1、考研数学三线性代数(二次型)-试卷 1及答案解析(总分:94.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:16,分数:32.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )= 的标准形可以是( ) (分数:2.00)A.B.C.D.3.下列二次型中是正定二次型的是( )(分数:2.00)A.f 1 =(x 1 -x 2 ) 2 +(x 2 -x 3 ) 2 +(x 3 -x 1 ) 2B.f 2 =(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 -x 3 ) 2 +(x 3 +x 1 ) 2C.f 3 =(x 1
2、 +x 2 ) 2 +(x 2 +x 3 ) 2 +(x 3 -x 4 ) 2 +(x 4 -x 1 ) 2D.f 4 =(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 +x 3 ) 2 +(x 3 +x 4 ) 2 +(x 4 -x 1 ) 24.下列矩阵中 A与 B合同的是( ) (分数:2.00)A.B.C.D.5.设 A是 n阶实对称矩阵,将 A的 i列和 j列对换得到 B,再将 B的 i行和 j行对换得到 C,则 A与 C( )(分数:2.00)A.等价但不相似B.合同但不相似C.相似但不合同D.等价,合同且相似6.下列矩阵中,正定矩阵是( ) (分数:2.00)A.B.C.D.7.n阶实对
3、称矩阵 A正定的充分必要条件是( )(分数:2.00)A.二次型 x T Ax的负惯性指数为零B.存在可逆矩阵 P使 P -1 AP=EC.存在 n阶矩阵 C使 A=C -1 CD.A的伴随矩阵 A * 与 E合同8.下列矩阵中不是二次型的矩阵的是( ) (分数:2.00)A.B.C.D.9.n元实二次型正定的充分必要条件是( )(分数:2.00)A.该二次型的秩=nB.该二次型的负惯性指数=nC.该二次型的正惯性指数=它的秩D.该二次型的正惯性指数=n10.下列条件不能保证 n阶实对称阵 A为正定的是( )(分数:2.00)A.A -1 正定B.A没有负的特征值C.A的正惯性指数等于 nD.
4、A合同于单位阵11.关于二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )= (分数:2.00)A.是正定的B.其矩阵可逆C.其秩为 1D.其秩为 212.设 f=X T AX,g=X T BX是两个 n元正定二次型,则下列未必是正定二次型的是( )(分数:2.00)A.X T (A+B)XB.X T A -1 XC.X T B -1 XD.X T ABX13.设 A,B 为正定阵,则( )(分数:2.00)A.AB,A+B 都正定B.AB正定,A+B 非正定C.AB非正定,A+B 正定D.AB不一定正定,A+B 正定14.实对称矩阵 A的秩等于 r,它有 t个正特征值,则它的符号差为( )(分数:2
5、.00)A.rB.t-rC.2t-rD.r-t15.二次型 f=x T Ax经过满秩线性变换 x=Py可化为二次型 y T By,则矩阵 A与 B( )(分数:2.00)A.一定合同B.一定相似C.既相似又合同D.既不相似也不合同16.f(x 1 ,x 2 ,x 3 )= 对应的矩阵是( ) (分数:2.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:8,分数:16.00)17.设 f= (分数:2.00)填空项 1:_18.二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=x T Ax= (分数:2.00)填空项 1:_19.若二次曲面的方程为 x 2 +3y 2 +z 2 +2axy+2xz+2yz=
6、4,经正交变换化为 (分数:2.00)填空项 1:_20.设 f(x 1 ,x 2 )= (分数:2.00)填空项 1:_21.二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 )= (分数:2.00)填空项 1:_22.若二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )= (分数:2.00)填空项 1:_23.设 A是三阶实对称矩阵,满足 A 3 =2A 2 +5A-6E,且 kE+A是正定阵,则 k的取值范围是 1(分数:2.00)填空项 1:_24.设 A是 mn矩阵,E 是 n阶单位阵,矩阵 B=-aE+A T A是正定阵,则 a的取值范围是 1(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总
7、题数:16,分数:46.00)25.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_f(x 1 ,x 2 ,x 3 )= (分数:4.00)(1).求参数 c及此二次型对应矩阵的特征值;(分数:2.00)_(2).指出方程 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=1表示何种二次曲面(分数:2.00)_设二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=2(a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 ) 2 +(b 1 x 1 +b 2 x 2 +b 3 x 3 ) 2 , 设 (分数:4.00)(1).证明二次型 f对应的矩阵为 2 T + T ;(分数:2.00)_(2).若 , 正交且均为单
