1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学理 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.在复平面内复数 Z=i(1-2i)对应的点位于 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析： 复数 Z=i(1-2i)=2+i 复数 Z 的实部 2 0，虚部 1 0 复数 Z 在复平面内对应的点位于第一象限 答案 ： A 2.对任意等比数列 an，下列说法一定正确的是 ( ) A.a1， a3， a9成等比数列 B.a2， a3， a6成等比数列 C. a2， a4， a8成等比数列 D.
2、a3， a6， a9成等比数列 解析： A 项中 a3=a1 q2， a1a9= q8， (a3)2a 1 a9，故 A 项说法错误， B 项中 (a3)2=(a1q2)2a 2 a6= q6，故 B 项说法错误， C 项中 (a4)2=(a1q3)2a 2 a8= q8，故 B 项说法错误， D 项中 (a6)2=(a1q5)2=a3 a9= q10，故 D 项说法正确， 答案 ： D. 3.已知变量 x 与 y 正相关，且由观测数据算得样本平均数 =3， =3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是 ( ) A. =0.4x+2.3 B. =2x-2.4 C. =-2x+9.5 D.
3、=-0.3x+4.4 解析： 变量 x 与 y 正相关， 可以排除 C， D； 样本平均数 =3， =3.5，代入 A 符合， B 不符合， 答案： A. 4.已知向量 =(k， 3)， =(1， 4)， =(2， 1)且 (2 -3 ) ，则实数 k=( ) A. - B. 0 C. 3 D. 解析： =(k， 3)， =(1， 4)， =(2， 1)2 -3 =(2k-3， -6)， (2 -3 ) ， (2 -3 ) =02 (2k-3)+1 (-6)=0， 解得 k=3. 答案： C. 5.执行如图所示的程序框图，若输出 k 的值为 6，则判断框内可填入的条件是 ( ) A. s B.
4、 s C. s D. s 解析： 由程序框图知：程序运行的 S= ， 输出的 k=6， S= = ， 判断框的条件是 S ， 答案： C. 6.已知命题 p：对任意 x R，总有 2x 0； q： “x 1” 是 “x 2” 的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是 ( ) A. p q B. p q C. p q D. p q 解析： 根据指数函数的性质可知，对任意 x R，总有 2x 0 成立，即 p 为真命题， q： “x 1” 是 “x 2” 的必要不充分条件，即 q 为假命题，则 p q，为真命题， 答案： D. 7.某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为 ( ) A. 54
5、B. 60 C. 66 D. 72 解析： 由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图： 三棱柱的高为 5，消去的三棱锥的高为 3， 三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为 3 和 4 的等腰直角三角形， AB 平面 BEFC， ABBC ， BC=5， FC=2， AD=BE=5， DF=5 几何体的表面积 S= 34+ 35+ 4+ 5+35 =60. 答案： B. 8.设 F1， F2分别为双曲线 - =1(a 0， b 0)的左、右焦点，双曲线上存在一点 P 使得|PF1|+|PF2|=3b， |PF1|PF2|= ab，则该双曲线的离心率为 ( ) A. B. C. D.
6、3 解析： 不妨设右支上 P 点的横坐标为 x 由焦半径公式有 |PF1|=ex-a， |PF2|=ex+a， |PF 1|+|PF2|=3b， |PF1| |PF2|= ab， 2ex=3b ， (ex)2-a2= ab b2-a2= ab， a= b， c= = b， e= = . 答案： B. 9.某次联欢会要安排三个歌舞类节目， 2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是 ( ) A. 72 B. 120 C. 144 D. 168 解析： 分 2 步进行分析： 1、先将三个歌舞类节目全排列，有 A33=6 种情况，排好后，有 4 个空位， 2、因为三
7、个歌舞类节目不能相邻，则中间 2 个空位必须安排 2 个节目， 分 2 种情况讨论： 、将中间 2 个空位安排 1 个小品类节目和 1 个相声类节目，有 C21A22=4 种情况， 排好后，最后 1 个小品类节目放在 2 端，有 2 种情况， 此时同类节目不相邻的排法种数是 642=48 种； 、将中间 2 个空位安排 2 个小品类节目，有 A22=2种情况， 排好后，有 6 个空位，相声类节目有 6 个空位可选，即有 6 种情况， 此时同类节目不相邻的排法种数是 626=72 种； 则同类节目不相邻的排法种数是 48+72=120， 答案： B. 10.已知 ABC 的内角 A， B， C满
