1、考研数学三（微积分）-试卷 12 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f（x）= （分数：2.00）A.f（x）在点 x=1 连续，在点 x=1 间断B.f（x）在点 x=1 间断，在点=1 连续C.f（x）在点 x=1，x=1 都连续D.f（x）在点 x=1，x=1 都间断3.设 f（x）=|x|sin 2 x，则使导数存在的最高阶数 n=（ ）（分数：2.00）A.0B.1C.2D.34.设 f（x）为可导函数，且满足条件 （分数：2.00）
2、A.2B.1C.D.25.曲线 y=（x1） 2 （x3） 2 的拐点个数为（ ）（分数：2.00）A.0B.1C.2D.36.设函数 f（x）连续，则在下列变上限积分定义的函数中，必为偶函数的是（ ）（分数：2.00）A. 0 x tf（t）f（t）dtB. 0 x tf（t）+f（t）dtC. 0 x f（t 2 ）dtD. 0 x f（t） 2 dt7.设 （分数：2.00）A.不连续B.连续但两个偏导数不存在C.两个偏导数存在但不可微D.可微8.设 D 为单位圆 x 2 +y 2 1，I 1 = （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3B.I 3 I 1 I 2C.I 3 I 2
3、I 1D.I 1 I 3 I 29.设区域 D 由曲线 y=smx，x= （分数：2.00）A.B.2C.2D.10.若级数 b n 发散，则（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.11.微分方程 xdy+2ydx=0 满足初始条件 y| x=2 =1 的特解为（ ）（分数：2.00）A.xy 2 =4B.xy=4C.x 2 y=4D.xy=4二、填空题(总题数：11，分数：22.00)12. （分数：2.00）填空项 1:_13.已知 f（x）= （分数：2.00）填空项 1:_14.已知 xy=e x+y ，则 （分数：2.00）填空项 1:_15.曲线 y=（x5） （分数：2.00）
4、填空项 1:_16. （分数：2.00）填空项 1:_17. 0 + （分数：2.00）填空项 1:_18.将 0 1 dy 0 y f（x 2 +y 2 ）dx 化为极坐标下的二次积分为 1。（分数：2.00）填空项 1:_19.交换积分次序 （分数：2.00）填空项 1:_20.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_21.微分方程 xy“+y=0 满足初始条件 y（1）=2 的特解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_22.设 y=e x （asinx+bcosx）（a，b 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总
5、题数：9，分数：18.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_24.证明： （）对任意正整数 n，都有 成立； （）设 a n =1+ （分数：2.00）_25.证明函数恒等式 arctanx= （分数：2.00）_26.设分（x）在a，b上连续，在（a，b）上可导，且 f（a）=f（b）=1，证明：必存在，（a，b）使得 e f（）+f“（）=1。（分数：2.00）_27.设 f（x）在区间a，b上可导，且满足 f（b）cosb= （分数：2.00）_28.设 z=f（xy，yg（x），其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数 g（x）可导，且在 x=1
6、处取得极值g（1）=1，求 （分数：2.00）_29.求二重积分 （分数：2.00）_30.设区域 D=（x，y）x 2 +y 2 1，x0，计算二重积分 （分数：2.00）_31.求幂级数 （分数：2.00）_考研数学三（微积分）-试卷 12 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f（x）= （分数：2.00）A.f（x）在点 x=1 连续，在点 x=1 间断B.f（x）在点 x=1 间断，在点=1 连续 C.f（x）在点 x=1，x=1 都
7、连续D.f（x）在点 x=1，x=1 都间断解析：解析：由函数连续的定义可知，3.设 f（x）=|x|sin 2 x，则使导数存在的最高阶数 n=（ ）（分数：2.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析： 4.设 f（x）为可导函数，且满足条件 （分数：2.00）A.2B.1C.D.2 解析：解析：将题中极限条件两端同乘 2，得5.曲线 y=（x1） 2 （x3） 2 的拐点个数为（ ）（分数：2.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析：对于曲线 y，有 y“=2（x1）（x3） 2 +2（x1） 2 （x3） =4（x1）（x2）（x3）， y“=4（x2）（x3）+（x1）（x3）
8、+（x1）（x2） =4（3x 2 12x+11）， 令y“=0，得 x 1 =2 6.设函数 f（x）连续，则在下列变上限积分定义的函数中，必为偶函数的是（ ）（分数：2.00）A. 0 x tf（t）f（t）dtB. 0 x tf（t）+f（t）dt C. 0 x f（t 2 ）dtD. 0 x f（t） 2 dt解析：解析：取 f（x）=x，则相应的 0 x tf（x）一 f（一 t）dt=2t 2 dt= 0 x f（t 2 ）dt= 0 x t 2 dt= 0 x f（t） 2 dt= 0 x t 2 dt= 7.设 （分数：2.00）A.不连续B.连续但两个偏导数不存在C.两个偏导
9、数存在但不可微D.可微 解析：解析：8.设 D 为单位圆 x 2 +y 2 1，I 1 = （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3B.I 3 I 1 I 2C.I 3 I 2 I 1D.I 1 I 3 I 2 解析：解析：由于积分域 D 关于两个坐标轴都对称，而 x 3 是 x 的奇函数，y 3 是 y 的奇函数，则 由于在 D 内|x|1，|y|1，则 x 6 +y 6 x 4 +y 4 ，则 0 9.设区域 D 由曲线 y=smx，x= （分数：2.00）A.B.2C.2D. 解析：解析：区域 D 如图 148 中阴影部分所示，引入曲线 y=sinx 将区域分为 D 1 ，D 2 ，
10、D 3 ，D 4 四部分。 由于 D 1 ，D 2 关于 y 轴对称，可知在 D 1 D 2 上关于 x 的奇函数积分为零，故 x 5 ydxdy=0； 又由于 D 3 ，D 4 关于 x 轴对称，可知在 D 3 D 4 上关于 y 的奇函数为零，故 x 5 ydxdy=0。 因此， =一 ，故选 D。 10.若级数 b n 发散，则（ ） （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由 11.微分方程 xdy+2ydx=0 满足初始条件 y| x=2 =1 的特解为（ ）（分数：2.00）A.xy 2 =4B.xy=4C.x 2 y=4 D.xy=4解析：解析：原微分方程分离变量得 二、
