1、考研数学三（一元函数微分学）-试卷 11 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设函数 f(x)在 x=0 处可导，且 f(0)=0，则 （分数：2.00）A.一 xf“(0)B.一 f“(0)C.f“(0)D.03.曲线 （分数：2.00）A.0B.1C.2D.34.设函数 f(x)=(e x 一 1)(e 2x 一 2)(e nx 一 n)，其中 n 为正整数，则 f“(0)=（分数：2.00）A.(一 1) n-1 (n 一 1)!B.(一 1)
2、n (n 一 1)!C.(一 1) n-1 n!D.(一 1) n n!5.下列曲线中有渐近线的是（分数：2.00）A.y=x+sinxB.y=x 2 +sinxC.D.6.设函数 f(x)具有 2 阶导数，g(x)=f(0)(1 一 x)+f(1)x，则在区间0，1上（分数：2.00）A.当 f“(x)0 时，f(x)g(x)B.当 f“(x)0 时，f(x)g(x)C.当 f“(x)0 时，f(x)g(x)D.当 f“(x)0 时，f(x)g(x)7.设函数 f(x)在(一，+)内连续，其 2 阶导函数 f“(x)的图形如右图所示，则曲线 y=f(x)的拐点个数为 （分数：2.00）A.0
3、B.1C.2D.3二、填空题(总题数：10，分数：20.00)8.设 （分数：2.00）填空项 1:_9.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_10.设曲线 y=f(x)与 y=x 2 一 x 在点(1，0)处有公共切线，则 （分数：2.00）填空项 1:_11.设某商品的需求函数为 Q=40 一 2p(p 为商品的价格)，则该商品的边际收益为 1（分数：2.00）填空项 1:_12.已知 f“(3)=2，则 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 f(1+x)一 3f(1 一 x)=8x(1+sinx)，其中 f(x)连续，则 f“(1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 f“
4、(1)=2极限 （分数：2.00）填空项 1:_15.设函数 y=y(x)由方程 ln(x 2 +y)=x 3 y+sinx 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_16.设 f(a)=1，f“(a)=2则 （分数：2.00）填空项 1:_17.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：22.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_19.证明方程 （分数：2.00）_20.设函数 （分数：2.00）_21.证明 （分数：2.00）_设生产某商品的固定成本为 60 000 元，可变成本为 20 元件，价格函数为 P=60 一 （分数：6.00）
5、(1).该商品的边际利润；（分数：2.00）_(2).当 p=50 时的边际利润，并解释其经济意义；（分数：2.00）_(3).使得利润最大的定价 p（分数：2.00）_设函数 f(x)在0，+)上可导，f(0)=0，且 （分数：4.00）(1).存在 a0，使得 f(a)=1；（分数：2.00）_(2).对(I)中的 a，存在 (0，a)，使得 （分数：2.00）_为了实现利润最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型设 Q 为该商品的需求量，P 为价格，MC 为边际成本 为需求弹性(0)（分数：4.00）(1).证明定价模型为 （分数：2.00）_(2).若该商品的成本函数为 C(Q)=160
6、0+Q 2 ，需求函数为 Q=40 一 P，试由(I)中的定价模型确定此商品的价格（分数：2.00）_22.(I)设函数 u(x)，v(x)可导，利用导数定义证明u(x)v(x)“=u“(x)v(x)+u(x)v“(x)； (1I)设函数 u 1 (x)，u 2 (x)，u n (x)可导， f(x)=u 1 (x)u 2 (x)u n (x)，写出 f(x)的求导公式（分数：2.00）_考研数学三（一元函数微分学）-试卷 11 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.
7、00）_解析：2.设函数 f(x)在 x=0 处可导，且 f(0)=0，则 （分数：2.00）A.一 xf“(0)B.一 f“(0) C.f“(0)D.0解析：解析：3.曲线 （分数：2.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析：由于 ，则该曲线有水平渐近线 y=1，又4.设函数 f(x)=(e x 一 1)(e 2x 一 2)(e nx 一 n)，其中 n 为正整数，则 f“(0)=（分数：2.00）A.(一 1) n-1 (n 一 1)! B.(一 1) n (n 一 1)!C.(一 1) n-1 n!D.(一 1) n n!解析：解析：由导数定义得5.下列曲线中有渐近线的是（分数：2.
