1、考研数学三（一元函数积分学）-试卷 3 及答案解析(总分：82.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 g(x)= 0 x f(u)du，其中 f(x)= （分数：2.00）A.无界B.递减C.不连续D.连续3.方程 （分数：2.00）A.0B.1C.2D.34.由曲线 (0x)与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转而成的旋转体体积为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.设一元函数 f(x)有下列四条性质f(x)在a，b连续f(x)在a，b可积f(x)在a，b存在原
2、函数f(x)在a，b可导若用“ ”表示可由性质 P 推出性质 Q，则有( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 f(x)= 0 x e cost e -cost dt，则( )（分数：2.00）A.f(x)=f(x+2)B.f(x)f(x+2)C.f(x)f(x+2)D.当 x0 时，f(x)f(x+2)；当 x0 时，f(x)f(x+2)7.曲线 y=e -x sinx(0x3)与 x 轴所围成图形的面积可表示为( )（分数：2.00）A.一 0 3 e -x sinxdxB. 0 3 e -x sinxdxC. 0 e -x sinxdx- 2 e -x sinxdx+ 2 3 e
3、 -x sinxdxD. 0 2 e -x sinxdx- 2 3 sinxdx8.由曲线 y=1 一(x 一 1) 2 及直线 y=0 围成图形(如图 31 所示)绕 y 轴旋转而成的立体的体积 V 是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.设 F(x)= x x+2 e sint sintdt，则 F(x)( )（分数：2.00）A.为正常数B.为负常数C.恒为零D.不为常数10.设函数 f(x)连续，则在下列变上限积分定义的函数中，必为偶函数的是( )（分数：2.00）A. 0 x tf(t)一 f(一 t)dtB. 0 x tf(t)+f(一 t)dtC. 0 x f(t 2 )
4、dtD. 0 t f(t) 2 dt11.曲线 y=x(x 一 1)(2 一 x)与 x 轴所围成图形面积可表示为( )（分数：2.00）A.一 0 2 x(x 一 1)(2 一 x)dxB. 0 1 x(x 一 1)(2 一 x)dx 一 1 2 x(x1)(2 一 x)dxC.一 0 1 x(x 一 1)(2 一 x)dx+ 1 2 x(x 一 1)(2 一 x)dxD. 0 2 x(x 一 1)(2 一 x)dx12.设 f(x)连续，且 0 1 f(xt)dt= （分数：2.00）A.B.2+CxsinxC.2+CxD.2+x二、填空题(总题数：15，分数：30.00)13.由曲线 （
5、分数：2.00）填空项 1:_14. （分数：2.00）填空项 1:_15. （分数：2.00）填空项 1:_16. （分数：2.00）填空项 1:_17.已知 - + e k|x| dx=1，则 k= 1（分数：2.00）填空项 1:_18. （分数：2.00）填空项 1:_19.设函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_20.设函数 f(x)= 则 y=f(x)的反函数 x=f -1 (y)在 y=0 处的导数 （分数：2.00）填空项 1:_21.设 a0，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_22. （分数：2.00）填空项 1:_23. （分数：2.00）填空项 1:_
6、24.设 （分数：2.00）填空项 1:_25.曲线 p=1 相应于 （分数：2.00）填空项 1:_26.设 f(x)=max1，x 2 ，则 1 x f(t)dt= 1（分数：2.00）填空项 1:_27.抛物线 y 2 =2px，则从原点到这曲线上的一点 M(x，y)的弧长 s= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：14，分数：28.00)28.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_29.设曲线 y=ax 2 (x0，常数 a0)与曲线 y=1 一 x 2 交于点 A，过坐标原点 O 和点 A 的直线与曲线y=ax 2 围成一平面图形 D，求
7、： (1)D 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积 V(a)； (2)a 的值，使 V(a)为最大（分数：2.00）_30.设 f(x)= （分数：2.00）_31.求不定积分 （分数：2.00）_32.计算 （分数：2.00）_33.设 f(x)在0，+)连续，且满足 （分数：2.00）_34.已知函数 f(x)满足方程 f”(x)+f(x)一 2f(x)=0 及 f”(x)+f(x)=2e x ， (1)求 f(x)的表达式； (2)求曲线 y=f(x 2 ) 0 x f(-t 2 )dt 的拐点（分数：2.00）_35.设 f(x)在0，a上有一阶连续导数，证明至少存在一点 0，a，使得
