1、考研数学三（一元函数微分学）-试卷 5 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设周期函数 f(x)在(，+)内可导，周期为 4，又 （分数：2.00）A.B.0C.1D.23.设函数 f(x)与 g(x)在(a，b)上可导，考虑下列叙述：(1)若 f(x)g(x)，则 f(x)g(x)；(2)若f(x)g(x)，则 f(x)g(x)因此 ( )（分数：2.00）A.(1)，(2)都正确B.(1)，(2)都不正确C.(1)正确，但(2)不正确D.(2)正确
2、，但(1)不正确4.两曲线 y= 与 y=ax 2 +b 在点(2， )处相切，则 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.若 f(x)在 x 0 点可导，则f(x)在 x 0 点 ( )（分数：2.00）A.必可导B.连续，但不一定可导C.一定不可导D.不连续6.设函数 f(x) （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续，但不可导D.可导7.关于函数 y=f(x)在点 x 0 的以下结论正确的是 ( )（分数：2.00）A.若 f(x 0 )=0，则 f(x 0 )必是一极值B.若 f(x 0 )=0，则点(x 0 ，f(x 0 )必是曲线 y=f(x)的拐点C.
3、若极限 存在(n 为正整数)，则 f(x)在 x 0 点可导，且有 D.若 f(x)在 x 0 处可微，则 f(x)在 x 0 的某邻域内有界8.设 F(x)= （分数：2.00）A.连续点B.第一类间断点C.第二类间断点D.连续点或间断点不能由此确定9.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.不连续B.连续，但不可导C.可导，但导数不连续D.可导，且导数连续二、填空题(总题数：4，分数：8.00)10.p(x)为二次三项式，要使得 e x =p(x)+o(x 2 )(x0)，则 p(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_11.曲线 y=(2x1) （分数：2.00）填空项 1:_12.
4、若 f(t)= （分数：2.00）填空项 1:_13.设 y= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_15.设 y=sin 4 xcos 4 x，求 y (n) （分数：2.00）_16.设 y=e x sinx，求 y (n) （分数：2.00）_17.设 y= （分数：2.00）_18.设 f(x)满足 f(x)+2 （分数：2.00）_19.设 f(x)= （分数：2.00）_20.顶角为 60，底圆半径为 a 的正圆锥形漏斗内盛满水，下接底圆半径为 b(ba)的圆柱形水桶(假设
5、水桶的体积大于漏斗的体积)，水由漏斗注入水桶，问当漏斗水平面下降速度与水桶水平面上升速度相等时，漏斗中水平面高度是多少?（分数：2.00）_21.防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图 12-1)，截面的面积为 5 平方米，问底宽 x 为多少时才能使建造时所用的材料最省? （分数：2.00）_22.试证明：曲线 y= （分数：2.00）_23.作函数的图形 y=x 2 + （分数：2.00）_24.求函数 y=e x cosx 的极值（分数：2.00）_25.若函数 f(x)在(，+)内满足关系式 f(x)=f(x)，且 f(0)=1证明：f(x)=e x （分数：2.00）_26.设 f(x)可
6、导，证明：f(x)的两个零点之间一定有 f(x)+f(x)的零点（分数：2.00）_27.设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0求证：(1)存在 (a，b)，使f()+f()=0；(2)存在 (a，b)，使 nf()十 f()=0（分数：2.00）_28.设函数 f(x)在2，2上二阶可导，且f(x)1，又 f 2 (0)+f(0) 2 =4 试证：在(2，2)内至少存在一点 ，使得 f()+f()=0（分数：2.00）_29.设函数 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f(0)=f(1)=0，f(1)=1求证：存在 (0，1)，使f()4（分数：
7、2.00）_30.设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)上可导且 f(a)f(b)证明：存在 ，(a，b)，使得（分数：2.00）_考研数学三（一元函数微分学）-试卷 5 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设周期函数 f(x)在(，+)内可导，周期为 4，又 （分数：2.00）A.B.0C.1D.2 解析：解析：因为函数 f(x)周期为 4，曲线在点(5，f(5)处的切线斜率与曲线在点(1，f(1)处的切线斜率相等，根据导数的几何意义，曲线
8、在点(1，f(1)处的切线斜率即为函数 f(x)在点 x=1 处的导数3.设函数 f(x)与 g(x)在(a，b)上可导，考虑下列叙述：(1)若 f(x)g(x)，则 f(x)g(x)；(2)若f(x)g(x)，则 f(x)g(x)因此 ( )（分数：2.00）A.(1)，(2)都正确B.(1)，(2)都不正确 C.(1)正确，但(2)不正确D.(2)正确，但(1)不正确解析：解析：考虑 f(x)=e x 与 g(x)=e x ，显然 f(x)g(x)，但 f(x)=e x ，g(x)=e x ,，f(x)g(x)，(1)不正确将 f(x)与 g(x)交换可说明(2)不正确4.两曲线 y= 与
