1、考研数学三（N 维向量）-试卷 2 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 n 维向量 1 ， 2 ， s ，下列命题中正确的是（分数：2.00）A.如果 1 ， 2 ， s 线性无关，那么 1 + 2 ， 2 + 3 ， s-1 + s ， s + 1 也线性无关B.如果 1 ， 2 ， s 线性无关，那么和它等价的向量组也线性无关C.如果 1 ， 2 ， s 线性相关，A 是 mn 非零矩阵，那么 A 1 ，A 2 ，A s 也线性相关D.如果 1
2、， 2 ， s 线性相关，那么 s 可由 1 ， 2 ， s-1 线性表出3.已知 A= （分数：2.00）A.a=b0B.ab 且 a+2b=0C.a+2b0.D.ab 且 a+2b04.设 A 是 mn 矩阵，r(A)=mn，则下列命题中不正确的是（分数：2.00）A.A 经初等行变换必可化为(E m ，0)B.C.如 m 阶矩阵 B 满足 BA=0，则 B=0.D.行列式A T A=0.二、填空题(总题数：12，分数：24.00)5.向量组 1 =(1，0，1，2) T ， 2 =(1，1，3，1) T ， 3 =(2，-1，a+1，5) T 线性相关，则 a= 1（分数：2.00）填空
3、项 1:_6.已知 1 =(a，a，a) T ， 2 =(-a，a，b) T ， 3 =(-a，-a，-b) T 线性相关，则 a，b 满足关系式 1.（分数：2.00）填空项 1:_7.已知 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 + 2 ，a 2 - 3 ， 1 - 2 + 3 线性相关，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_8.若 =(1，3，0) T 不能由 1 =(1，2，1) T ， 2 =(2，3，a) T ， 3 =(1，a+2，-2) T 线性表出，则 a= 1.（分数：2.00）填空项 1:_9.任意 3 维向量都可用 1 =(1，0，1) T ， 2 =(1，-2，3)
4、 T ， 3 =(a，1，2) T 线性表出，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_10.已知 1 =(1，2，3，4) T ， 2 =(2，0，-1，1) T ， 3 =(6，0，0，5) T ，则向量组的秩 r( 1 ， 2 ， 3 )= 1，极大线性无关组是 2（分数：2.00）填空项 1:_11.向量组 1 =(1，-1，3，0) T ， 2 =(-2，1，a，1) T ， 3 =(1，1，-5，-2) T 的秩为 2，则a= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.已知 r( 1 ， 2 ， s )=r( 1 ， 2 ， s ，)=r，r( 1 ， 2 ， s ，)=r+1，则
5、 r( 1 ， 2 ， s ，)= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设 4 阶矩阵 A 的秩为 2，则 r(A * )= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_15.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_16.与 1 =(1，-1，0，2) T ， 2 =(2，3，1，1) T ， 3 =(0，0，1，2) T 都正交的单位向量是 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：22.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_18.已知 1 =(1，1，0，2) T ， 2 =(-
6、1，1，2，4) T ， 3 =(2，3，a，7) T ， 4 =(-1，5，-3，a+6) T ，=(1，0，2，6) T ，问 a，b 取何值时，() 不能由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表示?() 能用 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出，且表示法唯一；() 能用 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出，且表示法不唯一，并写出此时表达式（分数：2.00）_19.已知向量组 1 = （分数：2.00）_20.已知 1 ， 2 ， s 是互不相同的数，n 维向量 i =(1， i ， i 2 ， i n-1 ) T (i=1，2，s)，求向量组 1 ， 2 ， s 的秩（分数：2.00）
