1、考研数学三（微积分）-试卷 10 及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.微分方程 y“一 4y=e 2x +x 的特解形式为( )（分数：2.00）A.ae 2x +bx+cB.ax 2 e 2x +bx+cC.axe 2x +bx 2 +cxD.axe 2x +bx+c3.设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 y 1 =e x ，y 2 =2xe x ，y 3 =3e x ，则该微分方程为( )（分数：2.00）A.y“一 y“一 y“+y=0B.y“+
2、y“一 y“一 y=0C.y“+2y“一 y“一 2y=0D.y“2y“一 y“+2y=04.设 1 (x)， 2 (x)为一阶非齐次线性微分方程 y“+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为( )（分数：2.00）A.C 1 (x)+ 2 (x)B.C 1 (x)一 2 (x)C.C 1 (x)一 2 (x)+ 2 (x)D. 1 (x)一 2 (x)+C 2 (x)5.微分方程 y“一 4y=x+2 的通解为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：20.00)6.微分方程 y“+ytanx=cosx 的通解为 1（分数：2.00）填空项
3、 1:_7.设 f(x)在0，+)上非负连续，且 f(x) 0 x f(x 一 t)dt=2x，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_8.连续函数 f(x)满足 f(x)=3 0 x f(xt)dt+2，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设 y=y(x)可导，y(0)=2，令y=y(x+x)y(x)，且 （分数：2.00）填空项 1:_10.的通解为 1 （分数：2.00）填空项 1:_11.微分方程 xy“一 y1n(xy)一 1=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_12.微分方程 y 2 dx+(x 2 一 xy)dy=0 的通解为 1（分数：2
4、.00）填空项 1:_13.设连续函数 f(x)满足 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_14.微分方程(2x+3)y“=4y“的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_15.yy“=1+y“ 2 满足初始条件 y(0)=1，y“(0)=0 的解为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：18，分数：36.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.求微分方程 （分数：2.00）_18.求微分方程 xy“= （分数：2.00）_19.求微分方程 xy“+2y“=e x 的通解（分数：2.00）_20.设 x0 时，f(x)可导，且
5、满足：f(x)=1+ （分数：2.00）_21.求微分方程(y+ （分数：2.00）_22.求微分方程(yx 3 )dx 一 2xdy=0 的通解（分数：2.00）_23.求微分方程 y 2 dx+(2xy+y 2 )dy=0 的通解（分数：2.00）_24.求微分方程 （分数：2.00）_25.求微分方程 （分数：2.00）_26.求微分方程 x 2 y“+xy=y 2 满足初始条件 y(1)=1 的特解（分数：2.00）_27.求微分方程 （分数：2.00）_28.求微分方程 （分数：2.00）_29.设 y=e x 为微分方程 xy“+P(x)y=x 的解，求此微分方程满足初始条件 y(
6、ln2)=0 的特解（分数：2.00）_30.设 f(x)=e x 0 x (x 一 t)f(t)dt，其中 f(x)连续，求 f(x)（分数：2.00）_31.求微分方程 xy“+3y“=0 的通解（分数：2.00）_32.设当 x0 时，f(x)满足 1 x f(t)dt 一 f(x)=x，求 f(x)（分数：2.00）_33.求满足初始条件 y“+2x(y“) 2 =0，y(0)=1，y“(0)=1 的特解（分数：2.00）_考研数学三（微积分）-试卷 10 答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只
7、有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.微分方程 y“一 4y=e 2x +x 的特解形式为( )（分数：2.00）A.ae 2x +bx+cB.ax 2 e 2x +bx+cC.axe 2x +bx 2 +cxD.axe 2x +bx+c 解析：解析：y“一 4y=0 的特征方程为 2 一 4=0，特征值位 1 =一 2， 2 =2 y“一 4y=e 2x 的特解形式为 y 1 =axe 2x ，y“一 4y=x 的特解形式为 y 2 =bx+c，故原方程特解形式为 axe 2x +bx+c，选 D3.设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 y 1 =e x ，y 2 =2xe x
8、 ，y 3 =3e x ，则该微分方程为( )（分数：2.00）A.y“一 y“一 y“+y=0 B.y“+y“一 y“一 y=0C.y“+2y“一 y“一 2y=0D.y“2y“一 y“+2y=0解析：解析：由 y 1 =e x ，y 2 =2xe x ，y 3 =3e x 为三阶常系数齐次线性微分方程的特解可得其特征值为 1 = 2 =1， 3 =一 1，其特征方程为( 一 1) 2 (+1)=0，即 3 一 2 一 +1=0，所求的微分方程为 y“一 y“一 y“+y=0，选 A4.设 1 (x)， 2 (x)为一阶非齐次线性微分方程 y“+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该
9、方程的通解为( )（分数：2.00）A.C 1 (x)+ 2 (x)B.C 1 (x)一 2 (x)C.C 1 (x)一 2 (x)+ 2 (x) D. 1 (x)一 2 (x)+C 2 (x)解析：解析：因为 1 (x)， 2 (x)为方程 y“+P(x)y=Q(x)的两个线性无关解，所以 1 (x)一 2 (x)为方程 y“+P(x)y=0 的一个解，于是方程 y“+P(x)y=Q(x)的通解为 C 1 (x)一 2 (x)+ 2 (x)，选 C5.微分方程 y“一 4y=x+2 的通解为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：微分方程 y“一 4y=0 的特征方程为 2
10、一 4=0，特征值为一 2，2，则方程 y“一 4y=0 的通解为 C 1 e 2x +C 2 e 2x ，显然方程 y“一 4y=x+2 有特解 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)6.微分方程 y“+ytanx=cosx 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(x+C)cosx）解析：解析：通解为7.设 f(x)在0，+)上非负连续，且 f(x) 0 x f(x 一 t)dt=2x，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2x）解析：解析： ， 令 F(x)= 0 x f(u)du，由 f(x) 0 x f(xt)dt
11、=2x 3 ，得 f(x) 0 x f(u)du=2x 3 ， 即 8.连续函数 f(x)满足 f(x)=3 0 x f(xt)dt+2，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2e 3x）解析：解析：由 9.设 y=y(x)可导，y(0)=2，令y=y(x+x)y(x)，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：10.的通解为 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.微分方程 xy“一 y1n(xy)一 1=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）
12、解析：解析：令 xy=u，y+xy=12.微分方程 y 2 dx+(x 2 一 xy)dy=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：13.设连续函数 f(x)满足 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2e 3x e x）解析：解析： 14.微分方程(2x+3)y“=4y“的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 y“=p，则 ，两边积分得 lnp=ln(2x+3) 2 +lnC 1 ，或 y“=C 1 (2x+3) 2 ， 于是y= 15.yy“=1+y“ 2 满足初始
13、条件 y(0)=1，y“(0)=0 的解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：18，分数：36.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.求微分方程 xy“= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.求微分方程 xy“+2y“=e x 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设 x0 时，f(x)可导，且满足：f(x)=1+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x
14、)=1+ 1 x f(t)dt 得 xf(x)=x+ 1 x f(t)dt， 两边对 x 求导得f(x)+xf“(x)=1+f(x)，解得 f“(x)= )解析：21.求微分方程(y+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.求微分方程(yx 3 )dx 一 2xdy=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.求微分方程 y 2 dx+(2xy+y 2 )dy=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
15、 )解析：26.求微分方程 x 2 y“+xy=y 2 满足初始条件 y(1)=1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.设 y=e x 为微分方程 xy“+P(x)y=x 的解，求此微分方程满足初始条件 y(ln2)=0 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把 y=e x 代入微分方程 xy“+P(x)y=x，得 P(x)=xe x 一 x，原方程化为 )解析：30.设 f(x)=e x 0 x (x 一 t)f(t
16、)dt，其中 f(x)连续，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x)=e x 一 0 x (xt)f(t)dt，得 f(x)=e x 一 x 0 x f(t)dt+ 0 x tf(t)dt，两边对 x 求导，得 f“(x)=e x 0 x f(t)dt，两边再对 x 求导得 f“(x)+f(x)=e x ，其通解为 f(x)=C 1 cosx+C 2 sinx+ 在 f(x)=e x 0 x (xt)f(t)dt 中，令 x=0 得 f(0)=1，在 f“(x)=e x 0 x f(x)dt 中，令 x=0 得 f“(0)=1，于是有 )解析：31.求微分方程 xy“+3y“=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：32.设当 x0 时，f(x)满足 1 x f(t)dt 一 f(x)=x，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 1 x f(t)dtf(x)=x，两边求导得 f(x)一 f“(x)=1，解得 f(x)=ce x +1，而f(1)=一 1，所以 f(x)=12Ce x1 )解析：33.求满足初始条件 y“+2x(y“) 2 =0，y(0)=1，y“(0)=1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
