1、考研数学三-线性代数、概率论与数理统计(二)及答案解析(总分：108.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：54，分数：108.00)1.设矩阵 A的秩为 t，则秩 r(ATA)=_（分数：2.00）填空项 1:_2.已知 （分数：2.00）填空项 1:_3.已知三阶矩阵 A的特征值是 （分数：2.00）填空项 1:_4.设 A是主对角线元素之和为-5 的三阶矩阵，且满足 A2+2A-3E=0，那么矩阵 A的三个特征值是_（分数：2.00）填空项 1:_5.已知 (a，1，1) T是矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_6.设 =(1，-1，a) T是 （分数：2.00）填空项
2、 1:_7.设 A是 3阶矩阵， 1， 2， 3是 3维线性无关的列向量，且A 1= 1，A 2=- 3，A 3= 2+2 3则矩阵 A的三个特征值是_（分数：2.00）填空项 1:_8.已知 是 3维列向量， T是 的转置，若矩阵 T相似于 （分数：2.00）填空项 1:_9.已知 A是三阶方阵，其特征值分别为 1，2，一 3，则行列式|A|中主对角线元素的代数余子式之和A11+A22+A33=_（分数：2.00）填空项 1:_10.设 （分数：2.00）填空项 1:_11.已知 A是三阶实对称矩阵，特征值是 1，3，-2，其中 1=(1，2，-2) T， 2=(4，-1，a) T分别是属于
3、特征值 =1 与 =3 的特征向量，那么矩阵 A属于特征值 =-2 的特征向量是_（分数：2.00）填空项 1:_12.设 A是三阶实对称矩阵，存在正交阵 Q= 1， 2， 3，使得 Q-1AQ=QTAQ= ，则矩阵 B=A- 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设 =(1，-1,a) T，=(1，a，2) T，A=E+ T，且 =3 是矩阵 A的特征值，则矩阵 A属于特征值=3 的特征向量是_（分数：2.00）填空项 1:_14.已知矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_15.已知 A是四阶实对称矩阵，秩 r(A)=3，矩阵 A满足 A4-A3-A2-2A=O则与 A相似的对角矩阵是_（
4、分数：2.00）填空项 1:_16.已知矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_17.A是三阶矩阵， 是三个三维线性无关的列向量，其中 Ax=0有解 ，Ax= 有解 ，Ax=有解 ，则 A_（分数：2.00）填空项 1:_18.设 f(x1，x 2)= （分数：2.00）填空项 1:_19.已知三元二次型 f(x1，x 2，x 3)= （分数：2.00）填空项 1:_20.二次型 f(x1，x 2，x 3，x 4)= （分数：2.00）填空项 1:_21.已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx=2x12+2x22+ax23+4x1x3+2tx2x3经正交变换 x=Py可化成标准形f=y
5、12+2y22+7y32，则 t=_（分数：2.00）填空项 1:_22.若二次型 f(x1，x 2，x 3)=ax12+4x22+ax32+6x1x2+2x2x3是正定的，则 a的取值范围是_（分数：2.00）填空项 1:_23.设 =(1，0，1) T，A= T，若 B=(kE+A)*是正定矩阵，则 k的取值范围是_（分数：2.00）填空项 1:_24.已知矩阵 与二次型 xTBx= （分数：2.00）填空项 1:_25.已知 （分数：2.00）填空项 1:_26.设 A是三阶实对称矩阵，满足 A3=2A2+5A-6E，保证 kE+A是正定阵，则 k的取值范围是_（分数：2.00）填空项
6、1:_27.设 A是 mn矩阵，E 是 n阶单位阵，矩阵 B=-aE+ATA是正定阵，则 a的取值范围是_（分数：2.00）填空项 1:_28.设两个相互独立事件 A与 B至少有一个发生的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_29.已知事件 A与 B相互独立，P(A)=a，p(B)=b如果事件 C发生必然导致事件 A与 B同时发生，则A，B，C 都不发生的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_30.已知事件 A、B 仅发生一个的概率为 0.3，且 P(A)+P(B)=0.5，则 A，B 至少有一个不发生的概率为_（分数：2.00）填空项 1:_31.10个同规格的零件中混入 3个次品，现
