1、考研数学三-线性代数、概率论与数理统计(一)及答案解析(总分：106.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：53，分数：106.00)1. （分数：2.00）填空项 1:_2. （分数：2.00）填空项 1:_3. （分数：2.00）填空项 1:_4. （分数：2.00）填空项 1:_5. （分数：2.00）填空项 1:_6. （分数：2.00）填空项 1:_7.设 （分数：2.00）填空项 1:_8.在 xoy平面上，平面曲线方程 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 A= 1， 2， 3是 3阶矩阵，且|A|=4，若 B= 1-3 2+2 3， 2-2 3，2 2+ 3，则|B
2、|=_（分数：2.00）填空项 1:_10.设四阶方阵 A=， 2， 3， 4，B=， 2， 3， 4，其中 ， 2， 3， 4均为四维列向量，且|A|=4，|B|=-1，则|A-3B|=_（分数：2.00）填空项 1:_11.若三阶矩阵 A与 B相似，矩阵 A的特征值为 1，3，-2B *是矩阵 B的伴随矩阵，则行列式 （分数：2.00）填空项 1:_12.设四阶行列式 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 =(1，3，-2) T，=(2，0，0) T，A= T，则 A3=_（分数：2.00）填空项 1:_14.设 （分数：2.00）填空项 1:_15.若 （分数：2.00）填空项 1:
3、_16.已知 1=(1，0，0) T， 2=(1，2，-1) T， 3=(-1，1，0) T且 A 1=(2，1) T，A 2=(-1，1)T，A 3=(3，-4) T，则 A=_（分数：2.00）填空项 1:_17.设 A=E+ T，其中 ， 是 n维列向量，且 T=3，则(A+2E) -1=_（分数：2.00）填空项 1:_18.设 A是 n阶矩阵，满足 A5=0，则 E-A可逆，且(E-A) -1=_（分数：2.00）填空项 1:_19.设 A，B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵，已知 AB=2A+3B，（分数：2.00）填空项 1:_20.设 （分数：2.00）填空项 1:_21.四
4、阶矩阵 A和 B满足 2ABA-1=AB+6E，若 （分数：2.00）填空项 1:_22.设矩阵 A的伴随矩阵 A*= （分数：2.00）填空项 1:_23.设 ，A ij是|A|中元素 aij的代数余子式，则 （分数：2.00）填空项 1:_24.已知三阶矩阵 A的逆矩阵为 A-1= （分数：2.00）填空项 1:_25.设 A为 n阶可逆矩阵，其每一行元素之和都等于 a，则 A-1每一行元素之和为_（分数：2.00）填空项 1:_26.已知 ， （分数：2.00）填空项 1:_27.设 （分数：2.00）填空项 1:_28.若 （分数：2.00）填空项 1:_29.已知 （分数：2.00）
5、填空项 1:_30.设 （分数：2.00）填空项 1:_31.设 A是五阶矩阵，A *是 A的伴随矩阵，若 1， 2：是齐次线性方程组 Ax=0的两个坐标不成比例的解，那么秩 r(A*)=_（分数：2.00）填空项 1:_32.设 经初等行变换化成 3阶梯形矩阵 ，初等变换过程如下（分数：2.00）填空项 1:_33.已知 （分数：2.00）填空项 1:_34.已知向量组 1=(1，2，-1，1) T， 2=(2，0，t，0) T， 3=(0，-4，5，t) T线性无关，则 t的取值为_（分数：2.00）填空项 1:_35.设 n维向量 1， 2， 3。满足 2 1- 2+3 3=0， 是任意
6、 n维向量，若+ 1，+ 2，+ 3线性相关，则 a=_（分数：2.00）填空项 1:_36.已知 1， 2， 3线性无关，若 1+2 2+ 3， 1+2 2+ 3， 1+a 2，3 2-a 3线性相关，则a=_（分数：2.00）填空项 1:_37.向量组 1=(1，-2，0，3) T， 2=(2，-5，-3，6) T， 3=(0，1，3，0) T， 4=(2，-1，4，7) T的一个极大线性无关组是_（分数：2.00）填空项 1:_38.已知向量 =(1，a，-1) T可以由 1=(a+2，7，1) T， 2=(1，-1，2) T线性表出，则 a=_（分数：2.00）填空项 1:_39.已知
7、 1=(2，3，3) T， 2=(1，0，3) T， 3=(3，5，a+2) T若 1=(4，-3，15)T 可由 1， 2， 3线性表出， 2=(-2，-5，a) T不能由 1， 2， 3线性表出，则a=_（分数：2.00）填空项 1:_40.已知 1=(1，4，2) T， 2=(2，7，3) T， 3=(0，1，a) T可以表示任意一个三维向量，则 a的取值为_（分数：2.00）填空项 1:_41.与 1=(1，2，3，-1) T， 2=(0，1，1，2) T， 3=(2，1，3，0) T都正交的单位向量是_（分数：2.00）填空项 1:_42.向量 1=(1，1，2，3) T， 2=(-
