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    【考研类试卷】考研数学三-98及答案解析.doc

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    【考研类试卷】考研数学三-98及答案解析.doc

    1、考研数学三-98 及答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、解答题(总题数:34,分数:100.00)1.设 A是 mn矩阵,证明:存在非零的 ns矩阵 B,使得 AB=O的充要条件是 r(A)n (分数:2.50)_设 n阶矩阵 A的秩为 1,证明:(分数:5.00)(1).A可以表示成 n1矩阵和 1n矩阵的乘积;(分数:2.50)_(2).存在数 ,对任意正整数 k,有 A k = k-1 A(分数:2.50)_2.A是 nn矩阵,对任何 n维列向量 X都有 AX=0证明:A=O (分数:2.50)_3.向量组 1 , 2 , t 可由向量组 1 , 2 , s 线性表出

    2、,设表出关系为 1 , 2 , t = 1 , 2 , s (分数:2.50)_4.设 A是 sn矩阵,B 是 A的前 m行构成的 mn矩阵,已知 A的行向量组的秩为 r证明:r(B)r+m-s。 (分数:2.50)_5.设 A是 mn阶实矩阵,证明:(1)r(A T A)=r(A);(2)A T AX=A T b一定有解 (分数:2.50)_6.设线性方程组 (分数:2.50)_7.已知齐次线性方程组()的基础解系为 1 =1,0,1,1 T , 2 =2,1,0,-1 T , 3 =0,2,1,-1 T ,添加两个方程 (分数:2.50)_8.已知线性方程组() (分数:2.50)_9.已

    3、知线性方程 (分数:2.50)_10.已知 1 =-3,2,0 T , 2 =-1,0,-2 T 是线性方程组 (分数:2.50)_已知线性方程组 (分数:5.00)(1). 4 能否由 1 , 2 , 3 , 5 线性表出,说明理由(分数:2.50)_(2). 4 能否由 1 , 2 , 3 线性表出,说明理由(分数:2.50)_11.已知 4阶方阵 A= 1 , 2 , 3 , 4 , 1 , 2 , 3 , 4 均为 4维列向量,其中 2 , 3 , 4 线性无关, 1 =2 2 - 3 ,如果 = 1 + 2 + 3 + 4 ,求线性方程组AX= 的通解 (分数:2.50)_12.设

    4、A mn ,r(A)=m,B n(n-m) ,r(B)=n-m,且满足关系 AB=O证明:若 是齐次线性方程组 AX=0的解,则必存在唯一的 ,使得 B= (分数:2.50)_13.设三元非齐次线性方程组的系数矩阵 A的秩为 1,已知 1 , 2 , 3 是它的三个解向量,且 1 + 2 =1,2,3 T , 2 + 3 =2,-1,1 T , 3 + 1 =0,2,0 T ,求该非齐次方程的通解 (分数:2.50)_14.设三元线性方程组有通解 (分数:2.50)_15.已知方程组() (分数:2.50)_16.已知方程组 ()与方程组 (分数:2.50)_17.设有 4阶方阵 A满足条件|

    5、3E+A|=0,AA T =2E,|A|0,其中 E是 4阶单位阵求方阵 A的伴随矩阵 A * 的一个特征值 (分数:2.50)_18.设 A为 n阶矩阵, 1 和 2 是 A的两个不同的特征值,x 1 ,x 2 是分别属于 1 和 2 的特征向量证明:x 1 +x 2 不是 A的特征向量 (分数:2.50)_已知矩阵 (分数:5.00)(1).求 x与 y;(分数:2.50)_(2).求一个满足 P -1 AP=B的可逆矩阵 P(分数:2.50)_19.已知 B是 n阶矩阵,满足 B 2 =E(此时矩阵 B称为对合矩阵)求 B的特征值的取值范围 (分数:2.50)_20.设 A,B 是 n阶

    6、方阵,证明:AB,BA 有相同的特征值 (分数:2.50)_21.已知 n阶矩阵 A的每行元素之和为 a,求 A的一个特征值,当 k是自然数时,求 A k 的每行元素之和 (分数:2.50)_22.A是三阶矩阵, 1 , 2 , 3 是三个不同的特征值, 1 , 2 , 3 是相应的特征向量证明:向量组 A( 1 + 2 ),A( 2 + 3 ),A( 3 + 1 )线性无关的充要条件是 A是可逆矩阵 (分数:2.50)_23.设 A是三阶实矩阵, 1 , 2 , 3 是 A的三个不同的特征值, 1 , 2 , 3 是三个对应的特征向量证明:当 2 3 0 时,向量组 1 ,A( 1 + 2

    7、),A 2 ( 1 + 2 + 3 )线性无关 (分数:2.50)_24.设 A是 n阶实矩阵,有 A=,A T =,其中 , 是实数,且 , 是 n维非零向量证明:, 正交 (分数:2.50)_25.设矩阵 (分数:2.50)_26.已知 (分数:2.50)_27.已知 =1,k,1 T 是 A -1 的特征向量,其中 (分数:2.50)_28.设矩阵 (分数:2.50)_已知 =1,1,-1 T 是矩阵 (分数:5.00)(1).确定参数 a,b 及 对应的特征值 ;(分数:2.50)_(2).A是否相似于对角阵,说明理由(分数:2.50)_29.设矩阵 (分数:5.00)_30.设 A是

    8、三阶实对称阵, 1 =-1, 2 = 3 =1是 A的特征值,对应于 1 的特征向量为 1 =0,1,1 T ,求 A (分数:5.00)_考研数学三-98 答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、解答题(总题数:34,分数:100.00)1.设 A是 mn矩阵,证明:存在非零的 ns矩阵 B,使得 AB=O的充要条件是 r(A)n (分数:2.50)_正确答案:()解析:【证】充分性 r(A)n,AX=0 有非零解,将非零解 X组成 B,则 BO,且有 AB=O 必要性 若 AB=O,其中 BO,设 B= 1 , 2 , s ,则 A i =0,i=1,2,s其中 i ,i=

    9、1,2,s,不全为 0,即 AX=0有非零解,故 r(A)n设 n阶矩阵 A的秩为 1,证明:(分数:5.00)(1).A可以表示成 n1矩阵和 1n矩阵的乘积;(分数:2.50)_正确答案:()解析:【证】将 A以列分块,则 r(A)=r( 1 , 2 , n )=1表明列向量组 1 , 2 , n 的极大线性无关组由一个非零向量组成,设为 i =a 1 ,a 2 ,a n T ( i 0),其余列向量均可由 i 线性表出,设为 j =b j i ,(j=1,2,n;j=i 时,取 b i =1),则 (2).存在数 ,对任意正整数 k,有 A k = k-1 A(分数:2.50)_正确答案

    10、:()解析:【证】记 = i =a 1 ,a 2 ,a n T ,=b 1 ,b 2 ,b n T ,则 A= T ,A k =( T ) k =( T )( T )( T )=( T )( T )( T ) T 记 T =a 1 b 1 +a 2 b 2 +a n b n =,则 A k = k-1 T = k-1 A2.A是 nn矩阵,对任何 n维列向量 X都有 AX=0证明:A=O (分数:2.50)_正确答案:()解析:【证】方法一 由于对任何 X均有 AX=0,取 X=1,0,0 T ,由 3.向量组 1 , 2 , t 可由向量组 1 , 2 , s 线性表出,设表出关系为 1 ,

    11、 2 , t = 1 , 2 , s (分数:2.50)_正确答案:()解析:【证】B= 1 , 2 , t = 1 , 2 , s C=ACr(B)=r(AC)r(C)又 r(B)=r(AC)r(A)+r(C)-s,r(A)=s, 故 r(B)r(C),从而有 r(B)=r(C)4.设 A是 sn矩阵,B 是 A的前 m行构成的 mn矩阵,已知 A的行向量组的秩为 r证明:r(B)r+m-s。 (分数:2.50)_正确答案:()解析:【证】因(A 的行向量的个数 s)-(A的线性无关行向量的个数 r(A)(B 的行向量个数 m)-(B的线性无关的行向量的个数 r(B), 即 s-r(A)m-

    12、r(B), 得 r(B)r(A)+m-s=r+m-s5.设 A是 mn阶实矩阵,证明:(1)r(A T A)=r(A);(2)A T AX=A T b一定有解 (分数:2.50)_正确答案:()解析:【证】(1)设 r(A)=r 1 ,r(A T A)=r 2 ,由于 AX=0的解都满足(A T A)X=A T (AX)=0,故 AX=0的基础解系(含 n-r 1 个无关解)含于 A T AX=0的某个基础解系(含 n-r 2 个无关解)之中,所以 n-r 1 n-r 2 ,故有 r 2 r 1 ,即 r(A T A)r(A) 又当 A T AX=0时(X 为实向量),必有 X T A T A

    13、X=0,即(AX) T AX=0,设 AX=b 1 ,b 2 ,b m T ,则 必有 b 1 =b 2 =b m =0,即 AX=0,故方程组 A T AX=0的解必满足方程组 AX=0,从而有 n-r(A T A)n-r(A), r(A)r(A T A) 由式,得证 r(A)=r(A T A) (2) 6.设线性方程组 (分数:2.50)_正确答案:()解析:【解】方程组是齐次线性方程组 因 故当 -2,且 2 时,有唯一零解; 当 =2 时,有无穷多解,其解为 k 1 1,-1,0,0 T +k 2 1,0,-1,0 T +k 3 1,0,0,-1 T ; 当 =-2 时,方程为 7.已

    14、知齐次线性方程组()的基础解系为 1 =1,0,1,1 T , 2 =2,1,0,-1 T , 3 =0,2,1,-1 T ,添加两个方程 (分数:2.50)_正确答案:()解析:【解】方程组()的通解为 代入添加的两个方程,得 8.已知线性方程组() (分数:2.50)_正确答案:()解析:【解】方程组()的通解为 k 1 1 +k 2 2 =k 1 -3,7,2,0 T +k 2 -1,-2,0,1 T =-3k 1 -k 2 ,7k 1 -2k 2 ,2k 1 ,k 2 T ,其中是 k 1 ,k 2 是任意常数将该通解代入方程组()得: 3(-3k 1 -k 2 )-(7k 1 -2k

    15、 2 )+8(2k 1 )+k 2 =-16k 1 +16k 1 -3k 2 +3k 2 =0 (-3k 1 -k 2 )+3(7k 1 -2k 2 )-9(2k 1 )+7k 2 =-21k 1 +21k 1 -7k 2 +7k 2 =0, 即方程组()的通解均满足方程组(),故()的通解 k 1 -3,7,20 T +k 2 -1,-2,01 T 即是方程组(I),()的公共解9.已知线性方程 (分数:2.50)_正确答案:()解析:【解】 10.已知 1 =-3,2,0 T , 2 =-1,0,-2 T 是线性方程组 (分数:2.50)_正确答案:()解析:【解】对应齐次方程组有解 =

    16、1 - 2 =-2,2,2 T 或-1,1,1 T , 故对应齐次方程组至少有一个非零向量组成基础解系,故 已知线性方程组 (分数:5.00)(1). 4 能否由 1 , 2 , 3 , 5 线性表出,说明理由(分数:2.50)_正确答案:()解析:【解】 4 能由 1 , 2 , 3 , 5 线性表出 由线性非齐次方程组的通解2,1,0,1 T +k1,-1,2,0 T 知 5 =(k+2) 1 +(-k+1) 2 +2k 3 + 4 , 故 4 =-(k+2) 1 -(-k+1) 2 -2k 2 + 5 (2). 4 能否由 1 , 2 , 3 线性表出,说明理由(分数:2.50)_正确答

    17、案:()解析:【解】 4 不能由 1 , 2 , 3 线性表出,因对应齐次方程组的基础解系只有一个非零向量,故 r( 1 , 2 , 3 , 4 )=r( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 )=4-1=3,且由对应齐次方程组的通解知, 1 - 2 +2 3 =0,即 1 , 2 , 3 线性相关,r( 1 , 2 , 3 )3,若 4 能由 1 , 2 , 3 线性表出,则 r( 4 , 1 , 2 , 3 )=r( 1 , 2 , 3 )3,这和 r( 1 , 2 , 3 , 4 )=3矛盾,故 4 不能由 1 , 2 , 3 线性表出11.已知 4阶方阵 A= 1 , 2 , 3 , 4

    18、 , 1 , 2 , 3 , 4 均为 4维列向量,其中 2 , 3 , 4 线性无关, 1 =2 2 - 3 ,如果 = 1 + 2 + 3 + 4 ,求线性方程组AX= 的通解 (分数:2.50)_正确答案:()解析:【解】方法一 由 1 =2 2 - 3 及 2 , 3 , 4 线性无关组知 r(A)=r( 1 , 2 , 3 , 4 )=3且对应齐次方程组 AX=0有通解 k1,-2,1,0T,又 = 1 , 2 , 3 , 4 ,即 故非齐次方程组有特解 =1,1,1,1 T ,故方程组的通解为 k1,-2,1,0 T +1,1,1,1 T 方法二 故方程有两特解 1 =1,1,1,

    19、1 T , 2 =0,3,0,1 T 对 r(A)=3,故方程组的通解为 k( 1 - 2 )+ 1 =k1,-2,1,0 T +1,1,1,1 T 方法三 由 AX= 1 , 2 , 3 , 4 X= 1 + 2 + 3 + 4 ,得 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 +x 4 4 = 1 + 2 + 3 + 4 将 1 =2 2 - 3 代入,整理得 (2x 1 +x 2 -3) 2 +(-x 1 +x 3 ) 3 +(x 4 -1) 4 =0, 2 , 3 , 4 线性无关,得 解方程组,得 12.设 A mn ,r(A)=m,B n(n-m) ,r(B)=n-m,且满足关系 AB

    20、=O证明:若 是齐次线性方程组 AX=0的解,则必存在唯一的 ,使得 B= (分数:2.50)_正确答案:()解析:【证】将 B按列分块,设 B= 1 , 2 , n-m ,因已知 AB=O,故知 B的每一列均是AX=0的解,由 r(A)=m,r(B)=n-m 知, 1 , 2 , n-m 是 AX=0的基础解系 若 是 AX=0的解向量,则 可由基础解系 1 , 2 , n-m 线性表出,且表出法唯一,即 13.设三元非齐次线性方程组的系数矩阵 A的秩为 1,已知 1 , 2 , 3 是它的三个解向量,且 1 + 2 =1,2,3 T , 2 + 3 =2,-1,1 T , 3 + 1 =0

    21、,2,0 T ,求该非齐次方程的通解 (分数:2.50)_正确答案:()解析:【解】r(A)=1,AX=b 的通解应为 k 1 1 +k 2 2 +,其中对应齐次方程 AX=0的解为 1 =( 1 + 2 )-( 2 + 3 )= 1 - 3 =-1,3,2 T 2 =( 2 + 3 )-( 3 + 1 )= 2 - 1 =2,-3,1 T 因 1 , 2 线性无关,故是 AX=0的基础解系 取 Ax=b的一个特解为 14.设三元线性方程组有通解 (分数:2.50)_正确答案:()解析:【解】设非齐次线性方程为 ax 1 +bx 2 +cx 3 =d, 由 1 , 2 是对应齐次解,代入对应齐

    22、次线性方程组 15.已知方程组() (分数:2.50)_正确答案:()解析:【解】将方程组()的通解 k 1 -1,1,1,0 T +k 2 2,-1,0,1 T +-2,-3,0,0 T =-2-k 1 +2k 2 ,-3+k 1 -k 2 ,k 1 ,k 2 T 代入方程组(),得 16.已知方程组 ()与方程组 (分数:2.50)_正确答案:()解析:【解】对方程组(),因增广矩阵为 知其通解为 k-1,2,-1,1 T +1,2,-1,0 T =1-k,2+2k,-1-k,k T 将通解代入厅程组(), 当 a=-1,b=-2,c=4 时,方程组()的增广矩阵为 17.设有 4阶方阵

    23、A满足条件|3E+A|=0,AA T =2E,|A|0,其中 E是 4阶单位阵求方阵 A的伴随矩阵 A * 的一个特征值 (分数:2.50)_正确答案:()解析:【解】由 为 A的特征值由 AA T =2E, 则 A * 的一个特征值为 18.设 A为 n阶矩阵, 1 和 2 是 A的两个不同的特征值,x 1 ,x 2 是分别属于 1 和 2 的特征向量证明:x 1 +x 2 不是 A的特征向量 (分数:2.50)_正确答案:()解析:【证】反证法 假设 x 1 +x 2 是 A的特征向量,则存在数 ,使得 A(x 1 +x 2 )=(x 1 +x 2 ),则 (- 1 )x 1 +(- 2

    24、)x 2 =0 因为 1 2 ,所以 x 1 ,x 2 线性无关,则 已知矩阵 (分数:5.00)(1).求 x与 y;(分数:2.50)_正确答案:()解析:【解】B 的特征值为 2,y,-1由 A与 B相似,则 A的特征值为 2,y,-1故 (2).求一个满足 P -1 AP=B的可逆矩阵 P(分数:2.50)_正确答案:()解析:【解】分别求出 A的对应于特征值 1 =2, 2 =1, 3 =-1的线性无关的特征向量为 令可逆矩阵 19.已知 B是 n阶矩阵,满足 B 2 =E(此时矩阵 B称为对合矩阵)求 B的特征值的取值范围 (分数:2.50)_正确答案:()解析:【解】设 B有特征

    25、值 ,对应的特征向量为 ,即 B=左乘 B,得 B 2 =E=B= 2 , ( 2 -1)=0,0, 故 =1,或 =-1,B 的特征值的取值范围是1,-120.设 A,B 是 n阶方阵,证明:AB,BA 有相同的特征值 (分数:2.50)_正确答案:()解析:【证】方法一 利用特征值的定义 设 AB有任一特征值 ,其对应的特征向量为 ,则 AB= 式两边左乘 B,得 BAB=BA()=() 若 B0,式说明,BA 也有特征值 (其对应的特征向量为 B),若 B=0,由式知,=0,0,得 AB有特征值 =0,从而|AB|=0,且|BA|=|B|A=|A|B|=|AB|=0,从而 BA也有 =0

    26、的特征值 故 AB和 BA有相同的特征值 方法二 利用特征方程及分块矩阵的运算 设 AB有特征值 ,即有|E-AB|=0,因 21.已知 n阶矩阵 A的每行元素之和为 a,求 A的一个特征值,当 k是自然数时,求 A k 的每行元素之和 (分数:2.50)_正确答案:()解析:【解】A 的每行元素之和为 a,故有 即 a是 A的一个特征值 又 A k 的特征值为 a k ,且相应的特征向量相同,即 22.A是三阶矩阵, 1 , 2 , 3 是三个不同的特征值, 1 , 2 , 3 是相应的特征向量证明:向量组 A( 1 + 2 ),A( 2 + 3 ),A( 3 + 1 )线性无关的充要条件是 A是可逆矩阵 (分数:2.50)_正确答案:()解析:【证】 因为 1 , 2 , 3 线性无关, 23.设 A是三阶实矩阵, 1 , 2 , 3 是 A的三个不同的特征值, 1 , 2 , 3 是三个对应的特征向量证明:当 2 3 0 时,向量组 1 ,A( 1 + 2 ),A 2 ( 1 + 2 + 3 )线性无关 (分数:2.50)_正确答案:()解析:【证】因 因 1 2 3 ,故 1 , 2 , 3 线性无关,由上式知 24.设 A是 n阶实矩阵,有 A=,A T =,其中 , 是实数,且 , 是 n维非零向量证明:, 正交 (分数:2.50)_


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