1、考研数学三线性代数（矩阵的特征值和特征向量）-试卷 1 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，已知 n 维列向量 是 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵(P -1 AP) T 属于特征值 的特征向量是( )（分数：2.00）A.P -1 B.P T C.PD.(P -1 ) T 3.n 阶矩阵 A 具有 n 个线性无关的特征向量是 A 与对角矩阵相似的( )（分数：2.00）A.充分必要条件B.充分
2、而非必要条件C.必要而非充分条件D.既非充分也非必要条件4.n 阶矩阵 A 和 B 具有相同的特征向量是 A 和 B 相似的( )（分数：2.00）A.充分必要条件B.充分而非必要条件C.必要而非充分条件D.既非充分又非必要条件5.设三阶矩阵 A 的特征值是 0，1，-1，则下列命题中不正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A-E 是不可逆矩阵B.矩阵 A+E 和对角矩阵相似C.矩阵 A 属于 1 与-1 的特征向量相互正交D.方程组 Ax=0 的基础解系由一个向量构成6.已知 A 是一个三阶实对称正定的矩阵，那么 A 的特征值可能是( )（分数：2.00）A.3，i，-1B.2，-1，3
3、C.2，i，4D.1，3，47.下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.设 1 ， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1 ， 2 ，则 1 ，A( 1 + 2 )线性无关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A. 1 0B. 2 0C. 1 =0D. 2 =0二、填空题(总题数：7，分数：14.00)9.已知 =12 是 A= （分数：2.00）填空项 1:_10.设 A 是 3 阶矩阵，如果矩阵 A 的每行元素的和都是 2，则矩阵 A 必定有特征向量 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设 =(1，-1，a) T ，=(1
4、，a，2) T ，A=E+ T ，且 =3 是矩阵 A 的特征值，则矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量是 1（分数：2.00）填空项 1:_12.已知矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_13.已知矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_14.已知矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_15.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：24.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_17.已知 1 ， 2 ， 3 是 A 的特征值， 1 ， 2 ， 3 是相应的特征向量且线性无关，如 1 + 2 + 3 仍是 A 的特征向量，则
5、 1 = 2 = 3（分数：2.00）_已知非齐次线性方程组 （分数：4.00）(1).证明方程组系数矩阵 A 的秩 r(A)=2；（分数：2.00）_(2).求 a，b 的值及方程组的通解（分数：2.00）_设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值 1 =1， 2 =2， 3 =-2， 1 =(1，-1，1) T 是 A 的属于特征值 1 的一个特征向量，记 B=A 5 -4A 3 +E，其中 E 为 3 阶单位矩阵（分数：4.00）(1).验证 1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量；（分数：2.00）_(2).求矩阵 B（分数：2.00）_A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为
6、 2，且 （分数：4.00）(1).求 A 的所有特征值与特征向量；（分数：2.00）_(2).求矩阵 A（分数：2.00）_18.设 A 为正交阵，且A=-1，证明 =-1 是 A 的特征值（分数：2.00）_19.已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，2，-3，求A * +3A+2E（分数：2.00）_已知 p= （分数：4.00）(1).求参数 a，b 及特征向量 p 所对应的特征值；（分数：2.00）_(2).问 A 能相似对角化，并说明理由（分数：2.00）_20.设 A 2 -3A+2E=O，证明：A 的特征值只能取 1 或 2（分数：2.00）_考研数学三线性代数（矩阵的特征值和
7、特征向量）-试卷 1 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，已知 n 维列向量 是 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵(P -1 AP) T 属于特征值 的特征向量是( )（分数：2.00）A.P -1 B.P T C.PD.(P -1 ) T 解析：解析：设 是矩阵(P -1 AP) -1 属于 的特征向量，并考虑到 A 为实对称矩阵 A T =A，有 (P -1 AP) T =，即 P T
8、A(P -1 ) T = 把四个选项中的向量逐一代人上式替换 ，同时考虑到A=，可得选项 B 正确，即左端=P T A(P -1 ) T (P T )=P T A=P T =P T =右端 所以应选 B3.n 阶矩阵 A 具有 n 个线性无关的特征向量是 A 与对角矩阵相似的( )（分数：2.00）A.充分必要条件 B.充分而非必要条件C.必要而非充分条件D.既非充分也非必要条件解析：解析：若 AA= ，则有可逆矩阵 P 使 P -1 AP=A，或 AP=PA令 P= 1 ， 2 ， n ，即 A 1 ， 2 ， n = 1 ， 2 ， 2 =a 1 1 ，a 2 2 ，a n n 从而有 A