7、进行逐个检查，则查完 5个零件时正好查出 3个次品的概率为_（分数：2.00）填空项 1:_32.设 A，B，C 是两两相互独立且三事件不能同时发生的随机事件，且它们的概率相等即 P(ABC)的最大值为_（分数：2.00）填空项 1:_33.已知甲袋有 3个白球，6 个黑球，乙袋有 5个白球，4 个黑球先从甲袋中任取一球放入乙袋，然后再从乙袋中任取一球放回甲袋，则甲袋中白球数不变的概率为_（分数：2.00）填空项 1:_34.考试时有四道单项选择题，每题附有四个答案，现随意选择每题的答案，那么至少答对一道题的概率=_；已知答对某道题，那么确实知道解答该题的概率 =_（分数：2.00）填空项 1
8、:_35.将一枚硬币重复掷五次，则正、反面都至少出现二次的概率为_（分数：2.00）填空项 1:_36.已知每次试验“成功”的概率为 p，现进行 n次独立试验，则在没有全部“失败”的条件下，“成功”不止一次的概率为_（分数：2.00）填空项 1:_37.在区间(0，1)中随机地取出两个数，则“两数之积小于 （分数：2.00）填空项 1:_38.某种产品由自动生产线进行生产，一旦出现不合格品就立即对其进行调整，经过调整后生产出的产品为不合格品的概率为 0.1那么两次调整之间至少生产 3件产品的概率为_（分数：2.00）填空项 1:_39.袋中有 8个球，其中 3个白球 5个黑球，现随意从中取出
9、4个球，如果 4个球中有 2个白球 2个黑球，试验停止否则将 4个球放回袋中，重新抽取 4个球，直到出现 2个白球 2个黑球为止用 X表示抽取次数，则 PX=k=_(k=1，2，)（分数：2.00）填空项 1:_40.假设 X服从参数为 的指数分布，对 X作三次独立重复观察，至少有一次观测值大于 2的概率为（分数：2.00）填空项 1:_41.假设随机变量 X服从参数为 的指数分布，且 X落入区间(1，2)内的概率达到最大，则 =_（分数：2.00）填空项 1:_42.一批元件其寿命(单位：小时)服从参数为 的指数分布系统初始先由一个元件工作，当其损坏时立即更换一个新元件接替工作那么到 48小
10、时为止，系统仅更换一个元件的概率为_（分数：2.00）填空项 1:_43.设随机变量 XN(， 2)，0，设其分布函数 F(x)的曲线的拐点坐标必为_（分数：2.00）填空项 1:_44.已知 X的概率密度 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_45.假设随机变量 X的密度函数 f(x)= (xR,b，c 为常数)在 x=1处取最大值 ，则概率（分数：2.00）填空项 1:_46.设随机变量 X服从(0，2)上的均匀分布，则随机变量 Y=X2在(0，4)内的概率分布密度 fY(y)=_（分数：2.00）填空项 1:_47.从 1，2，N(N3)这 N个数中任取三个数，记这三个数中中间大小
11、的数为 X，则随机变量 X的分布律 PX=k= 1（分数：2.00）填空项 1:_48.设随机变量 X的概率分布 PX=k)= ，k=1，2，其中 a为常数，X 的分布函数为 F(x)，已知F(b)= （分数：2.00）填空项 1:_49.设 X是服从参数为 2的指数分布的随机变量，则随机变量 Y=X- （分数：2.00）填空项 1:_50.设随机变量 XN(， 2)(0)，其分布函数为 F(x)，则有 F(+x)+F(-x)=_（分数：2.00）填空项 1:_51.设随机变量 X服从参数为 1的指数分布，随机变量函数 Y=1-e-X的分布函数为 FY(y)，则 FY( （分数：2.00）填空
12、项 1:_52.已知随机变量 X与 Y都服从正态分布 N(， 2)，如果 Pmax(X，Y)=a(0a1)，则 Pmin(X，Y) 等于_（分数：2.00）填空项 1:_53.设 XN(， 2)，YN(2， )，X 与 Y相互独立，已知 PX-Y1= （分数：2.00）填空项 1:_54.假设随机变量 X1，X 2，X 3，X 4相互独立且都服从 0-1分布：PX i-1=p，PX i=0=1-p(i=1，2，3，4，0p1)，已知二阶行列式 的值大于零的概率等于 （分数：2.00）填空项 1:_考研数学三-线性代数、概率论与数理统计(二)答案解析(总分：108.00，做题时间：90 分钟)一