9、 y=ax 2 +b 在点(2， )处相切，则 ( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：因两曲线相切于点(2， )，故相交于该点将 x=2，y= 代入 y=ax 2 +b 中得 =4a+b，又因为相切于该点，故切线斜率相等，即导数相等，所以 =2ax，将 x=2 代入得 5.若 f(x)在 x 0 点可导，则f(x)在 x 0 点 ( )（分数：2.00）A.必可导B.连续，但不一定可导 C.一定不可导D.不连续解析：解析：函数 f(x)=x 在 x=0 处可导，但f(x)=x在 x=0 处不可导，排除(A)函数 f(x)=x 2 x=0 处可导，f(x)=x 2 在 x=0
10、处也可导，排除(C)，(D)6.设函数 f(x) （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续，但不可导 D.可导解析：解析： =0=f(0)，f + = 7.关于函数 y=f(x)在点 x 0 的以下结论正确的是 ( )（分数：2.00）A.若 f(x 0 )=0，则 f(x 0 )必是一极值B.若 f(x 0 )=0，则点(x 0 ，f(x 0 )必是曲线 y=f(x)的拐点C.若极限 存在(n 为正整数)，则 f(x)在 x 0 点可导，且有 D.若 f(x)在 x 0 处可微，则 f(x)在 x 0 的某邻域内有界 解析：解析：(A)不一定，反例：f(x)=x 3 ，
11、f(0)=0，x=0 非极值点；(B)不一定，需加条件：f(x)在 x 0 点两侧异号；(C)项所给的只是必要条件，即仅在子列上收敛，这是不够的8.设 F(x)= （分数：2.00）A.连续点B.第一类间断点 C.第二类间断点D.连续点或间断点不能由此确定解析：解析：F(0)=f(0)=0，9.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.不连续B.连续，但不可导C.可导，但导数不连续 D.可导，且导数连续解析：解析：二、填空题(总题数：4，分数：8.00)10.p(x)为二次三项式，要使得 e x =p(x)+o(x 2 )(x0)，则 p(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案
12、：正确答案： ）解析：解析：设 p(x)=ax 2 +bx+c，由题意知，当 x0 时，e x p(x)=o(x 2 )， 由于 e x =1+x+ +o(xe x ，于是 e x p(x)=(1c)+ (1b)x+( a)x 2 +o(x 2 ) 故 1c=0，1b=0， a=0，即 a= ，b=1，c=1于是 p(x)= 11.曲线 y=(2x1) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=2x+1）解析：解析：12.若 f(t)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(2t+1)e 2t）解析：解析：13.设 y= （分数：2.00）填空项 1:_
13、（正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：17，分数：34.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：15.设 y=sin 4 xcos 4 x，求 y (n) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 y=(sin 2 x+cos 2 x)(sin 2 xcos 2 x)=cos2x，y (n) =2 n cos(2x+ )解析：16.设 y=e x sinx，求 y (n) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y=e x sinx+cosx.e x = 归纳可得： )解析：17.设 y= （分数：2.00）_正确答案：(正
14、确答案：当 x0 时，y= 当 x=0 时， =1，故对任意 x(，+)，都有 y=又 y= ，比较系数，得 )解析：18.设 f(x)满足 f(x)+2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程两边同时对 x 求导得 原等式中 x 换成 ，得 f( )+2f(x)=3x 式两边同时对 x 求导得 2得 f(x)=2+ )解析：19.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 又 f(0)=1，所以 =2b=1，即 a=2，b= 及 c 为任意值时，f(x)在 x=0 处连续又因为 令 f (0)=f + (0)，可得 c= 时，f(0)存在 当 a=2， )解析：2
15、0.顶角为 60，底圆半径为 a 的正圆锥形漏斗内盛满水，下接底圆半径为 b(ba)的圆柱形水桶(假设水桶的体积大于漏斗的体积)，水由漏斗注入水桶，问当漏斗水平面下降速度与水桶水平面上升速度相等时，漏斗中水平面高度是多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设在时刻 t，漏斗中水平面的高度为 h，水量为 p，水桶中水平面的高度为 H，水量为 g(如图 12-1)，则 因为这两部分水量的总和应为开始漏斗盛满水时的水量，所以 h 3 +b 2 H= ，即 h 3 +9b 2 H=3 a 3 两边对 t 求导得 因为下降的速度与上升的速度方向相反，所以 ，得 h 2 =3b 2 ，故 h= b