7、_21.如果秩 r( 1 ， 2 ， s )=r( 1 ， 2 ， s ， s+1 )，证明 s+1 可由 1 ， 2 ， s 线性表出（分数：2.00）_22.设 A 是 n 阶非零矩阵，A * 是 A 的伴随矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，如果 A T =A * ，证明任一 n 维列向量均可由矩阵 A 的列向量线性表出（分数：2.00）_23.证明 1 ， 2 ， s (其中 1 0)线性相关的充分必要条件是存在一个 i (1is)能由它前面的那些向量 1 ， 2 ， i-1 线性表出（分数：2.00）_24.向量组 1 =(1，-1，3，0) T ， 2 =(-2，1，a，1) T ，
8、 3 =(1，1，-5，-2) T 的秩为 2，则a=_（分数：2.00）_25.已知 r( 1 ， 2 ， s )=r( 1 ， 2 ， s ，)=r，r( 1 ， 2 ， s ，)=r+1，则 r( 1 ， 2 ， s ，)=_（分数：2.00）_26.设 4 阶矩阵 A 的秩为 2，则 r(A * )=_（分数：2.00）_27.设 A 是 n 阶反对称矩阵，x 是 n 维列向量，如 Ax=Y，证明 x 与 y 正交（分数：2.00）_考研数学三（N 维向量）-试卷 2 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个
9、选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 n 维向量 1 ， 2 ， s ，下列命题中正确的是（分数：2.00）A.如果 1 ， 2 ， s 线性无关，那么 1 + 2 ， 2 + 3 ， s-1 + s ， s + 1 也线性无关B.如果 1 ， 2 ， s 线性无关，那么和它等价的向量组也线性无关C.如果 1 ， 2 ， s 线性相关，A 是 mn 非零矩阵，那么 A 1 ，A 2 ，A s 也线性相关 D.如果 1 ， 2 ， s 线性相关，那么 s 可由 1 ， 2 ， s-1 线性表出解析：解析：(A)：当 s 为偶数时，命题不正确例如， 1 + 2 ， 2
10、 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 线性相关 (B)：两个向量组等价时，这两个向量组中向量个数可以不一样，因而线性相关性没有必然的关系 例如， 1 ， 2 ， s 与 1 ， 2 ， s ，0 等价，但后者必线性相关 (C)：因为(A 1 ，A 2 ，A s )=A( 1 ， 2 ， s )，于是 r(A 1 ，A 2 ，A s )=rA( 1 ， 2 ， s )r( 1 ， 2 ， s )s， 所以，A 1 ，A 2 ，A s 必线性相关故应选(C)3.已知 A= （分数：2.00）A.a=b0B.ab 且 a+2b=0 C.a+2b0.D.ab 且 a+2b0解析：解析：由 r(A
11、* )= 4.设 A 是 mn 矩阵，r(A)=mn，则下列命题中不正确的是（分数：2.00）A.A 经初等行变换必可化为(E m ，0) B.C.如 m 阶矩阵 B 满足 BA=0，则 B=0.D.行列式A T A=0.解析：解析：经初等变换可以把矩阵 A 化为标准形，但一般应当既有初等行变换也有初等列变换，只用一种不一定能把 A 化为标准形例如， ，只用初等行变换就不能化为标准形(E 2 ，0)形式，(A)不正确故应选(A) 因为 A 是 mn 矩阵，r(A)=m 说明矩阵 A 的行向量组必线性无关，那么其延伸组必线性无关，所以 二、填空题(总题数：12，分数：24.00)5.向量组 1
12、=(1，0，1，2) T ， 2 =(1，1，3，1) T ， 3 =(2，-1，a+1，5) T 线性相关，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-1）解析：解析： 1 ， 2 ， 3 线性相关 =0 有非零解由于 6.已知 1 =(a，a，a) T ， 2 =(-a，a，b) T ， 3 =(-a，-a，-b) T 线性相关，则 a，b 满足关系式 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a=0 或 a=b）解析：解析：n 个 n 维向量线性相关 1 ， 2 ， n =0而 1 ， 2 ， 3 = 7.已知 1 ， 2 ， 3 线性无关，
13、1 + 2 ，a 2 - 3 ， 1 - 2 + 3 线性相关，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：记 1 = 1 + 2 ， 2 =a 2 - 3 ， 3 = 1 - 2 + 3 ，则 1 ， 2 ， 3 线性相关 8.若 =(1，3，0) T 不能由 1 =(1，2，1) T ， 2 =(2，3，a) T ， 3 =(1，a+2，-2) T 线性表出，则 a= 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-1）解析：解析： 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出 方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 =无解又 9.任意
14、 3 维向量都可用 1 =(1，0，1) T ， 2 =(1，-2，3) T ， 3 =(a，1，2) T 线性表出，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：任何 3 维向量 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出 因而 10.已知 1 =(1，2，3，4) T ， 2 =(2，0，-1，1) T ， 3 =(6，0，0，5) T ，则向量组的秩 r( 1 ， 2 ， 3 )= 1，极大线性无关组是 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3； 1 ， 2 ， 3）解析：解析：( 1 ， 2 ， 3 )= 11.向量组 1 =(1，-1
15、，3，0) T ， 2 =(-2，1，a，1) T ， 3 =(1，1，-5，-2) T 的秩为 2，则a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-2）解析：解析：r( 1 ， 2 ， 3 )=2，即矩阵( 1 ， 2 ， 3 )的秩 2，经初等变换矩阵秩不变，由 12.已知 r( 1 ， 2 ， s )=r( 1 ， 2 ， s ，)=r，r( 1 ， 2 ， s ，)=r+1，则 r( 1 ， 2 ， s ，)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：r+1）解析：解析：r( 1 ， 2 ， s )=r( 1 ， 2 ， s ，)=r 表明 可由
16、1 ， 2 ， s 线性表出，r( 1 ， 2 ， s ，)=r+1 表明 不能由 1 ， 2 ， s 线性表出作列变换有 ( 1 ， 2 ， s ，)( 1 ， 2 ， s ，0，)， 故 r( 1 ， 2 ， s ，)=r+113.设 4 阶矩阵 A 的秩为 2，则 r(A * )= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由 r(A * )= 14.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由 A 可逆，知 A * 可逆，那么 r(AXA * )=r(X)，从而 r(B)=2. B 中已有 2 阶子式非 0，所以
17、r(B)=2 B=0于是 15.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 BA T =0 有 r(B)+r(A T )3，即 r(A)+r(B)3 又 B0，有 r(B)1，从而 k(A)3，即A=0于是 16.与 1 =(1，-1，0，2) T ， 2 =(2，3，1，1) T ， 3 =(0，0，1，2) T 都正交的单位向量是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 ) T 与 1 ， 2 ， 3 均正交，则 T i =0(i=1，2，3)，即 求出基础解系：(1
18、，-1，2，-1) T ，单位化得 三、解答题(总题数：11，分数：22.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.已知 1 =(1，1，0，2) T ， 2 =(-1，1，2，4) T ， 3 =(2，3，a，7) T ， 4 =(-1，5，-3，a+6) T ，=(1，0，2，6) T ，问 a，b 取何值时，() 不能由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表示?() 能用 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出，且表示法唯一；() 能用 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出，且表示法不唯一，并写出此时表达式（分数：2.00）_正确答案：(正确答
19、案：设 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 +x 3 4 =，对增广矩阵( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ：)作初等行变换，有 ()当 a=1，b2 或 a=10，b-1 时，方程组均元解所以 不能由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出. ()当 a1 且 a10 时， 方程组均有唯一解所以 能用 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表示且表示法唯一. ()方程组在两种情况下有无穷多解，即(1)当 a=10，b=-1 时，方程组有无穷多解： (2)当 a=1，b=2 时，方程组有无穷多解： )解析：19.已知向量组 1 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 3 可由 1 ， 2
20、， 3 线性表示，故方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 有解由 又由 3 =3 1 +2 2 ，且 1 ， 2 线性无关，知秩 r( 1 ， 2 ， 3 )=2 于是 r( 1 ， 2 ， 3 )=2 从而 1 ， 2 ， 3 = )解析：20.已知 1 ， 2 ， s 是互不相同的数，n 维向量 i =(1， i ， i 2 ， i n-1 ) T (i=1，2，s)，求向量组 1 ， 2 ， s 的秩（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 sn 时， 1 ， 2 ， s 必线性相关，但 1 ， 2 ， n 是范德蒙行列式，故 1 ， 2 ， n 线性无关因而 r( 1
21、 ， 2 ， s )=n 当s=n 时， 1 ， 2 ， n 线性无关，秩 r( 1 ， 2 ， n )=n. 当 sn 时，记 )解析：21.如果秩 r( 1 ， 2 ， s )=r( 1 ， 2 ， s ， s+1 )，证明 s+1 可由 1 ， 2 ， s 线性表出（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 r( 1 ， 2 ， s )=r( 1 ， 2 ， s ， s+1 )=r，且 i1 ， i2 ， ir 是向量组 1 ， 2 ， s 的极大线性无关组，那么 i1 ， i2 ， ir 也是 1 ， 2 ， s ， s+1 的极大线性无关组从而 s+1 可由 i1 ， i2 ， i
22、r 线性表出那么 s+1 可由 1 ， 2 ， s 线性表出 或者考察方程组 x 1 1 +x 2 2 +x s s = s+1 因为 r( 1 ， 2 ， s )=r( 1 ， 2 ， s ， s+1 )，所以方程组 x 1 1 +x 2 2 +x s s = s+1 有解因此 s+1 可由 1 ， 2 ， s 线性表出)解析：22.设 A 是 n 阶非零矩阵，A * 是 A 的伴随矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，如果 A T =A * ，证明任一 n 维列向量均可由矩阵 A 的列向量线性表出（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A * =A T ，按定义有 A ij =a ij
23、 ( ，j=1，2，n)，其中 A ij 是行列式A中 a ij 的代数余子式 由于 A0，不妨设 a 11 0，那么 A=a 11 A 11 +a 12 A 12 +a 1n A 1n = )解析：23.证明 1 ， 2 ， s (其中 1 0)线性相关的充分必要条件是存在一个 i (1is)能由它前面的那些向量 1 ， 2 ， i-1 线性表出（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性因为 1 ， 2 ， n 线性相关，故有不全为 0 的 k 1 ，k 2 ，k s ，使 k 1 1 ，k 2 2 ，k s s =0 设 k s ，k s-1 ，k 2 ，k 1 中第一个不为 0 的
24、是 k i (即 k i 0，而 k i+1 =k s-1 =k s =0)，且必有 i1(若 i=l 即 k 1 0，k 2 =k s =0，那么 k 1 1 =0于是 1 =0 与 1 0 矛盾)，从而 k 1 1 +k 2 2 +k i i =0， k i 0那么 i = )解析：24.向量组 1 =(1，-1，3，0) T ， 2 =(-2，1，a，1) T ， 3 =(1，1，-5，-2) T 的秩为 2，则a=_（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(用秩) 因为 AB=C，所以 r(AB)r(A)，即 r(A)r(C)=m又 A 是 mn 矩阵，r(A)m，从而 r(A)=m
25、因为 r(A)=A 的行秩，所以 A 的行向量组线性无关)解析：25.已知 r( 1 ， 2 ， s )=r( 1 ， 2 ， s ，)=r，r( 1 ， 2 ， s ，)=r+1，则 r( 1 ， 2 ， s ，)=_（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对齐次方程组()ABx=0， ()Bx=0， 如 是()的解，有 B=0，那么AB=0，于是 是()的解 如 是()的解，有 AB=0，因为 A 是 mn 矩阵，秩 r(A)=n，所以Ax=0 只有零解，从而 B=0于是 是()的解 因此方程组()与()同解那么 s-r(AB)=s-r(B)，即 r(AB)=r(B) 所以 r(B)=r(C)解析：26.设 4 阶矩阵 A 的秩为 2，则 r(A * )=_（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先正交化： 再单位化： )解析：27.设 A 是 n 阶反对称矩阵，x 是 n 维列向量，如 Ax=Y，证明 x 与 y 正交（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A T =-A，Ax=Y，所以(x，y)=x T y=x T Ax 又(y，x)=y T x=(Ax) T x=-x T Ax，因此 x T Ax=-x T Ax故 x T Ax=0 所以(x，y)=0)解析：