8、 （分数：2.00）_36.设 f(x)= -1 x t|t|dt(x一 1)，求曲线 y=f(x)与 x 轴所围封闭图形的面积（分数：2.00）_37.设函数 f(x)连续，且 f(0)0，求极限 （分数：2.00）_38.设函数 f(x)在0，上连续，且 0 f(x)dx= 0 f(x)cos xdx=0试证明：在(0，)内至少存在两个不同的点 1 ， 2 ，使 f( 1 )=f( 2 )=0（分数：2.00）_39.设 f(x)在0，+)连续，且 （分数：2.00）_40.设 f(x)在a，b上有二阶连续导数，证明 （分数：2.00）_41.设 f(x)在a，b上有连续的导数，证明 （分
9、数：2.00）_考研数学三（一元函数积分学）-试卷 3 答案解析(总分：82.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 g(x)= 0 x f(u)du，其中 f(x)= （分数：2.00）A.无界B.递减C.不连续D.连续 解析：解析：因为 f(x)在区间0，2上只有一个第一类间断点(x=1 为 f(x)的跳跃间断点)，所以 f(x)在该区间上可积，因而 g(x)= 0 x f(u)du 在该区间内必连续，故选 D3.方程 （分数：2.00）A.0B.1 C.2D.3
10、解析：解析：设 F(x)= 则 F(x)在(一，+)内连续，又 F(0)= 由零点定理得 F(x)=0 至少有一个根 又易知4.由曲线 (0x)与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转而成的旋转体体积为( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由曲线 y=f(x)绕 x 轴旋转所得旋转体的体积计算公式，得5.设一元函数 f(x)有下列四条性质f(x)在a，b连续f(x)在a，b可积f(x)在a，b存在原函数f(x)在a，b可导若用“ ”表示可由性质 P 推出性质 Q，则有( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：这是讨论函数 f(x)在区间a，b上的可导性、连续性及可
11、积性与原函数存在性间的关系问题 由 f(x)在a，b上可导,f(x)在a，b连续,f(x)在a，b可积且存在原函数故选 C6.设 f(x)= 0 x e cost e -cost dt，则( )（分数：2.00）A.f(x)=f(x+2) B.f(x)f(x+2)C.f(x)f(x+2)D.当 x0 时，f(x)f(x+2)；当 x0 时，f(x)f(x+2)解析：解析：考查 f(x+2)一 f(x)= x x+2 e cost 一 e -cost dt，被积函数以 2 为周期且为偶函数，由周期函数的积分性质得 7.曲线 y=e -x sinx(0x3)与 x 轴所围成图形的面积可表示为( )
12、（分数：2.00）A.一 0 3 e -x sinxdxB. 0 3 e -x sinxdxC. 0 e -x sinxdx- 2 e -x sinxdx+ 2 3 e -x sinxdx D. 0 2 e -x sinxdx- 2 3 sinxdx解析：解析：当 0x 或 2x3 时，y0；当 x2 时，y0所以 y=e -x sinx(0x3)与 x 轴所围成的面积为 0 e -x sinxdx 2 e -x sinxdx+ 2 3 e -x sinxdx 故选 C8.由曲线 y=1 一(x 一 1) 2 及直线 y=0 围成图形(如图 31 所示)绕 y 轴旋转而成的立体的体积 V 是(
13、 ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：根据选项，需要把曲线表成 x=x(y)，于是要分成两部分： 则所求立体体积为两个旋转体的体积之差，其中9.设 F(x)= x x+2 e sint sintdt，则 F(x)( )（分数：2.00）A.为正常数 B.为负常数C.恒为零D.不为常数解析：解析：由分析可知，F(x)=F(0)，而 F(0)= 0 2 e sint sintdt=一 0 2 e sint dcost =一 e sint cost| 0 2 + 0 2 e sint cos 2 tdt = 0 2 e sint cos 2 tdt0 故选 A10.设函数 f(x)连
14、续，则在下列变上限积分定义的函数中，必为偶函数的是( )（分数：2.00）A. 0 x tf(t)一 f(一 t)dtB. 0 x tf(t)+f(一 t)dt C. 0 x f(t 2 )dtD. 0 t f(t) 2 dt解析：解析：取 f(x)=x，则相应的11.曲线 y=x(x 一 1)(2 一 x)与 x 轴所围成图形面积可表示为( )（分数：2.00）A.一 0 2 x(x 一 1)(2 一 x)dxB. 0 1 x(x 一 1)(2 一 x)dx 一 1 2 x(x1)(2 一 x)dxC.一 0 1 x(x 一 1)(2 一 x)dx+ 1 2 x(x 一 1)(2 一 x)d