8、足 sin2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+ ，面积 S满足 1S2 ，记 a， b， c 分别为 A， B， C 所对的边，在下列不等式一定成立的是 ( ) A. bc(b+c) 8 B. ab(a+b) 16 C. 6abc12 D. 12abc24 解析： ABC 的内角 A， B， C 满足 sin2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+ ， sin2A+sin2B= -sin2C+ ， sin2A+sin2B+sin2C= ， 2sinAcosA+2sin(B+C)cos(B -C)= ， 2sinA(cos(B-C)-cos(B+C)= ， 化为 2sin
9、A-2sinBsin(-C)= ， sinAsinBsinC= . 设外接圆的半径为 k， 由正弦定理可得： =2R， 由 S= ，及正弦定理得 sinAsinBsinC= = ，即 R2=4S， 面积 S 满足 1S2 ， 4R 28 ， 由 sinAsinBsinC= 可得 ，显然选项 C， D 不一定正确， A.bc(b+c) abc8 正确， B.bc(b+c) abc，但 bc(b+c) .不一定正确， 答案： A 二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5分共 15分把答案填写在答题卡相应位置上 . 11.设全集 U=n N|1n10 ， A=1， 2， 3， 5， 8， B=1，
10、 3， 5， 7， 9，则 (UA)B= . 解析： 全集 U=n N|1n10 ， A=1， 2， 3， 5， 8， B=1， 3， 5， 7， 9， ( UA)=4， 6， 7， 9 ， ( UA)B=7 ， 9， 答案 ： 7， 9. 12.函数 f(x)=log2 2log(2x)的最小值为 . 解析： f(x)=log 2 2log(2x) f(x)= log 2log(2x)= log x2log(2x) = l2log(2logx+l2log2) =2logx(2logx+2) = 当2logx+1=0 即 x= 时，函数 f(x)的最小值是 . 答案 ： - 13.已知直线 a
11、x+y-2=0 与圆心为 C 的圆 (x-1)2+(y-a)2=4 相交于 A， B两点，且 ABC 为等边三角形，则实数 a= . 解析： 圆心 C(1， a)，半径 r=2， ABC 为等边三角形， 圆心 C 到直线 AB 的距离 d= ， 即 d= ， 平方得 a2-8a+1=0， 解得 a=4 ， 答案 ： 4 三、选做题：考生注意 (14)(15)、 (16)三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分 14.过圆外一点 P 作圆的切线 PA(A 为切点 )，再作割线 PBC 依次交圆于 B、 C，若 PA=6， AC=8，BC=9，则 AB= . 解析： ：由题意，
12、 PAB=C ， APB=CPA ， PABPCA ， ， PA=6 ， AC=8， BC=9， ， PB=3 ， AB=4， 答案 ： 4. 15.已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数 )，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 sin 2 -4cos=0 (0 ， 0 2 )，则直线 l与曲线 C 的公共点的极径 = . 解析： 直线 l 的参数方程为 ，普通方程为 y=x+1， 曲线 C 的极坐标方程为 sin 2 -4cos=0 的直角坐标方程为 y2=4x， 直线 l 与曲线 C 联立可得 (x-1)2=0， x=1 ， y=2， 直线 l
13、 与曲线 C 的公共点的极径 = = . 答案 ： . 16.不等式 |2x-1|+|x+2|a 2+ a+2 对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围是 . 解析： |2x-1|+|x+2|= ， x= 时， |2x-1|+|x+2|的最小值为 ， 不等式 |2x-1|+|x+2|a 2+ a+2 对任意实数 x 恒成立， a 2+ a+2 ， a 2+ a- 0 ， -1a ， 实数 a 的取值范围是 -1， . 答案 ： -1， . 四、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17.(13分 )已知函数 f(x)= sin(x+ )(
14、0， - )的图象关于直线 x= 对称，且图象上相邻两个最高点的距离为 . ( )求 和 的值； ( )若 f( )= ( )，求 cos(+ )的值 . 解析： ( )由题意可得函数 f(x)的最小正周期为 求得 =2 .再根据图象关于直线 x= 对称，结合 - 可得 的值 . ( )由条件求得 sin( - )= .再根据 - 的范围求得 cos( - )的值，再根据cos(+ )=sin=sin ( - )+ ，利用两角和的正弦公式计算求得结果 . 答案： () 由题意可得函数 f(x)的最小正周期为 ， = ， =2. 再根据图象关于直线 x= 对称，可得 2 +=k+ ， k z.
15、结合 - 可得 = - . ()f( )= ( )， sin( - )= ， sin( - )= . 再根据 0 - ， cos( - )= = ， cos(+ )=sin=sin( - )+ =sin( - )cos +cos( - )sin = + = . 18.(13 分 )一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片，其中 4 张卡片上的数字是 1， 3 张卡片上的数字是 2， 2 张卡片上的数字是 3，从盒中任取 3 张卡片 . ( )求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率； ( )X 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数，求 X 的分布列与数学期望 .(注：若三个数字 a，b， c 满
16、足 abc ，则称 b 为这三个数的中位数 .) 解析： 第一问是古典概型的问题，要先出基本事件的总数和所研究的事件包含的基本事件个数，然后代入古典概型概率计算公式即可，相对简单些； 第二问应先根据题意求出随机变量 X 的所有可能取值，此处应注意所取三张卡片可能来自于相同数字 (如 1 或 2)或不同数字 (1 和 2、 1 和 3、 2和 3三类 )的卡片，因此应按卡片上的数字相同与否进行分类分析，然后计算出每个随机变量所对应事件的概率，最后将分布列以表格形式呈现 . 答案： () 由古典概型的概率计算公式得所求概率为 P= ， () 由题意知 X 的所有可能取值为 1， 2， 3，且 P(
17、X=1)= ， P(X=2)= ， P(X=3)= ， 所以 X 的分布列为： 所以 E(X)= . 19.(13 分 )如图，四棱锥 P-ABCD，底面是以 O 为中心的菱形， PO 底面 ABCD， AB=2， BAD=， M 为 BC 上的一点，且 BM= ， MPAP . ( )求 PO 的长； ( )求二面角 A-PM-C 的正弦值 . 解析： () 连接 AC， BD，以 O 为坐标原点， OA， OB， OP 方向为 x， y， z 轴正方向建立空间坐标系 O-xyz，分别求出向量 ， 的坐标，进而根据 MPAP ，得到 =0，进而求出 PO 的长； () 求出平面 APM 和平
18、面 PMC 的法向量，代入向量夹角公式，求出二面角的余弦值，进而根据平方关系可得：二面角 A-PM-C 的正弦值 . 答案 ： () 连接 AC， BD， 底面是以 O 为中心的菱形， PO 底面 ABCD， 故 ACBD=O ，且 ACBD ， 以 O 为坐标原点， OA， OB， OP 方向为 x， y， z 轴正方向建立空间坐标系 O-xyz， AB=2 ， BAD= ， OA=ABcos( BAD)= ， OB=ABsin( BAD)=1 ， O(0 ， 0， 0)， A( ， 0， 0)， B(0， 1， 0)， C(- ， 0， 0)， =(0， 1， 0)， =(- ， -1，
19、0)， 又 BM= ， =(- ， - ， 0)， 则 = + =(- ， ， 0)， 设 P(0， 0， a)，则 =(- ， 0， a)， =( ， - ， a)， MPAP ， = -a2=0，解得 a= ，即 PO 的长为 . () 由 () 知 =(- ， 0， )， =( ， - ， )， =( ， 0， )， 设平面 APM 的法向量 =(x， y， z)，平面 PMC 的法向量为 =(a， b， c)， 由 ，得 ， 令 x=1，则 =(1， ， 2)， 由 ，得 ， 令 a=1，则 =(1， - ， -2)， 平面 APM 的法向量 和平面 PMC 的法向量 夹角 满足： c
20、os= = =- ， 故 sin= = . 20.(12分 )已知函数 f(x)=ae2x-be-2x-cx(a， b， c R)的导函数 f (x)为偶函数，且曲线 y=f(x)在点 (0， f(0)处的切线的斜率为 4-c. ( )确定 a， b 的值； ( )若 c=3，判断 f(x)的单调性； ( )若 f(x)有极值，求 c 的取值范围 . 解析： () 根据函数 f(x)=ae2x-be-2x-cx(a， b， c R)的导函数 f(x) 为偶函数，且曲线 y=f(x)在点 (0， f(0)处的切线的斜率为 4-c，构造关于 a， b 的方程，可得 a， b 的值； () 将 c=
21、3 代入，利用基本不等式可得 f(x)0 恒成立，进而可得 f(x)在定义域 R 为均增函数； () 结合基本不等式，分 c4 时和 c 4 时两种情况讨论 f(x)极值的存在性，最后综合讨论结果，可得答案 . 答案 ： () 函数 f(x)=ae2x-be-2x-cx(a， b， c R)， f(x)=2ae 2x+2be-2x-c， 由 f(x) 为偶函数，知 f( -x)=f(x) ， 即 2(a-b)(e2x+e-2x)=0，即 a=b， 又 曲线 y=f(x)在点 (0， f(0)处的切线的斜率为 4-c，即 f(0)=2a+2b -c=4-c，故 a=b=1； () 当 c=3 时
22、， f(x)=2e 2x+2e-2x-32 =1 0 恒成立， 故 f(x)在定义域 R 为均增函数； () 由 () 得 f(x)=2e 2x+2e-2x-c， 而 2e2x+2e-2x2 =4，当且仅当 x=0 时取等号， 当 c4 时， f(x)0 恒成立，故 f(x)无极值； 当 c 4 时，令 t=e2x，方程 2t+ -c=0 的两根均为正， 即 f(x)=0 有两个根 x1， x2， 当 x (x1， x2)时， f(x) 0，当 x (-x 1)(x 2， +) 时， f(x) 0， 故当 x=x1，或 x=x2时， f(x)有极值， 综上，若 f(x)有极值， c 的取值范围
23、为 (4， +). 21.(12 分 )如图，设椭圆 + =1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1， F2，点 D 在椭圆上 .DF1F 1F2， =2 ， DF 1F2的面积为 . ( )求椭圆的标准方程； ( )设圆心在 y 轴上的圆与椭圆在 x 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径 . 解析： () 设 F1(-c， 0)， F2(c， 0)，依题意，可求得 c=1，易求得 |DF1|= = ，|DF2|= ，从而可得 2a=2 ，于是可求得椭圆的标准方程； () 设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆 +y2=1 相交， P1(x1， y
24、1)， P2(x2， y2)是两个交点，依题意，利用圆和椭圆的对称性，易知 x2=-x1， y1=y2， |P1P2|=2|x1|， 由 F1P1F 2P2，得 x1=- 或 x1=0，分类讨论即可求得圆的半径 . 答案 ： () 设 F1(-c， 0)， F2(c， 0)，其中 c2=a2-b2， 由 =2 ，得 |DF1|= = c ， 从而 = |DF1|F1F2|= c2= ，故 c=1. 从而 |DF1|= ，由 DF1F 1F2，得 = + = ， 因此 |DF2|= ， 所以 2a=|DF1|+|DF2|=2 ，故 a= ， b2=a2-c2=1， 因此，所求椭圆的标准方程为 +
25、y2=1； () 设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆 +y2=1 相交， P1(x1， y1)， P2(x2， y2)是两个交点， y1 0， y2 0， F1P1， F2P2是圆 C 的切线，且 F1P1F 2P2，由圆和椭圆的对称性，易知 x2=-x1，y1=y2， |P1P2|=2|x1|， 由 () 知 F1(-1， 0)， F2(1， 0)，所以 =(x1+1， y1)， =(-x1-1， y1)，再由 F1P1F 2P2，得 2211( 1) 0xy ， 由椭圆方程得 ，即 3 +4x1=0，解得 x1=- 或 x1=0. 当 x1=0 时， P1， P2重合，此时题设要求的圆不存
26、在； 当 x1=- 时，过 P1， P2，分别与 F1P1， F2P2垂直的直线的交点即为圆心 C. 由 F1P1， F2P2是圆 C 的切线，且 F1P1F 2P2，知 CP1CP 2，又 |CP1|=|CP2|， 故圆 C 的半径 |CP1|= |P1P2|= |x1|= . 22.(12 分 )设 a1=1， an+1= +b(n N*) ( )若 b=1，求 a2， a3及数列 an的通项公式； ( )若 b=-1，问：是否存在实数 c 使得 a2n c a2n+1对所有的 n N*成立，证明你的结论 . 解析： () 若 b=1，利用 an+1= +b，可求 a2， a3；证明 (a
27、n-1)2是首项为 0，公差为 1 的等差数列，即可求数列 an的通项公式； () 设 f(x)= ，则 an+1=f(an)，令 c=f(c)，即 c= -1，解得 c= .用数学归纳法证明加强命题 a2n c a2n+1 1 即可 . 答案 ： ()a 1=1， an+1= +b， b=1， a 2=2， a3= +1； 又 (an+1-1)2=(an-1)2+1， (a n-1)2是首项为 0，公差为 1 的等差数列； (a n-1)2=n-1， a n= +1(n N*)； () 设 f(x)= ，则 an+1=f(an)， 2 2111 ( 1)2x x 令 c=f(c)，即 c= -1，解得 c= . 下面用数学归纳法证明加强命题 a2n c a2n+1 1. n=1 时， a2=f(1)=0， a3=f(0)= -1， a 2 c a3 1，成立； 设 n=k 时结论成立，即 a2k c a2k+1 1 f(x) 在 (- ， 1上为减函数， c=f(c) f(a2k+1) f(1)=a2， 1 c a2k+2 a2， c=f(c) f(a2k+2) f(a2)=a3， 1， c a2k+3 1， a 2(k+1) c a2(k+1)+1 1，即 n=k+1时结论成立， 综上， c= 使得 a2n c a2n+1对所有的 n N*成立 .