13、、填空题(总题数：54，分数：108.00)1.设矩阵 A的秩为 t，则秩 r(ATA)=_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：t）解析：解析 考察方程组 AX=0与 ATAX=0显然 AX=0的解均为 ATAX=0的解设 是 ATAX=0的解，即ATA=0，则 TATA=0，(A) T(A)=0，从而 A=0，即 是 AX=0的解方程组 AX=0与 ATAX=0同解，故 r(A)=r(ATA)同时我们有 r(A)=r(AT)=r(AT)TAT)=r(AAT)一般地，设 A为 mn矩阵，B 为 ns矩阵，则 r(AB)minr(A)，r(B)我们先证明 r(AB)r(A)设 A=(
14、1， 2， n)，B=(b ij)，则2.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：1，7，7）解析：解析 (解法一)按伴随矩阵定义，由代数余子式知伴随矩阵那么所以 A*的特征值是 1，7，7(解法二)由矩阵 A的特征多项式知矩阵 A的特征值是 7，1，1由|A|= i，从而|A|=711=7因为若 A=，则有 A*= 所以 A*的特征值是 1，7，7(解法三)因为3.已知三阶矩阵 A的特征值是 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：6，3，2）解析：解析 由 A-1BA=6A+BA A-1B=6E+B (A-1-E)B6E 知 B=6(A-1-E)-1因为 A的特征值 的特
15、征值 2，3，4 A-1-E的特征值 1，2，3 (A-1-E)-1的特征值 1，4.设 A是主对角线元素之和为-5 的三阶矩阵，且满足 A2+2A-3E=0，那么矩阵 A的三个特征值是_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：1，-3，-3）解析：解析 设 是矩阵 A的特征值， 是相对应的特征向量，即 A=，0那么根据An= n，由 A2+2A-3E=0有( 2+2-3)=0，又因 0故 2+2-3=0知 取值为 1和-3，再由 i=a ii=-5，知矩阵 A的特征值是 1，-3，-35.已知 (a，1，1) T是矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：-5）解析：解
16、析 设 是矩阵 A-1属于特征值 0的特征向量，按定义有 A-1= 0，于是 = 0A即即由(2)知 00，(2)-(3)易见 a=-1，那么 0=6.设 =(1，-1，a) T是 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：-1）解析：解析 是 A*的特征向量，设对应的特征值为 0，则有 A*= 0 两边左乘 A，得AA*= 0A=|A|即得7.设 A是 3阶矩阵， 1， 2， 3是 3维线性无关的列向量，且A 1= 1，A 2=- 3，A 3= 2+2 3则矩阵 A的三个特征值是_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：1，1，1）解析：解析 由已知条件，有A 1， 2， 3= 1
17、，- 3， 2+2 3= 1， 2， 3因为 1， 2， 3线性无关，故矩阵 P= 1， 2， 3可逆记那么由 AP=PB得 P-1AP=B，即 AB因为8.已知 是 3维列向量， T是 的转置，若矩阵 T相似于 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：6）解析：解析 设 =( 1， 2， 3)T，记 A= T，有又9.已知 A是三阶方阵，其特征值分别为 1，2，一 3，则行列式|A|中主对角线元素的代数余子式之和A11+A22+A33=_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：-7）解析：解析 由伴随矩阵定义又a ii= i，故只需求出伴随矩阵 A*的特征值之和也就是代数余子式
18、A11+A22+A33之和由|A|= i=12(-3)故 A*的特征值10.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：2， ）解析：解析 若 =2 是二重根，则有 ，得 a=2若 2-2-2(a-2)=0 是完全平方，则有(-1) 2=0，(即 =1 是二重根)则有-2(a-2)=1，得 a=11.已知 A是三阶实对称矩阵，特征值是 1，3，-2，其中 1=(1，2，-2) T， 2=(4，-1，a) T分别是属于特征值 =1 与 =3 的特征向量，那么矩阵 A属于特征值 =-2 的特征向量是_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：k(0，1，1) T，k0）解析：解析 因为
