欢迎来到麦多课文档分享! | 帮助中心 海量文档,免费浏览,给你所需,享你所想!
麦多课文档分享
全部分类
  • 标准规范>
  • 教学课件>
  • 考试资料>
  • 办公文档>
  • 学术论文>
  • 行业资料>
  • 易语言源码>
  • ImageVerifierCode 换一换
    首页 麦多课文档分享 > 资源分类 > DOC文档下载
    分享到微信 分享到微博 分享到QQ空间

    【考研类试卷】考研数学三(微积分)-试卷115及答案解析.doc

    • 资源ID:1395070       资源大小:187.50KB        全文页数:9页
    • 资源格式: DOC        下载积分:2000积分
    快捷下载 游客一键下载
    账号登录下载
    微信登录下载
    二维码
    微信扫一扫登录
    下载资源需要2000积分(如需开发票,请勿充值!)
    邮箱/手机:
    温馨提示:
    如需开发票,请勿充值!快捷下载时,用户名和密码都是您填写的邮箱或者手机号,方便查询和重复下载(系统自动生成)。
    如需开发票,请勿充值!如填写123,账号就是123,密码也是123。
    支付方式: 支付宝扫码支付    微信扫码支付   
    验证码:   换一换

    加入VIP,交流精品资源
     
    账号:
    密码:
    验证码:   换一换
      忘记密码?
        
    友情提示
    2、PDF文件下载后,可能会被浏览器默认打开,此种情况可以点击浏览器菜单,保存网页到桌面,就可以正常下载了。
    3、本站不支持迅雷下载,请使用电脑自带的IE浏览器,或者360浏览器、谷歌浏览器下载即可。
    4、本站资源下载后的文档和图纸-无水印,预览文档经过压缩,下载后原文更清晰。
    5、试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓。

    【考研类试卷】考研数学三(微积分)-试卷115及答案解析.doc

    1、考研数学三(微积分)-试卷 115 及答案解析(总分:58.00,做题时间:90 分钟)一、解答题(总题数:29,分数:58.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_2.验证函数 f(x)= (分数:2.00)_3.设 ba0,f(x)在a,b上连续,单调递增且 f(x)0,证明:存在点 (a,b)使得 a 2 f(b)+b 2 f(a)=2 2 f()(分数:2.00)_4.设 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且 f(a)f(b)0,f(a) (分数:2.00)_5.设 f(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,且 f(0)=f(1)=1,

    2、(分数:2.00)_6.设 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内二阶可导,且 f(a)=f(b)= (分数:2.00)_7.设 f(x),g(x)在(a,b)内可导,并且 f(x)g(x)一 f(x)0,试证:在(a,b)内至多存在一点 ,使得 f()=0(分数:2.00)_8.设 f(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,且 f(0)=f(1)=0,f( )=1,试证: (1)存在点 (,1),使 f()= (2)对 (分数:2.00)_9.设 f(x)在0,1上可导,且 0 1 xf(x)dx=f(1),试证:存在点 (0,1),使得 f()+f()=0(分数:2.00)_10.设 f

    3、(x)在0,1上连续,在(0,1)内可微,且 (分数:2.00)_11.设 f(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,且 (分数:2.00)_12.设 f(x)在0,1上可导, 0 1 f(x)dx= 0 1 xf(x)dx=0,试证:存在点 (0,1),使得 f()=0(分数:2.00)_13.设 f(x)在0,2上连续,在(0,2)内二阶可导,且 (分数:2.00)_14.设 f(x)在0,1上连续, 0 1 f(x)dx=0,g(x)在0,1上有连续的导数,且在(0,1)内 g(x)0, 0 1 f(x)g(x)dx=0,试证:至少存在两个不同的点 1 , 2 (0,1),使得 f()

