1、考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 35及答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 （分数：2.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导但不是连续可导D.连续可导3.若 f(-x)=-f(x)，且在(0，+)内 f(x)0，f“(x)0，则在(一，0)内( )（分数：2.00）A.f(x)0，f“(x)0B.f(x)0，f“(x)0C.f(x)0，f“(x)0D.f(x)0，f“(x)04.设 f(x)=|x 3 一 1|g(x)，其中 g(x)连续，则
2、 g(1)=0是 f(x)在 x=1处可导的( )（分数：2.00）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.非充分非必要条件5.设 f(x)连续，且 则 F(x)=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 f(x)在0，+)上连续，在(0，+)内可导，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：20.00)7.设 f(x)为奇函数，且 f(1)=2，则 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 f(x)在 x=2处可导，且 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_10.设 f(x)二阶连续可导，且 则 （分
3、数：2.00）填空项 1:_11.设 f(u)可导，y=f(x 2 )在 x 0 =一 1处取得增量x=005 时，函数增量y 的线性部分为 015，则f(1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 则 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 f(x)=ln(2x 2 一 x一 1)，则 f (n) (x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设 （分数：2.00）填空项 1:_16.设 f(x)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：36.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_1
4、8.设 （分数：2.00）_19.设 （分数：2.00）_20.设 f(x)连续，且对任意的 x，y(一，+)有 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，f(0)=1，求 f(x)（分数：2.00）_21.设 （分数：2.00）_22.设 f(x)在 x=a处二阶可导，证明： （分数：2.00）_23.设 f(x)连续，f(0)=0，f(0)=1，求 （分数：2.00）_24.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）_25.举例说明函数可导不一定连续可导（分数：2.00）_设 f(x)在a，b上有定义，M0 且对任意的 x，ya，b，有 |f(x)一 f(y)|M|xy| k （分数：4.0
5、0）(1).证明：当 k0 时，f(x)在a，b上连续；（分数：2.00）_(2).证明：当 k1 时，f(x)常数（分数：2.00）_26.设 （分数：2.00）_27.设对一切的 x，有 f(x+1)=2f(x)，且当 x0，1时 f(x)=x(x 2 一 1)，讨论函数 f(x)在 x=0处的可导性（分数：2.00）_28.设 （分数：2.00）_29.设 确定 y为 x的函数，求 （分数：2.00）_设 f(x)二阶可导，f(0)=0，令 （分数：4.00）(1).求 g(x)；（分数：2.00）_(2).讨论 g(x)在 x=0处的连续性（分数：2.00）_30.设 （分数：2.00
6、）_31.求常数 a，b 使得 （分数：2.00）_考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 35答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 （分数：2.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导但不是连续可导D.连续可导 解析：解析：因为 所以 f(x)在 x=1处连续 因为 所以 f(x)在 x=1处可导 当 x1 时，f(x)=2x+1，因为3.若 f(-x)=-f(x)，且在(0，+)内 f(x)0，f“(x)0，则在(一，0)内( )（分数：2.0
7、0）A.f(x)0，f“(x)0B.f(x)0，f“(x)0C.f(x)0，f“(x)0 D.f(x)0，f“(x)0解析：解析：因为 f(x)为奇函数，所以 f(x)为偶函数，故在(一，0)内有 f(x)0因为 f“(x)为奇函数，所以在(一，0)内 f“(x)0，选(C)4.设 f(x)=|x 3 一 1|g(x)，其中 g(x)连续，则 g(1)=0是 f(x)在 x=1处可导的( )（分数：2.00）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件 D.非充分非必要条件解析：解析：设 g(1)=0， 因为 f - (1)=f + (1)=0，所以 f(x)在 x=1处可导 设 f(x)在 x=
8、1处可导， 5.设 f(x)连续，且 则 F(x)=( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：6.设 f(x)在0，+)上连续，在(0，+)内可导，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：二、填空题(总题数：10，分数：20.00)7.设 f(x)为奇函数，且 f(1)=2，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：因为 f(x)为奇函数，所以 f(x)为偶函数，）解析：8.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： f(0)=2，f(0 一 0)=c， 因为 f(x)在 x=0处连续，所以 f(0+0)=f(0)=f(0一