19、A是实对称矩阵，不同特征值的特征向量相互正交，设 =-2 的特征向量是 3=(x1，x 2，x 3)T，那么可先求出 a=1，再由12.设 A是三阶实对称矩阵，存在正交阵 Q= 1， 2， 3，使得 Q-1AQ=QTAQ= ，则矩阵 B=A- 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：0，2，3）解析：解析 由题设条件知，A 有特征值 1=1， 2=2， 3=3，对应的特征向量分别是 1， 2， 3，即有 A i= i i=i i，i=1，2，3又 Q是正交矩阵， 1， 2， 3满足条件故故 A- 113.设 =(1，-1,a) T，=(1，a，2) T，A=E+ T，且 =3 是矩阵
20、A的特征值，则矩阵 A属于特征值=3 的特征向量是_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：k(1，-1，1) T，k0）解析：解析 令 B= T，由于秩 r(B)=1，且 T=a+1 知矩阵 B的特征值为 a+1，0，0那么 A=E+B的特征值为 a+2，1，1因为 =3 是矩阵 A的特征值，故 a+2=3，知 a=1那么 B=( T)=( T)=2=(1，-1，1) T是矩阵 B属于特征值 =2 的特征向量，也就是矩阵 A属于特征值 =3 的特征向量要会用定义法求特征向量注意 T是 3阶矩阵而 T 是一个数，这些符号要仔细分清楚，不要混淆；再者特征向量有无穷多个时，求特征向量要写成通
21、解并指出任意常数非零14.已知矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：-2）解析：解析 因为所以矩阵 A的特征值为 2，3，3因为矩阵 A的特征值有重根，所以A =3 有两个线性无关的特征向量(3E-A)x=0有两个线性无关的解r(3E-A)=1那么15.已知 A是四阶实对称矩阵，秩 r(A)=3，矩阵 A满足 A4-A3-A2-2A=O则与 A相似的对角矩阵是_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 设 A=，0，那么由 An= n，有( 4- 3- 2-2)=0，0从而 4- 3- 2-2=0即 (-2)( 2+1)=0由于实对称矩阵特征值必为实数，故 A
22、的特征值为 0或 2再由秩 r(A)=3，可知特征值必为 2，2，2，016.已知矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：2，2，2）解析：解析 根据定理“若 A有 n个不同的特征值，则 A有 n个线性无关的特征向量”，现因为矩阵 A只有一个线性无关的特征向量，所以 A的特征值必是三重根，否则 A至少有两个不同的特征值，那么至少有两个线性无关的特征向量由于a ii= i，故 1+3+2=+，即知 1= 2= 3=2本题亦可由矩阵 A的特征多项式17.A是三阶矩阵， 是三个三维线性无关的列向量，其中 Ax=0有解 ，Ax= 有解 ，Ax=有解 ，则 A_（分数：2.00）填空项 1:
23、_ （正确答案： ）解析：解析 ， 线性无关，都是非零向量，Ax=0 有解 ，即 A=0=0，故 A有 1=0，(对应的特征向量为 )，又 Ax= 有解 ，即 A=，Ax= 有解 ，即 A=，且 A(-)=-从而有A(+)=+=(+)A(-)=-=-(-)故知 A有 2=1， 3=-1，(+，- 均是非零向量，是对应的特征向量)，三阶矩阵 A有三个不同的特征值，0，1，-1故18.设 f(x1，x 2)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 展开行列式，写出二次型的一般表述式，再写出对应矩阵19.已知三元二次型 f(x1，x 2，x 3)= （分数：2.00）填空项
24、1:_ （正确答案：2）解析：解析 二次型矩阵 ，由于二次型的秩为 2，即矩阵 A的秩为 2那么|A|=(2a+1)(a-1)2=0显然 a=1时 r(A)=1，故 a=因为所以矩阵 A的特征值为20.二次型 f(x1，x 2，x 3，x 4)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 二次型矩阵 由于|E-A|=( 2-1)( 2-5)知矩阵 A的特征值为：1，5，-1，0故二次型正惯性指数 p=2，负惯性指数 q=1因此二次型的规范形为21.已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx=2x12+2x22+ax23+4x1x3+2tx2x3经正交变换 x=Py可化
25、成标准形f=y12+2y22+7y32，则 t=_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析 因为二次型 xTAx经正交变换化为标准形时，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵 A的特征值，所以 1，2，7 是 A的特征值又因经过正交变换二次型的矩阵不仅合同而且还相似，因此有根据相似矩阵的性质，有22.若二次型 f(x1，x 2，x 3)=ax12+4x22+ax32+6x1x2+2x2x3是正定的，则 a的取值范围是_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 二次型 f的矩阵为因为 f正定 A的顺序主子式全大于零，即 1=a0 2= =4a-90 3=|A|
26、=4a2-10a0故 f正定 二次型 xTAx正定 0，恒有 xTAx0 A的特征值全大于 0 二次型的正惯性指数 p=n A与 E合同，即有可逆矩阵 C使 A=CTC23.设 =(1，0，1) T，A= T，若 B=(kE+A)*是正定矩阵，则 k的取值范围是_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：k-2 或 k0）解析：解析 由于有|E-A|= 3-2 2= 2(-2)即矩阵 A的特征值是 2，0，0，从而矩阵 KE+A的特征值是 k+2，k，k，那么 B的特征值是 k2，k(k+2)，k(k+2)所以，B 正定的充要条件是：k 20，k(k+2)0，得 k-2 或 k0由 A对称
27、 kE+A对称；若 A对称可逆 A-1对称可逆24.已知矩阵 与二次型 xTBx= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：a0）解析：解析 矩阵 A与 B合同 xTAx与 xTBx有相同的正、负惯性指数由于可见 pA=1，q A=1因而 xTBx=25.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 二次型 xTAx经坐标变换 x=Cy得 xTAx=yTBy就有 A和 B合同，其中 B=CTAC，那么求矩阵 C就是求所用坐标变换(由于本题矩阵 A和 B不相似，若先用正交变换过渡是可行的，但比较麻烦)对二次型 xTAx=2x1x3+即有 xTAx=2(y1+y3)(y
28、1-y3)+可见经坐标变换 ，就有矩阵 A和 B合同，所以本题也可用坐标变换(配方法)26.设 A是三阶实对称矩阵，满足 A3=2A2+5A-6E，保证 kE+A是正定阵，则 k的取值范围是_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：k2）解析：解析 由题设条件 A3=2A2+5A-6E，即A3-2A2-5A+6E=0设 A有特征值 ，则 满足 3-2 2-5+6=0因式分解得 3-2 2-5+6=(-1)(+2)(-3)=0故 A的特征值的取值范围是 1，-2，3kE+A 的特征值的取值范围是 k+1，k-2，k+3，当 k2 时，kE+A 的特征值均大于零，故 k2注意给出特征值的各种
29、方法27.设 A是 mn矩阵，E 是 n阶单位阵，矩阵 B=-aE+ATA是正定阵，则 a的取值范围是_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：a0）解析：解析 B T=(-aE+ATA)T=-aE+ATA=BB 是对称阵B正定28.设两个相互独立事件 A与 B至少有一个发生的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 将已知条件数量关系写出，应用概率性质，通过解方程即可求得 P(A)已知 A与 B独立，且 P(AB)= ，P(A-B)=P(B-A)，故 P(A)-P(AB)=P(B)-P(AB) P(A)=P(B)，P =P ，所以 1-P(AB)= ，即29
