1、考研数学三-函数极限连续(二)及答案解析(总分：377.92，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：8.00)1.设 存在，且 ，则与 f(x)等价的函数是( )（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 （分数：4.00）A.B.C.D.二、解答题(总题数：37，分数：370.00)求解以下各小题中 f(x)的表达式：（分数：10.00）(1). （分数：5.00）_(2).f(sin2x)=cos2x+tan2x，0x1（分数：5.00）_3.设 f(x)满足方程： （分数：10.00）_4.设 （分数：10.00）_判别下列函数的奇偶性：（分数：9.99）(1).，其中 f(
2、x)为连续的偶函数 （分数：3.33）_(2).，其中 f(x)是连续的奇函数 （分数：3.33）_(3).，其中 a0，a1，f(x)在(-，+)上有定义，且对任何 x，y 恒有 f(x+y)=f(x)+f(y) （分数：3.33）_5.设 f(x)是以 T0 为周期的函数，证明 f(ax)(a0)是以 （分数：10.00）_6.设函数 y=f(x)，x(-，+)的图形关于 x=a，x=b 均对称(ab)，求证：y=f(x)是周期函数，并求其周期（分数：10.00）_7.设函数 f(x)在a，b上连续，且 f(x)单调增加，证明 （分数：10.00）_8.设函数 f(x)在a，+)上连续，且
3、 （分数：10.00）_9.试证 （分数：10.00）_10.设 （分数：10.00）_11.设 （分数：10.00）_12.设 （分数：10.00）_13.设 （分数：10.00）_14.设 （分数：10.00）_15.设 （分数：10.00）_16.设 ，其中 a0，x 00，求 （分数：10.00）_求下列各极限：（分数：9.99）(1). （分数：3.33）_(2). （分数：3.33）_(3). （分数：3.33）_17. （分数：10.00）_求下列极限：（分数：9.99）(1). （分数：3.33）_(2). （分数：3.33）_(3). （分数：3.33）_求下列极限：（分数：
4、9.99）(1). （分数：3.33）_(2). （分数：3.33）_(3). （分数：3.33）_求下列极限：（分数：10.00）(1). （分数：5.00）_(2). （分数：5.00）_求下列极限：（分数：10.00）(1). （分数：2.50）_(2). （分数：2.50）_(3). （分数：2.50）_(4). （分数：2.50）_18. （分数：10.00）_求下列极限：（分数：9.99）(1). （分数：3.33）_(2). （分数：3.33）_(3).设 f(x)连续，f(0)=0，f(0)0，求 （分数：3.33）_求下列极限：（分数：10.00）(1). （分数：2.50）
5、_(2). （分数：2.50）_(3). （分数：2.50）_(4). （分数：2.50）_求下列极限：（分数：9.99）(1). （分数：3.33）_(2). （分数：3.33）_(3). （分数：3.33）_求下列极限：（分数：10.00）(1). （分数：5.00）_(2). （分数：5.00）_求下列极限：（分数：10.00）(1). （分数：2.50）_(2). （分数：2.50）_(3). （分数：2.50）_(4).f(x)在 a 处可导，f(a)0，求 （分数：2.50）_确定如下无穷小的阶 n：（分数：10.00）(1).当 x0 时，3x-4sinx+sinxcosx 与
6、xn为同阶无穷小，则 n=_（分数：5.00）_(2).当 x1 +时， （分数：5.00）_（分数：9.99）(1).已知 x0 时，arctan3x 与 （分数：3.33）_(2).已知 （分数：3.33）_(3).确定常数，使 y=x-(a+bcosx)sinx，当 x0 时，取得尽可能高阶的无穷小量（分数：3.33）_19.设 问 a 为何值时， （分数：10.00）_确定下列各题中的常数：（分数：9.99）(1).设 （分数：3.33）_(2).设 （分数：3.33）_(3).设 （分数：3.33）_（分数：10.00）(1).讨论 （分数：5.00）_(2).讨论函数 （分数：5.
7、00）_（分数：10.00）(1).设 （分数：5.00）_(2).讨论函数 （分数：5.00）_（分数：10.00）(1).求 （分数：5.00）_(2).求函数 （分数：5.00）_20.试确定 a，b 之值，使 （分数：10.00）_（分数：10.00）(1).设 （分数：2.50）_(2).设函数 f(x)有连续的导函数，f(0)-0，且 f(0)=b，若函数 （分数：2.50）_(3).设 （分数：2.50）_(4).设 （分数：2.50）_考研数学三-函数极限连续(二)答案解析(总分：377.92，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：8.00)1.设 存在，且 ，则
8、与 f(x)等价的函数是( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：设*，则 f(x)=x2+2xl，两边取 x1 时的极限，得*(A) *与 f(x)的对应关系不同(B) *(C) y=f(x)+C=x2-2x+C 与 f(x)对应关系不同(D) *，定义域 x0 或 x2，与 f(x)定义域不同，故(B)入选，实际做题时不必像以上那样处理，求出f(x)的表达式后一眼即可看出(B)入选2.设 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：*故 g(x)是 f(x)低阶无穷小二、解答题(总题数：37，分数：370.00)求解以下各小题中 f(x)的表达式：（分数：10.00）(1). （分数：
9、5.00）_正确答案：(*故*)解析：(2).f(sin2x)=cos2x+tan2x，0x1（分数：5.00）_正确答案：(*故*)解析：3.设 f(x)满足方程： （分数：10.00）_正确答案：(令*，于是原方程变为*由“无关特性”得*解联立方程组*得*)解析：4.设 （分数：10.00）_正确答案：(令*，则*故*)解析：判别下列函数的奇偶性：（分数：9.99）(1).，其中 f(x)为连续的偶函数 （分数：3.33）_正确答案：(*因为 *所以 F(x)为奇函数)解析：(2).，其中 f(x)是连续的奇函数 （分数：3.33）_正确答案：(*， *， 因为 f(x)为奇函数，所以 f
10、(x)+f(-x)=0， 又因为*， 由，得*故 F(x)为奇函数)解析：(3).，其中 a0，a1，f(x)在(-，+)上有定义，且对任何 x，y 恒有 f(x+y)=f(x)+f(y) （分数：3.33）_正确答案：(令*因为*=0所以 g(x)为奇函数又因为 f(x+y)=f(x)+f(y)，令 y=0，得 f(x)=f(x)+f(0)*f(0)=0，又显然有 0=f(0)=fx+(-x)=f(x)+f(-x)，所以 f(x)为奇函数故 F(x)=g(x)f(x)为偶函数)解析：5.设 f(x)是以 T0 为周期的函数，证明 f(ax)(a0)是以 （分数：10.00）_正确答案：(令
11、F(x)=f(ax)，由于*故 *是 f(ax)的周期)解析：6.设函数 y=f(x)，x(-，+)的图形关于 x=a，x=b 均对称(ab)，求证：y=f(x)是周期函数，并求其周期（分数：10.00）_正确答案：(由题设有 f(a+x)=f(a-x)，f(b+x)=f(b-x)，于是，f(x)=fa+(x-a)=fa-(x-a)=f(2a-x)=fb+(2a-x-b)=fb-(2a-x-b)=fx+2(b-a)，故 f(x)是周期函数，其周期 T=2(b-a)解析：7.设函数 f(x)在a，b上连续，且 f(x)单调增加，证明 （分数：10.00）_正确答案：(*因为(x-a) 20 且
12、f(x)单调上升，当 xt 时，f(x)-f(t)0，所以 F(x)0，故 F(x)在(a，b)内单调增加)解析：8.设函数 f(x)在a，+)上连续，且 （分数：10.00）_正确答案：(因为*， 所以对于取*，当 xX 时，恒有*，又|f(x)-l|f(x)|-|l|，所以*，即*因为 f(x)在a，X上连续，由闭区间上连续函数有界性，可知*，使|f(x)|S，xa，X取*，则对*a，+)恒有 |f(x)|M，即函数 f(x)在a，+)上有界)解析：9.试证 （分数：10.00）_解析：10.设 （分数：10.00）_正确答案：(*)解析：11.设 （分数：10.00）_正确答案：(*比较
13、以上两式可知 *(由数学归纳法可证)于是*)解析：12.设 （分数：10.00）_正确答案：(所谓分析法就是抓住最外层函数定义域的各区间段，结合中间变量的表达式及中间蛮量的定义域进行分析，从而得出复合函数的方法*(1)当 (x)1 时，或 x0，(x)=x+21，即*或 x0，(x)=x 2-11，即*(2)当 (x)1 时，或 x0，(x)=x+21，即*或 x0，(x)=x 2-11，即*综上所述，有*)解析：13.设 （分数：10.00）_正确答案：(图示法的解题程序：1画出中间变量 u=(x)的图像；2将 y=f(u)的分界点在 xOu 坐标面上画出(这是若干条平行于 x 轴的直线)；
14、3写出 u 在不同区间上 x 所对应的变化区间；4将 3所得结果代入 y=f(u)中便得复合函数 y=f(x)的表达式及相应 x 的变化区间* (*)作出 u=(x)的图像，图 1.1 所示，以及*的分界点 u=0(xOu 平面上的 x 轴)，当 x0 时 u=x，(u0)当 x0 时 u=x 2，(u0)将以上所得结果代入(*)式，得 f(x)=*)解析：14.设 （分数：10.00）_正确答案：(令*的两边取 n时的极限*因为由题设可知* 所以*以下证明*存在：*因为*故*)解析：15.设 （分数：10.00）_解析：16.设 ，其中 a0，x 00，求 （分数：10.00）_解析：求下列
15、各极限：（分数：9.99）(1). （分数：3.33）_正确答案：(因为每一项中提出*后，剩余各项不能用一个通项表示出来因此不能用定积分定义求解*故*)解析：(2). （分数：3.33）_正确答案：(*)解析：(3). （分数：3.33）_正确答案：(*因为*)解析：17. （分数：10.00）_正确答案：(*因为*所以*又 因为*)解析：求下列极限：（分数：9.99）(1). （分数：3.33）_正确答案：(*又*)解析：(2). （分数：3.33）_正确答案：(*又*故 由夹逼定理，原极限=0)解析：(3). （分数：3.33）_正确答案：(取对数得*两边取 n时的极限，得*故原极限=e
16、ln2+(-4)/2 =eln2e(-4)/2 =2e(-4)/2 )解析：求下列极限：（分数：9.99）(1). （分数：3.33）_正确答案：(因为在0，1上，x 20，且*连续，所以*其中*)解析：(2). （分数：3.33）_正确答案：(*其中 0 为任意正数，而*其中*，由于 0sin1，所以*又*故*)解析：(3). （分数：3.33）_正确答案：(因为*，于是*因为*所以*)解析：求下列极限：（分数：10.00）(1). （分数：5.00）_正确答案：(因为*所以*)解析：(2). （分数：5.00）_正确答案：(因为*所以*)解析：求下列极限：（分数：10.00）(1). （分数：2.50）_正确答案：(将根式有理化，于是有*)解析：(2). （分数：2.50）_正确答案：(*)解析：(3). （分数：2.50）_正确答案：(因为当 x1 时，*所以*)解析：(4). （分数：2.50）_正确答案：(*)解析：18. （分数：10.00）_正确答案：(本题是*型极限，若直接用洛毕达法则，可知所得结果比没用法则前
