1、考研数学三（N 维向量）-试卷 3 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.下列向量组 1 ， 2 ， 3 中，线性无关的是（分数：2.00）A.(1，2，3，4)，(4，3，2，1)，(0，0，0，0)B.(a，b，c)，(b，c，d)，(c，d，e)，(d，e，f)C.(a，l，b，0，0)，(c，0，d，2，3)，(e，4，f，5，6)D.(a，1，2，3)，(b，1，2，3)，(c，4，2，3)，(d，0，0，0)3.已知向量组 1 ， 2 ， 3
2、 ， 4 线性无关，则命题正确的是（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 线性无关B. 1 - 2 ， 2 - 3 ， 3 - 4 ， 4 - 1 线性无关C. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 - 4 ， 4 - 1 线性无关D. 1 + 2 ， 2 - 3 ， 3 - 4 ， 4 - 1 线性无关4.设 1 ， 2 ， s 是 n 维向量，则下列命题中正确的是（分数：2.00）A.如 s 不能用 1 ， 2 ， s-1 线性表出，则 1 ， 2 ， s 线性无关B.如 1 ， 2 ， s 线性相关， s 不能由 1 ， 2 ， s-1 线性表出
3、，则 1 ， 2 ， s-1 线性相关C.如 1 ， 2 ， s 中，任意 s-1 个向量都线性无关，则 1 ， 2 ， s 线性无关D.零向量 0 不能用 1 ， 2 ， s 线性表出5.设向量组： 1 ， 2 ， r 可由向量组： 1 ， 2 ， s 线性表出，则下列命题正确的是（分数：2.00）A.若向量组线性无关，则 arsB.若向量组线性相关，则 rsC.若向量组线性无关，则 rsD.若向量组线性相关，则 rs二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.已知向量组 1 =(1，2，-1，1) T ， 2 =(2，0，a，0) T ， 3 =(0，-4，5，1-a) T 的秩为 2，
4、则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_7.若 1 =(1，0，5，2) T ， 2 =(3，-2，3，-4) T ， 3 =(-1，1，t，3) T 线性相关，则 t= 1.（分数：2.00）填空项 1:_8.若 1 =(1，-1，2，4) T ， 2 =(0，3，1，2) T ， 3 =(3，0，7，a) T ， 4 =(1，-2，2，0) T 线性无关，则 a 的取值范围为 1（分数：2.00）填空项 1:_9.若 =(1，2，t) T 可由 1 =(2，1，1) T ， 2 =(-1，2，7) T ， 3 =(1，-1，-4) T 线性表出，则 t= 1.（分数：2.00）填空项
5、1:_10.设 1 =(1，2，1) T ， 2 =(2，3，a) T ， 3 =(1，a+2，-2) T ，若 1 =(1，3，4) T 可以由 1 ， 2 ， 3 线性表出， 2 =(0，1，2) T 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 a= 1.（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_12.若 i1 ， i2 ， ir 与 j1 ， j2 ， jt 都是 1 ， 2 ， s 的极大线性无关组，则 r=t（分数：2.00）_13.设 A，B 都是 mn 矩阵，则 r(A+B)r
6、(A)+r(B)（分数：2.00）_14.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nP 矩阵，如 AB=0，则 r(A)+r(B)n（分数：2.00）_15.已知 1 =(1，1，1，0) T ， 2 =(0，1，2，1) T ， 3 =(3，1，-2，1) T 线性无关，则将其正交化，有（分数：2.00）_16.判断 1 =(1，0，2，3) T ， 2 =(1，1，3，5) T ， 3 =(1，-1，a+2，1) T ， 4 =(1，2，4，a+9) T 的线性相关性（分数：2.00）_17.已知 1 =(1， -1，1) T ， 2 =(1，t，-1) T ， 3 =(t，1，2) T ，=(4
7、，t 2 ，-4) T ，若 可以由 1 ， 2 ， 3 线性表出且表示法不唯一，求 t 及 的表达式（分数：2.00）_18.已知 可用 1 ， 2 ， m 线性表示，但不能用 1 ， 2 ， m-1 表出，试判断：() m 能否用 1 ， 2 ， m-1 ， 线性表示； () m 能否用 1 ， 2 ， m-1 线性表示，并说明理由（分数：2.00）_19.若向量组 1 ， 2 ， 3 线性相关，向量组 2 ， 3 ， 4 线性无关，试问 4 能否由 1 ， 2 ， 3 线性表出?并说明理由（分数：2.00）_20.已知线性方程组 （分数：2.00）_21.已知 1 ， 2 ， 3 线性无