8、1，1，4，-1) T的 schmidt正交规范化向量组是_（分数：2.00）填空项 1:_43.四元齐次线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_44.已知齐次线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_45.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_46.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_47.设 1=(6，-1，1) T与 2=(-7，4，2) T是线性方程组（分数：2.00）填空项 1:_48.设线性方程组 A34x=b，即有通解 k1，2，-1，1 T+1，-1，0，2 T，其中 k是任意常数，则方程组 B33x=b即（分数：2.00）填空项 1:_49.设线性方程组
9、A33x=b，即有唯一解 =1，2，3 T方程组 B34y=b即 （分数：2.00）填空项 1:_50.设 A=aij是三阶正交矩阵，其中 a33=-1，b=(0，0，5) T，则线性方程组 Ax=b的解是_（分数：2.00）填空项 1:_51.已知齐次线性方程组有通解，k 12，-1，0，1 T+k23，2，1，0 T，则方程组（分数：2.00）填空项 1:_52.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_53.已知非齐次线性方程组()与()同解，其中（分数：2.00）填空项 1:_考研数学三-线性代数、概率论与数理统计(一)答案解析(总分：106.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(
10、总题数：53，分数：106.00)1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：24）解析：解析 在用按行(列)展开公式计算行列式的值时，应先用行列式的性质作恒等变形以期减少计算量2. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：b 3(b+ ）解析：解析 每行元素都是 a1，a 2，a 3，a 4，b把每列均加至第一列，则第 1列有公因数可提出3. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：(a 1c2-a2c1)(b1d2-b2d1)）解析：解析 本题有较多的 0，并有较好的规律性，应当有用拉普拉斯展开式的设想拉普拉斯展开式的两种特殊情况应当会用4. （分数：2.00）填空项
11、1:_ （正确答案：120）解析：解析 将行列式第四行加到第一行上，可提出公因子 10再将第四行逐行相换至第二行得：要熟悉范德蒙行列式范德蒙行列式可以直接使用，但要注意是下标大的数减下标小的数。例如：5. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：4!3!2!(或 288)）解析：解析 第 2、3、4 行提出公因子 2、3、4，再转置，得范德蒙行列式，直接代入范德蒙行列式的结果得答案 4!3!2!或6. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：a，b，-(a+b)）解析：解析 行列式的展开后是一元三次方程，应有三个根，由观察，当 x=a时，一、二行相等，行列式为零，x=a 是方程的根
12、同理 x=b也是(理由?)又行列式每行元素和为相等，且等于 x+a+b，将第二、三列加到第一列，并提公因子，得得 x=-(a+b)故方程的三个根是 a，b，-(a+b)也可直接计算如下7.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：6x 2）解析：解析 *处右端第一个行列式的第 3列拆成了四个数之和，从而拆开四个行列式行列式的性质8.在 xoy平面上，平面曲线方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：，(3，0)）解析：解析 曲线 与 x轴即 y=0的交点为 方程右端为范德蒙行列式，9.设 A= 1， 2， 3是 3阶矩阵，且|A|=4，若 B= 1-3 2+2 3， 2-2
13、3，2 2+ 3，则|B|=_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：20）解析：解析 由行列式性质|B|=| 1-3 2+2 3， 2-2 3，2 2+ 3|=| 1-2 2， 2-2 3，5 3|=5| 1-2 2， 2， 3|=5| 1， 2， 3|=20或者，利用分块矩阵乘法B= 1-3 2+2 3， 2-2 3，2 2+ 310.设四阶方阵 A=， 2， 3， 4，B=， 2， 3， 4，其中 ， 2， 3， 4均为四维列向量，且|A|=4，|B|=-1，则|A-3B|=_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：-56）解析：解析 因为A-3B=， 2， 3， 4-3，3
