1、考研数学三-98 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：34，分数：100.00)1.设 A是 mn矩阵，证明：存在非零的 ns矩阵 B，使得 AB=O的充要条件是 r(A)n （分数：2.50）_设 n阶矩阵 A的秩为 1，证明：（分数：5.00）(1).A可以表示成 n1矩阵和 1n矩阵的乘积；（分数：2.50）_(2).存在数 ，对任意正整数 k，有 A k = k-1 A（分数：2.50）_2.A是 nn矩阵，对任何 n维列向量 X都有 AX=0证明：A=O （分数：2.50）_3.向量组 1 ， 2 ， t 可由向量组 1 ， 2 ， s 线性表出
2、，设表出关系为 1 ， 2 ， t = 1 ， 2 ， s （分数：2.50）_4.设 A是 sn矩阵，B 是 A的前 m行构成的 mn矩阵，已知 A的行向量组的秩为 r证明：r(B)r+m-s。 （分数：2.50）_5.设 A是 mn阶实矩阵，证明：(1)r(A T A)=r(A)；(2)A T AX=A T b一定有解 （分数：2.50）_6.设线性方程组 （分数：2.50）_7.已知齐次线性方程组()的基础解系为 1 =1，0，1，1 T ， 2 =2，1，0，-1 T ， 3 =0，2，1，-1 T ，添加两个方程 （分数：2.50）_8.已知线性方程组() （分数：2.50）_9.已
3、知线性方程 （分数：2.50）_10.已知 1 =-3，2，0 T ， 2 =-1，0，-2 T 是线性方程组 （分数：2.50）_已知线性方程组 （分数：5.00）(1). 4 能否由 1 ， 2 ， 3 ， 5 线性表出，说明理由（分数：2.50）_(2). 4 能否由 1 ， 2 ， 3 线性表出，说明理由（分数：2.50）_11.已知 4阶方阵 A= 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 均为 4维列向量，其中 2 ， 3 ， 4 线性无关， 1 =2 2 - 3 ，如果 = 1 + 2 + 3 + 4 ，求线性方程组AX= 的通解 （分数：2.50）_12.设
4、A mn ，r(A)=m，B n(n-m) ，r(B)=n-m，且满足关系 AB=O证明：若 是齐次线性方程组 AX=0的解，则必存在唯一的 ，使得 B= （分数：2.50）_13.设三元非齐次线性方程组的系数矩阵 A的秩为 1，已知 1 ， 2 ， 3 是它的三个解向量，且 1 + 2 =1，2，3 T ， 2 + 3 =2，-1，1 T ， 3 + 1 =0，2，0 T ，求该非齐次方程的通解 （分数：2.50）_14.设三元线性方程组有通解 （分数：2.50）_15.已知方程组() （分数：2.50）_16.已知方程组 ()与方程组 （分数：2.50）_17.设有 4阶方阵 A满足条件|
5、3E+A|=0，AA T =2E，|A|0，其中 E是 4阶单位阵求方阵 A的伴随矩阵 A * 的一个特征值 （分数：2.50）_18.设 A为 n阶矩阵， 1 和 2 是 A的两个不同的特征值，x 1 ，x 2 是分别属于 1 和 2 的特征向量证明：x 1 +x 2 不是 A的特征向量 （分数：2.50）_已知矩阵 （分数：5.00）(1).求 x与 y；（分数：2.50）_(2).求一个满足 P -1 AP=B的可逆矩阵 P（分数：2.50）_19.已知 B是 n阶矩阵，满足 B 2 =E(此时矩阵 B称为对合矩阵)求 B的特征值的取值范围 （分数：2.50）_20.设 A，B 是 n阶
6、方阵，证明：AB，BA 有相同的特征值 （分数：2.50）_21.已知 n阶矩阵 A的每行元素之和为 a，求 A的一个特征值，当 k是自然数时，求 A k 的每行元素之和 （分数：2.50）_22.A是三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是三个不同的特征值， 1 ， 2 ， 3 是相应的特征向量证明：向量组 A( 1 + 2 )，A( 2 + 3 )，A( 3 + 1 )线性无关的充要条件是 A是可逆矩阵 （分数：2.50）_23.设 A是三阶实矩阵， 1 ， 2 ， 3 是 A的三个不同的特征值， 1 ， 2 ， 3 是三个对应的特征向量证明：当 2 3 0 时，向量组 1 ，A( 1 + 2
7、)，A 2 ( 1 + 2 + 3 )线性无关 （分数：2.50）_24.设 A是 n阶实矩阵，有 A=，A T =，其中 ， 是实数，且 ， 是 n维非零向量证明：， 正交 （分数：2.50）_25.设矩阵 （分数：2.50）_26.已知 （分数：2.50）_27.已知 =1，k，1 T 是 A -1 的特征向量，其中 （分数：2.50）_28.设矩阵 （分数：2.50）_已知 =1，1，-1 T 是矩阵 （分数：5.00）(1).确定参数 a，b 及 对应的特征值 ；（分数：2.50）_(2).A是否相似于对角阵，说明理由（分数：2.50）_29.设矩阵 （分数：5.00）_30.设 A是
8、三阶实对称阵， 1 =-1， 2 = 3 =1是 A的特征值，对应于 1 的特征向量为 1 =0，1，1 T ，求 A （分数：5.00）_考研数学三-98 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：34，分数：100.00)1.设 A是 mn矩阵，证明：存在非零的 ns矩阵 B，使得 AB=O的充要条件是 r(A)n （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】充分性 r(A)n，AX=0 有非零解，将非零解 X组成 B，则 BO，且有 AB=O 必要性 若 AB=O，其中 BO，设 B= 1 ， 2 ， s ，则 A i =0，i=1，2，s其中 i ，i=
9、1，2，s，不全为 0，即 AX=0有非零解，故 r(A)n设 n阶矩阵 A的秩为 1，证明：（分数：5.00）(1).A可以表示成 n1矩阵和 1n矩阵的乘积；（分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】将 A以列分块，则 r(A)=r( 1 ， 2 ， n )=1表明列向量组 1 ， 2 ， n 的极大线性无关组由一个非零向量组成，设为 i =a 1 ，a 2 ，a n T ( i 0)，其余列向量均可由 i 线性表出，设为 j =b j i ，(j=1，2，n；j=i 时，取 b i =1)，则 (2).存在数 ，对任意正整数 k，有 A k = k-1 A（分数：2.50）_正确答案
10、：()解析：【证】记 = i =a 1 ，a 2 ，a n T ，=b 1 ，b 2 ，b n T ，则 A= T ，A k =( T ) k =( T )( T )( T )=( T )( T )( T ) T 记 T =a 1 b 1 +a 2 b 2 +a n b n =，则 A k = k-1 T = k-1 A2.A是 nn矩阵，对任何 n维列向量 X都有 AX=0证明：A=O （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】方法一 由于对任何 X均有 AX=0，取 X=1，0，0 T ，由 3.向量组 1 ， 2 ， t 可由向量组 1 ， 2 ， s 线性表出，设表出关系为 1 ，
11、 2 ， t = 1 ， 2 ， s （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】B= 1 ， 2 ， t = 1 ， 2 ， s C=ACr(B)=r(AC)r(C)又 r(B)=r(AC)r(A)+r(C)-s，r(A)=s， 故 r(B)r(C)，从而有 r(B)=r(C)4.设 A是 sn矩阵，B 是 A的前 m行构成的 mn矩阵，已知 A的行向量组的秩为 r证明：r(B)r+m-s。 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】因(A 的行向量的个数 s)-(A的线性无关行向量的个数 r(A)(B 的行向量个数 m)-(B的线性无关的行向量的个数 r(B)， 即 s-r(A)m-
12、r(B)， 得 r(B)r(A)+m-s=r+m-s5.设 A是 mn阶实矩阵，证明：(1)r(A T A)=r(A)；(2)A T AX=A T b一定有解 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】(1)设 r(A)=r 1 ，r(A T A)=r 2 ，由于 AX=0的解都满足(A T A)X=A T (AX)=0，故 AX=0的基础解系(含 n-r 1 个无关解)含于 A T AX=0的某个基础解系(含 n-r 2 个无关解)之中，所以 n-r 1 n-r 2 ，故有 r 2 r 1 ，即 r(A T A)r(A) 又当 A T AX=0时(X 为实向量)，必有 X T A T A
13、X=0，即(AX) T AX=0，设 AX=b 1 ，b 2 ，b m T ，则 必有 b 1 =b 2 =b m =0，即 AX=0，故方程组 A T AX=0的解必满足方程组 AX=0，从而有 n-r(A T A)n-r(A)， r(A)r(A T A) 由式，得证 r(A)=r(A T A) (2) 6.设线性方程组 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】方程组是齐次线性方程组 因 故当 -2，且 2 时，有唯一零解； 当 =2 时，有无穷多解，其解为 k 1 1，-1，0，0 T +k 2 1，0，-1，0 T +k 3 1，0，0，-1 T ； 当 =-2 时，方程为 7.已
14、知齐次线性方程组()的基础解系为 1 =1，0，1，1 T ， 2 =2，1，0，-1 T ， 3 =0，2，1，-1 T ，添加两个方程 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】方程组()的通解为 代入添加的两个方程，得 8.已知线性方程组() （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】方程组()的通解为 k 1 1 +k 2 2 =k 1 -3，7，2，0 T +k 2 -1，-2，0，1 T =-3k 1 -k 2 ，7k 1 -2k 2 ，2k 1 ，k 2 T ，其中是 k 1 ，k 2 是任意常数将该通解代入方程组()得： 3(-3k 1 -k 2 )-(7k 1 -2k