8、关，证明 2 1 +3 2 ， 2 - 3 ， 1 + 2 + 3 线性无关（分数：2.00）_22.设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数 k，使线性方程组 A k x=0 有解向量 ，且 A k-1 0 证明：向量组 ，A，A k-1 是线性无关的（分数：2.00）_23.设 A 是 nm 矩阵，B 是 mn 矩阵，其中 nm，若 AB=E，证明 B 的列向量线性无关（分数：2.00）_24.设 A 是 n 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是 n 维列向量，且 1 0，A 1 =k 1 ，A 2 =l 1 +k 2 ，A 3 =l 2 +l 3 ，l0，证明 1 ， 2 ， 3 线性无关（分数
9、：2.00）_25.证明 n 维列向量 1 ， 2 ， n 线性无关的充要条件是 （分数：2.00）_26.已知向量 可以由 1 ， 2 ， s 线性表出，证明：表示法唯一的充分必要条件是 1 ， 2 ， s 线性无关（分数：2.00）_27.设 i =(a i1 ，a i2 ，a in ) T (i=1，2，r；rn)是 n 维实向量，且 1 ， 2 ， r 线性无关，已知 =(b 1 ，b 2 ，b n ) T 是线性方程组 （分数：2.00）_考研数学三（N 维向量）-试卷 3 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题
10、给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.下列向量组 1 ， 2 ， 3 中，线性无关的是（分数：2.00）A.(1，2，3，4)，(4，3，2，1)，(0，0，0，0)B.(a，b，c)，(b，c，d)，(c，d，e)，(d，e，f)C.(a，l，b，0，0)，(c，0，d，2，3)，(e，4，f，5，6) D.(a，1，2，3)，(b，1，2，3)，(c，4，2，3)，(d，0，0，0)解析：解析：有零向量的向量组肯定线性相关，任意 n+1 个 n 维向量必线性相关因此(A)，(B)均线性相关 对于(D)，若 d=0，肯定线性相关；若 d0，则 (a，1，2
11、，3)-(b，1，2，3)= (d，0，0，0)，即 1 ， 2 ， 4 线性相关，而线性相关的向量组再增加向量肯定仍是线性相关，因此不论哪种情况，(D)是线性相关的 由排除法可知(C)入选另一方面，若能观察出 1 =(1，0，0)， 2 =(0，2，3)， 3 =(4，5，6)所构成的行列式 3.已知向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则命题正确的是（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 线性无关B. 1 - 2 ， 2 - 3 ， 3 - 4 ， 4 - 1 线性无关C. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 - 4 ， 4 - 1 线性
12、无关D. 1 + 2 ， 2 - 3 ， 3 - 4 ， 4 - 1 线性无关 解析：解析：由观察法可知( 1 + 2 )-( 2 + 3 )+( 3 + 4 )-( 4 + 1 )=0，即(A)线性相关 对于(B)，( 1 - 2 )+( 2 - 3 )+( 3 - 4 )+( 4 - 1 )=0，即(B)线性相关 而(C)中，( 1 + 2 )-( 2 + 3 )+( 3 - 4 )+( 4 - 1 )=0，即(C)线性相关 由排除法可知(D)正确作为复习并掌握基本方法，请读者直接证明(D)线性无关.4.设 1 ， 2 ， s 是 n 维向量，则下列命题中正确的是（分数：2.00）A.如
13、s 不能用 1 ， 2 ， s-1 线性表出，则 1 ， 2 ， s 线性无关B.如 1 ， 2 ， s 线性相关， s 不能由 1 ， 2 ， s-1 线性表出，则 1 ， 2 ， s-1 线性相关 C.如 1 ， 2 ， s 中，任意 s-1 个向量都线性无关，则 1 ， 2 ， s 线性无关D.零向量 0 不能用 1 ， 2 ， s 线性表出解析：解析：(A)，(C)，(D)均错，仅(B)正确 (A)中当 s 不能用 1 ， 2 ， s-1 线性表出时，并不保证每一个向量 i (i=1，2，s-1)都不能用其余的向量线性表出例如， 1 =(1，0)， 2 =(2，0)， 3 =(0，3)
14、，虽 3 不能用 1 ， 2 线性表出，但 2 1 - 2 +0 3 =0， 1 ， 2 ， 3 是线性相关的 (C)如 1 ， 2 ， s 线性无关，可知它的任何一个部分组均线性无关但任一部分组线性无关并不能保证该向量组线性无关例如 e 1 =(1，0，0，0)，e 2 =(0，1，0，0)，e n =(0，0，0，1)，=(1，1，1，1)，其中任意 n 个都是线性无关的，但这 n+1 个向量是线性相关的 (D)在线性表出的定义中，对组合系数没有任何约束条件，因此，零向量可以用任何向量组线性表出，最多组合系数全取为 0，即 0=0 1 +0 2 ，+0 s 其实，零向量 0 用 1 ， 2
15、 ， s 表示时，如果组合系数可以不全为 0，则表明 1 ， 2 ， s 是线性相 关的，否则线性无关 关于(B)，由于 1 ， 2 ， s 线性相关，故存在不全为 0 的k i (i=1，2，s)，使 k 1 1 +k 2 2 +k s s =0 显然，k a =0(否则 s 可由 1 ， s-1 线性表出)，因此 1 ， 2 ， s-1 线性相关5.设向量组： 1 ， 2 ， r 可由向量组： 1 ， 2 ， s 线性表出，则下列命题正确的是（分数：2.00）A.若向量组线性无关，则 ars B.若向量组线性相关，则 rsC.若向量组线性无关，则 rsD.若向量组线性相关，则 rs解析：解
16、析：因为可由线性表出，故 r()r()当向量组线性无关时，有 r()=r( 1 ， 2 ， r )=r由向量组秩的概念自然有 r()=r( 1 ， 2 ， s )s从而(A)正确 若 1 = ，可见(B)、(D)均不正确 若 1 = 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.已知向量组 1 =(1，2，-1，1) T ， 2 =(2，0，a，0) T ， 3 =(0，-4，5，1-a) T 的秩为 2，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：根据三秩相等定理及经初等变换秩不变定理，对( 1 ， 2 ， 3 )作初等变换，有 7.若 1 =(1，0
17、，5，2) T ， 2 =(3，-2，3，-4) T ， 3 =(-1，1，t，3) T 线性相关，则 t= 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析： 1 ， 2 ， 3 线性相关的充要条件是齐次方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 =0 有非零解 对系数矩阵高斯消元，化为阶梯形，于是有 8.若 1 =(1，-1，2，4) T ， 2 =(0，3，1，2) T ， 3 =(3，0，7，a) T ， 4 =(1，-2，2，0) T 线性无关，则 a 的取值范围为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a14）解析：解析：n 个 n
18、 维向量 1 ， 2 ， n 线性无关 1 ， 2 ， n 0因为 9.若 =(1，2，t) T 可由 1 =(2，1，1) T ， 2 =(-1，2，7) T ， 3 =(1，-1，-4) T 线性表出，则 t= 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析： 可以由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表出的充要条件是线性方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 有解 对增广矩阵高斯消元，化为阶梯形，即 10.设 1 =(1，2，1) T ， 2 =(2，3，a) T ， 3 =(1，a+2，-2) T ，若 1 =(1，3，4) T 可以由 1 ， 2
19、， 3 线性表出， 2 =(0，1，2) T 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 a= 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-1）解析：解析：依题意，方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 1 有解，而方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 2 无解.因为 两个方程组的系数矩阵相同，故可合并一次加减消元，即 三、解答题(总题数：17，分数：34.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：12.若 i1 ， i2 ， ir 与 j1 ， j2 ， jt 都是 1 ， 2 ， s 的极大线性无关组，则
20、r=t（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 i1 ， i2 ， ir 是极大线性无关组，所以添加 j1 后 i1 ， ir ， j1 必线性相关那么 j1 可由 i1 ， i2 ， ri 线性表出类似地， j2 ， jr 也都可由 i1 ， i2 ， ir 线性表出. 又因 j1 ， j2 ， jt 线性无关，得知 tr同理，rt所以，r=t)解析：13.设 A，B 都是 mn 矩阵，则 r(A+B)r(A)+r(B)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A 的列向量中 i1 ， i2 ， ir 是其一个极大线性无关组， j1 ， j2 ， jt 是 B 的列向量的一个极大线
21、性无关组那么，A 的每一个列向量均可以由 i1 ， i2 ， ir 线性表出，B 的每一个列向量均能用 j1 ， j2 ， jt 线性表出于是 A+B 的每一个列向量 k + k 都能用 i1 ， i2 ， ir ， j1 ， j2 ， jt 线性表出因此，A+B 列向量组中极大线性无关组的向量个数不大于向量组 i1 ， i2 ， ir ， j1 ， j2 ， jt 中向量个数，即 r(A+B)r+t=r(A)+r(B)解析：14.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nP 矩阵，如 AB=0，则 r(A)+r(B)n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：构造齐次方程组 Ax=0，对矩阵 B 按
22、列分块，记 B=( 1 ， 2 ， p )，那么 AB=A( 1 ， 2 ， p )=(A 1 ，A 2 ，A p )=(0，0，0)， 于是 1 ， 2 ， p )解析：15.已知 1 =(1，1，1，0) T ， 2 =(0，1，2，1) T ， 3 =(3，1，-2，1) T 线性无关，则将其正交化，有（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1 = 1 =(1，1，1，0) T ， )解析：16.判断 1 =(1，0，2，3) T ， 2 =(1，1，3，5) T ， 3 =(1，-1，a+2，1) T ， 4 =(1，2，4，a+9) T 的线性相关性（分数：2.00）_正确答案：
23、(正确答案：设 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 +x 4 4 =0，按分量写出，有 对系数矩阵高斯消元，有 )解析：17.已知 1 =(1， -1，1) T ， 2 =(1，t，-1) T ， 3 =(t，1，2) T ，=(4，t 2 ，-4) T ，若 可以由 1 ， 2 ， 3 线性表出且表示法不唯一，求 t 及 的表达式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 =，按分量写出为 对增广矩阵高斯消元，得 由于 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出且表示法不唯一，所以方程组有无穷多解，故 r(A)= 3，从而 t=4此时，增广矩阵可化为 解
24、出 x 3 =u，x 2 =4-u，x 1 =-3u，所以 =3u 1 +(4-u) 2 +u 3 ， )解析：18.已知 可用 1 ， 2 ， m 线性表示，但不能用 1 ， 2 ， m-1 表出，试判断：() m 能否用 1 ， 2 ， m-1 ， 线性表示； () m 能否用 1 ， 2 ， m-1 线性表示，并说明理由（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： m 不能用 m 能否用 1 ， 2 ， m-1 线性表示，但能用 m 能否用 1 ， 2 ， m-1 ， 线性表示 因为 可用 m 能否用 1 ， 2 ， m 线性表示可设 x 1 1 +x 2 2 +x m m =， (*)
25、则必有 x m 0，否则 可用 1 ， 2 ， m-1 线性表示，与已知矛盾所以 m = (-x 1 1 -x 2 2 -x m-1 m-1 )，即 m 可由 1 ， 2 ， m-1 ， 线性表示 如 m =l 1 1 +l 2 2 +l m-1 m-1 ，代入(*)式知 =(x 1 +l 1 x m ) 1 +(x 2 +l 1 x m ) 2 +(x m-1 +l m-1 x m ) m-1 与已知矛盾即 m 不能用 21 ， 2 ， m-1 线性表示 r( 1 ， 2 ， m )=r( 1 ， 2 ， m ，)； (1) 又因 不能由 1 ， 2 ， m-1 线性表示，有 r( 1 ，
26、2 ， m-1 )+1=r( 1 ， 2 ， m-1 ，) (2) 那么 r( 1 ， 2 ， m ) r( 1 ， 2 ， m ，) r( 1 ， 2 ， m-1 ，) (整体局部) )解析：19.若向量组 1 ， 2 ， 3 线性相关，向量组 2 ， 3 ， 4 线性无关，试问 4 能否由 1 ， 2 ， 3 线性表出?并说明理由（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不能因为已知 2 ， 3 ， 4 线性无关，那么 2 ， 3 线性无关，又因 1 ， 2 ， 3 线性相关，所以 1 可由 2 ， 3 线性表出设 1 =l 2 2 +l 3 3 ，如 4 能由 1 ， 2 ， 3 线性表
27、出，那么 4 =k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 =(k 1 l 2 +k 2 ) 2 +(k 1 l 3 +k 3 ) 3 ， 即 4 可由 2 ， 3 线性表出，则 2 ， 3 ， 4 线性相关，与已知矛盾因此， 4 不能用 1 ， 2 ， 3 线性表出)解析：20.已知线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() 1 可由 2 ， 3 ， 4 线性表出因 k(1，-1，2，0) T 是相应齐次方程组 Ax=0 的通解，则( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) )解析：解析：从线性方程组的通解可看出相应齐次方程组的通解，亦可得到列向量组的秩及列向量 i 之间的联系21.已知
28、 1 ， 2 ， 3 线性无关，证明 2 1 +3 2 ， 2 - 3 ， 1 + 2 + 3 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)(定义法，拆项重组) 若 x 1 (2 1 +3 2 )+x 2 ( 2 - 3 )+x 3 ( 1 + 2 + 3 )=0，整理得 (2x 1 +x 3 ) 1 +(3x 1 +x 2 +x 3 ) 2 +(-x 2 +x 3 ) 3 =0. 由已知条件 1 ， 2 ， 3 线性无关，故组合系数必全为 0，即 故齐次方程组只有零解，即 x 1 =x 2 =x 3 =0因此 2 1 +3 2 ， 2 - 3 ， 1 + 2 + 3 线性无关.
29、(2)(用秩，等价向量组) 令 1 =2 1 +3 2 ， 2 = 2 - 3 ， 3 = 1 + 2 + 3 ，则有 1 =2 1 -3 2 -3 3 ， 2 =- 1 +2 2 +2 3 ， 3 =- 1 + 2 +2 3 ， 那么，向量组 1 ， 2 ， 3 与 1 ， 2 ， 3 可互相线性表出，它们是等价向量组，因而有相同的秩，由于 1 ， 2 ， 3 线性无关，则 r( 1 ， 2 ， 3 )=r( 1 ， 2 ， 3 )=3 所以， 1 ， 2 ， 3 线性无关，即 2 1 +3 2 ， 2 - 3 ， 1 + 2 + 3 线性无关 (3)(用秩) 因为 1 ， 2 ， 3 线性
30、无关，知其秩为 3，又 (2 1 +3 2 ， 2 - 3 ， 1 + 2 + 23 )=( 1 ， 2 ， 3 ) 而矩阵 )解析：22.设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数 k，使线性方程组 A k x=0 有解向量 ，且 A k-1 0 证明：向量组 ，A，A k-1 是线性无关的（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)(定义法，同乘) 设有常数 l 1 ，l 2 ，l k ，使得 l 1 +l 2 A+l k A k-1 =0， 用 A k-1 左乘上式，得 A k-1 (l 1 +l 2 Aa+l k A k-1 )=0 由 A k =0，知 A k+1 =A k+2 =0，
31、从而有 l 1 A k-1 =0因为 A k-1 0，所以 l 1 =0 类似 l 2 =l 3 =l k =0，故向量组 ，A，A k-1 线性无关 (2)(友证法) 如 ，A，A 2 ，A k-1 线性相关，则存在不全为 0 的数 l 1 ，l 2 ，l k ，使 l 1 +l 2 A+l k A k-1 =0 设 l 1 ，l 2 ，l k 中第一个不为 0 的数是 l i ，则 l i A i-1 +l i+1 A i +l k A k-1 =0 用 A k-i 左乘上式，利用 A k =A k+1 =0，得 l i A k-1 =0 由于 l i 0，得 A k-1 =0，与已知矛盾
32、)解析：23.设 A 是 nm 矩阵，B 是 mn 矩阵，其中 nm，若 AB=E，证明 B 的列向量线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)(定义法，同乘) 对矩阵 B 按列分块，记 B=( 1 ， 2 ， n )，若 x 1 1 +x 2 2 +x n n =0，用分块矩阵可写成 用矩阵 A 左乘上式，并代人 AB=E，得X=Ex=ABx=AO=0所以 B 的列向量 1 ， 2 ， s 线性无关 (2)(用秩) 对于 AB=E，把 B 与 E均按行分块，记作 )解析：24.设 A 是 n 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是 n 维列向量，且 1 0，A 1 =k 1 ，A 2
33、 =l 1 +k 2 ，A 3 =l 2 +l 3 ，l0，证明 1 ， 2 ， 3 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(定义法，同乘) 若 k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 =0，用 A-kE 层左乘有 k 1 (A-kE) 1 +k 2 (A-kE) 2 +k 3 (A-kE) 3 =0， 即 k 2 l 1 +k 3 l 2 =0， 亦即 k 2 1 +k 3 2 =0 再用 A-kE 左乘，可得 k 3 1 =0 由 1 0，故必有 k 3 =0，依次往上代人得 k 2 =0 及 k 1 =0，所以 1 ， 2 ， 3 线性无关)解析：解析：对 k 1 1 +k
34、2 2 +k 3 3 =0，如何证明组合系数 k 1 =k 2 =k 3 =0 呢?要作恒等变形就应仔细分析已知条件，A i 的条件其实就是 (A-kE) 1 =0， (A-kE) 2 =l 1 ， (A-kE) 3 =l 2 25.证明 n 维列向量 1 ， 2 ， n 线性无关的充要条件是 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 A=( 1 ， 2 ， n )，则 D=A T A那么 D=A T A=A T A=A 2 可见A0 的充要条件是 D0，即 1 ， 2 ， 3 线性无关的充要条件是 D0 (2)如 x 1 1 +x 2 2 +x n n =0，分别用 1 ， 2 ， n 作内积，有 )解析：解析：要证 n 个 n 维向量线性无关，可利用充要条件 1 ， 2 ， n 0由于内积 (，)=a 1 b