14、 2，3 3，3 4=-3，-2 2，-2 3，-2 4故有|A-3B|=|-3，-2 2，-2 3，-2 4|=-8|-3， 2， 3， 4|=-8(|， 2， 3， 4|-3|， 2， 3， 4|)=-8(|A|-3|B|)=-56矩阵行列式在考研中多次出现，当 A，B 均为 n阶矩阵时，有|AB|=|A|B|，但|A+B|A|+|B|，而|+，|=|，|+|，|，两者不要混；又若三阶矩阵 A=，则 kA=k，k，k那么|kA|=k 3|A|k，|=k|A|两者也不要混淆11.若三阶矩阵 A与 B相似，矩阵 A的特征值为 1，3，-2B *是矩阵 B的伴随矩阵，则行列式 （分数：2.00）
15、填空项 1:_ （正确答案：-27）解析：解析 由|A|=|A T|及|A|= i知|A T|=-6，再根据相似矩阵有相同的特征值，知矩阵 B的特征值为 1，3，-2，又知|B|=-6从而12.设四阶行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：-12）解析：解析 因为代数余子式 Aij的值与元素 aij的值无关本题求第一列元素的代数余子式，故可构造一个新的行列式把|A|中第 1列换为所求和的代数余子式的系数，即则|A|与|B|的 A11，A 21，A 31，A 41是一样的，而对|B|按第 1列展开就是|B|=A11+2A21+A31+2A41那么只要计算出行列式|B|的值也就求出本
16、题代数余子式的和易计算出|B|=-12在计算代数余子式的和时，不要忘记两个公式ai1Aaj1+ai2Aj2+ainAjn=0 (ij)aijA1k+a2jA2k+anjAnk=0 (jk)若要计算 A11+A12+A13+A14呢?注意到 A11+A12+A13+A14= (2A11+2A12+2A13+2A14)=13.设 =(1，3，-2) T，=(2，0，0) T，A= T，则 A3=_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 因为又因所以 A3=( T)( T)( T)=( T)( T) T=4 T=4A矩阵的运算要正确熟练注意，若 = 1， 2， 3T，=b 1，
17、b 2，b 3T，则14.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 从而有 A5=A3A2=2AA2=2A3=22A15.若 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 按定义，求出行列式|A|的代数余子式，有所以或者，由 A*=|A|A-1，现在|A|=-10，而得16.已知 1=(1，0，0) T， 2=(1，2，-1) T， 3=(-1，1，0) T且 A 1=(2，1) T，A 2=(-1，1)T，A 3=(3，-4) T，则 A=_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 利用分块矩阵，有A 1， 2， 3=A 1，A 2
18、，A 3=那么17.设 A=E+ T，其中 ， 是 n维列向量，且 T=3，则(A+2E) -1=_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：(7E-A) ）解析：解析 因为A2=(E+ T)(E+ T)=E+2 T+ T T=E+2 T+( T) T=E+5 T=E+5(A+E)=5A-4E即 A2-5A+4E=O那么(A+2E)(A-7E)+18E=O得(A+2E) (7E-A)=E故(A+2E) -1=18.设 A是 n阶矩阵，满足 A5=0，则 E-A可逆，且(E-A) -1=_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：E+A+A 2+A3+A4）解析：解析 A 5=O，故-A
19、 5=O，两边加 E，得E-A5=E左边分解因式，有(E-A)(E+A+A 2+A3+A4)=E，故(E-A) -1可逆，且(E-A) -1=E+A+A2+A3+A419.设 A，B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵，已知 AB=2A+3B，（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 为了求(B-2E) -1，利用已知条件 AB=2A+3B，先分组配出 B-2E，得：AB-2A-3B+6E=6E(A-3E)(B-2E)=6E从而(B-2E) -1=20.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 (A+B) -1没有运算法则应当恒等变形将其化为乘积形式，
20、本题用单位矩阵恒等变形之技巧因为 B-E=(E-A)(E+2A)-1-(E+2A)(E+2A)-1=(E-A)-(E+2A)(E+2A)-1=-3A(E+2A)-1故(B-E) -1=-3A(E+2A)-1-1= (E+2A)A-1= (A-1+2E)因为所以(B-E) -1=21.四阶矩阵 A和 B满足 2ABA-1=AB+6E，若 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 化简矩阵方程，左乘 A-1、右乘 A有于是 B(2E-A)=6E所以 B=6(2E-A)-1=二阶矩阵的伴随矩阵有规律：主对角线对调，副对角线变号，即因此二阶矩阵求逆用 是简捷的对于分块矩阵，要会用两