15、 2 )+8(2k 1 )+k 2 =-16k 1 +16k 1 -3k 2 +3k 2 =0 (-3k 1 -k 2 )+3(7k 1 -2k 2 )-9(2k 1 )+7k 2 =-21k 1 +21k 1 -7k 2 +7k 2 =0， 即方程组()的通解均满足方程组()，故()的通解 k 1 -3，7，20 T +k 2 -1，-2，01 T 即是方程组(I)，()的公共解9.已知线性方程 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】 10.已知 1 =-3，2，0 T ， 2 =-1，0，-2 T 是线性方程组 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】对应齐次方程组有解 =
16、1 - 2 =-2，2，2 T 或-1，1，1 T ， 故对应齐次方程组至少有一个非零向量组成基础解系，故 已知线性方程组 （分数：5.00）(1). 4 能否由 1 ， 2 ， 3 ， 5 线性表出，说明理由（分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】 4 能由 1 ， 2 ， 3 ， 5 线性表出 由线性非齐次方程组的通解2，1，0，1 T +k1，-1，2，0 T 知 5 =(k+2) 1 +(-k+1) 2 +2k 3 + 4 ， 故 4 =-(k+2) 1 -(-k+1) 2 -2k 2 + 5 (2). 4 能否由 1 ， 2 ， 3 线性表出，说明理由（分数：2.50）_正确答
17、案：()解析：【解】 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，因对应齐次方程组的基础解系只有一个非零向量，故 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )=r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )=4-1=3，且由对应齐次方程组的通解知， 1 - 2 +2 3 =0，即 1 ， 2 ， 3 线性相关，r( 1 ， 2 ， 3 )3，若 4 能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 r( 4 ， 1 ， 2 ， 3 )=r( 1 ， 2 ， 3 )3，这和 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )=3矛盾，故 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出11.已知 4阶方阵 A= 1 ， 2 ， 3 ， 4
18、 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 均为 4维列向量，其中 2 ， 3 ， 4 线性无关， 1 =2 2 - 3 ，如果 = 1 + 2 + 3 + 4 ，求线性方程组AX= 的通解 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】方法一 由 1 =2 2 - 3 及 2 ， 3 ， 4 线性无关组知 r(A)=r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )=3且对应齐次方程组 AX=0有通解 k1，-2，1，0T，又 = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，即 故非齐次方程组有特解 =1，1，1，1 T ，故方程组的通解为 k1，-2，1，0 T +1，1，1，1 T 方法二 故方程有两特解 1 =1，1，1，
19、1 T ， 2 =0，3，0，1 T 对 r(A)=3，故方程组的通解为 k( 1 - 2 )+ 1 =k1，-2，1，0 T +1，1，1，1 T 方法三 由 AX= 1 ， 2 ， 3 ， 4 X= 1 + 2 + 3 + 4 ，得 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 +x 4 4 = 1 + 2 + 3 + 4 将 1 =2 2 - 3 代入，整理得 (2x 1 +x 2 -3) 2 +(-x 1 +x 3 ) 3 +(x 4 -1) 4 =0， 2 ， 3 ， 4 线性无关，得 解方程组，得 12.设 A mn ，r(A)=m，B n(n-m) ，r(B)=n-m，且满足关系 AB
20、=O证明：若 是齐次线性方程组 AX=0的解，则必存在唯一的 ，使得 B= （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】将 B按列分块，设 B= 1 ， 2 ， n-m ，因已知 AB=O，故知 B的每一列均是AX=0的解，由 r(A)=m，r(B)=n-m 知， 1 ， 2 ， n-m 是 AX=0的基础解系 若 是 AX=0的解向量，则 可由基础解系 1 ， 2 ， n-m 线性表出，且表出法唯一，即 13.设三元非齐次线性方程组的系数矩阵 A的秩为 1，已知 1 ， 2 ， 3 是它的三个解向量，且 1 + 2 =1，2，3 T ， 2 + 3 =2，-1，1 T ， 3 + 1 =0