30、.已知事件 A与 B相互独立，P(A)=a，p(B)=b如果事件 C发生必然导致事件 A与 B同时发生，则A，B，C 都不发生的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：(1-a)(1-b)）解析：解析 所求的概率为 ，已知“事件 C发生必导致 A、B 同时发生”，显然是用于化简的事实上已知 ，由吸收律知， ，又 A与 B独立，故所求的概率为30.已知事件 A、B 仅发生一个的概率为 0.3，且 P(A)+P(B)=0.5，则 A，B 至少有一个不发生的概率为_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：9）解析：解析 由题设 =0.3，又 互斥，所以=P(A)-P(AB)+P
31、(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-2P(AB)=0.3，又 P(A)+P(B)=0.5，于是 P(AB)=0.1，那么所求的概率为31.10个同规格的零件中混入 3个次品，现进行逐个检查，则查完 5个零件时正好查出 3个次品的概率为_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 记 A=“查完 5个零件正好查出 3个次品”，现要求 P(A)值其实事件 A由两件事合成：B=“前 4次检查，查出 2个次品”和 C=“第 5次检查，查出的零件为次品”，即 A=BC，由乘法公式P(A)=P(BC)=P(B)P(C|B)事件 B是前 4次检查中有 2个正品 2个次品所组合，故 P(
32、B)= 已知 B发生的条件下，也就是已检查了 2正 2次，剩下 6个零件，其中 5正 1次，再要抽检一个恰是次品的概率 P(C|B)= 总之 P(A)= 本题也可以用古典概型计算 P(A)事实上，将 10个零件任意排成一行，每一种排列视为 10个零件的一种检查顺序，总数为 10!事件 A等价于在 3个次品中选一个放在第 5个位置上，然后在 7个正品中取 2个与余下的 2个次品排在前 4个位置上，最后将其余 5个正品随意排在后 5个位置上，所以 P(A)= 本题可以更简化为只考虑 3只次品在 10次检查中的位置问题转化为前 4个位中选 2个放次品，第 5个位置也必须放次品，故 P(A)= 如果只
33、考虑正品的位置，则前 4位中选 2个放正品，最后 5位也放正品，则求解古典概型问题时， 其中 n是样本空间中样本点的总数，在样本空间的选取上当然越简单越好，因而 m也会相应地简单32.设 A，B，C 是两两相互独立且三事件不能同时发生的随机事件，且它们的概率相等即 P(ABC)的最大值为_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A)P(B)-P(B)P(C)-P(A)P(C)+P( )=3P(A)-3P(A)2=故 P(ABC)的最大值为 求得
34、P(ABC)=3P(A)-3P(A) 2后，令 P(A)=x，则 P(ABC)=3x-3x 2=f(x)，然后令 f(x)=0，求最大值，得33.已知甲袋有 3个白球，6 个黑球，乙袋有 5个白球，4 个黑球先从甲袋中任取一球放入乙袋，然后再从乙袋中任取一球放回甲袋，则甲袋中白球数不变的概率为_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 记 A=“经过两次交换，甲袋中白球数不变”，B=“从甲袋中取出的放入乙袋的球为白球”，C=“从乙袋中取出放入甲袋的球为白球”，则 A=BC ，那么，P(A)=P(BC)+34.考试时有四道单项选择题，每题附有四个答案，现随意选择每题的答案，那
35、么至少答对一道题的概率=_；已知答对某道题，那么确实知道解答该题的概率 =_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：68；0.8）解析：解析 首先要将我们要计算概率的事件用符号表出，分析事件间的关系而后应用相应的公式求得 ，记 Ai=“第 i道题选对”i=1，2，3，4，则 Ai相互独立，P(A i)= 又记 A=“某道题答对”，B=“知道解答该题”，则 B A，P(B)= ，=P(B|A)= 事件 A与其前提条件 B、 有关，因此我们自然想到应用全概公式计算 P(A)由于 B =，A=BAA=B A所以P(A)=P(B)+P( A)=P(B)+P( )P(A| )= 35.将一枚硬币重