8、位向量,证明 f在正交变换下的标准形为 (分数:2.00)_26.设 A为 m阶实对称矩阵且正定,B 为 mn实矩阵,B T 为 B的转置矩阵, 试证:B T AB为正定矩阵的充分必要条件是 r(B)=n(分数:2.00)_写出下列二次型的矩阵:(分数:4.00)(1).f(x)= (分数:2.00)_(2).f(x)= (分数:2.00)_27.证明:二次型 f(x)=x T Ax在x=1 时的最大值为矩阵 A的最大特征值(分数:2.00)_28.求一个正交变换化下列二次型化成标准形: (分数:2.00)_29.设二次型 (分数:2.00)_已知二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=
9、(分数:6.00)(1).求 a的值.(分数:2.00)_(2).求正交变换 x=Qy,把 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )化为标准形.(分数:2.00)_(3).求方程 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=0的解(分数:2.00)_已知 A= (分数:4.00)(1).求实数 A的值.(分数:2.00)_(2).求正交变换 x=Qy将 f化为标准形(分数:2.00)_设 D= (分数:4.00)(1).计算 P T DP,其中 P= (分数:2.00)_(2).利用(1)的结果判断矩阵 B-C T A -1 C是否为正定矩阵,并证明结论(分数:2.00)_30.已知 A= (分数:2.00
10、)_31.设矩阵 A= (分数:2.00)_32.求一个正交变换把二次曲面的方程 3x 2 +5y 2 +5z 2 +4xy-4xz-10yz=l化成标准方程(分数:2.00)_33.证明对称阵 A为正定的充分必要条件是:存在可逆矩阵 U,使 A=U T U,即 A与单位阵 E合同(分数:2.00)_设二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=x T Ax在正交变换 x=Qy下的标准形为 ,且 Q的第三列为 (分数:4.00)(1).求 A.(分数:2.00)_(2).证明 A+E为正定矩阵,其中 E为 3阶单位矩阵(分数:2.00)_考研数学三线性代数(二次型)-试卷 1答案解析(总分:9
11、4.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:16,分数:32.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )= 的标准形可以是( ) (分数:2.00)A. B.C.D.解析:解析:用配方法,有 可见二次型的正惯性指数 p=2,负惯性指数 q=0因此,A 选项是二次型的标准形所用坐标变换 有 x T Ax=y T Ay= 3.下列二次型中是正定二次型的是( )(分数:2.00)A.f 1 =(x 1 -x 2 ) 2 +(x 2 -x 3 ) 2 +(x 3 -x 1 ) 2B.f 2 =(x
12、 1 +x 2 ) 2 +(x 2 -x 3 ) 2 +(x 3 +x 1 ) 2C.f 3 =(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 +x 3 ) 2 +(x 3 -x 4 ) 2 +(x 4 -x 1 ) 2D.f 4 =(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 +x 3 ) 2 +(x 3 +x 4 ) 2 +(x 4 -x 1 ) 2 解析:解析:由定义 f=x T Ax正定 4.下列矩阵中 A与 B合同的是( ) (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析:由合同定义:C T AC=B,矩阵 C可逆 知合同的必要条件是:r(A)=r(B)且行列式A与B同号 本题 A选项的矩阵秩不相
13、等B 选项中行列式正、负号不同,故排除 易见 C选项中矩阵 A的特征值为 1,2,0,而矩阵 B的特征值为 1,3,0,所以二次型 x T Ax与 x T Bx有相同的正、负惯性指数,所以 A和 B合同 而 D选项中,A 的特征值为 1,2,B 的特征值为-1,-2,-2,因此 x T Ax与 x T Bx正、负惯性指数不同,故不合同5.设 A是 n阶实对称矩阵,将 A的 i列和 j列对换得到 B,再将 B的 i行和 j行对换得到 C,则 A与 C( )(分数:2.00)A.等价但不相似B.合同但不相似C.相似但不合同D.等价,合同且相似 解析:解析:对矩阵作初等行、列变换,用左、右乘初等阵表
14、示,由题设 AE ij =B,E ij B=C, 故 C=E ij B=E ij AE ij 因 6.下列矩阵中,正定矩阵是( ) (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析:二次型正定的必要条件是:a ij 0 在选项 D中,由于 a 33 =0,易知 f(0,0,1)=0,与X0,X T AX0 相矛盾 因为二次型正定的充分必要条件是顺序主子式全大于零,而在选项 A中,二阶主子式 7.n阶实对称矩阵 A正定的充分必要条件是( )(分数:2.00)A.二次型 x T Ax的负惯性指数为零B.存在可逆矩阵 P使 P -1 AP=EC.存在 n阶矩阵 C使 A=C -1 CD.A的伴随矩阵