21、，2，0 T ，求该非齐次方程的通解 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】r(A)=1，AX=b 的通解应为 k 1 1 +k 2 2 +，其中对应齐次方程 AX=0的解为 1 =( 1 + 2 )-( 2 + 3 )= 1 - 3 =-1，3，2 T 2 =( 2 + 3 )-( 3 + 1 )= 2 - 1 =2，-3，1 T 因 1 ， 2 线性无关，故是 AX=0的基础解系 取 Ax=b的一个特解为 14.设三元线性方程组有通解 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】设非齐次线性方程为 ax 1 +bx 2 +cx 3 =d， 由 1 ， 2 是对应齐次解，代入对应齐
22、次线性方程组 15.已知方程组() （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】将方程组()的通解 k 1 -1，1，1，0 T +k 2 2，-1，0，1 T +-2，-3，0，0 T =-2-k 1 +2k 2 ，-3+k 1 -k 2 ，k 1 ，k 2 T 代入方程组()，得 16.已知方程组 ()与方程组 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】对方程组()，因增广矩阵为 知其通解为 k-1，2，-1，1 T +1，2，-1，0 T =1-k，2+2k，-1-k，k T 将通解代入厅程组()， 当 a=-1，b=-2，c=4 时，方程组()的增广矩阵为 17.设有 4阶方阵
23、A满足条件|3E+A|=0，AA T =2E，|A|0，其中 E是 4阶单位阵求方阵 A的伴随矩阵 A * 的一个特征值 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】由 为 A的特征值由 AA T =2E， 则 A * 的一个特征值为 18.设 A为 n阶矩阵， 1 和 2 是 A的两个不同的特征值，x 1 ，x 2 是分别属于 1 和 2 的特征向量证明：x 1 +x 2 不是 A的特征向量 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】反证法 假设 x 1 +x 2 是 A的特征向量，则存在数 ，使得 A(x 1 +x 2 )=(x 1 +x 2 )，则 (- 1 )x 1 +(- 2
24、)x 2 =0 因为 1 2 ，所以 x 1 ，x 2 线性无关，则 已知矩阵 （分数：5.00）(1).求 x与 y；（分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】B 的特征值为 2，y，-1由 A与 B相似，则 A的特征值为 2，y，-1故 (2).求一个满足 P -1 AP=B的可逆矩阵 P（分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】分别求出 A的对应于特征值 1 =2， 2 =1， 3 =-1的线性无关的特征向量为 令可逆矩阵 19.已知 B是 n阶矩阵，满足 B 2 =E(此时矩阵 B称为对合矩阵)求 B的特征值的取值范围 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】设 B有特征
25、值 ，对应的特征向量为 ，即 B=左乘 B，得 B 2 =E=B= 2 ， ( 2 -1)=0，0， 故 =1，或 =-1，B 的特征值的取值范围是1，-120.设 A，B 是 n阶方阵，证明：AB，BA 有相同的特征值 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】方法一 利用特征值的定义 设 AB有任一特征值 ，其对应的特征向量为 ，则 AB= 式两边左乘 B，得 BAB=BA()=() 若 B0，式说明，BA 也有特征值 (其对应的特征向量为 B)，若 B=0，由式知，=0，0，得 AB有特征值 =0，从而|AB|=0，且|BA|=|B|A=|A|B|=|AB|=0，从而 BA也有 =0
26、的特征值 故 AB和 BA有相同的特征值 方法二 利用特征方程及分块矩阵的运算 设 AB有特征值 ，即有|E-AB|=0，因 21.已知 n阶矩阵 A的每行元素之和为 a，求 A的一个特征值，当 k是自然数时，求 A k 的每行元素之和 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】A 的每行元素之和为 a，故有 即 a是 A的一个特征值 又 A k 的特征值为 a k ，且相应的特征向量相同，即 22.A是三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是三个不同的特征值， 1 ， 2 ， 3 是相应的特征向量证明：向量组 A( 1 + 2 )，A( 2 + 3 )，A( 3 + 1 )线性无关的充要条件是 A是可逆矩阵 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】 因为 1 ， 2 ， 3 线性无关， 23.设 A是三阶实矩阵， 1 ， 2 ， 3 是 A的三个不同的特征值， 1 ， 2 ， 3 是三个对应的特征向量证明：当 2 3 0 时，向量组 1 ，A( 1 + 2 )，A 2 ( 1 + 2 + 3 )线性无关 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】因 因 1 2 3 ，故 1 ， 2 ， 3 线性无关，由上式知 24.设 A是 n阶实矩阵，有 A=，A T =，其中 ， 是实数，且 ， 是 n维非零向量证明：， 正交 （分数：2.50）_