36、复掷五次，则正、反面都至少出现二次的概率为_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 我们的试验是独立重复试验序列概型，如果记 A=“正、反面都至少出现二次”，X 为将硬币掷五次正面出现的次数，则 XB(5， )，而 Y=5-X为 5次投掷中反面出现的次数，那么，事件A=2X5，2Y5=2X5，25-X5=2X5，0X3=X=2X=3，所以 P(A)=PX=2+PX=3=36.已知每次试验“成功”的概率为 p，现进行 n次独立试验，则在没有全部“失败”的条件下，“成功”不止一次的概率为_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 试验是“独立重复试验”为求
37、概率，首先要将事件“在没有全部失败的条件下，成功不止一次”用符号表示如果记 A=“成功”，n 次独立试验 A发生的次数为 X，则 P(A)=p，XB(n，p)，所求的概率为只要题目中有“将试验进行 n次”，“对 X重复观察 n次”，或隐含着(或可视为)同样含义的试验等等，我们都要考虑独立试验序列概型应用这种概型的前提是每次试验只有两个结果 A与37.在区间(0，1)中随机地取出两个数，则“两数之积小于 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 记(0，1)中任取的两个数为 X，Y，则(X，Y)=(x，y)|0x1，0y1 为基本事件全体，并且取 中任何一点的可能性都一样，因
38、此我们的试验是几何概型，事件 A=“两数之积小于”等价于(X，Y)Q A，由几何概型得38.某种产品由自动生产线进行生产，一旦出现不合格品就立即对其进行调整，经过调整后生产出的产品为不合格品的概率为 0.1那么两次调整之间至少生产 3件产品的概率为_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：81）解析：解析 如果用 X表示两次调整之间生产的产品件数，则 PX=k=P(前 k-1个产品合格，第 k个产品不合格)=0.9 k-10.1(p=0.1的几何分布)，k=1，2，所求概率为 PX3=1-PX3=1-PX=1-PX=2=1-0.1-0.90.1=0.9-0.90.1=0.81若记 A=“
39、两次调整之间至少生产 3件产品”将 A用简单事件运算表示，从而用概率性质计算 P(A)事实上，令 Ai=“第 i次生产的产品为合格品”，则 Ai独立A=A 1A2 +A1A2A339.袋中有 8个球，其中 3个白球 5个黑球，现随意从中取出 4个球，如果 4个球中有 2个白球 2个黑球，试验停止否则将 4个球放回袋中，重新抽取 4个球，直到出现 2个白球 2个黑球为止用 X表示抽取次数，则 PX=k=_(k=1，2，)（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 若记 Ai=“第 i次取出 4个球为 2白 2黑”，由于是有放回取球，因而 Ai相互独立，根据超几何分布知 ，所以4
40、0.假设 X服从参数为 的指数分布，对 X作三次独立重复观察，至少有一次观测值大于 2的概率为（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 应用独立试验序列概型，可求得结果事实上已知记 A=X2，Y 为对 X作三次独立重复观察事件 A发生的次数，则 YB(3，p)，其中 p=PX2=e -x dx=e-2 ，依题意 PY1=1-PY=0=1-(1-p) 3= ，故 1-p= ，p= ，又 p=e-2 ，由 =e-2 解得=41.假设随机变量 X服从参数为 的指数分布，且 X落入区间(1，2)内的概率达到最大，则 =_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：ln2）解析：解析 已知 应使概率 P1X2达到最大，由于 令 g()=e - (2e- -1)=0解得 0=ln2，又 g“()| 0 =e- (1-4e- )|0 =42.一批元件其寿命(单位：小时)服从参数为 的指数分布系统初始先由一个元件工作，当其损坏时立即更换一个新元件接替工作那么到 48小时为止，系统仅更换一个元件的概率为_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：48e -48 ）解析：解析 首先要将事件 A=“到 48小时为止，系统仅更换一个元件”，用元件的寿命表示如果用Xi表示第 i个元件的寿命，依题设 Xi相互独立且有相同的密度函数 事件 A=“第一个元件