    4、=f()=0(分数:2.00)_15.设 f(x)在0,1上连续,且 f(x)非负,试证:至少存在一点 (0,1),使得 f()= 1 f(x)dx(分数:2.00)_16.设 f(x)在0,1上连续,且 0 1 xf(x)dx= 0 1 f(x)dx,试证:至少存在一点 (0,1),使得 0 1 f(x)dx=0(分数:2.00)_17.设 f(x)为0,1上单调减少的连续函数,且 f(x)0,试证:存在唯一的点 (0,1),使得 0 f(x)dx=(1 一 )f()(分数:2.00)_18.设 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且 f(a)=f(b),f(a)f(b)0,试证:至

    5、少存在一点(a,b),使 f“()=0(分数:2.00)_19.设 f(x)在a,b上一阶可导,且f(x)M, a b f(x)dx=0,试证:当 axb 时, a b f(t)dt (分数:2.00)_20.设 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内二阶可导,且 f(a)=f(b)=0,f + (a)= (分数:2.00)_21.设不恒为常数的函数 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内二阶可导,且 f(a)=f(c)=f(b)其中 c 为(a,b)内的一点,试证:存在点 (a,b),使得 f“()0(分数:2.00)_22.设 f(x)在0,2上连续,在(0,2)内可导,f(0)=f(2)

    6、=1,且f(x)1,试证: 1 0 2 (x)dx3(分数:2.00)_23.试证明:方程 (分数:2.00)_24.设 f(x)在(一,+)内二阶可导,f“(x)0,且 (分数:2.00)_25.设 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,ba0,f(a)f(b),试证:存在点 ,(a,b),使得 2f()=(a+b)f()(分数:2.00)_26.设 f(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,且 f(0)=0,f(1)=1,试证:对任意给定的正数 a,b,在(0,1)内存在不同的点 ,使 (分数:2.00)_27.设 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且 f(a)=f(b)

    7、=1,试证:存在两点 ,(a,b),使得 (e 2a +e a+b +e 2b )f()+f()=3e 3 (分数:2.00)_28.设 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,又 ba0,试证:存在两点 ,(a,b),使得 f()(b 一 a)=f()(lnblna)(分数:2.00)_29.设 f(x)在一 a,a上具有三阶连续导数,且满足 f(x)=x 2 + 0 x tf(xt)dt,f(0)=0,证明:存在一点 一 a,a,使得 a 4 f“()=12 a a f(x)dx(分数:2.00)_考研数学三(微积分)-试卷 115 答案解析(总分:58.00,做题时间:90 分钟)一

    8、、解答题(总题数:29,分数:58.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:2.验证函数 f(x)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:解析:用定义判断 f(x)在分段点 x=1 处的连续性和可导性,然后利用拉格朗日中值定理求出相应的 3.设 ba0,f(x)在a,b上连续,单调递增且 f(x)0,证明:存在点 (a,b)使得 a 2 f(b)+b 2 f(a)=2 2 f()(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 F(x)=2x 2 f(x)一 a 2 f(b)一 b 2 f(a) 显然 F(x)在a,b上连续 且 F(a)=

    9、a 2 f(a)一 f(b)+f(a)(a 2 一 b 2 )0, F(b)=f(b)(b 2 一 a 2 )+b 2 f(b)一 f(a)0 由零点定理,至少存在一个点 a,b使得 F()=0, 即 a 2 f(b)+b 2 f(a)=2 2 f()解析:解析:作辅助函数 F(x)=2x 2 f(x)一 a 2 f(b)一 b 2 f(a),F(x)在a,b上用零点定理4.设 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且 f(a)f(b)0,f(a) (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 F(x)=e k f(x),则由题设可知,F(x)在a,b上连续不妨假定 f(a)0,于是有

    10、F(x 1 )=F(x 2 )=0 所以 F(x)在x 1 ,x 2 上连续,在(x 1 ,x 2 )内可导,且F(x 1 )=F(x 2 )=0由洛尔定理,存在点 (x 1 ,x 2 ) )解析:解析:欲证存在点 (a,b),使得 f()一 kf()=0,即 e k f()一 kf()=0, 即 e k f(x) x= =0 可作辅助函数:F(x)=e k f(x),用介值定理和洛尔定理证明5.设 f(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,且 f(0)=f(1)=1, (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:作辅助函数 F(x)=f(x)+kx,则 F(x)在0,1上连续,在(0,1)内