15、x D. 0 2 x(x 一 1)(2 一 x)dx解析：解析：由于所求平面图形在 x 轴上、下方各有一部分，其面积为这两部分的面积之和，所以只要考查 B、C 选项中的每一部分是否均为正即可，显然 C 正确事实上， S= 0 2 |y|dx= 0 2 |x(x 一 1)(2一 x)|dx = 0 1 |x(x 一 1)(2 一 x)|dx+ 1 2 |x(x 一 1)(2 一 x)|dx =- 0 1 x(x 一 1)(2 一 x)dx+ 1 2 x(x 一 1)(2 一 x)dx?12.设 f(x)连续，且 0 1 f(xt)dt= （分数：2.00）A.B.2+CxsinxC.2+Cx D
16、.2+x解析：解析：令 xt=u，则 上式两端对 x 求导得二、填空题(总题数：15，分数：30.00)13.由曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4ln2）解析：解析：14. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：15. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：令 x=sint，则16. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：利用凑微分法和牛顿一莱布尼茨公式求解17.已知 - + e k|x| dx=1，则 k= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答
17、案：一 2）解析：解析：由已知条件， 已知要求极限存在，所以 k0于是有18. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：令 I n =e -x sinnxdx=一 e -x sinnx+ne -x cosnxdx =一 e -x sinnxne -x cosnx 一 n 2 I n 19.设函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：已知 x0 时，函数值恒为 0，因此可得 - + xf(x)= 0 + xe -x =- 0 + xd(e -x ) =xe -x | 0 + + 0 + e -x dx 20.设函数
18、f(x)= 则 y=f(x)的反函数 x=f -1 (y)在 y=0 处的导数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由反函数的求导法则可知21.设 a0，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由题干可知，原式可化为22. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：23. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln2）解析：解析：原式整理得24.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a1；b=0；c=0 或 a=1；b=0；c=一 2）解析：解析：
19、由于 那么 b=025.曲线 p=1 相应于 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：26.设 f(x)=max1，x 2 ，则 1 x f(t)dt= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题意可知 f(x)= 当 x一 1 时， 当一 1x1 时， 1 x f(t)dt= 1 x 1dt=x-1 当 x1 时， 所以， 27.抛物线 y 2 =2px，则从原点到这曲线上的一点 M(x，y)的弧长 s= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设 p0，y0，则三、解答题(总题数：14，分
20、数：28.00)28.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：29.设曲线 y=ax 2 (x0，常数 a0)与曲线 y=1 一 x 2 交于点 A，过坐标原点 O 和点 A 的直线与曲线y=ax 2 围成一平面图形 D，求： (1)D 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积 V(a)； (2)a 的值，使 V(a)为最大（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意知，y=ax 2 与 y=1 一 x 2 的交点为 直线 OA 的方程为 (1)旋转体的体积 )解析：30.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 故 f(x)是以 为周期的周期
21、函数 (2)因为|sinx|周期为 ，故只需在0，上讨论值域因为 )解析：31.求不定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：32.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 令 arcsinx=t，有 x=sint，t0，2) )解析：33.设 f(x)在0，+)连续，且满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先做恒等变形转化为 型极限，然后用洛必达法则 )解析：34.已知函数 f(x)满足方程 f”(x)+f(x)一 2f(x)=0 及 f”(x)+f(x)=2e x ， (1)求 f(x)的表达式； (2)求曲线 y=f(x 2 ) 0 x f(-t 2