16、 时漏斗水平面下降速度与水桶水平面上升速度相等 )解析：21.防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图 12-1)，截面的面积为 5 平方米，问底宽 x 为多少时才能使建造时所用的材料最省? （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设截面周长为 S，矩形高为 y，则 S=x+2y+ ， xy+ =5 由解出y= ，代入得 故唯一极值可疑点为 x= (驻点) 由问题的实际意义知，截面周长必有最小值，并且就在此驻点处取得，因此当底宽为 )解析：22.试证明：曲线 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 令 y=0，得 x 1 =1，x 2 =2 ，x 3 =2+ 列表 所以 A(1，1)，
17、均为此曲线的拐点，因 )解析：23.作函数的图形 y=x 2 + （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：定义域(，0)(0，+)，无周期性无奇偶性 y=0 的根为 x=，y=0 的根为 x=1 列表 由表可知函数的极小值点为 x= ，拐点为(1，0) 铅直渐近线：x=0 ，无斜渐近线 作图(如图 12-2) )解析：24.求函数 y=e x cosx 的极值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：极值可疑点 x n =n+ ，n=0，1，(均为驻点) y=2e x sinx，当 x k =2k+ 时，y0，所以 2k+ 为极大值点，极大值为 ，k=0，1，2，； 当 x k =2k+ 时
18、，y0，所以 2k+ 为极小值点，极小值为 )解析：25.若函数 f(x)在(，+)内满足关系式 f(x)=f(x)，且 f(0)=1证明：f(x)=e x （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：作函数 (x)= ，x(，+)，于是有 (x)= 已知 f(x)=f(x)，从而 (x)=0，于是 (x)= C 当 x=0 时，易知 (0)= =1，所以 C=1，即 )解析：26.设 f(x)可导，证明：f(x)的两个零点之间一定有 f(x)+f(x)的零点（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：构造辅助函数 F(x)=f(x)e x ，由于 f(x)可导，故 F(x)可导，设 x 1 和
19、x 2 为f(x)的两个零点，且 x 1 x 2 ，则 F(x)在x 1 ，x 2 上满足罗尔定理条件，由罗尔定理，至少存在一点 (x 1 ，x 2 )，使得 F()=0，即 f()e +f()e =e f()+f()=0 由于 e 0，因此必有 f()+f()=0)解析：27.设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0求证：(1)存在 (a，b)，使f()+f()=0；(2)存在 (a，b)，使 nf()十 f()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 (x)=xf(x)，则 (x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 (a)=(b)=0
20、，由罗尔定理得，存在 (a，b)，使 ()=0，即 f()+f()=0 (2)设 F(x)= f(x)，则 F(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 F(a)=F(b)=0，由罗尔定理得，存在 (a，b)，使F()= )解析：28.设函数 f(x)在2，2上二阶可导，且f(x)1，又 f 2 (0)+f(0) 2 =4 试证：在(2，2)内至少存在一点 ，使得 f()+f()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(0)f(2)=2f( 1 )，2 1 0， f(2)f(0)=2f( 2 )，0 2 2 由f(x)1 知f( 1 )= 1，f( 2 )= 1 令 (x)=f 2
21、(x)+f(x) 2 ，则有 ( 1 )2，( 2 )2 因为 (x)在 1 ， 2 上连续，且 (0)=4，设 (x)在 1 ， 2 上的最大值在 1 ， 2 )解析：29.设函数 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f(0)=f(1)=0，f(1)=1求证：存在 (0，1)，使f()4（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把函数 f(x)在 x=0 展开成带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式，得 f(x)=f(0)+f(0)x+ f( 1 )x 2 (0 1 x) 在公式中取 x= ，利用题设可得 把函数f(x)在 x=1 展开成泰勒公式，得 f(x)=f(1)+f(1)(x1)+ f( 2 )(x1) 2 (x 2 1) 在公式中取 x= ，利用题设可得 两式相减消去未知的函数值 f( )解析：30.设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)上可导且 f(a)f(b)证明：存在 ，(a，b)，使得（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由拉格朗日中值定理知 f(b)f(a)=f()(ba)，又由柯西中值定理知 )解析：
