1、考研数学三(大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念)-试卷 2 及答案解析(总分:60.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:7,分数:14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 X 1 ,X 2 ,X 3 ,X 4 是来自正态总体 N(0,2 2 )的简单随机样本,记 Y=a(X 1 -2X 2 ) 2 +b(3X 3 -4X 4 ) 2 ,其中 sa,b 为常数已知 Y 2 (n),则(分数:2.00)A.n 必为 2B.n 必为 4C.n 为 1 或 2D.n 为 2 或 43.设 X 1 ,X 2 ,X n 是来自
2、标准正态总体的简单随机样本, 和 S 2 为样本均值和样本方差,则 (分数:2.00)A.B.C.D.4.设随机变量 Xt(n)(n1),Y= (分数:2.00)A.Y 2 (n)B.Y 2 (n-1)C.YF(n,1)D.YF(1,n)5.设随机变量 X 服从 n 个自由度的 t 分布,定义 t 满足 PXt =1-(01)若已知PXx=b(b0),则 x 等于 (分数:2.00)A.B.C.D.6.设 X 1 ,X 2 ,X n 是取自正态总体 N(0, 2 )的简单随机样本, 与 S 2 分别是样本均值与样本方差,则 (分数:2.00)A.B.C.D.7.设 X 1 ,X n ,X n+
3、1 ,X 2n ,X 2n+1 ,X 3n 是取自正态分布总体 N(, 2 )的一个简单随机样本(n2),记 则一定有 (分数:2.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:9,分数:18.00)8.已知 X 1 ,X 2 ,X 3 相互独立且服从 N(0, 2 ),则 (分数:2.00)填空项 1:_9.已知(X,Y)的联合概率密度为 则 (分数:2.00)填空项 1:_10.设总体 X 的密度函数 f(x)= 分别为取自总体 X 容量为 n 的样本的均值和方差,则 EX= 1; (分数:2.00)填空项 1:_11.设 X 1 ,X 2 ,X 9 是来自总体 XN(,4)的简单随机样本,而
4、 是样本均值,则满足 (分数:2.00)填空项 1:_12.假设 X 1 ,X 2 ,X 16 是来自正态总体 N(, 2 )的简单随机样本, 为其均值,S 为其标准差,如果 (分数:2.00)填空项 1:_13.设总体 X 服从参数为 p 的 0-1 分布,则来自总体 X 的简单随机样本 X 1 ,X 2 ,X n 的概率分布为 1.(分数:2.00)填空项 1:_14.假设总体 X 服从标准正态分布,X 1 ,X 2 ,X n 是取自总体 X 的简单随机样本,则统计量 Y 1 = (分数:2.00)填空项 1:_填空项 1:_填空项 1:_15.设总体 X 服从正态分布 N(0, 2 ),
5、而 X 1 ,X 2 ,X 15 是取自总体 X 的简单随机样本,则 (分数:2.00)填空项 1:_16.设总体 X 与 Y 独立且都服从正态分布 N(0, 2 ),已知 X 1 ,X m 与 Y 1 ,Y n 是分别来自总体 X 与 Y 的简单随机样本,统计量 (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:14,分数:28.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_18.设 X 1 ,X 2 ,X n 是来自标准正态总体 N(0,1)的简单随机样本,其均值和方差分别为 (分数:2.00)_19.已知总体 X 的数学期望 EX=,方差 DX= 2 ,
6、X 1 ,X 2 ,X 2n 是来自总体 X 容量为 2n 的简单随机样本,样本均值为 (分数:2.00)_20.已知总体 X 与 Y 相互独立且都服从标准正态分布,X 1 ,X 8 和 Y 1 ,Y 9 是分别来自总体 X与 Y 的两个简单随机样本,其均值分别为 ,求证: (分数:2.00)_21.设 X 1 ,X 2 ,X n 是取自正态总体 X 的简单随机样本,EX=,DX=4, 试分别求出满足下列各式的最小样本容量 n: (分数:2.00)_22.()设 X 与 Y 相互独立,且 X-N(5,15),Y- 2 (5),求概率 PX-5 (分数:2.00)_23.设 X 1 ,X 2 ,
7、X n 是来自总体 X 的简单随机样本,其均值和方差分别为 与 S 2 ,且XB(1,p),0P1()试求: (分数:2.00)_24.设正态总体 XN(, 2 ),X 1 ,X 2 ,X n 为来自 X 的简单随机样本,求证: (分数:2.00)_25.设 X 1 ,X 2 ,X 10 是来自正态总体 XN(0,2 2 )的简单随机样本,求常数 a,b,c,d,使 Q= (分数:2.00)_26.设总体 X 和 Y 相互独立,分别服从 X 1 ,X 2 ,X m 和 Y 1 ,Y 2 ,Y n 是分别来自X 和 Y 的简单随机样本,其样本均值分别为 (分数:2.00)_27.已知 X 1 ,
8、X n 是来自总体 X 容量为 n 的简单随机样本,其均值和方差分别为 与 S 2 ()如果 EX=,DX= 2 ,试证明: (分数:2.00)_28.设 XN(, 2 ),从中抽取 16 个样本,S 2 为样本方差, 2 未知,求 (分数:2.00)_29.设总体 XN(, 2 ),X 1 ,X 2 ,X n (n=16)是来自 X 的简单随机样本,求下列概率: (分数:2.00)_30.设 (分数:2.00)_考研数学三(大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念)-试卷 2 答案解析(总分:60.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:7,分数:14.00)1.选择题下列每题给出
9、的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 X 1 ,X 2 ,X 3 ,X 4 是来自正态总体 N(0,2 2 )的简单随机样本,记 Y=a(X 1 -2X 2 ) 2 +b(3X 3 -4X 4 ) 2 ,其中 sa,b 为常数已知 Y 2 (n),则(分数:2.00)A.n 必为 2B.n 必为 4C.n 为 1 或 2 D.n 为 2 或 4解析:解析:依题意 X i N(0,2 2 )且相互独立,所以 X 1 -2X 2 N(0,20),3X 3 -4X 4 N(0,100),故 且它们相互独立由 2 分布的典型模式及性质知 (1)当 a= 时,Y- 2
10、 (2); (2)当a= 3.设 X 1 ,X 2 ,X n 是来自标准正态总体的简单随机样本, 和 S 2 为样本均值和样本方差,则 (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析:显然,(n-1)S 2 服从自由度为 n-1 的 2 分布,故应选(D)其余选项不成立是明显的:对于服从标准正态分布的总体, 由于 X 1 ,X 2 ,X n 相互独立并且都服从标准正态分布,可见 4.设随机变量 Xt(n)(n1),Y= (分数:2.00)A.Y 2 (n)B.Y 2 (n-1)C.YF(n,1) D.YF(1,n)解析:解析:根据 t 分布的性质,如果随机变量 Xt(n),则 X 2 F(1,
11、n),又根据 F 分布的性质,如果 X 2 F(1,n),则 5.设随机变量 X 服从 n 个自由度的 t 分布,定义 t 满足 PXt =1-(01)若已知PXx=b(b0),则 x 等于 (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析:根据 t 分布的对称性及 b0,可知 x0从而 PXx=1-PXx= 根据题设定义PXt =1-,可知 6.设 X 1 ,X 2 ,X n 是取自正态总体 N(0, 2 )的简单随机样本, 与 S 2 分别是样本均值与样本方差,则 (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析:根据正态总体抽样分布公式知7.设 X 1 ,X n ,X n+1 ,X 2n ,
12、X 2n+1 ,X 3n 是取自正态分布总体 N(, 2 )的一个简单随机样本(n2),记 则一定有 (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析:由于 分别是取自正态总体 N(, 2 )的一个容量为 n 的简单随机样本,根据正态总体的抽样分布知,对 i=1,2,3,有 因此选项(A)、(B)、(C)均不成立,应选(D) 进一步分析,因 X 1 ,X n ,X n+1 ,X 2n ,X 2n+1 ,X 3n 相互独立,因此 也相互独立又因 ,所以根据 F 分布的典型模式可得 同理 F 2 = 二、填空题(总题数:9,分数:18.00)8.已知 X 1 ,X 2 ,X 3 相互独立且服从 N(
13、0, 2 ),则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:记 Y 1 =X 2 +X 3 ,Y 2 =X 2 -X 3 ,则 Y 1 N(0,2 2 ),Y 2 N(0,2 2 )由于 Cov(Y 1 ,Y 2 )=E(Y 1 Y 2 )-E(Y 1 )E(Y 2 )=E(X 2 +X 3 )(X 2 -X 3 ) 所以 Y 1 与 Y 2 相互独立,且与 X 1 独立又由 X 1 +X 2 +X 3 =X 1 +Y 1 N(0,3 2 ), 可知 ,且 X 1 +X 2 +X 3 与 X 2 -X 3 相互独立,于是按 t 分布定义有 9.已知(X,Y)的联合
14、概率密度为 则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:由题设知(X,Y)服从二维正态分布且密度函数为 故 XN(0,2 2 ),YN(1,3 2 ),X 与 Y 相关系数 =0,所以 X 与 Y 独立, 根据 F 分布典型模式知 10.设总体 X 的密度函数 f(x)= 分别为取自总体 X 容量为 n 的样本的均值和方差,则 EX= 1; (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:0, )解析:解析:由于 ,ES 2 =DX,由题设有 11.设 X 1 ,X 2 ,X 9 是来自总体 XN(,4)的简单随机样本,而 是样本均值,则满足 (分数:2
15、.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:1.3067)解析:解析:由条件知12.假设 X 1 ,X 2 ,X 16 是来自正态总体 N(, 2 )的简单随机样本, 为其均值,S 为其标准差,如果 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:-0.4383)解析:解析:由于总体 XN(, 2 ),故 与 S 2 独立,由 t 分布典型模式得 13.设总体 X 服从参数为 p 的 0-1 分布,则来自总体 X 的简单随机样本 X 1 ,X 2 ,X n 的概率分布为 1.(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:总体 X 的概率分布为 ,此概率分布也
16、可以表示为 于是样本 X 1 ,X 2 ,X n 的概率分布为 14.假设总体 X 服从标准正态分布,X 1 ,X 2 ,X n 是取自总体 X 的简单随机样本,则统计量 Y 1 = (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:t)填空项 1:_ (正确答案:2)填空项 1:_ (正确答案:n-1)解析:解析:根据简单随机样本的性质,X 1 ,X 2 ,X n 相互独立同服从分布 N(0,1),所以 X 1 -X 2 与 也相互独立,且有 15.设总体 X 服从正态分布 N(0, 2 ),而 X 1 ,X 2 ,X 15 是取自总体 X 的简单随机样本,则 (分数:2.00)填空项
17、 1:_ (正确答案:正确答案:N(0, 2 ), )解析:解析:根据简单随机样本的性质,X 1 ,X 2 ,X 15 相互独立且都服从分布 N(0, 2 ),所以 ,因此 16.设总体 X 与 Y 独立且都服从正态分布 N(0, 2 ),已知 X 1 ,X m 与 Y 1 ,Y n 是分别来自总体 X 与 Y 的简单随机样本,统计量 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:依题意 X i N(0, 2 ),Y i N(0, 2 )且相互独立,所以 U 与 V 相互独立,由 t 分布典型模式知 三、解答题(总题数:14,分数:28.00)17.解答题解答应写出文
18、字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:18.设 X 1 ,X 2 ,X n 是来自标准正态总体 N(0,1)的简单随机样本,其均值和方差分别为 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由正态总体的性质知, 与 S 2 相互独立;由样本数字特征的性质知, =E(X)=0, ,E(S 2 )=D(X)=1;由正态总体的样本方差的分布知,(n-1)S 2 2 (n-1);由 2 分布的性质知,D 2 (n-1)=2(n-1),从而 Dn-1)S 2 =(n-1) 2 D(S 2 )=2(n-1),即 D(S 2 )= 于是 )解析:19.已知总体 X 的数学期望 EX=,方差 DX
19、= 2 ,X 1 ,X 2 ,X 2n 是来自总体 X 容量为 2n 的简单随机样本,样本均值为 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由于总体分布未知,我们只好将 Y 化简,应用数字特征性质计算 EY由于 )解析:20.已知总体 X 与 Y 相互独立且都服从标准正态分布,X 1 ,X 8 和 Y 1 ,Y 9 是分别来自总体 X与 Y 的两个简单随机样本,其均值分别为 ,求证: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:应用 t 分布的典型模式证明已知 X i N(0,1),Y i N(0,1)且相互独立,因此样本均值 )解析:21.设 X 1 ,X 2 ,X n 是取自正态总体 X 的
20、简单随机样本,EX=,DX=4, 试分别求出满足下列各式的最小样本容量 n: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:依题意, 查标准正态分布函数表可得 165, n1089 ()解不等式 01, n40 ()令 U= 易见 UN(0,1),于是 )解析:22.()设 X 与 Y 相互独立,且 X-N(5,15),Y- 2 (5),求概率 PX-5 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:() )解析:23.设 X 1 ,X 2 ,X n 是来自总体 X 的简单随机样本,其均值和方差分别为 与 S 2 ,且XB(1,p),0P1()试求: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()由于
21、 XB(1,p),故 X 的概率分布为 B(n,p)于是 )解析:24.设正态总体 XN(, 2 ),X 1 ,X 2 ,X n 为来自 X 的简单随机样本,求证: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:根据简单随机样本的性质,X 1 ,X 2 ,X n 相互独立与 X 同分布且 与 S 2 相互独立,于是 )解析:25.设 X 1 ,X 2 ,X 10 是来自正态总体 XN(0,2 2 )的简单随机样本,求常数 a,b,c,d,使 Q= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由于 X i 独立同分布,则有 X 1 N(0,4),X 2 +X 3 N(0,8), X 4 +X 5 +X
22、 6 N(0,12),X 7 +X 8 +X 9 +X 10 N(0,16). 于是 (X 7 +X 8 +X 9 +X 10 )相互独立都服从标准正态分布 N(0,1)由 2 分布的典型模式可知 )解析:26.设总体 X 和 Y 相互独立,分别服从 X 1 ,X 2 ,X m 和 Y 1 ,Y 2 ,Y n 是分别来自X 和 Y 的简单随机样本,其样本均值分别为 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由于 与 也相互独立因此 )解析:27.已知 X 1 ,X n 是来自总体 X 容量为 n 的简单随机样本,其均值和方差分别为 与 S 2 ()如果 EX=,DX= 2 ,试证明: (分数:
23、2.00)_正确答案:(正确答案:()由于总体分布未知,因此只能应用定义与性质证明因为 X 1 ,X n 相互独立且与总体 X 同分布,故 ()由于总体 XN(0, 2 ),故 EX i =0,DX i = 2 )解析:28.设 XN(, 2 ),从中抽取 16 个样本,S 2 为样本方差, 2 未知,求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 查 2 分布的上分位数表,得知 P 2 (15)3058=001,因此 )解析:29.设总体 XN(, 2 ),X 1 ,X 2 ,X n (n=16)是来自 X 的简单随机样本,求下列概率: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:30.设 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由于 相互独立,则 查标准正态分布表,得 )解析: