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    2014年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学理.docx

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    2014年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学理.docx

    1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学理 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的 . 1.在复平面内复数 Z=i(1-2i)对应的点位于 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析: 复数 Z=i(1-2i)=2+i 复数 Z 的实部 2 0,虚部 1 0 复数 Z 在复平面内对应的点位于第一象限 答案 : A 2.对任意等比数列 an,下列说法一定正确的是 ( ) A.a1, a3, a9成等比数列 B.a2, a3, a6成等比数列 C. a2, a4, a8成等比数列 D.

    2、a3, a6, a9成等比数列 解析: A 项中 a3=a1 q2, a1a9= q8, (a3)2a 1 a9,故 A 项说法错误, B 项中 (a3)2=(a1q2)2a 2 a6= q6,故 B 项说法错误, C 项中 (a4)2=(a1q3)2a 2 a8= q8,故 B 项说法错误, D 项中 (a6)2=(a1q5)2=a3 a9= q10,故 D 项说法正确, 答案 : D. 3.已知变量 x 与 y 正相关,且由观测数据算得样本平均数 =3, =3.5,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是 ( ) A. =0.4x+2.3 B. =2x-2.4 C. =-2x+9.5 D.

    3、=-0.3x+4.4 解析: 变量 x 与 y 正相关, 可以排除 C, D; 样本平均数 =3, =3.5,代入 A 符合, B 不符合, 答案: A. 4.已知向量 =(k, 3), =(1, 4), =(2, 1)且 (2 -3 ) ,则实数 k=( ) A. - B. 0 C. 3 D. 解析: =(k, 3), =(1, 4), =(2, 1)2 -3 =(2k-3, -6), (2 -3 ) , (2 -3 ) =02 (2k-3)+1 (-6)=0, 解得 k=3. 答案: C. 5.执行如图所示的程序框图,若输出 k 的值为 6,则判断框内可填入的条件是 ( ) A. s B.

    4、 s C. s D. s 解析: 由程序框图知:程序运行的 S= , 输出的 k=6, S= = , 判断框的条件是 S , 答案: C. 6.已知命题 p:对任意 x R,总有 2x 0; q: “x 1” 是 “x 2” 的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是 ( ) A. p q B. p q C. p q D. p q 解析: 根据指数函数的性质可知,对任意 x R,总有 2x 0 成立,即 p 为真命题, q: “x 1” 是 “x 2” 的必要不充分条件,即 q 为假命题,则 p q,为真命题, 答案: D. 7.某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为 ( ) A. 54

    5、B. 60 C. 66 D. 72 解析: 由三视图知:几何体是直三棱柱消去一个同底的三棱锥,如图: 三棱柱的高为 5,消去的三棱锥的高为 3, 三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为 3 和 4 的等腰直角三角形, AB 平面 BEFC, ABBC , BC=5, FC=2, AD=BE=5, DF=5 几何体的表面积 S= 34+ 35+ 4+ 5+35 =60. 答案: B. 8.设 F1, F2分别为双曲线 - =1(a 0, b 0)的左、右焦点,双曲线上存在一点 P 使得|PF1|+|PF2|=3b, |PF1|PF2|= ab,则该双曲线的离心率为 ( ) A. B. C. D.

    6、3 解析: 不妨设右支上 P 点的横坐标为 x 由焦半径公式有 |PF1|=ex-a, |PF2|=ex+a, |PF 1|+|PF2|=3b, |PF1| |PF2|= ab, 2ex=3b , (ex)2-a2= ab b2-a2= ab, a= b, c= = b, e= = . 答案: B. 9.某次联欢会要安排三个歌舞类节目, 2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是 ( ) A. 72 B. 120 C. 144 D. 168 解析: 分 2 步进行分析: 1、先将三个歌舞类节目全排列,有 A33=6 种情况,排好后,有 4 个空位, 2、因为三

    7、个歌舞类节目不能相邻,则中间 2 个空位必须安排 2 个节目, 分 2 种情况讨论: 、将中间 2 个空位安排 1 个小品类节目和 1 个相声类节目,有 C21A22=4 种情况, 排好后,最后 1 个小品类节目放在 2 端,有 2 种情况, 此时同类节目不相邻的排法种数是 642=48 种; 、将中间 2 个空位安排 2 个小品类节目,有 A22=2种情况, 排好后,有 6 个空位,相声类节目有 6 个空位可选,即有 6 种情况, 此时同类节目不相邻的排法种数是 626=72 种; 则同类节目不相邻的排法种数是 48+72=120, 答案: B. 10.已知 ABC 的内角 A, B, C满

    8、足 sin2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+ ,面积 S满足 1S2 ,记 a, b, c 分别为 A, B, C 所对的边,在下列不等式一定成立的是 ( ) A. bc(b+c) 8 B. ab(a+b) 16 C. 6abc12 D. 12abc24 解析: ABC 的内角 A, B, C 满足 sin2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+ , sin2A+sin2B= -sin2C+ , sin2A+sin2B+sin2C= , 2sinAcosA+2sin(B+C)cos(B -C)= , 2sinA(cos(B-C)-cos(B+C)= , 化为 2sin

    9、A-2sinBsin(-C)= , sinAsinBsinC= . 设外接圆的半径为 k, 由正弦定理可得: =2R, 由 S= ,及正弦定理得 sinAsinBsinC= = ,即 R2=4S, 面积 S 满足 1S2 , 4R 28 , 由 sinAsinBsinC= 可得 ,显然选项 C, D 不一定正确, A.bc(b+c) abc8 正确, B.bc(b+c) abc,但 bc(b+c) .不一定正确, 答案: A 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5分共 15分把答案填写在答题卡相应位置上 . 11.设全集 U=n N|1n10 , A=1, 2, 3, 5, 8, B=1,

    10、 3, 5, 7, 9,则 (UA)B= . 解析: 全集 U=n N|1n10 , A=1, 2, 3, 5, 8, B=1, 3, 5, 7, 9, ( UA)=4, 6, 7, 9 , ( UA)B=7 , 9, 答案 : 7, 9. 12.函数 f(x)=log2 2log(2x)的最小值为 . 解析: f(x)=log 2 2log(2x) f(x)= log 2log(2x)= log x2log(2x) = l2log(2logx+l2log2) =2logx(2logx+2) = 当2logx+1=0 即 x= 时,函数 f(x)的最小值是 . 答案 : - 13.已知直线 a

    11、x+y-2=0 与圆心为 C 的圆 (x-1)2+(y-a)2=4 相交于 A, B两点,且 ABC 为等边三角形,则实数 a= . 解析: 圆心 C(1, a),半径 r=2, ABC 为等边三角形, 圆心 C 到直线 AB 的距离 d= , 即 d= , 平方得 a2-8a+1=0, 解得 a=4 , 答案 : 4 三、选做题:考生注意 (14)(15)、 (16)三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分 14.过圆外一点 P 作圆的切线 PA(A 为切点 ),再作割线 PBC 依次交圆于 B、 C,若 PA=6, AC=8,BC=9,则 AB= . 解析: :由题意,

    12、 PAB=C , APB=CPA , PABPCA , , PA=6 , AC=8, BC=9, , PB=3 , AB=4, 答案 : 4. 15.已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数 ),以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 sin 2 -4cos=0 (0 , 0 2 ),则直线 l与曲线 C 的公共点的极径 = . 解析: 直线 l 的参数方程为 ,普通方程为 y=x+1, 曲线 C 的极坐标方程为 sin 2 -4cos=0 的直角坐标方程为 y2=4x, 直线 l 与曲线 C 联立可得 (x-1)2=0, x=1 , y=2, 直线 l

    13、 与曲线 C 的公共点的极径 = = . 答案 : . 16.不等式 |2x-1|+|x+2|a 2+ a+2 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是 . 解析: |2x-1|+|x+2|= , x= 时, |2x-1|+|x+2|的最小值为 , 不等式 |2x-1|+|x+2|a 2+ a+2 对任意实数 x 恒成立, a 2+ a+2 , a 2+ a- 0 , -1a , 实数 a 的取值范围是 -1, . 答案 : -1, . 四、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17.(13分 )已知函数 f(x)= sin(x+ )(

    14、0, - )的图象关于直线 x= 对称,且图象上相邻两个最高点的距离为 . ( )求 和 的值; ( )若 f( )= ( ),求 cos(+ )的值 . 解析: ( )由题意可得函数 f(x)的最小正周期为 求得 =2 .再根据图象关于直线 x= 对称,结合 - 可得 的值 . ( )由条件求得 sin( - )= .再根据 - 的范围求得 cos( - )的值,再根据cos(+ )=sin=sin ( - )+ ,利用两角和的正弦公式计算求得结果 . 答案: () 由题意可得函数 f(x)的最小正周期为 , = , =2. 再根据图象关于直线 x= 对称,可得 2 +=k+ , k z.

    15、结合 - 可得 = - . ()f( )= ( ), sin( - )= , sin( - )= . 再根据 0 - , cos( - )= = , cos(+ )=sin=sin( - )+ =sin( - )cos +cos( - )sin = + = . 18.(13 分 )一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片,其中 4 张卡片上的数字是 1, 3 张卡片上的数字是 2, 2 张卡片上的数字是 3,从盒中任取 3 张卡片 . ( )求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率; ( )X 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数,求 X 的分布列与数学期望 .(注:若三个数字 a,b, c 满

    16、足 abc ,则称 b 为这三个数的中位数 .) 解析: 第一问是古典概型的问题,要先出基本事件的总数和所研究的事件包含的基本事件个数,然后代入古典概型概率计算公式即可,相对简单些; 第二问应先根据题意求出随机变量 X 的所有可能取值,此处应注意所取三张卡片可能来自于相同数字 (如 1 或 2)或不同数字 (1 和 2、 1 和 3、 2和 3三类 )的卡片,因此应按卡片上的数字相同与否进行分类分析,然后计算出每个随机变量所对应事件的概率,最后将分布列以表格形式呈现 . 答案: () 由古典概型的概率计算公式得所求概率为 P= , () 由题意知 X 的所有可能取值为 1, 2, 3,且 P(

    17、X=1)= , P(X=2)= , P(X=3)= , 所以 X 的分布列为: 所以 E(X)= . 19.(13 分 )如图,四棱锥 P-ABCD,底面是以 O 为中心的菱形, PO 底面 ABCD, AB=2, BAD=, M 为 BC 上的一点,且 BM= , MPAP . ( )求 PO 的长; ( )求二面角 A-PM-C 的正弦值 . 解析: () 连接 AC, BD,以 O 为坐标原点, OA, OB, OP 方向为 x, y, z 轴正方向建立空间坐标系 O-xyz,分别求出向量 , 的坐标,进而根据 MPAP ,得到 =0,进而求出 PO 的长; () 求出平面 APM 和平

    18、面 PMC 的法向量,代入向量夹角公式,求出二面角的余弦值,进而根据平方关系可得:二面角 A-PM-C 的正弦值 . 答案 : () 连接 AC, BD, 底面是以 O 为中心的菱形, PO 底面 ABCD, 故 ACBD=O ,且 ACBD , 以 O 为坐标原点, OA, OB, OP 方向为 x, y, z 轴正方向建立空间坐标系 O-xyz, AB=2 , BAD= , OA=ABcos( BAD)= , OB=ABsin( BAD)=1 , O(0 , 0, 0), A( , 0, 0), B(0, 1, 0), C(- , 0, 0), =(0, 1, 0), =(- , -1,

    19、0), 又 BM= , =(- , - , 0), 则 = + =(- , , 0), 设 P(0, 0, a),则 =(- , 0, a), =( , - , a), MPAP , = -a2=0,解得 a= ,即 PO 的长为 . () 由 () 知 =(- , 0, ), =( , - , ), =( , 0, ), 设平面 APM 的法向量 =(x, y, z),平面 PMC 的法向量为 =(a, b, c), 由 ,得 , 令 x=1,则 =(1, , 2), 由 ,得 , 令 a=1,则 =(1, - , -2), 平面 APM 的法向量 和平面 PMC 的法向量 夹角 满足: c

    20、os= = =- , 故 sin= = . 20.(12分 )已知函数 f(x)=ae2x-be-2x-cx(a, b, c R)的导函数 f (x)为偶函数,且曲线 y=f(x)在点 (0, f(0)处的切线的斜率为 4-c. ( )确定 a, b 的值; ( )若 c=3,判断 f(x)的单调性; ( )若 f(x)有极值,求 c 的取值范围 . 解析: () 根据函数 f(x)=ae2x-be-2x-cx(a, b, c R)的导函数 f(x) 为偶函数,且曲线 y=f(x)在点 (0, f(0)处的切线的斜率为 4-c,构造关于 a, b 的方程,可得 a, b 的值; () 将 c=

    21、3 代入,利用基本不等式可得 f(x)0 恒成立,进而可得 f(x)在定义域 R 为均增函数; () 结合基本不等式,分 c4 时和 c 4 时两种情况讨论 f(x)极值的存在性,最后综合讨论结果,可得答案 . 答案 : () 函数 f(x)=ae2x-be-2x-cx(a, b, c R), f(x)=2ae 2x+2be-2x-c, 由 f(x) 为偶函数,知 f( -x)=f(x) , 即 2(a-b)(e2x+e-2x)=0,即 a=b, 又 曲线 y=f(x)在点 (0, f(0)处的切线的斜率为 4-c,即 f(0)=2a+2b -c=4-c,故 a=b=1; () 当 c=3 时

    22、, f(x)=2e 2x+2e-2x-32 =1 0 恒成立, 故 f(x)在定义域 R 为均增函数; () 由 () 得 f(x)=2e 2x+2e-2x-c, 而 2e2x+2e-2x2 =4,当且仅当 x=0 时取等号, 当 c4 时, f(x)0 恒成立,故 f(x)无极值; 当 c 4 时,令 t=e2x,方程 2t+ -c=0 的两根均为正, 即 f(x)=0 有两个根 x1, x2, 当 x (x1, x2)时, f(x) 0,当 x (-x 1)(x 2, +) 时, f(x) 0, 故当 x=x1,或 x=x2时, f(x)有极值, 综上,若 f(x)有极值, c 的取值范围

    23、为 (4, +). 21.(12 分 )如图,设椭圆 + =1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1, F2,点 D 在椭圆上 .DF1F 1F2, =2 , DF 1F2的面积为 . ( )求椭圆的标准方程; ( )设圆心在 y 轴上的圆与椭圆在 x 轴的上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径 . 解析: () 设 F1(-c, 0), F2(c, 0),依题意,可求得 c=1,易求得 |DF1|= = ,|DF2|= ,从而可得 2a=2 ,于是可求得椭圆的标准方程; () 设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆 +y2=1 相交, P1(x1, y

    24、1), P2(x2, y2)是两个交点,依题意,利用圆和椭圆的对称性,易知 x2=-x1, y1=y2, |P1P2|=2|x1|, 由 F1P1F 2P2,得 x1=- 或 x1=0,分类讨论即可求得圆的半径 . 答案 : () 设 F1(-c, 0), F2(c, 0),其中 c2=a2-b2, 由 =2 ,得 |DF1|= = c , 从而 = |DF1|F1F2|= c2= ,故 c=1. 从而 |DF1|= ,由 DF1F 1F2,得 = + = , 因此 |DF2|= , 所以 2a=|DF1|+|DF2|=2 ,故 a= , b2=a2-c2=1, 因此,所求椭圆的标准方程为 +

    25、y2=1; () 设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆 +y2=1 相交, P1(x1, y1), P2(x2, y2)是两个交点, y1 0, y2 0, F1P1, F2P2是圆 C 的切线,且 F1P1F 2P2,由圆和椭圆的对称性,易知 x2=-x1,y1=y2, |P1P2|=2|x1|, 由 () 知 F1(-1, 0), F2(1, 0),所以 =(x1+1, y1), =(-x1-1, y1),再由 F1P1F 2P2,得 2211( 1) 0xy , 由椭圆方程得 ,即 3 +4x1=0,解得 x1=- 或 x1=0. 当 x1=0 时, P1, P2重合,此时题设要求的圆不存

    26、在; 当 x1=- 时,过 P1, P2,分别与 F1P1, F2P2垂直的直线的交点即为圆心 C. 由 F1P1, F2P2是圆 C 的切线,且 F1P1F 2P2,知 CP1CP 2,又 |CP1|=|CP2|, 故圆 C 的半径 |CP1|= |P1P2|= |x1|= . 22.(12 分 )设 a1=1, an+1= +b(n N*) ( )若 b=1,求 a2, a3及数列 an的通项公式; ( )若 b=-1,问:是否存在实数 c 使得 a2n c a2n+1对所有的 n N*成立,证明你的结论 . 解析: () 若 b=1,利用 an+1= +b,可求 a2, a3;证明 (a

    27、n-1)2是首项为 0,公差为 1 的等差数列,即可求数列 an的通项公式; () 设 f(x)= ,则 an+1=f(an),令 c=f(c),即 c= -1,解得 c= .用数学归纳法证明加强命题 a2n c a2n+1 1 即可 . 答案 : ()a 1=1, an+1= +b, b=1, a 2=2, a3= +1; 又 (an+1-1)2=(an-1)2+1, (a n-1)2是首项为 0,公差为 1 的等差数列; (a n-1)2=n-1, a n= +1(n N*); () 设 f(x)= ,则 an+1=f(an), 2 2111 ( 1)2x x 令 c=f(c),即 c= -1,解得 c= . 下面用数学归纳法证明加强命题 a2n c a2n+1 1. n=1 时, a2=f(1)=0, a3=f(0)= -1, a 2 c a3 1,成立; 设 n=k 时结论成立,即 a2k c a2k+1 1 f(x) 在 (- , 1上为减函数, c=f(c) f(a2k+1) f(1)=a2, 1 c a2k+2 a2, c=f(c) f(a2k+2) f(a2)=a3, 1, c a2k+3 1, a 2(k+1) c a2(k+1)+1 1,即 n=k+1时结论成立, 综上, c= 使得 a2n c a2n+1对所有的 n N*成立 .


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