1、考研数学三（一元函数微分学）-试卷 7 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.曲线 y= （分数：2.00）A.l 条B.2 条C.3 条D.4 条3.设 f(x)= （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续，但不可导D.可导4.设函数 f(x)二阶可导，且 f“(x)0，f“(x)0，y=f(x+x)一 f(x)，其中x0，则( )（分数：2.00）A.ydy0B.ydy0C.dyy0D.dyy05.设 f(x)= （分数：2.0
2、0）A.不连续B.连续但不可导C.可导但不是连续可导D.连续可导6.设曲线 y=x 2 +ax+b 与曲线 2y=xy 3 一 1 在点(1，一 1)处切线相同，则( )（分数：2.00）A.a=1，b=1B.a=一 1，b=1C.a=2，b=1D.a=一 2，b=一 17.设 f(x)连续，且 F(x)= f(t)dt，则 F“(x)=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.设 f(x)连续，且 f“(0)0，则存在 0，使得( )（分数：2.00）A.f(x)在(O，a)内单调增加B.f(x)在(一 ，0)内单调减少C.对任意的 x(一 ，0)，有 f(x)f(0)D.对任意的 x(
3、0，)，有 f(x)f(0)二、填空题(总题数：5，分数：10.00)9.设 y=x 5 +5 x 一 tan(x 2 +1)，则 y“= 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设 f(x)一阶可导，且 f(0)=f“(0)=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(x)在 x=a 处可导，则 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 f(x)二阶连续可导，且 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 (x)=(x 2 一 t)f(t)dt，其中 f 连续，则 “(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：36.00)14.解答题解答应写出文字说明
4、、证明过程或演算步骤。_求下列函数的一阶导数：（分数：6.00）(1).y= （分数：2.00）_(2).y= （分数：2.00）_(3).y=x(sinx) cosx（分数：2.00）_15.设 y= ，且 f“(x)= （分数：2.00）_16.设函数 y=y(x)由 2 xy =x+y 确定，求 dy| x=0 （分数：2.00）_17.设 y=x 2 lnx，求 y (n) （分数：2.00）_18.设 f(x)二阶连续可导，且 f(0)=f“(0)=0，f“(0)0，设 u(x)为曲线 y=f(x)在点(x，f(x)处的切线在x 轴上的截距，求 （分数：2.00）_19.举例说明函数
5、可导不一定连续可导（分数：2.00）_20.设对一切的 x，有 f(x+1)=2f(x)，且当 x0，1时 f(x)=x(x 2 1)，讨论函数 f(x)在 x=0 处的可导性（分数：2.00）_21.设函数 f(x)和 g(x)在区间a，b上连续，在区间(a，b)内可导，且 f(a)=g(b)=0，g“(x)0，试证明存在 (a，b)使 （分数：2.00）_22.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=f(1)，证明：存在 ，(0，1)，使得 f“()+f“()=0（分数：2.00）_23.设 f(x)在a，b上满足|f“(x)|2，且 f(x)在(a，b)内取到最小值
6、证明：|f“(a)I+|f“(b)|2(b一 a)（分数：2.00）_24.求 y= 0 x (1 一 t)arctantdt 的极值（分数：2.00）_25.证明： （分数：2.00）_26.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)，且 f(a)=0证明：存在 (a，b)，使得（分数：2.00）_27.设 f(x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 f“(x)0，证明：存在 ，(1，2)，使得（分数：2.00）_28.设 f“(x)在0，1上连续，且 f(x)1，证明：2x 一|f(t)dt=1 在(0，1)有且仅有一个根（分数：2.00）_29.设 0a1，证明：方程 a
7、rctanx=ax 在(0，+)内有且仅有一个实根（分数：2.00）_考研数学三（一元函数微分学）-试卷 7 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.曲线 y= （分数：2.00）A.l 条B.2 条 C.3 条D.4 条解析：3.设 f(x)= （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续，但不可导D.可导 解析：解析：4.设函数 f(x)二阶可导，且 f“(x)0，f“(x)0，y=f(x+x)一 f(x)，其中x0，则( )（分