15、A * 与 E合同 解析:解析:选项 A是必要不充分条件这是因为 r(f)=p+qn, 当 q=0时,有 r(f)=pn此时有可能pn,故二次型 x T Ax不一定是正定二次型因此矩阵 A不一定是正定矩阵例如 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )= 选项 B是充分不必要条件这是因为 P -1 AP=E表示 A与 E相似,即 A的特征值全是 1,此时 A是正定的但只要 A的特征值全大于零就可保证 A正定,因此特征值全是 1是不必要的 选项 C中的矩阵 C没有可逆的条件,因此对于 A=C T C不能说 A与层合同,也就没有 A是正定矩阵的结论例如 显然矩阵不正定 关于选项 D,由于 8.下列矩阵中不
16、是二次型的矩阵的是( ) (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析:因为9.n元实二次型正定的充分必要条件是( )(分数:2.00)A.该二次型的秩=nB.该二次型的负惯性指数=nC.该二次型的正惯性指数=它的秩D.该二次型的正惯性指数=n 解析:解析:二次型正定的充分必要条件是二次型的正惯性指数=n10.下列条件不能保证 n阶实对称阵 A为正定的是( )(分数:2.00)A.A -1 正定B.A没有负的特征值 C.A的正惯性指数等于 nD.A合同于单位阵解析:解析:A -1 正定表明存在可逆矩阵 C,使 C T A -1 C=I n ,两边求逆得到 C -1 A(C T ) -1 =C
17、 -1 A(C -1 ) T =I n 即 A合同于 I n ,A 正定,因此不应选 A 选项 D是 A正定的定义,也不是正确的选择 选项 C表明 A的正惯性指数等于 n,故 A是正定阵由排除法,故选 B 事实上,一个矩阵没有负的特征值,但可能有零特征值,而正定阵的特征值必须全是正数11.关于二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )= (分数:2.00)A.是正定的B.其矩阵可逆C.其秩为 1 D.其秩为 2解析:解析:二次型的矩阵12.设 f=X T AX,g=X T BX是两个 n元正定二次型,则下列未必是正定二次型的是( )(分数:2.00)A.X T (A+B)XB.X T A -1
18、 XC.X T B -1 XD.X T ABX 解析:解析:因为 f是正定二次型,A 是 n阶正定阵,所以 A的 n个特征值 1 , 2 , n 都大于零,A0,设 AP j = j P j ,则 13.设 A,B 为正定阵,则( )(分数:2.00)A.AB,A+B 都正定B.AB正定,A+B 非正定C.AB非正定,A+B 正定D.AB不一定正定,A+B 正定 解析:解析:由于 A、B 正定,所以对任何元素不全为零的向量 X永远有 X T AX0,同时 X T BX0 因此 A+B正定,AB 不一定正定,AB 甚至可能不是对称阵14.实对称矩阵 A的秩等于 r,它有 t个正特征值,则它的符号
19、差为( )(分数:2.00)A.rB.t-rC.2t-r D.r-t解析:解析:A 的正惯性指数为 t,负惯性指数为 r-t,因此符号差等于 2t-r15.二次型 f=x T Ax经过满秩线性变换 x=Py可化为二次型 y T By,则矩阵 A与 B( )(分数:2.00)A.一定合同 B.一定相似C.既相似又合同D.既不相似也不合同解析:解析:f=x T Ax=(Py) T (Py)=y T (P T AP)y=y T By,即 B=P T AP,所以矩阵 A与 B一定合同 而只有当 P是正交矩阵,即 P T =P -1 时,才有 A与 B既相似又合同16.f(x 1 ,x 2 ,x 3 )
20、= 对应的矩阵是( ) (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析:x 1 ,x 2 ,x 3 平方项系数对应主对角线元素:1,0,4,x 1 x 2 系数的-2 对应 a 12 和 a 21 系数的和,且 a 12 =a 21 ,故 a 12 =-1,a 21 =-1因此选 C二、填空题(总题数:8,分数:16.00)17.设 f= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:二次型的矩阵为 其各阶主子式为 因为 f为正定二次型,所以必有 1-a 2 0且-a(5a+4)0,因此 故当 18.二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=x T Ax= (分数:
21、2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:按照定义,二次型的矩阵 A= ,由特征多项式 因此矩阵 A的特征值是 2,6,-4,即正交变换下的二次型的标准形是 ,因此其规范形是19.若二次曲面的方程为 x 2 +3y 2 +z 2 +2axy+2xz+2yz=4,经正交变换化为 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:1)解析:解析:本题等价于将二次型 f(x,y,z)=x 2 +3y 2 +z 2 +2axy+2xz+2yz经正交变换后化为了 f= 由正交变换的特点可知,该二次型的特征值为 1,4,0由于矩阵的行列式值是对应特征值的乘积,且该二次型的矩阵为