21、个公式22.设矩阵 A的伴随矩阵 A*= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 因为 AA*=|A|E，故 A=|A|(A*)-1，由已知得|A|=-8，又|A *|=|A|3，得|A|=-2又所以 A=|A|(A*)-1=23.设 ，A ij是|A|中元素 aij的代数余子式，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：4-3a）解析：解析 若能求得 A*，则 A*的全体元素之和即是|A|的全部代数余子式之和，由公式 AA*=|A|E，故A*=|A|A-1|A|=1故 A*=|A|-1=A-1=故24.已知三阶矩阵 A的逆矩阵为 A-1= （分数：2.00）填空
22、项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 由 AA*=|A|E，有(A *)-1=因为(A -1)-1=A，求出 A-1的逆矩阵就是求出矩阵 A可知 A=又因|A -1|=2故(A *)-1=25.设 A为 n阶可逆矩阵，其每一行元素之和都等于 a，则 A-1每一行元素之和为_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 由于 A的每一行元素之和为 a，即即在等式两边左乘 A-1得由于 A可逆，则 a0从而 A-1本题要求理解矩阵乘法的实质，进一步由于 A*=|A|A-1，从而 A*每一行元素之和为 若设 A为 n阶可逆矩阵，且 A的每一列元素之和为 a，那么 A-1每一列元素之
23、和等于多少?由于 AT的行就是A的列，故这时 AT每一行元素之和为 a，从而(A T)-1每一行元素之和为 ，又(A -1)T=(AT)-1，所以 A-1每列元素之和为26.已知 ， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 由已知 AX+2B=BA+2X，得AX-2X=BA-2B，即(A-2E)X=B(A-2E)由于 A-2E= 可逆，故 X=(A-2E)-1B(A-2E)那么 X2=(A-2E)-1B2(A-2E)本题把矩阵方程与方幂(利用相似)相结合在求逆时，应当知道关系式27.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：，其中 k，l， 是任意常数 ）解析：解
24、析 将 B按列分块，设 B= 1， 2， 3则AB=A 1， 2， 3=A 1，A 2，A 3=O A 1=0，A 2=0，A 3=0，故 1， 2， 3都是齐次线性方程组 Ax=0的解向量作齐次线性方程组 Ax=0，并求出通解Ax=0有通解 k-2，-1，1 T，取 i，i=1，2，3 为 Ax=0的通解，再合并成 B，得28.若 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：，t、u 为任意实数 ）解析：解析 由于矩阵 不可逆，故可设 ，于是所以 ，t，u 是任意常数由于方程组 的系数矩阵完全一样，区别仅在常数项，所以解这一类方程组可以合并在一起加减消元即请你用这种方法判断矩阵方程29.已
25、知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解析 由 AB+2A=A(B+2E)，而是可逆矩阵，故 r(AB+2A)=r(A(B+2E)=r(A)经初等变换矩阵的秩不变，易见30.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 根据现在 n=4，r(A)=331.设 A是五阶矩阵，A *是 A的伴随矩阵，若 1， 2：是齐次线性方程组 Ax=0的两个坐标不成比例的解，那么秩 r(A*)=_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 因为 1与 2的坐标不成比例，所以 1， 2线性无关因而齐次方程组 Ax=0至少有两个线性无关的解，于是 n-r
26、(A)2，即有 r(A)3又因为 A是五阶矩阵，而 r(A)3，故|A|中 4阶子式必全为 0，因此，代数余子式 Aij恒为零，从而A*=0，所以秩 r(A*)=0本题涉及伴随矩阵、线性无关、基础解系及矩阵的秩诸概念，用的是定义法当分析出 r(A)3 之后，若熟悉关系式32.设 经初等行变换化成 3阶梯形矩阵 ，初等变换过程如下（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 初等行变换相当于左乘初等阵，将题设初等行变换的过程用左乘初等阵表出即可 B=E2()E12(-2)E12A故 P=E2( )E12(-2)E12=为保证计算的正确，应验算 PA=B是否成立可逆阵可分解成若干个
27、初等阵的乘积，初等行变换化 A为阶梯形，实际上在左乘若干个初等阵，即左乘可逆阵33.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解析 由 AB 知那么即 2-a-1= 2+(1-b)-b 知 a=0，b=1又由 AB 知 A+EB+E 那么r(A+E)=r(B+E)=34.已知向量组 1=(1，2，-1，1) T， 2=(2，0，t，0) T， 3=(0，-4，5，t) T线性无关，则 t的取值为_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：(-，+)）解析：解析 由于向量的个数与维数不一样，不能用行列式去分析，而要用齐次方程组只有零解，或矩阵的秩等于 n来进行分析由于 ，