8、数：2.00）A.ydy0B.ydy0C.dyy0D.dyy0 解析：5.设 f(x)= （分数：2.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导但不是连续可导D.连续可导 解析：解析：因为 (x 2 +x+1)=3=f(1)，所以 f(x)在 x=1 处连续 因为 6.设曲线 y=x 2 +ax+b 与曲线 2y=xy 3 一 1 在点(1，一 1)处切线相同，则( )（分数：2.00）A.a=1，b=1B.a=一 1，b=1 C.a=2，b=1D.a=一 2，b=一 1解析：解析：由 y 一 x 2 +ax+b 得 y“=2x+a， 2y=xy 3 一 1 两边对 x 求导得 2y“=y 3
9、+3xy 2 y“，解得 y“= 因为两曲线在点(1，一 1)处切线相同，所以 7.设 f(x)连续，且 F(x)= f(t)dt，则 F“(x)=( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：F“(x)=f(lnx)(lnx)“一8.设 f(x)连续，且 f“(0)0，则存在 0，使得( )（分数：2.00）A.f(x)在(O，a)内单调增加B.f(x)在(一 ，0)内单调减少C.对任意的 x(一 ，0)，有 f(x)f(0)D.对任意的 x(0，)，有 f(x)f(0) 解析：解析：因为 f“(0)= 所以由极限的保号性，存在 0，当 0|x| 时，二、填空题(总题数：5，分数：
10、10.00)9.设 y=x 5 +5 x 一 tan(x 2 +1)，则 y“= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5x 4 +5 x ln5 一 2xsec 2 (x 2 +1)）解析：解析：y“=5x 4 +5 x ln5 一 2xsec 2 (x 2 +1)10.设 f(x)一阶可导，且 f(0)=f“(0)=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：11.设 f(x)在 x=a 处可导，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：10f(a)f“(a)）解析：解析：因为 f(x)在 x=a 处可导，所以 f(
11、x)在 x=a 处连续，于是12.设 f(x)二阶连续可导，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 =1 得 f(0)=0，f“(0)=1，于是13.设 (x)=(x 2 一 t)f(t)dt，其中 f 连续，则 “(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：(x)=x 2 “(x)=2x f(t)dt+2x 3 f(x 2 )一 2x 3 f(x 2 )= “(x)= 三、解答题(总题数：17，分数：36.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：求下列函数的一阶导数：（分数：6.00）(
12、1).y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(3).y=x(sinx) cosx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：lny=1nx+cosxlnsinx，两边对 x 求导得 )解析：15.设 y= ，且 f“(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.设函数 y=y(x)由 2 xy =x+y 确定，求 dy| x=0 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x=0 时，y=1， 对 2 xy =x+y 两边关于 x 求导，得 2 xy ln2 将 x=0，y=1代入得 )
13、解析：17.设 y=x 2 lnx，求 y (n) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y (n) =C n 2 x 2 (lnx) (n) +C n 2 2x(lnx) (n 一 1) +C n 2 2(lnx) n 一 2 )解析：18.设 f(x)二阶连续可导，且 f(0)=f“(0)=0，f“(0)0，设 u(x)为曲线 y=f(x)在点(x，f(x)处的切线在x 轴上的截距，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 y=f(x)在点(x，f(x)的切线为 Y 一 f(x)=f“(x)(X 一 x)， 令 Y=0，则 U(x)=X=x 一 则 )解析：19.举例说明函数