8、00）A.y=x+sinxB.y=x 2 +sinxC. D.解析：解析：6.设函数 f(x)具有 2 阶导数，g(x)=f(0)(1 一 x)+f(1)x，则在区间0，1上（分数：2.00）A.当 f“(x)0 时，f(x)g(x)B.当 f“(x)0 时，f(x)g(x)C.当 f“(x)0 时，f(x)g(x)D.当 f“(x)0 时，f(x)g(x) 解析：解析：由于 g(0)=f(0)，g(1)=f(1)，则直线 y=f(0)(1 一 x)+f(1)x 过点(0，f(0)和(1，f(1)，当 f“(x)0 时，曲线 y=f(x)在区间0，1上是凹的，曲线 y=f(x)应位于过两个端点
9、(0，f(0)和(1，f(1)的弦 y=f(0)(1 一 x)+f(1)x 的下方，即 f(x)g(x)故应选 D7.设函数 f(x)在(一，+)内连续，其 2 阶导函数 f“(x)的图形如右图所示，则曲线 y=f(x)的拐点个数为 （分数：2.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析：由右图知 f“(x 1 )=f“(x 2 )=0，f(0)不存在，其余点上二阶导数 f“(x)存在且非零，则曲线 y=f(x)最多三个拐点，但在 x=x 1 两侧的二阶导数不变号，因此不是拐点而在 x=0 和 x=x 2 两侧的二阶导数变号，则曲线 y=f(x)有两个拐点，故应选 C 二、填空题(总题数：10
10、，分数：20.00)8.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 3x (1+3x)）解析：解析：9.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=一 2x）解析：解析：等式 两端对 x 求导得10.设曲线 y=f(x)与 y=x 2 一 x 在点(1，0)处有公共切线，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2）解析：解析：由题设知 f(1)=0，f“(1)=111.设某商品的需求函数为 Q=40 一 2p(p 为商品的价格)，则该商品的边际收益为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：40 一 4p）解析
11、：解析：由题设知收益函数为 R=pQ=p(402p)，则边际收益为12.已知 f“(3)=2，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：13.设 f(1+x)一 3f(1 一 x)=8x(1+sinx)，其中 f(x)连续，则 f“(1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：14.设 f“(1)=2极限 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2）解析：15.设函数 y=y(x)由方程 ln(x 2 +y)=x 3 y+sinx 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：16.设
12、 f(a)=1，f“(a)=2则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 2）解析：17.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：三、解答题(总题数：8，分数：22.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：19.证明方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 令 f“(x)=0，解得驻点 由单调性判别法知 f(x)在 上单调减少，在 上单调增加，在 上单调减少因为 ，且由上述单调性可知 上的最小值，所以是函数 f(x)在 上唯一的零点又因为 所以由连续函数的介值定理知 f(x)在 内存在零点，且由 f(x
13、)的单调性知零点唯一综上可知，f(x)在(一，+)内恰有两个零点，即原方程恰有两个实根 )解析：20.设函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：y=f(f(x)可看作 y=f(M)，与 u=f(x)的复合，当 x=e 时 由复合函数求导法则知21.证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设生产某商品的固定成本为 60 000 元，可变成本为 20 元件，价格函数为 P=60 一 （分数：6.00）(1).该商品的边际利润；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 故该商品的边际利润 )解析：(2).当 p=50 时的边际利润，并解释其经济意义；（分数
14、：2.00）_正确答案：(正确答案：当 P=50 时，销量 Q=10 000，L“(10 000)=20其经济意义为：销售第 10 001 件商品时所得的利润为 20 元)解析：(3).使得利润最大的定价 p（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 )解析：设函数 f(x)在0，+)上可导，f(0)=0，且 （分数：4.00）(1).存在 a0，使得 f(a)=1；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 )解析：(2).对(I)中的 a，存在 (0，a)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为函数 f(x)在区间0，a上可导，根据微分中值定理，存在 (0，a)，使得f
15、(a)一 f(0)=af“()又因为 f(0)=0，f(a)=1，所以 )解析：为了实现利润最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型设 Q 为该商品的需求量，P 为价格，MC 为边际成本 为需求弹性(0)（分数：4.00）(1).证明定价模型为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由收益 R=pQ，得边际收益 欲使利润最大，应有 MR=MC，即 所以定价模型为 )解析：(2).若该商品的成本函数为 C(Q)=1600+Q 2 ，需求函数为 Q=40 一 P，试由(I)中的定价模型确定此商品的价格（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设 由(I)知 )解析：22.(I)设函数 u(x)，v(x)可导，利用导数定义证明u(x)v(x)“=u“(x)v(x)+u(x)v“(x)； (1I)设函数 u 1 (x)，u 2 (x)，u n (x)可导， f(x)=u 1 (x)u 2 (x)u n (x)，写出 f(x)的求导公式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)令 f(x)=u(x)v(x)，由导数定义得 )解析：