9、0)， 从而 a=2，c=2，即 ）解析：9.设 f(x)在 x=2处可导，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：因为*所以*再由 f(x)在 x=2处的连续性得f(2)=0）填空项 1:_ （正确答案：由*得 f(2)=8）解析：10.设 f(x)二阶连续可导，且 则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由 得 f(0)=0，f(0)=1， 于是 ）解析：11.设 f(u)可导，y=f(x 2 )在 x 0 =一 1处取得增量x=005 时，函数增量y 的线性部分为 015，则f(1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由
10、dy=2xf(x 2 )x 得 dy| x=-1 =一 2f(1)005=一 01f(1)，因为y 的线性部分为 dy，由一 01f(1)=015 得 ）解析：12.设 则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：13.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：令 解得 A=3，B=一 2，即 ）解析：14.设 f(x)=ln(2x 2 一 x一 1)，则 f (n) (x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：f(x)=ln(2x+1)(x 一 1)=ln(2x+1)+ln(x一 1)，）解析：15.设 （分数：2.00）填
11、空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：16.设 f(x)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：三、解答题(总题数：17，分数：36.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：18.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 由 A(2x+1)+B(x一 2)=4x一 3得 解得 A=1，B=2， )解析：19.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设 f(x)连续，且对任意的 x，y(一，+)有 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，f(0)=1，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(
12、正确答案：当 x=y=0时，f(0)=2f(0)，于是 f(0)=0 对任意的 x(一，+)， )解析：21.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 故 f(x)在 x=0处连续 由 得 f - (0)=1， 再由 )解析：22.设 f(x)在 x=a处二阶可导，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设 f(x)连续，f(0)=0，f(0)=1，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.举例说明函数可导不一定连续可导（分数：2.00）_正确答案：(正确答案
13、：令 当 x0 时， 当 x=0时， 即 因为 )解析：设 f(x)在a，b上有定义，M0 且对任意的 x，ya，b，有 |f(x)一 f(y)|M|xy| k （分数：4.00）(1).证明：当 k0 时，f(x)在a，b上连续；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对任意的 x 0 Ea，b，由已知条件得 )解析：(2).证明：当 k1 时，f(x)常数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对任意的 b 0 a，b，因为 k1， 所以 )解析：26.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x)在 x=0处连续，得 b=0 由 f(x)在 x=0处可导，得 a=2， )
14、解析：27.设对一切的 x，有 f(x+1)=2f(x)，且当 x0，1时 f(x)=x(x 2 一 1)，讨论函数 f(x)在 x=0处的可导性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x一 1，0时， )解析：28.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时， 当 x0 时，f(x)=cosx，由 得 f(0)=1，则 容易验证 所以 f(x)连续. )解析：29.设 确定 y为 x的函数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 等式 两边对 x求导，得 于是 )解析：设 f(x)二阶可导，f(0)=0，令 （分数：4.00）(1).求 g(x)；（分数：2.0
15、0）_正确答案：(正确答案：因为 所以 g(x)在 x=0处连续 当 x0 时， 当 x=0时，由 )解析：(2).讨论 g(x)在 x=0处的连续性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 )解析：30.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当|x|1 时， 当 x1时，f(x)=1； 又 则 f(x)在 x=一 1处不连续，故也不可导 由 f(1+0)=f(1一 0)=(1)=0得 f(x)在 x=1处连续 因为 所以 f(x)在 x=1处也不可导， 故 )解析：31.求常数 a，b 使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在 x=0处可导，所以 f(x)在 x=0处连续，从而有 f(0+0)=2a=f(0)=f(0一 0)=3b， 由 f(x)在 x=0处可导，则 3+2a=10+6b，解得 )解析：
