 2 的拐点个数为( )(分数:2.00)A.0B.1C.2D.36.设函数 f(x)连续,则在下列变上限积分定义的函数中,必为偶函数的是( )(分数:2.00)A. 0 x tf(t)f(t)dtB. 0 x tf(t)+f(t)dtC. 0 x f(t 2 )dtD. 0 x f(t) 2 dt7.设 (分数:2.00)A.不连续B.连续但两个偏导数不存在C.两个偏导数存在但不可微D.可微8.设 D 为单位圆 x 2 +y 2 1,I 1 = (分数:2.00)A.I 1 I 2 I 3B.I 3 I 1 I 2C.I 3 I 2
3、I 1D.I 1 I 3 I 29.设区域 D 由曲线 y=smx,x= (分数:2.00)A.B.2C.2D.10.若级数 b n 发散,则( ) (分数:2.00)A.B.C.D.11.微分方程 xdy+2ydx=0 满足初始条件 y| x=2 =1 的特解为( )(分数:2.00)A.xy 2 =4B.xy=4C.x 2 y=4D.xy=4二、填空题(总题数:11,分数:22.00)12. (分数:2.00)填空项 1:_13.已知 f(x)= (分数:2.00)填空项 1:_14.已知 xy=e x+y ,则 (分数:2.00)填空项 1:_15.曲线 y=(x5) (分数:2.00)
4、填空项 1:_16. (分数:2.00)填空项 1:_17. 0 + (分数:2.00)填空项 1:_18.将 0 1 dy 0 y f(x 2 +y 2 )dx 化为极坐标下的二次积分为 1。(分数:2.00)填空项 1:_19.交换积分次序 (分数:2.00)填空项 1:_20.幂级数 (分数:2.00)填空项 1:_21.微分方程 xy“+y=0 满足初始条件 y(1)=2 的特解为 1。(分数:2.00)填空项 1:_22.设 y=e x (asinx+bcosx)(a,b 为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为 1。(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总
5、题数:9,分数:18.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_24.证明: ()对任意正整数 n,都有 成立; ()设 a n =1+ (分数:2.00)_25.证明函数恒等式 arctanx= (分数:2.00)_26.设分(x)在a,b上连续,在(a,b)上可导,且 f(a)=f(b)=1,证明:必存在,(a,b)使得 e f()+f“()=1。(分数:2.00)_27.设 f(x)在区间a,b上可导,且满足 f(b)cosb= (分数:2.00)_28.设 z=f(xy,yg(x),其中函数 f 具有二阶连续偏导数,函数 g(x)可导,且在 x=1
6、处取得极值g(1)=1,求 (分数:2.00)_29.求二重积分 (分数:2.00)_30.设区域 D=(x,y)x 2 +y 2 1,x0,计算二重积分 (分数:2.00)_31.求幂级数 (分数:2.00)_考研数学三(微积分)-试卷 12 答案解析(总分:62.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:11,分数:22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 f(x)= (分数:2.00)A.f(x)在点 x=1 连续,在点 x=1 间断B.f(x)在点 x=1 间断,在点=1 连续 C.f(x)在点 x=1,x=1 都
7、连续D.f(x)在点 x=1,x=1 都间断解析:解析:由函数连续的定义可知,3.设 f(x)=|x|sin 2 x,则使导数存在的最高阶数 n=( )(分数:2.00)A.0B.1C.2 D.3解析:解析: 4.设 f(x)为可导函数,且满足条件 (分数:2.00)A.2B.1C.D.2 解析:解析:将题中极限条件两端同乘 2,得5.曲线 y=(x1) 2 (x3) 2 的拐点个数为( )(分数:2.00)A.0B.1C.2 D.3解析:解析:对于曲线 y,有 y“=2(x1)(x3) 2 +2(x1) 2 (x3) =4(x1)(x2)(x3), y“=4(x2)(x3)+(x1)(x3)
8、+(x1)(x2) =4(3x 2 12x+11), 令y“=0,得 x 1 =2 6.设函数 f(x)连续,则在下列变上限积分定义的函数中,必为偶函数的是( )(分数:2.00)A. 0 x tf(t)f(t)dtB. 0 x tf(t)+f(t)dt C. 0 x f(t 2 )dtD. 0 x f(t) 2 dt解析:解析:取 f(x)=x,则相应的 0 x tf(x)一 f(一 t)dt=2t 2 dt= 0 x f(t 2 )dt= 0 x t 2 dt= 0 x f(t) 2 dt= 0 x t 2 dt= 7.设 (分数:2.00)A.不连续B.连续但两个偏导数不存在C.两个偏导
9、数存在但不可微D.可微 解析:解析:8.设 D 为单位圆 x 2 +y 2 1,I 1 = (分数:2.00)A.I 1 I 2 I 3B.I 3 I 1 I 2C.I 3 I 2 I 1D.I 1 I 3 I 2 解析:解析:由于积分域 D 关于两个坐标轴都对称,而 x 3 是 x 的奇函数,y 3 是 y 的奇函数,则 由于在 D 内|x|1,|y|1,则 x 6 +y 6 x 4 +y 4 ,则 0 9.设区域 D 由曲线 y=smx,x= (分数:2.00)A.B.2C.2D. 解析:解析:区域 D 如图 148 中阴影部分所示,引入曲线 y=sinx 将区域分为 D 1 ,D 2 ,
10、D 3 ,D 4 四部分。 由于 D 1 ,D 2 关于 y 轴对称,可知在 D 1 D 2 上关于 x 的奇函数积分为零,故 x 5 ydxdy=0; 又由于 D 3 ,D 4 关于 x 轴对称,可知在 D 3 D 4 上关于 y 的奇函数为零,故 x 5 ydxdy=0。 因此, =一 ,故选 D。 10.若级数 b n 发散,则( ) (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析:由 11.微分方程 xdy+2ydx=0 满足初始条件 y| x=2 =1 的特解为( )(分数:2.00)A.xy 2 =4B.xy=4C.x 2 y=4 D.xy=4解析:解析:原微分方程分离变量得 二、