    11、可导,且 F(x)=f(x)+k 由 f(0)=f(1)=1, F(0)F(1) 由介值定理,存在点 c( ,1),使得 F(c)=F(0)因此,F(x)在0,c上连续,在(0,c)内可导,且 F(0)=F(c)由洛尔定理,存在点 (0,c)解析:解析:这是讨论函数在某点取定值的问题,可转化为导函数的存在性问题 f()=一 kf()+k=0 f(x)+kx x= =0 F(x)=f(x)+kx 的导数在(0,1)内有零点 于是,我们只要验证 F(x)在0,1上或其子区间上满足洛尔定理的全部条件6.设 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内二阶可导,且 f(a)=f(b)= (分数:2.00)_

    12、正确答案:(正确答案:作辅助函数 F(x)= a x f(t)dt,则 F(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导由拉格朗日定理可知,存在点 (a,b),使得 F()= ,即 f()= a b f(x)dx=f(a)=f(b) 于是,在区间a,和,b上分别应用洛尔定理,可知存在点 1 (a,), 2 (,b),使得 f( 1 )=f( 2 )=0再对 f(x)在 1 , 2 上应用洛尔定理,可知存在点( 1 , 2 ) )解析:解析:由洛尔定理可知:要证存在一点 (a,b),使得 f“()=0, 7.设 f(x),g(x)在(a,b)内可导,并且 f(x)g(x)一 f(x)0,试证:在(a,

    13、b)内至多存在一点 ,使得 f()=0(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由已知条件 f(x)g(x)一 f(x)0,可知 f(x)一 f(x)g(x)0,即 作辅助函数F(x)=f(x)e g(x) ,则 F(x)在x 1 ,x 2 上满足洛尔定理的全部条件,由洛尔定理,在(x 1 ,x 2 ) )解析:8.设 f(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,且 f(0)=f(1)=0,f( )=1,试证: (1)存在点 (,1),使 f()= (2)对 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)令 F(x)=f(x)一 x,则 F(x)在0,1上连续,又 F(1)=一 10, 0,

    14、 由介值定理可知,在( ,1)中至少存在一点 ,使得 F()=0,即 f()= (2)令 (x)=f(x)一 xe x ,则 (x)在0,上连续,在(0,)内可导,且 (0)=0,()=f()一 e x =0由洛尔定理,存在点 (0,) )解析:解析:(1)这是讨论函数在某点取定值的问题,可转化为函数的零点问题f()一 =0,即 f(x)一 x=0,即 F(x)=f(x)一 x 在( 9.设 f(x)在0,1上可导,且 0 1 xf(x)dx=f(1),试证:存在点 (0,1),使得 f()+f()=0(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 F(x)=xf(x),则 F(x)在0,1上连

    15、续,在(0,1)内可导由积分中值定理,存在 c0,1,使得 f(1)=cf(c)于是,有 F(c)=cf(c)=F(1)=f(1) 所以,F(z)在c,1 )解析:解析:因待证结论中含有导数,所以应先构造辅助函数,再用洛尔定理来证明 要证的结论为:f()+f()=0xf(x)+f(x)=0f(x)+ f(x)=0 由一阶齐次线性方程的通解公式得:f(x)=10.设 f(x)在0,1上连续,在(0,1)内可微,且 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 f(x)在0,1上连续,由积分中值定理,存在点 c ,1,使得又 f(x)在0,c连续,在(0,c)内可导,且 f(0)=f(c)由洛尔

    16、定理,存在点 (0,c) )解析:解析:待证结论含有导数,所以用洛尔定理证明 证明的关键是在0,1内构造辅助区间0,c,使得 f(0)=f(c)点 c 可由已知条件和积分中值定理得到11.设 f(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,且 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 F(x)=e f(x) arctanx由已知条件,F(1)=e f(x) arctan1= e f(x) arctanxdx=1由积分中值定理,存在点 0, 于是,F(x)在,1上连续,在(,1)内可导,由洛尔定理,存在点 (,1) )解析:解析: 12.设 f(x)在0,1上可导, 0 1 f(x)dx= 0

    17、1 xf(x)dx=0,试证:存在点 (0,1),使得 f()=0(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:作辅助函数 F(x)= 0 x f(t)dt,则 F(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,且F(0)=F(1)=0,又 0= 0 1 xf(x)dx= 0 1 xdF(x)=xF(x) 0 1 0 1 F(x)dx=0,由积分中值定理,存在点 (0,1),使得 F()=0于是,在0,和,1上分别对 F(x)应用洛尔定理,存在点 1 (0,), 2 (,1),使得 f( 1 )=f( 2 )=0 在 1 , 2 上对 f(x)再应用洛尔定理,存在点 ( 1 , 2 ) )解析:13.设

    18、 f(x)在0,2上连续,在(0,2)内二阶可导,且 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 在a,2上 f(x)满足洛尔定理的全部条件,由洛尔定理,存在一点b(a,2),使得 f(b)=0,又 f(x)在a,b上满足洛尔定理的全部条件,由洛尔定理,存在点(a,b) )解析:解析:要证 f“()=0,对 f(x)可用两次洛尔定理来证明用两次洛尔定理的关键是在0,2内构造使得 f(a)=f(2)的区间和使 f(b)=f(c)的区间a,2与b,ca,2可由积分中值定理得到,b,c可由已知极限和洛尔定理获得14.设 f(x)在0,1上连续, 0 1 f(x)dx=0,g(x)在0,1上有连续的导

    19、数,且在(0,1)内 g(x)0, 0 1 f(x)g(x)dx=0,试证:至少存在两个不同的点 1 , 2 (0,1),使得 f()=f()=0(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 F(x)= 0 x f(t)dt,则 F(0)=F(1)=0 又 0= 0 1 f(x)g(x)dx= 0 1 g(x)F(x) 0 1 一 0 1 F(x)g(x)dx =一 0 1 F(x)g(x)dx, 即有 0 1 F(x)g(x)dx=0, 由积分中值定理,存在点 (0,1),使得 F()g()=0,由 g(x)0 知 F()=0,01 即 F(0)=F()=F(1)=0, 由洛尔定理,存在点

    20、1 (0,), 2 (,1),使得 F( 1 )=F( 2 )=0, 即f( 1 )=f( 2 )=0)解析:解析:在 f(x)连续的条件下,欲证 f(x)存在两个零点 f( 1 )=0,f( 2 )=0,可构造辅助函数F(x)=I f(t)dt,用洛尔定理证明因已知 F(0)=F(1)=0于是,问题的关键是再找一点 ,使 F()=0,这样的点 可由已知条件得到15.设 f(x)在0,1上连续,且 f(x)非负,试证:至少存在一点 (0,1),使得 f()= 1 f(x)dx(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 F(x)=x 1 x f(t)dt,则 F(x)在0,1上连续,在(0,1

    21、)内可导,且 F(0)=F(1)=1 1 1 f(t)dt=0由洛尔定理,存在 (0,1),使 F()=0,即 1 (t)dt+f()=0,故 f() 1 f(x)dx=0)解析:解析:欲证 f()= 1 f(x)dxxf(x)= x 1 f(t)dt, 如作辅助函数 F(x)=xf(x)一 x 1 f(t)dt,则 F(0)=0f(0)一 0 1 f(t)出0, F(1)=1f(1)一 1 1 f(t)dt=f(1)0, 难以验证 F(x)在0,1上有 F(0)0,F(1)0于是,可作辅助函数 F(x),使得 F(x)=xf(x)一 x 1 f(t)dt, 即 F(x)=x 1 x f(t)

    22、dt, 即 F(x)=x 1 x f(t)dt, 再用洛尔定理证明16.设 f(x)在0,1上连续,且 0 1 xf(x)dx= 0 1 f(x)dx,试证:至少存在一点 (0,1),使得 0 1 f(x)dx=0(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 F(x)= 0 x (xu)f(u)du,则 F(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,且 F(0)=0, F(1)= 0 1 (1 一 u)f(u)du= 0 1 f(u)du 0 1 u(u)du= 0 1 f(u)du 0 1 f(u)du=0, 即 F(x)在0,1上满足了洛尔定理的全部条件由洛尔定理,存在点 (0,1),使得

    23、F()=0,即 0 x (xu)f(u)du x= = 0 1 f(t)dt+xf(x)xf(x) x= =0, 故有 0 f(x)dx=0 为辅助函数)解析:解析:欲证 0 f(x)dx=0,若用 F(x)= 0 x f(x)dt 作为辅助函数,用零值定理难以验证 F(0)F(1)0于是,改为令 F(x)= 0 x f(t)dt 作辅助函数 F(x)= 0 x 0 u f(t)dtdu=u 0 u f(t)dt 0 x 0 x uf(u)du =x 0 x f(u)du 一 0 x uf(u)du= 0 x (x 一 u)f(u)du, 再用洛尔定理证明17.设 f(x)为0,1上单调减少的

    24、连续函数,且 f(x)0,试证:存在唯一的点 (0,1),使得 0 f(x)dx=(1 一 )f()(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:变量可分离的微分方程得 F(x)= ,即(1 一 x)F(x)=c 作辅助函数 (x)=(1 一 x)F(x),用洛尔定理证明 证 令 (x)=(1 一 x)F(x)= 0 x f(t)dtx 0 x f(t)dt, 则 (x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,且 (0)=(1)=0 由洛尔定理,存在点 (0,1),使得 ()=0,即 f()一 0 f(t)dt 一 f()=0, 故有 0 f(t)dt=(1 一 )f() 用反证法证明唯一性 假若在(

    25、0,1)内存在点 1 、 2 ,不妨设 1 2 ,使得 )解析:解析:记 F(x)= 0 x f(t)dt,欲证存在点 ,使得 F()=(1)F() 18.设 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且 f(a)=f(b),f(a)f(b)0,试证:至少存在一点(a,b),使 f“()=0(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:不妨设 f(a)0,则由 f(a)f(b)0 可知,f(b)0由导数的定义: 即 f(x 2 )f(b)=f(a), 于是有 f(x 2 )f(a)f(x 1 )由介值定理,存在点 (x 1 ,x 2 ),使得 f()=f(a)由洛尔定理可知 存在点 1 (x 1

    26、 ,),使 f( 1 )=0, 存在 2 (,x 2 ),使 f( 2 )=0 所以,f(x)在 1 , 2 上连续,在( 1 , 2 )内可导,由洛尔定理,存在( 1 , 2 ) )解析:解析:证 f“()=0 的关键是找出使得 f( 1 )=f( 2 )=0 的区间 1 , 2 由 f(a)f(b)0 及导数的定义、介值定理和洛尔定理便可找到这样的点 1 和 2 19.设 f(x)在a,b上一阶可导,且f(x)M, a b f(x)dx=0,试证:当 axb 时, a b f(t)dt (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 F(x)= a x f(t)dt,则 F(x)在a,b上连

    27、续,且 F(a)=F(b)=0由最值定理,存在 x 0 a,b,使 F(x 0 )= F(x) 若 F(x 0 )=0,则 F(x)0,结论自然成立 若 F(x 0 )0,由 x 0 (a,b)可知 F(x 0 )必是 F(x)的极值于是有 F(x 0 )=0,在 x 0 处由台劳公式可得 )解析:20.设 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内二阶可导,且 f(a)=f(b)=0,f + (a)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由题设 f + (a)= 0 可知,在(a,b)内至少存在一点 x 0 使 f(x 0 )0 在a,x 0 ,x 0 ,b上分别用拉格朗日中值定理可知:存

    28、在 d(a,x 0 ),c(x 0 ,b)使得 于是由题设可知,f(x)在d,c上连续,在(d,c)内可导 再由拉格朗日中值定理,存在点(d,c) (a,b),使得 )解析:解析:由拉格朗日中值定理可知,要证 f“()= 0,只要证当 dc 时,有 f(c)0,f(d)0只要证存在点 x 0 (a,b),有 21.设不恒为常数的函数 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内二阶可导,且 f(a)=f(c)=f(b)其中 c 为(a,b)内的一点,试证:存在点 (a,b),使得 f“()0(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由题设知,f(x)在a,c和c,d上分别满足洛尔定理的全部条件,由洛

    29、尔定理,存 在点 a 1 (a,c),b 1 (c,b),使得 f(a 1 )=f(b 1 )=0 又 f(x)在a 1 ,b 1 上可导且不恒等于零,所以,必存在点 a 2 (a 1 ,b 1 ),使得 f(a 2 )0,或存在点 a 3 (a 1 ,b 1 ),使f(a 3 )0 当存在点 a 2 (a 1 ,b 1 ),使得 f(a 2 )0 时,由拉格朗日中值定理,存在点(a 2 ,b 1 ), 使得 当存在点 a 3 (a 3 ,b 1 ),使得 f(a 3 )0 时,由拉格朗日中值定理,存在点 (a 3 ,b 1 ), 使得 综上可知,存在点 (a 1 ,b 1 ) )解析:解析:

    30、由题设知,可在a,c,c,b上分别对 f(x)用洛尔定理,存在点 a 1 (a,c),b 1 (c,6),使 f(a 1 )=f(b 1 )=0但 f(x)不恒等于常数,可知 f(x)0从而可知,f(x)在a 1 ,b 1 上可导,不恒等于零,且 f(a 1 )=0,f(b 1 )=0然后可用拉格朗日中值定理证明存在点(a 1 ,b 1 ),使得 f“()022.设 f(x)在0,2上连续,在(0,2)内可导,f(0)=f(2)=1,且f(x)1,试证: 1 0 2 (x)dx3(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由拉格朗日微分中值定理得 存在点 1 (0,x),使得 f(x)一 f(0

    31、)=f( 1 )x, 存在点 2 (x,2),使得 f(x)一 f(2)=f( 2 )(x 一 2) 又f(x)1,所以有 f(x)一f(0)x1 一 xf(x)1+x,x0,1, f(x)一 f(2)2 一 xx 一 1f(x)3 一x,x1,2 由定积分的性质可知 0 2 f(x)dx 0 1 (1 一 x)dx+ 1 2 (x 一 1)dx=1, 0 2 f(x)dz 0 1 (1+x)dx+ 1 2 (3 一 x)dx=3 故 1 0 2 f(x)dx3 或 f(x)=f(x)f(b)=f()(x 一 b) (f(b)=0) 然后,根据题意进行不等式放缩 若有 f(a)=f(b)=0,则 f(x)可表示为 f(x)=f(x)=f(x)一 f(a)=f( 1 )(x 一 a), f(x)=f(x)=f(x)一 f(a)=f( 2 )(x 一 a)解析:解析:先应用拉格朗日微


    注意事项

    本文(【考研类试卷】考研数学三(微积分)-试卷115及答案解析.doc)为本站会员(amazingpat195)主动上传,麦多课文档分享仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容本身不做任何修改或编辑。 若此文所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知麦多课文档分享(点击联系客服),我们立即给予删除!




    关于我们 - 网站声明 - 网站地图 - 资源地图 - 友情链接 - 网站客服 - 联系我们

    copyright@ 2008-2019 麦多课文库(www.mydoc123.com)网站版权所有
    备案/许可证编号:苏ICP备17064731号-1 

    收起
    展开