9、 i =a i i ， i=1，2，n 由 P 可逆，即有 i 0，且 1 ， 2 ， n 线性无关根据定义可知 1 ， 2 ， n 是 A 的 n 个线性无关的特征向量 反之，若 A 有 n 个线性无关的特征向量 1 ， 2 ， n ，且满足 A i = i i ， i=l，2，n 那么，用分块矩阵有 4.n 阶矩阵 A 和 B 具有相同的特征向量是 A 和 B 相似的( )（分数：2.00）A.充分必要条件B.充分而非必要条件C.必要而非充分条件D.既非充分又非必要条件 解析：解析：根据相似矩阵的定义，由 AB 可知，存在可逆矩阵 P 使 P -1 AP=jB：若A=，0， 有 B(P -
10、1 )=(P -1 AP)(P -1 )=P -1 A=(P -1 )， 即 是 A 的特征向量，P -1 是 B 的特征向量，即矩阵 A 与 B 的特征向量不同 相反地，若矩阵 A 与 B 有相同的特征向量，且它们属于不同的特征值，即 A=，B=， 因为矩阵 A 与 B 的特征值不同，所以矩阵 A和 B 不可能相似 所以矩阵 A 与 B 有相同的特征向量对于 AB 来说是既非充分又非必要，故选 D5.设三阶矩阵 A 的特征值是 0，1，-1，则下列命题中不正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A-E 是不可逆矩阵B.矩阵 A+E 和对角矩阵相似C.矩阵 A 属于 1 与-1 的特征向量相
11、互正交 D.方程组 Ax=0 的基础解系由一个向量构成解析：解析：因为矩阵 A 的特征值是 0，1，-1，所以矩阵 AE 的特征值是-1，0，-2由于 =0 是矩阵A-E 的特征值，所以 A-E 不可逆故命题 A 正确 因为矩阵 A+E 的特征值是 1，2，0，矩阵 A+E 有三个不同的特征值，所以 A+E 可以相似对角化命题 B 正确(或由 AA A+EA+E 而知 A+E 可相似对角化) 因为矩阵 A 有三个不同的特征值，知6.已知 A 是一个三阶实对称正定的矩阵，那么 A 的特征值可能是( )（分数：2.00）A.3，i，-1B.2，-1，3C.2，i，4D.1，3，4 解析：解析：因为
12、实对称矩阵的特征值都是实数，故选项 A，C 都不正确；又因为正定矩阵的特征值均为正数，故选项 B 也不正确；应用排除法，答案为 D7.下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：选项 A 是实对称矩阵，实对称矩阵必可以相似对角化 选项 B 是下三角矩阵，主对角线元素就是矩阵的特征值，因而矩阵有三个不同的特征值，所以矩阵必可以相似对角化 选项 C 是秩为 1 的矩阵，因为E-A= 3 -4 2 ，可知矩阵的特征值是 4，0，0对于二重根 =0，由秩 r(0E-A)=r(A)=1 可知齐次方程组(0E-A)x=0 的基础解系有 3-1=2 个线性无关的
13、解向量，即 =0 有两个线性无关的特征向量，从而矩阵必可以相似对角化 选项 D 是上三角矩阵，主对角线上的元素 1，1，-1 就是矩阵的特征值，对于二重特征值 =1，由秩 8.设 1 ， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1 ， 2 ，则 1 ，A( 1 + 2 )线性无关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A. 1 0B. 2 0 C. 1 =0D. 2 =0解析：解析：令 k 1 1 +k 2 A( 1 + 2 )=0，则 k 1 1 +k 2 1 1 +k 2 2 2 =0，即(k 1 +k 2 1 ) 1 +k 2 2 2 =0 因为 1 ， 2 线性无关，
14、于是有 二、填空题(总题数：7，分数：14.00)9.已知 =12 是 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：因为 =12 是 A 的特征值，因此12E-A=0，即10.设 A 是 3 阶矩阵，如果矩阵 A 的每行元素的和都是 2，则矩阵 A 必定有特征向量 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1，1，1) T）解析：解析：已知矩阵 A 的每行的元素的和都是 2，因此有 11.设 =(1，-1，a) T ，=(1，a，2) T ，A=E+ T ，且 =3 是矩阵 A 的特征值，则矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量是 1（分数：
15、2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k(1，-1，1) T ，k0）解析：解析：令 B= T ，因为矩阵 B 的秩是 1，且 T =a+1，由此可知矩阵 B 的特征值为a+1，0，0 那么 A=E+B 的特征值为 a+2，1，1 因为 =3 是矩阵 A 的特征值，因此 a+2=3，可得a=1那么就有 B=( T )=( T )=2 =(1，-1，1) T 是矩阵 B 属于特征值 =2 的特征向量，因此也就是矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量12.已知矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-2）解析：解析：因为E-A= =(-2)(-3) 2 所以矩
16、阵 A 的特征值分别为 2，3，3，可见矩阵 A 的特征值有重根，已知矩阵 A 和对角矩阵相似，因此对应于特征根 3 有两个线性无关的特征向量，因此可得(3E-A)x=0 有两个线性无关的解，因此矩阵 3E-A 的秩为 1 13.已知矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-1）解析：解析：A 的特征多项式为 所以矩阵 A 的特征值是-1，且为 3 重特征值，但是 A 只有两个线性无关的特征向量，即14.已知矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2，2，2）解析：解析：因为如果矩阵 A 有 n 个不同的特征值，则对应的 n 个特征向量是
17、线性无关的已知矩阵 A 只有一个线性无关的特征向量，所以 A 的特征值必定是三重根，否则 A 至少应该有两个不同的特征值，同时也会有两个线性无关的特征向量 由于主对角元素的和等于所有特征值的和，因此可知 1+2+3=3，进一步可知 1 = 2 = 3 =215.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由 A 的特征方程 因此 A 的特征值是 1 =1(二重)， 2 =-1 因为 A 有 3 个线性无关的特征向量，因此 1 =1 定有两个线性无关的特征向量，因此必有 r(E-A)=3-2=1，于是根据 三、解答题(总题数：9，分数：24.00)16.解
