1、考研数学三（一元函数积分学）-试卷 7 及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)是以 T 为周期的可微函数，则下列函数中以 T 为周期的函数是 ( )（分数：2.00）A. 0 x f(t)dtB. 0 x f(t 2 )dtC. 0 x f(t 2 )dtD. 0 x f(t)f(t)dt3.下列反常积分收敛的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.以下 4 个命题，正确的个数为 ( ) 设 f(x)是(，+)上连续的奇函数，则 f
2、(x)dx 出必收敛，且 f(x)dx=0； 设 f(x)在(，+)上连续，且 存在，则 f(x)dx 必收敛，且 （分数：2.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个5.由曲线 y= (0x)与 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转所成旋转体的体积为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.抛物线 y 2 =2x 与直线 y=x4 所围成的图形的面积为 ( )（分数：2.00）A.B.18C.D.8二、填空题(总题数：12，分数：24.00)7. （分数：2.00）填空项 1:_8.设 n 是正整数，则 （分数：2.00）填空项 1:_9. （分数：2.00）填空项 1:_10.定积分中
3、值定理的条件是 f(x)在a，b上连续，结论是 1（分数：2.00）填空项 1:_11.曲线 y=x 2 ，与直线 y=x+2 所围成的平面图形的面积为 1（分数：2.00）填空项 1:_12. （分数：2.00）填空项 1:_13. （分数：2.00）填空项 1:_14.反常积分 （分数：2.00）填空项 1:_15.反常积分 （分数：2.00）填空项 1:_16.抛物线 y 2 =ax(a0)与 x=1 所围面积为 （分数：2.00）填空项 1:_17.由曲线 y=x 3 ，y=0 及 x=1 所围图形绕 x 轴旋转一周得到的旋转体的体积为 1（分数：2.00）填空项 1:_18.函数 y
4、=lnx 在区间1，e上的平均值为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：30.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_20.f(x)在0，1上有连续导数，且 f(0)=0证明：存在 0，1，使得 f()=2 0 1 f(x)dx（分数：2.00）_21.设 f(x)在a，b上连续且严格单调增加证明： (a+b) a b f(x)dx2 a b xf(x)dx（分数：2.00）_22.设函数 f(x)在a，b上连续，且 f(a)=0证明： （分数：2.00）_23.设 f(x)，g(x)在0，1上的导数连续，且 f(0)=0，f
5、(x)0，g(x)0证明：对任意 a0，1，有 0 a g(x)f(x)dx+ 0 1 f(x)g(x)dxf(a)g(1)（分数：2.00）_24.设 f(x)在0，上连续，在(0，)内可导，且 0 f(x)cosxdx= 0 f(x)sinxdx=0证明：存在 (0，)，使得 f()=0（分数：2.00）_25.设函数 f(x)在a，b上有连续导数，在(a，b)内二阶可导，且 f(a)=f(b)=0， a b f(x)dx=0 证明：(1)在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f()=f()； (2)在(a，b)内至少存在一点 ，且，使得 f()=f()（分数：2.00）_26.设 f(x)
6、在a，b上连续，且 g(x)0证明：存在一点 a，6，使 a b f(x)g(x)dx=f() a b g(x)dx（分数：2.00）_27.设 f(x)在区间a，a(a0)上具有二阶连续导数，f(0)=0 (1)写出 f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式； (2)证明：存在 a，a，使 a 3 f()=3 a a f(x)dx（分数：2.00）_28.设 f(x)在0，1上连续，(0，1)内可导，且 f(0).f(1)0，f(1)+ 0 1 f(x)dx=0试证：至少存在一点 (0，1)，使 f()=f()（分数：2.00）_29.f(x)在0，1上连续，(0，1)内可导，且 f(1)
7、=k （分数：2.00）_30.设 f(x)在a，b上连续且 f(x)0，证明： （分数：2.00）_31.设 ab，证明： a b f(x)g(x)dx 2 a b f 2 (x)dx a b g 2 (x)dx（分数：2.00）_32.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，且满足 a x f(t)dt a x g(t)dt，xa，b)， a b f(t)dt a b g(t)dt证明： a b xf(x)dx a b xg(x)dx（分数：2.00）_33.设出售某种商品，已知某边际收益是 R(x)=(10x)e x ，边际成本是 C(x)=(x 2 4x+6)e x ， 且固定成本是 2
8、求使这种商品的总利润达到最大值的产量和相应的最大总利润（分数：2.00）_考研数学三（一元函数积分学）-试卷 7 答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)是以 T 为周期的可微函数，则下列函数中以 T 为周期的函数是 ( )（分数：2.00）A. 0 x f(t)dtB. 0 x f(t 2 )dtC. 0 x f(t 2 )dtD. 0 x f(t)f(t)dt 解析：解析：当 g(x+T)=g(x)时，因为 0 x+T g(t)dt=
9、0 x g(t)dt+ x x+T g(t)dt= 0 x g(t)dt+ 0 T g(t)dt 若 0 x+T g(t)dt= 0 x g(t)dt，则 0 T g(t)dt=0反之，若 0 T g(t)dt=0，则 0 x+T g(t)dt= 0 x g(t)dt 因为 f(x)是以 T 为周期的函数，所以 4 个选项中的被积函数都是以T 为周期的周期函数，但是仅 0 T f(t)f(t)dt= 3.下列反常积分收敛的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：选项(A)中， 在选项(B)中， 在选项(C)中， 在选项(D)中，4.以下 4 个命题，正确的个数为 ( ) 设
10、 f(x)是(，+)上连续的奇函数，则 f(x)dx 出必收敛，且 f(x)dx=0； 设 f(x)在(，+)上连续，且 存在，则 f(x)dx 必收敛，且 （分数：2.00）A.1 个 B.2 个C.3 个D.4 个解析：解析： f(x)dx 收敛存在常数 a，使 a f(x)dx 和 a f(x)dx 都收敛，此时 f(x)dx= a f(x)dx+ a f(x)dx 设 f(x)=x，则 f(x)是(，+)上连续的奇函数，且 5.由曲线 y= (0x)与 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转所成旋转体的体积为( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：6.抛物线 y 2 =2x 与
11、直线 y=x4 所围成的图形的面积为 ( )（分数：2.00）A.B.18 C.D.8解析：解析：选积分变量为 y(如图 13-2)，两条曲线的交点二、填空题(总题数：12，分数：24.00)7. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：sinx 2）解析：解析：令 xt=u，则原式= 8.设 n 是正整数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析： 事实上， 0 a f(x)dx 0 a f(a-t)d(a-t)= 0 a f(a-t)dt= 0 a f(a-x)dx， 故 0 a f(x)dx= 0 a f(x)+f(a-x)dx 当 f(
12、x)+f(a-x)便于积分时可简化定积分 0 a f(x)dx 的计算 a b f(x)dx a b f(a+b-t)d(a+b-t)= a b (a+b-t)dt= a b f(a+b-x)dx， 故 a b f(x)dx= 9. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：10.定积分中值定理的条件是 f(x)在a，b上连续，结论是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：在a，b上至少存在一点 ，使 a b f(x)dx=f()(b-a)，ab）解析：11.曲线 y=x 2 ，与直线 y=x+2 所围成的平面图形的面积为 1（分数：2.00）
13、填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4.5）解析：解析：平面图形面积 S= 1 2 (x+2x 2 )dx= 12. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：13. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：令 =t，则 x=t 2 +2，dx=2tdt， 原积分=2 0 + 14.反常积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：15.反常积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：16.抛物线 y 2 =ax(a0)与 x=1 所围面积为 （分数：2.00）填空
14、项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：y 2 =ax 与 x=1 所围面积 A= 17.由曲线 y=x 3 ，y=0 及 x=1 所围图形绕 x 轴旋转一周得到的旋转体的体积为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：该旋转体体积 V= 0 1 (x 3 ) 2 dx= 18.函数 y=lnx 在区间1，e上的平均值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：平均值三、解答题(总题数：15，分数：30.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：20.f(x)在0，1上有连续
15、导数，且 f(0)=0证明：存在 0，1，使得 f()=2 0 1 f(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在0，1上连续，所以，f(x)在0，1上有最小值和最大值，设为m，M，即有 x 1 ，x 2 0，1，使 f(x 1 )=m，f(x 2 )=M 由中值定理，对任意 x0，1，存在(0，x)，使 f(x)=f(x)f(0)=f()x，于是有 f(x 1 )x=mxf(x)=f(x)f(0)=f()xMx=f(x 2 )x， 积分得 f(x 1 ) 0 1 xdx 0 1 f(x)dxf(x 2 ) 0 1 xdx， 即 f(x 1 ) 0 1 f(x)dx f
16、(x 2 )，故 f(x 1 )2 0 1 f(x)dxf(x 2 ) 因为f(x)在0，1上连续，由介值定理，必有 x 1 ，x 2 0，1，或 x 2 ，x 1 )解析：21.设 f(x)在a，b上连续且严格单调增加证明： (a+b) a b f(x)dx2 a b xf(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(t)=(a+t) a t f(x)dx2 a t xf(x)dx，则 F(t)= a t f(x)dx+(a+t)f(t)2tf(t) = a t f(x)dx(ta)f(t)= a t f(x)dx a t f(t)dx = a t f(x)f(t)dx 因为
17、axt，且 f(x)在a，b上严格单调增加，所以 f(x)f(t)0，于是有 F(t)= a t f(x)f(t)dx0， 即 F(t)单调递减，又 F(a)=0，所以 F(b)0，即 (a+b) a b f(x)dx2 a b xf(x)dx0， 即(a+b) a b f(x)dx2 a b xf(x)dx)解析：22.设函数 f(x)在a，b上连续，且 f(a)=0证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f 2 (x)=f(x)f(a) 2 = a x f(t)dt 2 ，而 a x f(t)dt 2 (xa) a x f(t) 2 dt(xa) a b f(t) 2 dt
18、 (施瓦茨不等式)， 所以 a b f 2 (x)dx a b (xa)dx a b f(t) 2 dt= )解析：23.设 f(x)，g(x)在0，1上的导数连续，且 f(0)=0，f(x)0，g(x)0证明：对任意 a0，1，有 0 a g(x)f(x)dx+ 0 1 f(x)g(x)dxf(a)g(1)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(a)= 0 a g(x)f(x)dx+ 0 1 f(x)g(x)dxf(a)g(1)，a0，1，则 F(a)=g(a)f(a)f(a)g(1)=f(a)g(a)g(1) 因为 x0，1时，f(x)0，g(x)0，即函数 f(x)，g(x)在
19、0，1上单调递增，又 a1，所以 F(a)=f(a)g(a)g(1)0， 即函数 F(a)在0，1上单调递减，又 F(1)= 0 1 g(x)f(x)dx+ 0 1 f(x)g(x)dxf(1)g(1) = 0 1 g(x)f(x)dxf(1)g(1)=g(1)f(1)g(0)f(0)f(1)g(1) =f(0)g(0)=0， 所以，F(a)F(1)=0，即 0 a g(x)f(x)dx+ 0 1 f(x)g(x)dxf(a)g(1)0， 即 0 a g(x)f(x)dx+ 0 1 f(x)g(x)dxf(a)g(1)解析：24.设 f(x)在0，上连续，在(0，)内可导，且 0 f(x)co
20、sxdx= 0 f(x)sinxdx=0证明：存在 (0，)，使得 f()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先证明 f(x)在(0，)内必有零点 因为在(0，)内 f(x)连续，且sinx0，所以，若无零点，则恒有 f(x)0 或 f(x)0，从而有 0 f(x)sinxdx0 或 0 f(x)sinxdx0，与题设矛盾所以 f(x)在(0，)内必有零点 下面证明 f(x)在(0，)内零点不唯一，即至少有两个零点 用反证法假设 f(x)在(0，)内只有一个零点 x 0 ，则 f(x)在(0，x 0 )和(x 0 ，)上取不同的符号(且不等于零)，否则与 0 f(x)sinxdx=
21、0 矛盾这样，函数 sin(xx 0 )f(x)在(0，x 0 )和(x 0 ，)上取相同的符号，即恒正或恒负 那么有： 0 f(x)sin(xx 0 )dx0但是 0 f(x)sin(xx 0 )dx= 0 f(x)(sinxcosx 0 cosxsinx 0 )dx =cosx 0 0 f(x)sinxdxsinx 0 0 f(x)cosxdx=0 从而矛盾，所以 f(x)在(0，)内至少有两个零点于是由罗尔定理即得存在 (0，)，使得 f()=0)解析：25.设函数 f(x)在a，b上有连续导数，在(a，b)内二阶可导，且 f(a)=f(b)=0， a b f(x)dx=0 证明：(1)
22、在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f()=f()； (2)在(a，b)内至少存在一点 ，且，使得 f()=f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由加强型的积分中值定理知，至少存在一点 c(a，b)，使得 f(c)= )解析：26.设 f(x)在a，b上连续，且 g(x)0证明：存在一点 a，6，使 a b f(x)g(x)dx=f() a b g(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 f(x)在a，b上连续，故 mf(x)M 因为 g(x)0，mg(x)f(x)g(x)Mg(x)，m a b g(x)dx a b f(x)g(x)dxM a b g(x)dx，
23、 m M， 从而 a，b，使得 f()= )解析：27.设 f(x)在区间a，a(a0)上具有二阶连续导数，f(0)=0 (1)写出 f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式； (2)证明：存在 a，a，使 a 3 f()=3 a a f(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)对任意 xa，a f(x)=f(0)+f(0)x+ f()x 2 =f(0)x+ x 2 (2) a a f(x)dx= a a f(0)xdx+ a a f()x 2 dx= a a f()x 2 dx， 因为 f(x)在a，a上连续，由最值定理：mf(x)M，xa，a mx 2 f()x 2 Mx
24、 2 ， ma 3 =m a a x 2 dx a a f()x 2 dxM a a x 2 dx= Ma 3 ， m a a f()x 2 dx= a a f(x)dx M， m a a f(x)dx 由介值定理，存在 a，a，使得 f()= )解析：28.设 f(x)在0，1上连续，(0，1)内可导，且 f(0).f(1)0，f(1)+ 0 1 f(x)dx=0试证：至少存在一点 (0，1)，使 f()=f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)= f(x)，f(1)+ 0 1 f(x)dx=f(1)+f(c)=0，c(0，1) 由此可知f(c)0，否则 f(1)=0，与
25、题设 f(0)f(1)0 矛盾，不妨设 f(c)0，则 f(1)0，f(0)0 由连续函数的零点定理知存在 a(0，c)，b(c，1)，使 f(a)=f(b)=0，即 F(s)=F(b)，由罗尔定理可知，存在(a，b)，使 F()=0，即 )解析：29.f(x)在0，1上连续，(0，1)内可导，且 f(1)=k （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)=xe x f(x)，因 f(1)=k xe 1x f(x)dx=e 1 f()，(0， )，F(1)=e 1 f(1)=e f()=F()，故在，1 0，1上，对 F(x)运用罗尔定理，可得 (，1) )解析：30.设 f(x)在
26、a，b上连续且 f(x)0，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 F(t)= a t f(x)dx a t dx(ta) 2 ，则 F(a)=0，且 所以F(b)0，即 a b f(x)dx a b dx(ba) 2 0，即 a b f(x)dx a b )解析：31.设 ab，证明： a b f(x)g(x)dx 2 a b f 2 (x)dx a b g 2 (x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：构造辅助函数 F(t)= a t f(x)g(x)dx 2 a t f 2 (x)dx a t g 2 (x)dx， 则 F(a)=0，且 F(t)=2 a t f(
27、x)g(x)dx.f(t)g(t)f 2 (t) a t g 2 (x)dxg 2 (t) a t f 2 (x)dx = a t 2f(x)g(x)f(t)g(t)f 2 (t)g 2 (x)g 2 (t)f 2 (x)dx = a t f(t)g(x)g(t)f(x) 2 dx0， 所以 F(b)0，即 a b f(x)g(x)dx 2 a b f 2 (x)dx a b g 2 (x)dx0，即 a b f(x)g(x)dx 2 a b f 2 (x)dx a b g 2 (x)dx)解析：32.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，且满足 a x f(t)dt a x g(t)dt，x
28、a，b)， a b f(t)dt a b g(t)dt证明： a b xf(x)dx a b xg(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 xa，b)时， a x f(t)dt a x g(t)dt a x f(t)g(t)dt0， a b f(t)dt= a b g(t)dt a b f(t)g(t)dt=0， a b xf(x)dx a b xg(x)dx a b xf(x)g(x)dx0， 令 G(x)= a x f(t)g(t)dt，则 G(x)=f(x)g(x)，于是 a b xf(x)g(x)dx= a b xd a x (f(t)g(t)dt )解析：33.设出售某
29、种商品，已知某边际收益是 R(x)=(10x)e x ，边际成本是 C(x)=(x 2 4x+6)e x ， 且固定成本是 2求使这种商品的总利润达到最大值的产量和相应的最大总利润（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：R(x)= 0 x R(t)dt= 0 x (10t)e t dt=9(9x)e x ， C(x)=C(0)+ 0 x C(t)dt=2+ 0 x (t 2 4t+6)e t dt=6(x 2 2x+4)e x 于是利润 L=RC=3+(x 2 x5)e x 令 L(x)=0 得：x 0 =4(x0)，且 L(4)=5e 4 0可知 L(x)在 x=4 时有极大值，也就是最大值，且 L(4)=3+7e 4 )解析：
