1、考研数学三（大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念）-试卷 2 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 是来自正态总体 N(0，2 2 )的简单随机样本，记 Y=a(X 1 -2X 2 ) 2 +b(3X 3 -4X 4 ) 2 ，其中 sa，b 为常数已知 Y 2 (n)，则（分数：2.00）A.n 必为 2B.n 必为 4C.n 为 1 或 2D.n 为 2 或 43.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自
2、标准正态总体的简单随机样本， 和 S 2 为样本均值和样本方差，则 （分数：2.00）A.B.C.D.4.设随机变量 Xt(n)(n1)，Y= （分数：2.00）A.Y 2 (n)B.Y 2 (n-1)C.YF(n，1)D.YF(1，n)5.设随机变量 X 服从 n 个自由度的 t 分布，定义 t 满足 PXt =1-(01)若已知PXx=b(b0)，则 x 等于 （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自正态总体 N(0， 2 )的简单随机样本， 与 S 2 分别是样本均值与样本方差，则 （分数：2.00）A.B.C.D.7.设 X 1 ，X n ，X n+
3、1 ，X 2n ，X 2n+1 ，X 3n 是取自正态分布总体 N(， 2 )的一个简单随机样本(n2)，记 则一定有 （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：9，分数：18.00)8.已知 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立且服从 N(0， 2 )，则 （分数：2.00）填空项 1:_9.已知(X，Y)的联合概率密度为 则 （分数：2.00）填空项 1:_10.设总体 X 的密度函数 f(x)= 分别为取自总体 X 容量为 n 的样本的均值和方差，则 EX= 1； （分数：2.00）填空项 1:_11.设 X 1 ，X 2 ，X 9 是来自总体 XN(，4)的简单随机样本，而
4、 是样本均值，则满足 （分数：2.00）填空项 1:_12.假设 X 1 ，X 2 ，X 16 是来自正态总体 N(， 2 )的简单随机样本， 为其均值，S 为其标准差，如果 （分数：2.00）填空项 1:_13.设总体 X 服从参数为 p 的 0-1 分布，则来自总体 X 的简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X n 的概率分布为 1.（分数：2.00）填空项 1:_14.假设总体 X 服从标准正态分布，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，则统计量 Y 1 = （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_填空项 1:_15.设总体 X 服从正态分布 N(0， 2 )，
5、而 X 1 ，X 2 ，X 15 是取自总体 X 的简单随机样本，则 （分数：2.00）填空项 1:_16.设总体 X 与 Y 独立且都服从正态分布 N(0， 2 )，已知 X 1 ，X m 与 Y 1 ，Y n 是分别来自总体 X 与 Y 的简单随机样本，统计量 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：14，分数：28.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_18.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自标准正态总体 N(0，1)的简单随机样本，其均值和方差分别为 （分数：2.00）_19.已知总体 X 的数学期望 EX=，方差 DX= 2 ，
6、X 1 ，X 2 ，X 2n 是来自总体 X 容量为 2n 的简单随机样本，样本均值为 （分数：2.00）_20.已知总体 X 与 Y 相互独立且都服从标准正态分布，X 1 ，X 8 和 Y 1 ，Y 9 是分别来自总体 X与 Y 的两个简单随机样本，其均值分别为 ，求证： （分数：2.00）_21.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自正态总体 X 的简单随机样本，EX=，DX=4， 试分别求出满足下列各式的最小样本容量 n： （分数：2.00）_22.()设 X 与 Y 相互独立，且 X-N(5，15)，Y- 2 (5)，求概率 PX-5 （分数：2.00）_23.设 X 1 ，X 2 ，
7、X n 是来自总体 X 的简单随机样本，其均值和方差分别为 与 S 2 ，且XB(1，p)，0P1()试求： （分数：2.00）_24.设正态总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 为来自 X 的简单随机样本，求证： （分数：2.00）_25.设 X 1 ，X 2 ，X 10 是来自正态总体 XN(0，2 2 )的简单随机样本，求常数 a，b，c，d，使 Q= （分数：2.00）_26.设总体 X 和 Y 相互独立，分别服从 X 1 ，X 2 ，X m 和 Y 1 ，Y 2 ，Y n 是分别来自X 和 Y 的简单随机样本，其样本均值分别为 （分数：2.00）_27.已知 X 1 ，
8、X n 是来自总体 X 容量为 n 的简单随机样本，其均值和方差分别为 与 S 2 ()如果 EX=，DX= 2 ，试证明： （分数：2.00）_28.设 XN(， 2 )，从中抽取 16 个样本，S 2 为样本方差， 2 未知，求 （分数：2.00）_29.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n (n=16)是来自 X 的简单随机样本，求下列概率： （分数：2.00）_30.设 （分数：2.00）_考研数学三（大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念）-试卷 2 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出
9、的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 是来自正态总体 N(0，2 2 )的简单随机样本，记 Y=a(X 1 -2X 2 ) 2 +b(3X 3 -4X 4 ) 2 ，其中 sa，b 为常数已知 Y 2 (n)，则（分数：2.00）A.n 必为 2B.n 必为 4C.n 为 1 或 2 D.n 为 2 或 4解析：解析：依题意 X i N(0，2 2 )且相互独立，所以 X 1 -2X 2 N(0，20)，3X 3 -4X 4 N(0，100)，故 且它们相互独立由 2 分布的典型模式及性质知 (1)当 a= 时，Y- 2
10、 (2)； (2)当a= 3.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自标准正态总体的简单随机样本， 和 S 2 为样本均值和样本方差，则 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：显然，(n-1)S 2 服从自由度为 n-1 的 2 分布，故应选(D)其余选项不成立是明显的：对于服从标准正态分布的总体， 由于 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立并且都服从标准正态分布，可见 4.设随机变量 Xt(n)(n1)，Y= （分数：2.00）A.Y 2 (n)B.Y 2 (n-1)C.YF(n，1) D.YF(1，n)解析：解析：根据 t 分布的性质，如果随机变量 Xt(n)，则 X 2 F(1，
11、n)，又根据 F 分布的性质，如果 X 2 F(1，n)，则 5.设随机变量 X 服从 n 个自由度的 t 分布，定义 t 满足 PXt =1-(01)若已知PXx=b(b0)，则 x 等于 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：根据 t 分布的对称性及 b0，可知 x0从而 PXx=1-PXx= 根据题设定义PXt =1-，可知 6.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自正态总体 N(0， 2 )的简单随机样本， 与 S 2 分别是样本均值与样本方差，则 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：根据正态总体抽样分布公式知7.设 X 1 ，X n ，X n+1 ，X 2n ，
12、X 2n+1 ，X 3n 是取自正态分布总体 N(， 2 )的一个简单随机样本(n2)，记 则一定有 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由于 分别是取自正态总体 N(， 2 )的一个容量为 n 的简单随机样本，根据正态总体的抽样分布知，对 i=1，2，3，有 因此选项(A)、(B)、(C)均不成立，应选(D) 进一步分析，因 X 1 ，X n ，X n+1 ，X 2n ，X 2n+1 ，X 3n 相互独立，因此 也相互独立又因 ，所以根据 F 分布的典型模式可得 同理 F 2 = 二、填空题(总题数：9，分数：18.00)8.已知 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立且服从 N(
13、0， 2 )，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：记 Y 1 =X 2 +X 3 ，Y 2 =X 2 -X 3 ，则 Y 1 N(0，2 2 )，Y 2 N(0，2 2 )由于 Cov(Y 1 ，Y 2 )=E(Y 1 Y 2 )-E(Y 1 )E(Y 2 )=E(X 2 +X 3 )(X 2 -X 3 ) 所以 Y 1 与 Y 2 相互独立，且与 X 1 独立又由 X 1 +X 2 +X 3 =X 1 +Y 1 N(0，3 2 )， 可知 ，且 X 1 +X 2 +X 3 与 X 2 -X 3 相互独立，于是按 t 分布定义有 9.已知(X，Y)的联合
14、概率密度为 则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由题设知(X，Y)服从二维正态分布且密度函数为 故 XN(0，2 2 )，YN(1，3 2 )，X 与 Y 相关系数 =0，所以 X 与 Y 独立， 根据 F 分布典型模式知 10.设总体 X 的密度函数 f(x)= 分别为取自总体 X 容量为 n 的样本的均值和方差，则 EX= 1； （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0， ）解析：解析：由于 ，ES 2 =DX，由题设有 11.设 X 1 ，X 2 ，X 9 是来自总体 XN(，4)的简单随机样本，而 是样本均值，则满足 （分数：2
15、.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1.3067）解析：解析：由条件知12.假设 X 1 ，X 2 ，X 16 是来自正态总体 N(， 2 )的简单随机样本， 为其均值，S 为其标准差，如果 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-0.4383）解析：解析：由于总体 XN(， 2 )，故 与 S 2 独立，由 t 分布典型模式得 13.设总体 X 服从参数为 p 的 0-1 分布，则来自总体 X 的简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X n 的概率分布为 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：总体 X 的概率分布为 ，此概率分布也
16、可以表示为 于是样本 X 1 ，X 2 ，X n 的概率分布为 14.假设总体 X 服从标准正态分布，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，则统计量 Y 1 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：t）填空项 1:_ （正确答案：2）填空项 1:_ （正确答案：n-1）解析：解析：根据简单随机样本的性质，X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同服从分布 N(0，1)，所以 X 1 -X 2 与 也相互独立，且有 15.设总体 X 服从正态分布 N(0， 2 )，而 X 1 ，X 2 ，X 15 是取自总体 X 的简单随机样本，则 （分数：2.00）填空项
17、 1:_ （正确答案：正确答案：N(0， 2 )， ）解析：解析：根据简单随机样本的性质，X 1 ，X 2 ，X 15 相互独立且都服从分布 N(0， 2 )，所以 ，因此 16.设总体 X 与 Y 独立且都服从正态分布 N(0， 2 )，已知 X 1 ，X m 与 Y 1 ，Y n 是分别来自总体 X 与 Y 的简单随机样本，统计量 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：依题意 X i N(0， 2 )，Y i N(0， 2 )且相互独立，所以 U 与 V 相互独立，由 t 分布典型模式知 三、解答题(总题数：14，分数：28.00)17.解答题解答应写出文
18、字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自标准正态总体 N(0，1)的简单随机样本，其均值和方差分别为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由正态总体的性质知， 与 S 2 相互独立；由样本数字特征的性质知， =E(X)=0， ，E(S 2 )=D(X)=1；由正态总体的样本方差的分布知，(n-1)S 2 2 (n-1)；由 2 分布的性质知，D 2 (n-1)=2(n-1)，从而 Dn-1)S 2 =(n-1) 2 D(S 2 )=2(n-1)，即 D(S 2 )= 于是 )解析：19.已知总体 X 的数学期望 EX=，方差 DX
19、= 2 ，X 1 ，X 2 ，X 2n 是来自总体 X 容量为 2n 的简单随机样本，样本均值为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于总体分布未知，我们只好将 Y 化简，应用数字特征性质计算 EY由于 )解析：20.已知总体 X 与 Y 相互独立且都服从标准正态分布，X 1 ，X 8 和 Y 1 ，Y 9 是分别来自总体 X与 Y 的两个简单随机样本，其均值分别为 ，求证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：应用 t 分布的典型模式证明已知 X i N(0，1)，Y i N(0，1)且相互独立，因此样本均值 )解析：21.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自正态总体 X 的
20、简单随机样本，EX=，DX=4， 试分别求出满足下列各式的最小样本容量 n： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：依题意， 查标准正态分布函数表可得 165， n1089 ()解不等式 01， n40 ()令 U= 易见 UN(0，1)，于是 )解析：22.()设 X 与 Y 相互独立，且 X-N(5，15)，Y- 2 (5)，求概率 PX-5 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() )解析：23.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，其均值和方差分别为 与 S 2 ，且XB(1，p)，0P1()试求： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由于
21、 XB(1，p)，故 X 的概率分布为 B(n，p)于是 )解析：24.设正态总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 为来自 X 的简单随机样本，求证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据简单随机样本的性质，X 1 ，X 2 ，X n 相互独立与 X 同分布且 与 S 2 相互独立，于是 )解析：25.设 X 1 ，X 2 ，X 10 是来自正态总体 XN(0，2 2 )的简单随机样本，求常数 a，b，c，d，使 Q= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 X i 独立同分布，则有 X 1 N(0，4)，X 2 +X 3 N(0，8)， X 4 +X 5 +X
22、 6 N(0，12)，X 7 +X 8 +X 9 +X 10 N(0，16). 于是 (X 7 +X 8 +X 9 +X 10 )相互独立都服从标准正态分布 N(0，1)由 2 分布的典型模式可知 )解析：26.设总体 X 和 Y 相互独立，分别服从 X 1 ，X 2 ，X m 和 Y 1 ，Y 2 ，Y n 是分别来自X 和 Y 的简单随机样本，其样本均值分别为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 与 也相互独立因此 )解析：27.已知 X 1 ，X n 是来自总体 X 容量为 n 的简单随机样本，其均值和方差分别为 与 S 2 ()如果 EX=，DX= 2 ，试证明： （分数：
23、2.00）_正确答案：(正确答案：()由于总体分布未知，因此只能应用定义与性质证明因为 X 1 ，X n 相互独立且与总体 X 同分布，故 ()由于总体 XN(0， 2 )，故 EX i =0，DX i = 2 )解析：28.设 XN(， 2 )，从中抽取 16 个样本，S 2 为样本方差， 2 未知，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 查 2 分布的上分位数表，得知 P 2 (15)3058=001，因此 )解析：29.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n (n=16)是来自 X 的简单随机样本，求下列概率： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 相互独立，则 查标准正态分布表，得 )解析：
