1、考研数学三线性代数（矩阵的特征值和特征向量）-试卷 3 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.已知 P -1 AP= （分数：2.00）A. 1 ，- 2 ， 3 B. 1 ， 2 + 3 ， 2 -2 3 C. 1 ， 3 ， 2 D. 1 + 2 ， 1 - 2 ， 3 3.设 A 为 n 阶可逆矩阵， 是 A 的一个特征值，则 A 的伴随矩阵 A * 的特征值之一是( )（分数：2.00）A. -1 AB. -1 AC.AD.A n 4.已知 A
2、是三阶矩阵，r(A)=1，则 =0( )（分数：2.00）A.必是 A 的二重特征值B.至少是 A 的二重特征值C.至多是 A 的二重特征值D.一重、二重、三重特征值都有可能5.设 =2 是非奇异矩阵 A 的一个特征值，则矩阵 有一特征值等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.三阶矩阵 A 的特征值全为零，则必有( )（分数：2.00）A.秩 r(A)=0B.秩 r(A)=1C.秩 r(A)=2D.条件不足，不能确定7.设 n 阶矩阵 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则( )（分数：2.00）A.E-A=E-BB.A 与 B 有相同的特征值和特征向量C.A 和 B 都相似于
3、一个对角矩阵D.对任意常数 t，tE-A 与 tE-B 相似8.n 阶矩阵 A 和 B 具有相同的特征值是 A 和 B 相似的( )（分数：2.00）A.充分必要条件B.必要而非充分条件C.充分而非必要条件D.既非充分也非必要条件二、填空题(总题数：7，分数：14.00)9.设 A 是 3 阶实对称矩阵，特征值分别为 0，1，2，如果特征值 0 和 1 对应的特征向量分别为 1 =(1，2，1) T ， 2 =(1，-1，1) T ，则特征值 2 对应的特征向量是 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设 A 为 2 阶矩阵， 1 ， 2 为线性无关的 2 维列向量，A 1 =0，A 2 =
4、2 1 + 2 ，则 A 的非零特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设 n 阶可逆矩阵 A 的一个特征值是-3，则矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_12.若 3 维列向量 ， 满足 T =2，其中 T 为 的转置，则矩阵 T 的非零特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设 =(1，-1，a) T 是 A= （分数：2.00）填空项 1:_14.已知矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_15.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：26.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设矩阵
5、 A 与 B 相似，且 A= （分数：2.00）_18.设 A= ，正交矩阵 Q 使得 Q T AQ 为对角矩阵若 Q 的第一列为 （分数：2.00）_19.已知 A 是 3 阶实对称矩阵，满足 A 4 +2A 3 +A 4 +2A=O，且秩 r(A)=2，求矩阵 A 的全部特征值，并求秩 r(A+E)（分数：2.00）_20.设 A 是 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性无关的 3 维列向量，且 A 1 = 1 - 2 + 3 ，A 2 =4 1 -3 2 +5 3 ，A 3 =0求矩阵 A 的特征值和特征向量（分数：2.00）_21.设 A 是 n 阶矩阵，A=E+xy T ，x 与
6、 y 都是 n1 矩阵，且 y T x=2，求 A 的特征值、特征向量（分数：2.00）_22.设矩阵 A= （分数：2.00）_23.已知 A= （分数：2.00）_24.已知矩阵 A 与 B 相似，其中 A= （分数：2.00）_25.已知 A= （分数：2.00）_26.已知 A （分数：2.00）_27.设矩阵 A= （分数：2.00）_28.设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1 = 2 =6 是 A 的二重特征值，若 1 =(1，1，0) T ， 2 =(2，1，1) T ，= 3 (-1，2，-3) T 都是 A 属于 =6 的特征向量，求矩阵 A（分数：2.00）_考研数学
7、三线性代数（矩阵的特征值和特征向量）-试卷 3 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.已知 P -1 AP= （分数：2.00）A. 1 ，- 2 ， 3 B. 1 ， 2 + 3 ， 2 -2 3 C. 1 ， 3 ， 2 D. 1 + 2 ， 1 - 2 ， 3 解析：解析：若 P -1 AP=A= 3.设 A 为 n 阶可逆矩阵， 是 A 的一个特征值，则 A 的伴随矩阵 A * 的特征值之一是( )（分数：2.00）A. -1 AB. -1
8、A C.AD.A n 解析：解析：设向量 x(x0)是与 对应的特征向量，则由特征值与特征向量的定义有 Ax=x 上式两边左乘 A * ，并考虑到 A * A=AE， 得 A * Ax=A * (x)， 即 Ax=A * x， 从而 可见 A * 有特征值 4.已知 A 是三阶矩阵，r(A)=1，则 =0( )（分数：2.00）A.必是 A 的二重特征值B.至少是 A 的二重特征值 C.至多是 A 的二重特征值D.一重、二重、三重特征值都有可能解析：解析：A 的对应 的线性无关特征向量的个数特征值的重数r(A 33 )=1，即 r(0E-A)=1，(0E-A)x=0 必有两个线性无关特征向量故
9、 =0 的重数2至少是二重特征值，也可能是三重例如 A= 5.设 =2 是非奇异矩阵 A 的一个特征值，则矩阵 有一特征值等于( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因为 为 A 的非零特征值，所以 2 为 A 2 的特征值， 为(A 2 ) -1 的特征值因此 的特征值为 6.三阶矩阵 A 的特征值全为零，则必有( )（分数：2.00）A.秩 r(A)=0B.秩 r(A)=1C.秩 r(A)=2D.条件不足，不能确定 解析：解析：考查下列矩阵7.设 n 阶矩阵 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则( )（分数：2.00）A.E-A=E-BB.A 与 B 有相同的特征值
10、和特征向量C.A 和 B 都相似于一个对角矩阵D.对任意常数 t，tE-A 与 tE-B 相似 解析：解析：因为由 A 与 B 相似不能推得 A=B，所以选项 A 不正确 相似矩阵具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但不一定具有相同的特征向量，故选项 B 也不正确 对于选项 C，因为根据题设不能推知 A，B 是否相似于对角阵，故选项 C 也不正确 综上可知选项 D 正确事实上，因 A 与 B 相似，故存在可逆矩阵 P，使 P -1 AP=B 于是 P -1 (tE-A)P=tE-P -1 AP=tE-B 可见对任意常数 t，矩阵 tE-A与 tE-B 相似所以应选 D8.n 阶矩阵 A
11、和 B 具有相同的特征值是 A 和 B 相似的( )（分数：2.00）A.充分必要条件B.必要而非充分条件 C.充分而非必要条件D.既非充分也非必要条件解析：解析：由 A-B，即存在可逆矩阵 P，使 P -1 AP=B，故 E-B=E-P -1 AP=P -1 (E-A)P =P -1 E-AP=E-A 即 A 与 B 有相同的特征值 但当 A，B 有相同特征值时，A与 B 不一定相似，例如 二、填空题(总题数：7，分数：14.00)9.设 A 是 3 阶实对称矩阵，特征值分别为 0，1，2，如果特征值 0 和 1 对应的特征向量分别为 1 =(1，2，1) T ， 2 =(1，-1，1) T
12、 ，则特征值 2 对应的特征向量是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：t(-1，0，1) T ，t0）解析：解析：设所求的特征向量为 =(x 1 ，x 2 ，x 3 )，因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量是正交的，因此有 10.设 A 为 2 阶矩阵， 1 ， 2 为线性无关的 2 维列向量，A 1 =0，A 2 =2 1 + 2 ，则 A 的非零特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：根据题设条件，得 A( 1 ， 2 )=(A 1 ，A 2 )=(0，2 1 + 2 )=( 1 ， 2 ) 记 P=( 1 ， 2 )
13、，因 1 ， 2 线性无关，故 P=( 1 ， 2 )是可逆矩阵因此 ，则 A 与 B 相似，从而有相同的特征值 因为 11.设 n 阶可逆矩阵 A 的一个特征值是-3，则矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据矩阵特征值的特点，A 有特征值-3，所以 有特征值12.若 3 维列向量 ， 满足 T =2，其中 T 为 的转置，则矩阵 T 的非零特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为 T =2，所以 T =( T )=2，故 T 的非零特征值为 213.设 =(1，-1，a) T 是 A= （分数：2.0
14、0）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-1）解析：解析： 是 A * 的特征向量，设对应于 的特征值为 0 ，则有 A * = 0 ，该等式两端同时左乘 A，即得 AA * =A= 0 A，即 展开成方程组的形式为 14.已知矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-3）解析：解析：已知一个矩阵的所有特征值的和等于该矩阵对角线元素的和，因此 a+3+(-1)= t =3，所以 a=1又因为矩阵所有特征值的乘积等于矩阵对应行列式的值，因此有 15.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： =(-2)( 2 -2-2(a-2
15、)=0 如果 =2 是二重根，则有 =2 的时候， 2 -2-2(a-2)的值为 0，可得 a 的值为 2 如果 2 -2-2(a-2)=0 是完全平方，则有(-1) 2 =0，满足=1 是一个二重根，此时-2(a-2)=1，即 a= 三、解答题(总题数：13，分数：26.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设矩阵 A 与 B 相似，且 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 A-B，则有， 于是得 a=5，b=6 且由 AB，知 A 与 B 有相同的特征值，于是 A 的特征值是 1 = 2 =2， 3 =6 当 =2 时，解
16、齐次线性方程组(2E-A)x=0 得到基础解系为 1 =(1，-1，0) T ， 2 =(1，0，1) T ，即属于 =2 的两个线性无关的特征向量 当 =6 时，解齐次线性方程组(6E-A)x=0，得到基础解系是(1，-2，3) T ，即属于 =6 的特征向量 那么，令P=( 1 ， 2 ， 3 )= )解析：18.设 A= ，正交矩阵 Q 使得 Q T AQ 为对角矩阵若 Q 的第一列为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：按已知条件，(1，2，1) T 是矩阵 A 的特征向量，设特征值是 1 ，那么 知矩阵 A 的特征值是：2，5，-4 对 =5，由(5E-A)x=0，对系数矩阵作
17、初等变换 得出基础解系 2 =(1，-1，1) T 对 =-4，由(-4E-A)x=0，对系数矩阵作初等变换 得基础解系 3 =(-1，0，1) T 因为 A 是实对称矩阵，不同特征值的特征向量相互正交，故只需单位化 2 ， 3 有 那么令 Q= )解析：19.已知 A 是 3 阶实对称矩阵，满足 A 4 +2A 3 +A 4 +2A=O，且秩 r(A)=2，求矩阵 A 的全部特征值，并求秩 r(A+E)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 是矩阵 A 的任一特征值， 是属于特征值 的特征向量，则A=(0)，于是 A n = n 那么用 右乘 A 4 +2A 3 +A 2 +2A=0，
18、得( 4 +2 3 + 2 +2)=0 因为特征向量 0，故 4 +2 3 + 2 +2=( 3 +2 2 +2)=(+2)( 2 +1)=0由于实对称矩阵的特征值必是实数，从而矩阵 A 的特征值是 0 或-2 由于实对称矩阵必可相似对角化，且秩 r(A)=r(A)=2，所以 A 的特征值是 0，-2，-2 因 AA，则有 A+EA+E= )解析：20.设 A 是 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性无关的 3 维列向量，且 A 1 = 1 - 2 + 3 ，A 2 =4 1 -3 2 +5 3 ，A 3 =0求矩阵 A 的特征值和特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A
19、3 =0=0 3 ，知 A=0 是 A 的特征值， 3 是 =0 的特征向量 由已知条件有 A( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 - 2 +3 3 ，4 1 -3 2 +5 3 ，0)， 记 P=( 1 ， 2 ， 3 )，由 1 ， 2 ， 3 线性无关，故矩阵 P 可逆，因此有 P -1 AP=B，其中 B= ，因此 AB 因为相似矩阵有相同的特征值，而矩阵 B 的特征多项式 所以矩阵 B，也即 A的特征值为-1，-1，0 对于矩阵 B， 所以矩阵 B 对应于特征值 =-1 的特征向量是 =(-2，1，1) T ，若 B=，则有(P -1 AP)=，即 A(P)=(=)，那么矩阵 A 关于
20、特征值 =-1的特征向量是 )解析：21.设 A 是 n 阶矩阵，A=E+xy T ，x 与 y 都是 n1 矩阵，且 y T x=2，求 A 的特征值、特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 B=xy T = (y 1 ，y 2 ，y n )，则 B 2 =(xy T )(xy T )=x(y T x)y T =2xy T =2B，可见 B 的特征值只能是 0 或 2 因为 )解析：22.设矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：矩阵 A 的特征多项式为 如果 =2 是单根，则 2 -8+18+3a 是完全平方，那么有 18+3a=16，即 a= 则矩阵 A 的特
21、征值是 2，4，4，而 r(4E-A)=r =2，故 =4 只有一个线性无关的特征向量，从而 A 不能相似对角化 如果 =2 是二重特征值，则将 =0 代人 2 -8+18+3a=0，则有 18+3a=12，即 a=-2 于是 2 -8+18-3a=(-2)(-6)则 矩阵 A 的特征值是2，2，6，而 r(2EA)=r )解析：23.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求 A 的特征值、特征向量矩阵 A 的特征多项式 于是 A 的特征值是-1(二重)，0 对 =-1，解齐次方程组(-E-A)x=0，由系数矩阵 得特征向量 1 =(-2，1，0) T ， 2 =(1，0，1
22、) T 对 =0，解方程组 AX=0，由系数矩阵 ，得特征向量 3 =(2，0，1) T 令 P=( 1 ， 2 ， 3 )= )解析：24.已知矩阵 A 与 B 相似，其中 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AB，得 解得 a=7，b=-2 由矩阵 A 的特征多项式E-A= = 2 -4-5，得 A 的特征值是 1 =5， 2 =-1它们亦是矩阵 B 的特征值 分别解齐次线性方程组(5E-A)x=0，(-E-A)x=0，可得到矩阵 A 的属于 1 =5， 2 =-1 的特征向量依次为 1 =(1，1) T ， 2 =(-2，1) T 解齐次线性方程组(5E-B)x=0，(-
23、E-B)x=0，可得到矩阵 B 的特征向量分别是 1 =(-7，1) T ， 2 =(-1，1) T 那么，令 )解析：25.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A= )解析：26.已知 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由矩阵 A 特征多项式 知矩阵 A 的特征值为 1 = 2 =1， 3 =-2 因为矩阵 A 可以相似对角化，故 r(E-A)=1而 所以 x=6 当 =1 时，由(E-A)x=0，得基础解系 1 =(-2，1，0) T ， 2 =(0，0，1) T 当 =-2 时，由(-2E-A)x=0，得基础解系 3 =(-5，1，3) T 令 P=(
24、 1 ， 2 ， 3 )= )解析：27.设矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A * =，由 AA * =AE，有A=A，即 )解析：28.设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1 = 2 =6 是 A 的二重特征值，若 1 =(1，1，0) T ， 2 =(2，1，1) T ，= 3 (-1，2，-3) T 都是 A 属于 =6 的特征向量，求矩阵 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 r(A)=2 知，A=0，所以 =0 是 A 的另_特征值 因为 1 = 2 =6 是实对称矩阵的二重特征值，故 A 属于 =6 的线性无关的特征向量有两个，因此 1 ， 2 ， 3 必线性相关，显然 1 ， 2 线性无关 设矩阵 A 属于 =0 的特征向量 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，由于实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故有 解出此方程组的基础解系 =(-1，1，1) T 根据 A( 1 ， 2 ， 3 )=(6 1 ，6 2 ，0)，因此 A=(6 1 ，6 2 ，0)( 1 ， 2 ，) -1 = )解析：