22、 A= 20.设 f(x 1 ,x 2 )= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:把行列式展开就可以得到二次型的一般表达式21.二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 )= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:二次型的矩阵 A= ,则E-A=( 2 -1)( 2 -5A),因此矩阵 A的特征值分别为-1,0,1,5,故该二次型的正惯性指数 p=2,负惯性指数 q=1于是可得该二次型的规范形是 22.若二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解
23、析:二次型厂的矩阵为 A= 因为 f是正定的,因此矩阵 A的顺序主子式全部大于零,于是有解以上不等式,并取交集得23.设 A是三阶实对称矩阵,满足 A 3 =2A 2 +5A-6E,且 kE+A是正定阵,则 k的取值范围是 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:k2)解析:解析:根据题设条件,则有 A 3 -2A 2 -5A+6E=O, 设 A有特征值人,则 满足条件 3 -2 2 -5+6=0,将其因式分解可得 3 -2 2 -5+6=(-1)(+2)(-3)=0, 因此可知矩阵 A的特征值分别为 1,-2,3,故 kE+A的特征值分别为 k+1,k-2,k+3,且当 k
24、2 时,kE+A 的特征值均为正数故k224.设 A是 mn矩阵,E 是 n阶单位阵,矩阵 B=-aE+A T A是正定阵,则 a的取值范围是 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:a0)解析:解析:B T =(-aE+A T A) T =-aE+A T A=B,故 B是一个对称矩阵 B 正定的充要条件是对于任意给定的 x0,都有 x T Bx=x T (-aE+A T A)x=-ax T x+x T A T Ax=-ax T x+(Ax) T Ax0, 其中(Ax) T (Ax)0,x T x0,因此 a的取值范围是-a0,即 a0三、解答题(总题数:16,分数:46.0
25、0)25.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析:f(x 1 ,x 2 ,x 3 )= (分数:4.00)(1).求参数 c及此二次型对应矩阵的特征值;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:二次型对应的矩阵为 由二次型的秩为 2,因此A=0,由此解得 c=3,容易验证,此时 A的秩为 2 又因 )解析:(2).指出方程 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=1表示何种二次曲面(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由特征值可知,f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=1表示椭球柱面)解析:设二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=2(a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3
26、 x 3 ) 2 +(b 1 x 1 +b 2 x 2 +b 3 x 3 ) 2 , 设 (分数:4.00)(1).证明二次型 f对应的矩阵为 2 T + T ;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由题设, f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=2(a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 ) 2 +(b 1 x 1 +b 2 x 2 +b 3 x 3 ) 2 )解析:(2).若 , 正交且均为单位向量,证明 f在正交变换下的标准形为 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 A=2 T + T ,由已知=1, T =0,则 A=(2 T + T )=2 2 + T =2,
27、所以 为矩阵对应特征值 1 =2的特征向量; A=(2 T + T )=2 T + 2 =, 所以 为矩阵对应特征值 2 =1的特征向量 而矩阵 A的秩 r(A)=r(2 T + T )r(2 T )+r( T )=2, 所以 3 =0也是矩阵的一个特征值 故 f在正交变换下的标准形为 )解析:26.设 A为 m阶实对称矩阵且正定,B 为 mn实矩阵,B T 为 B的转置矩阵, 试证:B T AB为正定矩阵的充分必要条件是 r(B)=n(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:必要性:设 B T AB为正定矩阵,则由定义知,对任意的 n维实列向量 x0,有 x T (B T AB)x0,即(B
28、x) T A(Bx)0 于是,Bx0因此,Bx=0 只有零解,故有 r(B)=n 充分性:因(B T AB) T =B T A T (B T ) T =B T AB,故 B T AB为实对称矩阵 若 r(B)=n,则线性方程组 Bx=0只有零解,从而对任意的 n维实列向量 x0,有 Bx0 又 A为正定矩阵,所以对于 Bx0,有(Bx) T A(Bx)0 于是当 x0,有 x T (B T AB)x=(Bx) T A(Bx)0,故 B T AB为正定矩阵)解析:写出下列二次型的矩阵:(分数:4.00)(1).f(x)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由题干可知: 故二次型的矩阵为
29、A= )解析:(2).f(x)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由题干可知: )解析:27.证明:二次型 f(x)=x T Ax在x=1 时的最大值为矩阵 A的最大特征值(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:A 为实对称矩阵,则存在一正交矩阵 T,使得 TAT -1 =diag( 1 , 2 , n )=A, 其中 1 , 2 , n 为 A的特征值,不妨设 1 最大 作正交变换 y=Tx,即 x=T -1 y,其中 T是正交矩阵,因此 T -1 =T T 有 f=x T Ax=y T TAT T y=y T Ay= 因为 y=Tx,所以当x=1 时,有 x 2 =x T x=
30、y T TT T y=y 2 =1, 即 =1 因此 )解析:28.求一个正交变换化下列二次型化成标准形: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)二次型的矩阵为 当 2 =5时,解方程(A-5E)x=0,由 (2)二次型的矩阵为 可得 A的特征值为 1 =-1, 2 =1, 3 =2 当 1 =-1时,解方程(A+E)x=0,由 当 2 =1时,解方程(A-E)x=0,由 当 3 =2时,解方程(A-2E)x=0,由 有正交矩阵 Q=(p 1 ,p 2 ,p 3 )和正交变换 x=Qy,使 )解析:29.设二次型 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:二次型及其标准形的矩阵分别是
31、 由于是用正交变换化为标准形,故 A与 B不仅合同而且相似那么有 1+1+1=3+3+6得 b=-3 对 =3,则有 由(3E-A)x=0,得特征向量 1 =(1,-1,0) T , 2 =(1,0,-1) T 对 =-3,由(-3E-A)x=0,得特征向量 3 =(1,1,1) T 因为 =3 是二重根,对 1 , 2 正交化有 1 = 1 =(1,-1,0) T , )解析:已知二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )= (分数:6.00)(1).求 a的值.(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:二次型矩阵 A= 二次型的秩为 2,则二次型矩阵 A的秩也为 2,从而 )解析:(2).
32、求正交变换 x=Qy,把 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )化为标准形.(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由(1)中结论 a=0,则 A= ,由特征多项式 得矩阵 A的特征值 1 = 2 =2, 3 =0 当 =2,由(2E-A)x=0,系数矩阵 ,得特征向量 1 =(1,1,0) T , 2 =(0,0,1) T 当 =0,由(OE-A)x=0,系数矩阵 ,得特征向量 3 =(1,-1,0) T 容易看出 1 , 2 , 3 已两两正交,故只需将它们单位化: )解析:(3).求方程 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=0的解(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:已知 A
33、= (分数:4.00)(1).求实数 A的值.(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:A T A= ,由 r(A T A)=2可得, )解析:(2).求正交变换 x=Qy将 f化为标准形(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由(1)中结果,则 解得 B矩阵的特征值为: 1 =0, 2 =2, 3 =6 对于 1 =0,解( 1 E-B)x=0,得对应的特征向量为: 1 = 对于 2 =2,解( 2 E-B)x=0,得对应的特征向量为: 2 = 对于 3 =6,解( 3 E-B)x=0,得对应的特征向量为: 3 = 将 1 , 2 , 3 单位化可得: )解析:设 D= (分数:4.00)
34、(1).计算 P T DP,其中 P= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:(2).利用(1)的结果判断矩阵 B-C T A -1 C是否为正定矩阵,并证明结论(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由(1)中结果知,矩阵 D与矩阵 M= 合同,又因 D是正定矩阵,所以矩阵 M为正定矩阵,从而可知 M是对称矩阵,那么 B-C T A -1 C是对称矩阵 对 m维向量 X=(0,0,0) T 和任意 n维非零向量 Y=(y 1 ,y 2 ,y n ) T 0,都有 )解析:30.已知 A= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:构造二次型 x T Ax= ,经坐标变换 记 X=Cy,则有 )解析:31.设矩阵 A= (分数:2.00)_