18、答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：17.已知 1 ， 2 ， 3 是 A 的特征值， 1 ， 2 ， 3 是相应的特征向量且线性无关，如 1 + 2 + 3 仍是 A 的特征向量，则 1 = 2 = 3（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 1 + 2 + 3 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量，即 A( 1 + 2 + 3 )=( 1 + 2 + 3 ) 又 A( 1 + 2 + 3 )=A 1 +A 2 +A 3 = 1 1 + 2 2 + 3 3 ，于是有 (- 1 ) 1 +(- 2 ) 2 +(- 3 ) 3 =0 因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，故 -
19、1 =0，- 2 =0，- 3 =0 即 1 = 2 = 3 )解析：已知非齐次线性方程组 （分数：4.00）(1).证明方程组系数矩阵 A 的秩 r(A)=2；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 1 ， 2 ， 3 是方程组 Ax= 的 3 个线性无关的解，其中 则有A( 1 - 2 )=0，A( 1 - 3 )=0 因此 1 - 2 ， 1 - 3 是对应齐次线性方程组 Ax=0 的解，且线性无关，(否则，易推出 1 ， 2 ， 1 - 3 线性相关，矛盾) 所以 n-r(A)2，即 4-r(A)2，那么 r(A)2 又矩阵 A 中有一个 2 阶子式 )解析：(2).求 a，b
20、的值及方程组的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 又 r(A)=2，则有 )解析：设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值 1 =1， 2 =2， 3 =-2， 1 =(1，-1，1) T 是 A 的属于特征值 1 的一个特征向量，记 B=A 5 -4A 3 +E，其中 E 为 3 阶单位矩阵（分数：4.00）(1).验证 1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 1 = 1 得 A 2 1 =A 3 1 = 1 ，依次递推，则有 A 3 1 = 1 ，A 5 1 = 1 ， 故 B 1 =(A 5 -4A 3 +
21、E) 1 =A 5 1 -4A 3 1 + 1 =-2 1 ，即 1 是矩阵 B 的属于特征值-2 的特征向量。 由关系式 B=A 5 -4A 3 +E 及 A 的 3 个特征值 1 =1， 2 =2， 3 =-2 得 B 的 3 个特征值为 1 =-2， 2 =1， 3 =1 设 2 ， 3 为 B 的属于 2 = 3 =1 的两个线性无关的特征向量，又由 A 为对称矩阵，则 B 也是对称矩阵，因此 1 与 2 、 3 正交，即 因此 2 ， 3 可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解，即 )解析：(2).求矩阵 B（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 P=( 1 ， 2 ， 3
22、)= )解析：A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且 （分数：4.00）(1).求 A 的所有特征值与特征向量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A r(A)=23，因此 A 有一个特征值为 0，另外两个特征值分别是 1 =-1， 2 =1 由上式知， 1 =-1， 2 =1 对应的特征向量为 设 3 =0 对应的特征向量为 由此得 = )解析：(2).求矩阵 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 A=PAP -1 ， )解析：18.设 A 为正交阵，且A=-1，证明 =-1 是 A 的特征值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：要证 =-1 是 A 的特征值，需
23、证A+E=0 因为A+E=A+A T A=(E+A T )A=E+A T .A=-A+E，因此A+E=0，所以 =-1 是 A 的特征值)解析：19.已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，2，-3，求A * +3A+2E（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为A=12(-3)=-60，所以 A 可逆，故 A * =AA -1 =-6A -1 A * +3A+2E=-6A -1 +3A+2E 设 为 A 的特征值，则-6 -1 +3+2 为-6A -1 +3A+2E 的特征函数 令()=-6 -1 +3+2，则 (1)=-1，(2)=5，(-3)=-5 是-6A -1 +3A+2E 的特征
24、值，故 A * +3A+2E=-6A -1 +3A+2E =(1).(2).(-3) =(-1)5(-5)=25)解析：已知 p= （分数：4.00）(1).求参数 a，b 及特征向量 p 所对应的特征值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 是特征向量 p 所对应的特征值，根据特征值的定义，有 (A-E)p=0， 即)解析：(2).问 A 能相似对角化，并说明理由（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 的特征多项式为 得 A 的特征值为 =-1(三重) 故若 A 能相似对角化，则特征值 =-1 有 3 个线性无关的特征向量，而 )解析：20.设 A 2 -3A+2E=O，证明：A 的特征值只能取 1 或 2（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A 是矩阵 A 的特征值，非零向量 x 是矩阵 A 的相对应于 A 的特征向量，则 (A 2 -3A+2E)x= 2 x-3x+2x=( 2 -3+2)x=0， 由于 x0，则 2 -3+2=0，因此 =1 或 =2 故A 的特征值只能取 1 或 2)解析：