11、填空题(总题数:11,分数:22.00)12. (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:ln2)解析:解析:因为 13.已知 f(x)= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:当 x0 时,f“(x)=cosx;当 x0 时,f“(x)=1;14.已知 xy=e x+y ,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:在方程两端分别对 x 求导,得 y+xy“=e x+y +y(1+y“),即 其中 y=y(x)是由方程xy=e x+y 所确定的隐函数。 故 15.曲线 y=(x5) (分数:2.00)填空项 1:
12、_ (正确答案:正确答案:(1,6)解析:解析:已知16. (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:4)解析:解析:17. 0 + (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:ln2)解析:解析:原式整理得18.将 0 1 dy 0 y f(x 2 +y 2 )dx 化为极坐标下的二次积分为 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:如图 149 所示,则有19.交换积分次序 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:由题干可知,积分区域如图 1413 所示,则有20.幂级数 (分数:2.00)填空项
13、1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:根据收敛半径的判断方法,有 由于该幂级数缺奇数项,则21.微分方程 xy“+y=0 满足初始条件 y(1)=2 的特解为 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:原方程可化为(xy)“=0,积分得 xy=C,代入初始条件得 C=2,故所求特解为 xy=2,即 y=22.设 y=e x (asinx+bcosx)(a,b 为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:y“2y“+2y=0)解析:解析:由通解的形式可知,特征方程的两个根是 r
14、 1 ,r 2 =1i,因此特征方程为(rr 1 )(rr 2 )=r 2 一(r 1 +r 2 )r+r 1 r 2 =r 2 2r+2=0,故所求微分方程为 y“2y“+2y=0。三、解答题(总题数:9,分数:18.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:24.证明: ()对任意正整数 n,都有 成立; ()设 a n =1+ (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()令 =x,则原不等式可化为 ln(1+x) x,x 0。 先证明 ln(1+x)x,x0。 令 f(x)=xln(1+x)。由于 f“(x)=1 0,x0, 可知 f(x)在0
15、,+)上单调递增。 又由于 f(0)=0,因此当 x0 时,f(x)f(0)=0。也即 In(1+x)x,x0。 可知 g(x)在0,+)上单调递增。 又因 g(0)=0,因此当 x0 时,g(x)g(0)=0。即 再代入 =x,即可得到所需证明的不等式。 ()a n+1 a n = 可知数列a n 单调递减。 又由不等式 )解析:25.证明函数恒等式 arctanx= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 f(x)=arctanx,g(x)= 要证 f(x)=g(x)在 x(1,1)时成立,只需证明: ()f(x),g(x)在(1,1)内可导,且当 x(1,1)时,f“(x)=g“(
16、x); ()存在 x 0 (1,1),使得 f(x 0 )=g(x 0 )。 由初等函数的性质知,f(x)与 g(x)都在(1,1)内可导,且容易计算得到 )解析:26.设分(x)在a,b上连续,在(a,b)上可导,且 f(a)=f(b)=1,证明:必存在,(a,b)使得 e f()+f“()=1。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 F(x)=e x f(x),由已知 f(x)及 e x 在a,b上连续,在(a,b)内可导,均满足拉格朗日中值定理条件,因此,存在 ,(a,b),使得 F(b)F(a)=e b f(b)e a f(A)=F“()(ba) =e f“()+f()(ba)及
17、 e b e a =e (ba)。将以上两式相比,且由 f(a)=f(b)=1,则有 e f()+f“()=1。)解析:27.设 f(x)在区间a,b上可导,且满足 f(b)cosb= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 f(x)在区间a,b上可导,知 f(x)在区间a,b上连续,从而 F(x)=f(x)cosx 在 )解析:28.设 z=f(xy,yg(x),其中函数 f 具有二阶连续偏导数,函数 g(x)可导,且在 x=1 处取得极值g(1)=1,求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由题意 =f 1 “ (xy,yg(x)y+f 2 “ (xy,yg(x)yg“(x),
18、 =f 11 “ (xy,yg(x)xy+f 12 “ (xy,yg(x)yg(x) +f 1 “ (xy,yg(x)+f 21 “ (xy,yg(x)xyg“(x) +f 22 “ (xy,yg(x)yg(x)g“(x)+f 2 “ (xy,yg(x)g“(x) 由 g(x)在 x=1 处取得极值 g(1)=1,可知 g“(1)=0故 )解析:29.求二重积分 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由已知条件,积分区域 D=(x,y)I(x1) 2 +(y1) 2 2,yx。 由(x1) 2 +(y1) 2 2,得 r2(sin+cos),于是 )解析:30.设区域 D=(x,y)x 2 +y 2 1,x0,计算二重积分 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:积分区域 D 如图 1422 所示。因为区域 D 关于 x 轴对称, )解析:31.求幂级数 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 所以收敛半径为 R=3,相应的收敛区间为(3,3)。 当 x=3 时,因为 )解析: