1、考研数学三（微积分）-试卷 115 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：29，分数：58.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_2.验证函数 f(x)= （分数：2.00）_3.设 ba0，f(x)在a，b上连续，单调递增且 f(x)0，证明：存在点 (a，b)使得 a 2 f(b)+b 2 f(a)=2 2 f()（分数：2.00）_4.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)f(b)0，f(a) （分数：2.00）_5.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=f(1)=1，
2、（分数：2.00）_6.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，且 f(a)=f(b)= （分数：2.00）_7.设 f(x)，g(x)在(a，b)内可导，并且 f(x)g(x)一 f(x)0，试证：在(a，b)内至多存在一点 ，使得 f()=0（分数：2.00）_8.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=f(1)=0，f( )=1，试证： (1)存在点 (，1)，使 f()= (2)对 （分数：2.00）_9.设 f(x)在0，1上可导，且 0 1 xf(x)dx=f(1)，试证：存在点 (0，1)，使得 f()+f()=0（分数：2.00）_10.设 f
3、(x)在0，1上连续，在(0，1)内可微，且 （分数：2.00）_11.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 （分数：2.00）_12.设 f(x)在0，1上可导， 0 1 f(x)dx= 0 1 xf(x)dx=0，试证：存在点 (0，1)，使得 f()=0（分数：2.00）_13.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内二阶可导，且 （分数：2.00）_14.设 f(x)在0，1上连续， 0 1 f(x)dx=0，g(x)在0，1上有连续的导数，且在(0，1)内 g(x)0， 0 1 f(x)g(x)dx=0，试证：至少存在两个不同的点 1 ， 2 (0，1)，使得 f()
4、=f()=0（分数：2.00）_15.设 f(x)在0，1上连续，且 f(x)非负，试证：至少存在一点 (0，1)，使得 f()= 1 f(x)dx（分数：2.00）_16.设 f(x)在0，1上连续，且 0 1 xf(x)dx= 0 1 f(x)dx，试证：至少存在一点 (0，1)，使得 0 1 f(x)dx=0（分数：2.00）_17.设 f(x)为0，1上单调减少的连续函数，且 f(x)0，试证：存在唯一的点 (0，1)，使得 0 f(x)dx=(1 一 )f()（分数：2.00）_18.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)，f(a)f(b)0，试证：至
5、少存在一点(a，b)，使 f“()=0（分数：2.00）_19.设 f(x)在a，b上一阶可导，且f(x)M， a b f(x)dx=0，试证：当 axb 时， a b f(t)dt （分数：2.00）_20.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，且 f(a)=f(b)=0，f + (a)= （分数：2.00）_21.设不恒为常数的函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，且 f(a)=f(c)=f(b)其中 c 为(a，b)内的一点，试证：存在点 (a，b)，使得 f“()0（分数：2.00）_22.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内可导，f(0)=f(2)
6、=1，且f(x)1，试证： 1 0 2 (x)dx3（分数：2.00）_23.试证明：方程 （分数：2.00）_24.设 f(x)在(一，+)内二阶可导，f“(x)0，且 （分数：2.00）_25.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，ba0，f(a)f(b)，试证：存在点 ，(a，b)，使得 2f()=(a+b)f()（分数：2.00）_26.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1，试证：对任意给定的正数 a，b，在(0，1)内存在不同的点 ，使 （分数：2.00）_27.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)
7、=1，试证：存在两点 ，(a，b)，使得 (e 2a +e a+b +e 2b )f()+f()=3e 3 （分数：2.00）_28.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，又 ba0，试证：存在两点 ，(a，b)，使得 f()(b 一 a)=f()(lnblna)（分数：2.00）_29.设 f(x)在一 a，a上具有三阶连续导数，且满足 f(x)=x 2 + 0 x tf(xt)dt，f(0)=0，证明：存在一点 一 a，a，使得 a 4 f“()=12 a a f(x)dx（分数：2.00）_考研数学三（微积分）-试卷 115 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一
8、、解答题(总题数：29，分数：58.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：2.验证函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：用定义判断 f(x)在分段点 x=1 处的连续性和可导性，然后利用拉格朗日中值定理求出相应的 3.设 ba0，f(x)在a，b上连续，单调递增且 f(x)0，证明：存在点 (a，b)使得 a 2 f(b)+b 2 f(a)=2 2 f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)=2x 2 f(x)一 a 2 f(b)一 b 2 f(a) 显然 F(x)在a，b上连续 且 F(a)=
9、a 2 f(a)一 f(b)+f(a)(a 2 一 b 2 )0， F(b)=f(b)(b 2 一 a 2 )+b 2 f(b)一 f(a)0 由零点定理，至少存在一个点 a，b使得 F()=0， 即 a 2 f(b)+b 2 f(a)=2 2 f()解析：解析：作辅助函数 F(x)=2x 2 f(x)一 a 2 f(b)一 b 2 f(a)，F(x)在a，b上用零点定理4.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)f(b)0，f(a) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)=e k f(x)，则由题设可知，F(x)在a，b上连续不妨假定 f(a)0，于是有
10、F(x 1 )=F(x 2 )=0 所以 F(x)在x 1 ，x 2 上连续，在(x 1 ，x 2 )内可导，且F(x 1 )=F(x 2 )=0由洛尔定理，存在点 (x 1 ，x 2 ) )解析：解析：欲证存在点 (a，b)，使得 f()一 kf()=0，即 e k f()一 kf()=0， 即 e k f(x) x= =0 可作辅助函数：F(x)=e k f(x)，用介值定理和洛尔定理证明5.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=f(1)=1， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：作辅助函数 F(x)=f(x)+kx，则 F(x)在0，1上连续，在(0，1)内
11、可导，且 F(x)=f(x)+k 由 f(0)=f(1)=1， F(0)F(1) 由介值定理，存在点 c( ，1)，使得 F(c)=F(0)因此，F(x)在0，c上连续，在(0，c)内可导，且 F(0)=F(c)由洛尔定理，存在点 (0，c)解析：解析：这是讨论函数在某点取定值的问题，可转化为导函数的存在性问题 f()=一 kf()+k=0 f(x)+kx x= =0 F(x)=f(x)+kx 的导数在(0，1)内有零点 于是，我们只要验证 F(x)在0，1上或其子区间上满足洛尔定理的全部条件6.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，且 f(a)=f(b)= （分数：2.00）_
12、正确答案：(正确答案：作辅助函数 F(x)= a x f(t)dt，则 F(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导由拉格朗日定理可知，存在点 (a，b)，使得 F()= ，即 f()= a b f(x)dx=f(a)=f(b) 于是，在区间a，和，b上分别应用洛尔定理，可知存在点 1 (a，)， 2 (，b)，使得 f( 1 )=f( 2 )=0再对 f(x)在 1 ， 2 上应用洛尔定理，可知存在点( 1 ， 2 ) )解析：解析：由洛尔定理可知：要证存在一点 (a，b)，使得 f“()=0， 7.设 f(x)，g(x)在(a，b)内可导，并且 f(x)g(x)一 f(x)0，试证：在(a，
13、b)内至多存在一点 ，使得 f()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知条件 f(x)g(x)一 f(x)0，可知 f(x)一 f(x)g(x)0，即 作辅助函数F(x)=f(x)e g(x) ，则 F(x)在x 1 ，x 2 上满足洛尔定理的全部条件，由洛尔定理，在(x 1 ，x 2 ) )解析：8.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=f(1)=0，f( )=1，试证： (1)存在点 (，1)，使 f()= (2)对 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 F(x)=f(x)一 x，则 F(x)在0，1上连续，又 F(1)=一 10， 0，
14、 由介值定理可知，在( ，1)中至少存在一点 ，使得 F()=0，即 f()= (2)令 (x)=f(x)一 xe x ，则 (x)在0，上连续，在(0，)内可导，且 (0)=0，()=f()一 e x =0由洛尔定理，存在点 (0，) )解析：解析：(1)这是讨论函数在某点取定值的问题，可转化为函数的零点问题f()一 =0，即 f(x)一 x=0，即 F(x)=f(x)一 x 在( 9.设 f(x)在0，1上可导，且 0 1 xf(x)dx=f(1)，试证：存在点 (0，1)，使得 f()+f()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)=xf(x)，则 F(x)在0，1上连
15、续，在(0，1)内可导由积分中值定理，存在 c0，1，使得 f(1)=cf(c)于是，有 F(c)=cf(c)=F(1)=f(1) 所以，F(z)在c，1 )解析：解析：因待证结论中含有导数，所以应先构造辅助函数，再用洛尔定理来证明 要证的结论为：f()+f()=0xf(x)+f(x)=0f(x)+ f(x)=0 由一阶齐次线性方程的通解公式得：f(x)=10.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可微，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在0，1上连续，由积分中值定理，存在点 c ，1，使得又 f(x)在0，c连续，在(0，c)内可导，且 f(0)=f(c)由洛尔
16、定理，存在点 (0，c) )解析：解析：待证结论含有导数，所以用洛尔定理证明 证明的关键是在0，1内构造辅助区间0，c，使得 f(0)=f(c)点 c 可由已知条件和积分中值定理得到11.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)=e f(x) arctanx由已知条件，F(1)=e f(x) arctan1= e f(x) arctanxdx=1由积分中值定理，存在点 0， 于是，F(x)在，1上连续，在(，1)内可导，由洛尔定理，存在点 (，1) )解析：解析： 12.设 f(x)在0，1上可导， 0 1 f(x)dx= 0
17、1 xf(x)dx=0，试证：存在点 (0，1)，使得 f()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：作辅助函数 F(x)= 0 x f(t)dt，则 F(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且F(0)=F(1)=0，又 0= 0 1 xf(x)dx= 0 1 xdF(x)=xF(x) 0 1 0 1 F(x)dx=0，由积分中值定理，存在点 (0，1)，使得 F()=0于是，在0，和，1上分别对 F(x)应用洛尔定理，存在点 1 (0，)， 2 (，1)，使得 f( 1 )=f( 2 )=0 在 1 ， 2 上对 f(x)再应用洛尔定理，存在点 ( 1 ， 2 ) )解析：13.设
18、 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内二阶可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 在a，2上 f(x)满足洛尔定理的全部条件，由洛尔定理，存在一点b(a，2)，使得 f(b)=0，又 f(x)在a，b上满足洛尔定理的全部条件，由洛尔定理，存在点(a，b) )解析：解析：要证 f“()=0，对 f(x)可用两次洛尔定理来证明用两次洛尔定理的关键是在0，2内构造使得 f(a)=f(2)的区间和使 f(b)=f(c)的区间a，2与b，ca，2可由积分中值定理得到，b，c可由已知极限和洛尔定理获得14.设 f(x)在0，1上连续， 0 1 f(x)dx=0，g(x)在0，1上有连续的导
19、数，且在(0，1)内 g(x)0， 0 1 f(x)g(x)dx=0，试证：至少存在两个不同的点 1 ， 2 (0，1)，使得 f()=f()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)= 0 x f(t)dt，则 F(0)=F(1)=0 又 0= 0 1 f(x)g(x)dx= 0 1 g(x)F(x) 0 1 一 0 1 F(x)g(x)dx =一 0 1 F(x)g(x)dx， 即有 0 1 F(x)g(x)dx=0， 由积分中值定理，存在点 (0，1)，使得 F()g()=0，由 g(x)0 知 F()=0，01 即 F(0)=F()=F(1)=0， 由洛尔定理，存在点
20、1 (0，)， 2 (，1)，使得 F( 1 )=F( 2 )=0， 即f( 1 )=f( 2 )=0)解析：解析：在 f(x)连续的条件下，欲证 f(x)存在两个零点 f( 1 )=0，f( 2 )=0，可构造辅助函数F(x)=I f(t)dt，用洛尔定理证明因已知 F(0)=F(1)=0于是，问题的关键是再找一点 ，使 F()=0，这样的点 可由已知条件得到15.设 f(x)在0，1上连续，且 f(x)非负，试证：至少存在一点 (0，1)，使得 f()= 1 f(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)=x 1 x f(t)dt，则 F(x)在0，1上连续，在(0，1
21、)内可导，且 F(0)=F(1)=1 1 1 f(t)dt=0由洛尔定理，存在 (0，1)，使 F()=0，即 1 (t)dt+f()=0，故 f() 1 f(x)dx=0)解析：解析：欲证 f()= 1 f(x)dxxf(x)= x 1 f(t)dt， 如作辅助函数 F(x)=xf(x)一 x 1 f(t)dt，则 F(0)=0f(0)一 0 1 f(t)出0， F(1)=1f(1)一 1 1 f(t)dt=f(1)0， 难以验证 F(x)在0，1上有 F(0)0，F(1)0于是，可作辅助函数 F(x)，使得 F(x)=xf(x)一 x 1 f(t)dt， 即 F(x)=x 1 x f(t)
22、dt， 即 F(x)=x 1 x f(t)dt， 再用洛尔定理证明16.设 f(x)在0，1上连续，且 0 1 xf(x)dx= 0 1 f(x)dx，试证：至少存在一点 (0，1)，使得 0 1 f(x)dx=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)= 0 x (xu)f(u)du，则 F(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 F(0)=0， F(1)= 0 1 (1 一 u)f(u)du= 0 1 f(u)du 0 1 u(u)du= 0 1 f(u)du 0 1 f(u)du=0， 即 F(x)在0，1上满足了洛尔定理的全部条件由洛尔定理，存在点 (0，1)，使得
23、F()=0，即 0 x (xu)f(u)du x= = 0 1 f(t)dt+xf(x)xf(x) x= =0， 故有 0 f(x)dx=0 为辅助函数)解析：解析：欲证 0 f(x)dx=0，若用 F(x)= 0 x f(x)dt 作为辅助函数，用零值定理难以验证 F(0)F(1)0于是，改为令 F(x)= 0 x f(t)dt 作辅助函数 F(x)= 0 x 0 u f(t)dtdu=u 0 u f(t)dt 0 x 0 x uf(u)du =x 0 x f(u)du 一 0 x uf(u)du= 0 x (x 一 u)f(u)du， 再用洛尔定理证明17.设 f(x)为0，1上单调减少的
24、连续函数，且 f(x)0，试证：存在唯一的点 (0，1)，使得 0 f(x)dx=(1 一 )f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：变量可分离的微分方程得 F(x)= ，即(1 一 x)F(x)=c 作辅助函数 (x)=(1 一 x)F(x)，用洛尔定理证明 证 令 (x)=(1 一 x)F(x)= 0 x f(t)dtx 0 x f(t)dt， 则 (x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 (0)=(1)=0 由洛尔定理，存在点 (0，1)，使得 ()=0，即 f()一 0 f(t)dt 一 f()=0， 故有 0 f(t)dt=(1 一 )f() 用反证法证明唯一性 假若在(
25、0，1)内存在点 1 、 2 ，不妨设 1 2 ，使得 )解析：解析：记 F(x)= 0 x f(t)dt，欲证存在点 ，使得 F()=(1)F() 18.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)，f(a)f(b)0，试证：至少存在一点(a，b)，使 f“()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不妨设 f(a)0，则由 f(a)f(b)0 可知，f(b)0由导数的定义： 即 f(x 2 )f(b)=f(a)， 于是有 f(x 2 )f(a)f(x 1 )由介值定理，存在点 (x 1 ，x 2 )，使得 f()=f(a)由洛尔定理可知 存在点 1 (x 1
26、 ，)，使 f( 1 )=0， 存在 2 (，x 2 )，使 f( 2 )=0 所以，f(x)在 1 ， 2 上连续，在( 1 ， 2 )内可导，由洛尔定理，存在( 1 ， 2 ) )解析：解析：证 f“()=0 的关键是找出使得 f( 1 )=f( 2 )=0 的区间 1 ， 2 由 f(a)f(b)0 及导数的定义、介值定理和洛尔定理便可找到这样的点 1 和 2 19.设 f(x)在a，b上一阶可导，且f(x)M， a b f(x)dx=0，试证：当 axb 时， a b f(t)dt （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)= a x f(t)dt，则 F(x)在a，b上连
27、续，且 F(a)=F(b)=0由最值定理，存在 x 0 a，b，使 F(x 0 )= F(x) 若 F(x 0 )=0，则 F(x)0，结论自然成立 若 F(x 0 )0，由 x 0 (a，b)可知 F(x 0 )必是 F(x)的极值于是有 F(x 0 )=0，在 x 0 处由台劳公式可得 )解析：20.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，且 f(a)=f(b)=0，f + (a)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设 f + (a)= 0 可知，在(a，b)内至少存在一点 x 0 使 f(x 0 )0 在a，x 0 ，x 0 ，b上分别用拉格朗日中值定理可知：存
28、在 d(a，x 0 )，c(x 0 ，b)使得 于是由题设可知，f(x)在d，c上连续，在(d，c)内可导 再由拉格朗日中值定理，存在点(d，c) (a，b)，使得 )解析：解析：由拉格朗日中值定理可知，要证 f“()= 0，只要证当 dc 时，有 f(c)0，f(d)0只要证存在点 x 0 (a，b)，有 21.设不恒为常数的函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，且 f(a)=f(c)=f(b)其中 c 为(a，b)内的一点，试证：存在点 (a，b)，使得 f“()0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设知，f(x)在a，c和c，d上分别满足洛尔定理的全部条件，由洛
29、尔定理，存 在点 a 1 (a，c)，b 1 (c，b)，使得 f(a 1 )=f(b 1 )=0 又 f(x)在a 1 ，b 1 上可导且不恒等于零，所以，必存在点 a 2 (a 1 ，b 1 )，使得 f(a 2 )0，或存在点 a 3 (a 1 ，b 1 )，使f(a 3 )0 当存在点 a 2 (a 1 ，b 1 )，使得 f(a 2 )0 时，由拉格朗日中值定理，存在点(a 2 ，b 1 )， 使得 当存在点 a 3 (a 3 ，b 1 )，使得 f(a 3 )0 时，由拉格朗日中值定理，存在点 (a 3 ，b 1 )， 使得 综上可知，存在点 (a 1 ，b 1 ) )解析：解析：
30、由题设知，可在a，c，c，b上分别对 f(x)用洛尔定理，存在点 a 1 (a，c)，b 1 (c，6)，使 f(a 1 )=f(b 1 )=0但 f(x)不恒等于常数，可知 f(x)0从而可知，f(x)在a 1 ，b 1 上可导，不恒等于零，且 f(a 1 )=0，f(b 1 )=0然后可用拉格朗日中值定理证明存在点(a 1 ，b 1 )，使得 f“()022.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内可导，f(0)=f(2)=1，且f(x)1，试证： 1 0 2 (x)dx3（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由拉格朗日微分中值定理得 存在点 1 (0，x)，使得 f(x)一 f(0
31、)=f( 1 )x， 存在点 2 (x，2)，使得 f(x)一 f(2)=f( 2 )(x 一 2) 又f(x)1，所以有 f(x)一f(0)x1 一 xf(x)1+x，x0，1， f(x)一 f(2)2 一 xx 一 1f(x)3 一x，x1，2 由定积分的性质可知 0 2 f(x)dx 0 1 (1 一 x)dx+ 1 2 (x 一 1)dx=1， 0 2 f(x)dz 0 1 (1+x)dx+ 1 2 (3 一 x)dx=3 故 1 0 2 f(x)dx3 或 f(x)=f(x)f(b)=f()(x 一 b) (f(b)=0) 然后，根据题意进行不等式放缩 若有 f(a)=f(b)=0，则 f(x)可表示为 f(x)=f(x)=f(x)一 f(a)=f( 1 )(x 一 a)， f(x)=f(x)=f(x)一 f(a)=f( 2 )(x 一 a)解析：解析：先应用拉格朗日微