11、填空题(总题数：11，分数：22.00)12. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln2）解析：解析：因为 13.已知 f（x）= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：当 x0 时，f“（x）=cosx；当 x0 时，f“（x）=1；14.已知 xy=e x+y ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：在方程两端分别对 x 求导，得 y+xy“=e x+y +y（1+y“），即 其中 y=y（x）是由方程xy=e x+y 所确定的隐函数。 故 15.曲线 y=（x5） （分数：2.00）填空项 1:
12、_ （正确答案：正确答案：（1，6）解析：解析：已知16. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：17. 0 + （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln2）解析：解析：原式整理得18.将 0 1 dy 0 y f（x 2 +y 2 ）dx 化为极坐标下的二次积分为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：如图 149 所示，则有19.交换积分次序 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由题干可知，积分区域如图 1413 所示，则有20.幂级数 （分数：2.00）填空项
13、1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据收敛半径的判断方法，有 由于该幂级数缺奇数项，则21.微分方程 xy“+y=0 满足初始条件 y（1）=2 的特解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：原方程可化为（xy）“=0，积分得 xy=C，代入初始条件得 C=2，故所求特解为 xy=2，即 y=22.设 y=e x （asinx+bcosx）（a，b 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y“2y“+2y=0）解析：解析：由通解的形式可知，特征方程的两个根是 r
14、 1 ，r 2 =1i，因此特征方程为（rr 1 ）（rr 2 ）=r 2 一（r 1 +r 2 ）r+r 1 r 2 =r 2 2r+2=0，故所求微分方程为 y“2y“+2y=0。三、解答题(总题数：9，分数：18.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：24.证明： （）对任意正整数 n，都有 成立； （）设 a n =1+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）令 =x，则原不等式可化为 ln（1+x） x，x 0。 先证明 ln（1+x）x，x0。 令 f（x）=xln（1+x）。由于 f“（x）=1 0，x0， 可知 f（x）在0
15、，+）上单调递增。 又由于 f（0）=0，因此当 x0 时，f（x）f（0）=0。也即 In（1+x）x，x0。 可知 g（x）在0，+）上单调递增。 又因 g（0）=0，因此当 x0 时，g（x）g（0）=0。即 再代入 =x，即可得到所需证明的不等式。 （）a n+1 a n = 可知数列a n 单调递减。 又由不等式 )解析：25.证明函数恒等式 arctanx= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f（x）=arctanx，g（x）= 要证 f（x）=g（x）在 x（1，1）时成立，只需证明： （）f（x），g（x）在（1，1）内可导，且当 x（1，1）时，f“（x）=g“（
16、x）； （）存在 x 0 （1，1），使得 f（x 0 ）=g（x 0 ）。 由初等函数的性质知，f（x）与 g（x）都在（1，1）内可导，且容易计算得到 )解析：26.设分（x）在a，b上连续，在（a，b）上可导，且 f（a）=f（b）=1，证明：必存在，（a，b）使得 e f（）+f“（）=1。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 F（x）=e x f（x），由已知 f（x）及 e x 在a，b上连续，在（a，b）内可导，均满足拉格朗日中值定理条件，因此，存在 ，（a，b），使得 F（b）F（a）=e b f（b）e a f（A）=F“（）（ba） =e f“（）+f（）（ba）及
17、 e b e a =e （ba）。将以上两式相比，且由 f（a）=f（b）=1，则有 e f（）+f“（）=1。)解析：27.设 f（x）在区间a，b上可导，且满足 f（b）cosb= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f（x）在区间a，b上可导，知 f（x）在区间a，b上连续，从而 F（x）=f（x）cosx 在 )解析：28.设 z=f（xy，yg（x），其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数 g（x）可导，且在 x=1 处取得极值g（1）=1，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意 =f 1 “ （xy，yg（x）y+f 2 “ （xy，yg（x）yg“（x），
18、 =f 11 “ （xy，yg（x）xy+f 12 “ （xy，yg（x）yg（x） +f 1 “ （xy，yg（x）+f 21 “ （xy，yg（x）xyg“（x） +f 22 “ （xy，yg（x）yg（x）g“（x）+f 2 “ （xy，yg（x）g“（x） 由 g（x）在 x=1 处取得极值 g（1）=1，可知 g“（1）=0故 )解析：29.求二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知条件，积分区域 D=（x，y）I（x1） 2 +（y1） 2 2，yx。 由（x1） 2 +（y1） 2 2，得 r2（sin+cos），于是 )解析：30.设区域 D=（x，y）x 2 +y 2 1，x0，计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域 D 如图 1422 所示。因为区域 D 关于 x 轴对称， )解析：31.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 所以收敛半径为 R=3，相应的收敛区间为（3，3）。 当 x=3 时，因为 )解析：