14、可导不一定连续可导（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 当 x0 时，f“(x)= ，当 x=0 时，f“(0)= 即 因为 )解析：20.设对一切的 x，有 f(x+1)=2f(x)，且当 x0，1时 f(x)=x(x 2 1)，讨论函数 f(x)在 x=0 处的可导性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x一 1，0时，f(x)= (x+1)(x 2 +2x)， )解析：21.设函数 f(x)和 g(x)在区间a，b上连续，在区间(a，b)内可导，且 f(a)=g(b)=0，g“(x)0，试证明存在 (a，b)使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=f(x
15、) x b g(t)dt+g(x) x b f(t)dt， (x)在区间a，b上连续，在区间(a，b)内可导，且 “(x)=f“(x) x b g(t)dt 一 f(x)g(x)+g(x)f(x)+g“(x) x a f(t)df=f“(x) x b g(t)dt+g“(x) x a f(t)dt， 因为 (a)=(b)=0，所以由罗尔定理，存在 (a，b)使 “()=0，即 f“() b g(x)dt+g“() a f(t)dt=0， 由于 g(b)=0 及 g“(x)0，所以区间(a，b)内必有 g(x)0， 从而就有 g(t)dt0，于是有 )解析：22.设 f(x)在0，1上连续，在(
16、0，1)内可导，且 f(0)=f(1)，证明：存在 ，(0，1)，使得 f“()+f“()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：存在 使得 )解析：23.设 f(x)在a，b上满足|f“(x)|2，且 f(x)在(a，b)内取到最小值证明：|f“(a)I+|f“(b)|2(b一 a)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在(a，b)内取到最小值，所以存在 c(a，b)，使得 f(c)为 f(x)在a，b上的最小值，从而 f“(c)=0 由微分中值定理得 其中 (a，c)，(c，b)， 两式取绝对值得 )解析：24.求 y= 0 x (1 一 t)arctantdt 的
17、极值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 y“=(1 一 x)arctanx=0，得 x=0 或 x=1，y“=一 arctanx+ 因为 y“(0)=10，y“(1)= 0，所以 x=0 为极小值点，极小值为 y=0；x=1 为极大值点，极大值为 y(1)= 0 1 (1 一 t)arctantdt= 0 1 arctantdt 一 0 1 tarctantdt )解析：25.证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ，f“(0)=0 则 x=0 为 f(x)的最小值点，而最小值为 f(0)=0，故 f(x)0，即 1+ )解析：26.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b
18、)内可导(a0)，且 f(a)=0证明：存在 (a，b)，使得（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=(b 一 x) a f(x)，显然 (x)在a，b上连续，在(a，b)内可导， 因为(a)=(b)=0，所以由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 “()=0， 由 “(x)=(b 一 x) a 一 1 (b 一x)f“(x)一 af(x)得 (b 一 ) a 一 1 (b 一 )f“()一 af()且(b 一 ) a 一 1 0，故 f()= )解析：27.设 f(x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 f“(x)0，证明：存在 ，(1，2)，使得（分数：2.00）_正确答案：
19、(正确答案：令 F(x)=1nx，F“(x)= 0，由柯西中值定理，存在 (1，2)，使得由拉格朗日中值定理得 ln2 一 ln1= ，其中 (1，2)， f(2)一 f(1)=f()(21)=f“()，其中 (1，2)， 故 )解析：28.设 f“(x)在0，1上连续，且 f(x)1，证明：2x 一|f(t)dt=1 在(0，1)有且仅有一个根（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令(x)=2x 一 0 1 f(t)dt 一 1，(0)=一 1，(1)=1 一 0 1 f(t)dt， 因为 f(x)1，所以 0 1 f(t)dt1，从而 (0)(1)0， 由零点定理，存在 c(0，1)，使得 (c)=0 因为 “(x)=2 一 f(x)0，所以 (x)在0，1上单调增加，故方程 2x 一 0 x f(t)dt=1 有且仅有一个根)解析：29.设 0a1，证明：方程 arctanx=ax 在(0，+)内有且仅有一个实根（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=arctanx 一 ax，由 f“(x)= 由 f“(x)= 为 f(x)的最大点， 由=一，f(0)=0 得方程 arctanx=ax 在(0，+)内有且仅有唯一实根，位于 )解析：