22、)dt 的拐点（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)齐次微分方程 f”(x)+f(x)一 f(x)=0 的特征方程为 r 2 +r 一 2=0，特征根为 r 1 =1，r 2 =-2， 所以其通解为 f(x)=C 1 e x +C 2 e -2x 再由 f”(x)+f(x)=2e x 得 2C 1 e x +5C 2 e -2x =2e x ， 比较函数可得 C 1 =1，C 2 =0 故 f(x)=e x 令 y”=0 得 x=0 为了说明x=0 是 y”=0 唯一的解，我们来讨论 y”在 x0 和 x0 时的符号 当 x0 时， 可知 y”0； 当 x0 时， )解析：35.设
23、f(x)在0，a上有一阶连续导数，证明至少存在一点 0，a，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 a f(x)dx= 0 a f(x)d(x 一 a) =(x 一 a)f(x)| 0 a 一 0 a (x 一 a)f(x)dx =af(0)一 0 a (x 一 a)f(x)dx 因为 f(x)连续，x 一 a0(x0，a)，故由积分中值定理知，至少存在一点 0，a，使得 )解析：36.设 f(x)= -1 x t|t|dt(x一 1)，求曲线 y=f(x)与 x 轴所围封闭图形的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 t|t|为奇函数，可知其原函数 f(x)= -1
24、 x t|t|dt= -1 0 t|t|dt+ 0 x t|t|dt 为偶函数，因此由 f(一 1)=0，得 f(1)=0，即 y=f(x)与 x 轴有交点(一 1，0)，(1，0) 又由 f(x)=x|x|，可知 x0 时，f(x)0，故 f(x)单调减少，从而 f(x)f(一 1)=0(一 1x0)；当 x0 时，f(x)=x|x|0，故 x0 时 f(x)单调增加，且 y=f(x)与 x 轴有唯一交点(1，0) 因此 y=f(x)与 x 轴交点仅有两个 所以封闭曲线所围面积 A= -1 1 |f(x)|dx=2 -1 0 |f(x)|dx )解析：37.设函数 f(x)连续，且 f(0)
25、0，求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：38.设函数 f(x)在0，上连续，且 0 f(x)dx= 0 f(x)cos xdx=0试证明：在(0，)内至少存在两个不同的点 1 ， 2 ，使 f( 1 )=f( 2 )=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)= 0 x f(t)dt，0x，则有 F(0)=0，F()=0,又因为 0= 0 f(x)cosxdx= 0 cosxdF(x) =F(x)cosx| 0 + 0 F(x)sinxdx = 0 F(x)sinxdx， 所以存在(0，)，使 F()sin=0，不然，则在(0，)内 F(x)sinx 恒为
26、正或恒为负，与 0 F(x)sinxdx=0 矛盾，但当 (0，)时 sin0，故 F()=0. 由以上证得，存在满足 0 的 ，使得 F(0)=F()=F()=0 再对 F(x)在区间0，上分别用罗尔定理知，至少存在 1 (0，)， 2 (，)，使得 F( 1 )=F( 2 )=0，即 f( 1 )=f( 2 )=0)解析：39.设 f(x)在0，+)连续，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：作函数 F(x)=f(x)+x，有 0 1 =F(x)dx= 0 1 f(x)+xdx= 0 1 f(x)dx+ 所以由积分中值定理知，存在 a0，1，使 0 1 F(x)dx=(1 一 0)
27、F(a)0， 即 F(a)0 又 所以，由极限的保号性知，存在 ，即 F(b)0 因此，由零点定理知，至少存在一个(a，b) )解析：40.设 f(x)在a，b上有二阶连续导数，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：连续利用分部积分法有 a b f(x)dx= a b f(x)d(x 一 b)=f(a)(b 一 a)一 a b f(x)(x 一 b)d(x 一 a) =f(a)(b 一 a)+ a b (x 一 a)df(x)(x 一 b) =f(a)(b 一 a)+ a b (x 一a)df(x)+ a b f”(x)(x 一 a)(xb)dx =f(a)(b 一 a)+f(b)(b 一 a)一 a b f(x)dx+ a b f”(x)(x一 a)(x 一 b)dx， 移项并整理后得 a b f(x)dx= )解析：41.设 f(x)在a，b上有连续的导数，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：可设 =|f(x 0 )|，x 0 (a，b)，即证 (b-a)|f(x 0 )| a b f(x)dx|+(b-a) a b |f“(x)|dx 即 | a b f(x 0 )dx|-| a b f(x)dx|(b-a)|f“(x)|dx 事实上， )解析：