28、恒有 r(A)=3，所以向量组 1， 2， 3必线性无关 1， 2， s线性无关 秩 r( 1， 2， s)=s 方程组 x1 1+x2 2+xs s=0只有零解n个 n维向量 1， 2， n线性无关35.设 n维向量 1， 2， 3。满足 2 1- 2+3 3=0， 是任意 n维向量，若+ 1，+ 2，+ 3线性相关，则 a=_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 + 1，+ 2，a+ 3线性相关，存在不全为零的数 k1，k 2，k 3，使得k1(+ 1)+k2(+ 2)+k3(a+ 3)=0整理和(k 1+k2+k3a)+(k 1 1+k2 2+k3 3)=0因已知
29、 2 1- 2+3 3=0，且 是任意向量，上式成立，只需取 k1=2，k 2=-1，k 3=3，则有 2 1- 2+3 3=0，且令 的系数为 0，即 k1+k2+ak3=2-1+3a=0，即36.已知 1， 2， 3线性无关，若 1+2 2+ 3， 1+2 2+ 3， 1+a 2，3 2-a 3线性相关，则a=_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：3 或-1）解析：解析 因为 1+2 2+ 3， 1+a 2，3 2-a 3线性相关，故有不全为 0的 x1，x 2，x 3使x1( 1+2 2+ 3)+x2( 1+a 2)+x3(3 2-a 3)=0即(x 1+x2) 1+(2x1+
30、ax2+3x3) 2+(x1-ax3) 3=0由于 1， 2， 3线性无关，故必有因为 x1，x 2，x 3不全为 0，所以上述齐次方程组有非零解，系数行列式必为 0，于是从而 a=3或-1若看清行列式37.向量组 1=(1，-2，0，3) T， 2=(2，-5，-3，6) T， 3=(0，1，3，0) T， 4=(2，-1，4，7) T的一个极大线性无关组是_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： 1， 2， 4(不唯一)）解析：解析 列向量作行变换，有因为矩阵中有 3个非零行，所以向量组的秩为 3，又因非零行的第一个不等于零的数分别在 1，2，4 列，所以 1， 2， 4是向量组
31、1， 2， 3， 4的一个极大线性无关组列向量作初等行变换是求向量组极大无关组的基本方法本题秩为 3，由于行列式38.已知向量 =(1，a，-1) T可以由 1=(a+2，7，1) T， 2=(1，-1，2) T线性表出，则 a=_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：3 或-4）解析：解析 因为 1， 2线性无关，所以 可由 1， 2线性表出的充分必要条件是 1， 2，线性相关又因 1， 2， 是 3个 3维向量故 1， 2， 线性相关的充分必要条件是行列式| 1， 2，|=0所以 a=3或 a=-4通常线性表出的问题，应转换为非齐次方程组求解的问题设 x1 1+x2 2=按坐标写出
32、，有39.已知 1=(2，3，3) T， 2=(1，0，3) T， 3=(3，5，a+2) T若 1=(4，-3，15)T 可由 1， 2， 3线性表出， 2=(-2，-5，a) T不能由 1， 2， 3线性表出，则a=_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解析 1可由 1， 2， 3线性表出，即方程组 x1 1+x2 2+x3 3= 1有解， 2不能由 1， 2， 3线性表出，即方程组 y1 1+y2 2+y3 3= 2无解由于这两个方程组的系数矩阵是一样的，因此可联合起来加减消元总有解，即 1必可由 1， 2， 3线性表出而方程组40.已知 1=(1，4，2) T， 2
33、=(2，7，3) T， 3=(0，1，a) T可以表示任意一个三维向量，则 a的取值为_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：a1）解析：解析 1， 2， 3可表示任一个 3维向量 1， 2， 3与 1=(1，0，0) T， 2=(0，1，0) T， 3=(0，0，1) T等价秩 r( 1， 2， 3)=3| 1， 2， 3|041.与 1=(1，2，3，-1) T， 2=(0，1，1，2) T， 3=(2，1，3，0) T都正交的单位向量是_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 向量 ， 正交 内积 T=0设 =(x 1，x 2，x 3，x 4)T与 1， 2
34、， 3均正交，那么对齐次方程组 Ax=0的系数矩阵作初等行变换，有42.向量 1=(1，1，2，3) T， 2=(-1，1，4，-1) T的 schmidt正交规范化向量组是_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 先正交化 1= 1=(1，1，2，3) T 2= 2- =(-1，1，4，-1) T= (-2，1，5，-3) T再单位化，有43.四元齐次线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：(0，1，0，0) T，(-2，0，3，1) T）解析：解析 由齐次方程组的系数矩阵易见秩 r(A)=2，那么 n-r(A)=4-2=2，故基础解系由两个线性无关的
35、解向量所构成，且每个解中有两个自由变量由于 1、3 两列所构成的二阶子式44.已知齐次线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：-5 或-6）解析：解析 齐次方程组 Ax=0有无穷多解的充分必要条件是 r(A)n现在是三个未知数三个方程的齐次方程组，故可以用系数行列式|A|=045.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：解析 线性方程组 Ax=b有解的充分必要条件是 r(A)=r ，而有无穷多解的充要条件是 r(A)=r n对增广矩阵作初等行变换，有由于 r(A)=2，而 r =246.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：-1
36、）解析：解析 非齐次线性方程组 Ax=b无解的充分必要条件是 r(A)r 对增广矩阵作初等行变换有可见 a=-1时，r(A)=2，r47.设 1=(6，-1，1) T与 2=(-7，4，2) T是线性方程组（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：(6，-1，1) T+k(13，-5，-1) T(k为任意常数)）解析：解析 一方面因为 1， 2是非齐次线性方程组 Ax=b的两个不同的解，故必有 r(A)=r 3另一方面由于在系数矩阵 A中存在二阶子式又必有 r(A)2，因此，必有 r(A)=r48.设线性方程组 A34x=b，即有通解 k1，2，-1，1 T+1，-1，0，2 T，其中 k
37、是任意常数，则方程组 B33x=b即（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：(-3，1，1) T）解析：解析 由观察，方程组(2)比方程组(1)减少了一个未知量若方程组(2)有解 =(a，b，c) T，则=(0，a，b，c)必是方程组(1)的解，现已知方程组(1)有无穷多解 k(1，2，-1，1) T+(1，-1，0，2) T，其中 k是任意常数，选择任意常数 k，使(1)的解的第一个分量为 0，即选 k=-1，得(1)的一个特解为(0，-3，1，1) T，则向量(-3，1，1) T满足方程组(2)，是方程组(2)的一个特解49.设线性方程组 A33x=b，即有唯一解 =1，2，3 T方
38、程组 B34y=b即 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：k(-3，-1，1，2) T+(-2，1，4，2) T，其中 k是任意常数）解析：解析 方程组(1)Ax=b 有唯一解，故 r(A)=r(A|b)=3显然 r(B)=r(B|b)=3，且 1=(1，2，3，0)T是方程组 B34y=b的另一个特解B是 34矩阵，故对应齐次方程组 Bx=0的基础解系只有一个线性无关向量组成，且是 - 1故(2)的通解为k(- 1)+=k(-3，-1，1，2) T+(-2，1，4，2) T50.设 A=aij是三阶正交矩阵，其中 a33=-1，b=(0，0，5) T，则线性方程组 Ax=b的解是_
39、（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：(0，0，-5) T）解析：解析 由矩阵定义：AA T=ATA=E，知 A的列向量与行向量都是单位向量，故或者，由克莱姆法则，对于 Ax=b有 x=A-1b，因为 A是正交矩阵有 A-1=AT，故x=ATb=(5a31，5a 32，-5) T再利用51.已知齐次线性方程组有通解，k 12，-1，0，1 T+k23，2，1，0 T，则方程组（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：k(17，9，5，1) T，k 是任意常数）解析：解析 方程组(2)的通解必在方程组(1)的通解之中，是方程组(1)的通解中满足(2)中第 3个方程的解，令(1)的通解
40、52.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：k(-5，3，1) T，k 为任意常数）解析：解析 所谓方程组()与()的公共解，即这两个方程组解集合的交集，把()与()联立得到方程组()，那么方程组()的解就是()与()的公共解对方程组()的系数矩阵作初等行变换，有由于秩 r(A)=2，n-r(A)=1，取 x3为自由变量，令 x3=1，代入求解得 x2=3，x 1=-5，所以，方程组()的基础解系是=(-5，3，1) T那么()与()的公共解是：k，k 为任意常数本题也可以选求出()的通解，则()的通解中满足()的那部分解即是()，()的公共解，本题()的通解是 k(-5，3，1) T代入()，不论 k为何值均满足方程组()，故公共解即是 k(-5，3，1) T本题亦可先分别求出方程组()与()的通解，其中()的通解：k(-5，3，1) T()的通解：l 1(0，1，0) T+l2(
