1、考研数学三-97 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：33，分数：100.00)1.证明：方阵 A是正交矩阵，即 AA T =E的充分必要条件是：(1)A 的列向量组组成标准正交向量组，即 或(2)A 的行向量组组成标准正交向量组，即 （分数：2.50）_2.证明：n3 的非零实方阵 A，若它的每个元素等于自己的代数余子式，则 A是正交矩阵 （分数：2.50）_3.证明：方阵 A是正交矩阵的充分必要条件是|A|=1，且若|A|=1，则它的每一个元素等于自己的代数余子式；若|A|=-1，则它的每个元素等于自己的代数余子式乘-1 （分数：2.50）_设 =a
2、1 ，a 2 ，a n T 0，=b 1 ，b 2 ，b n T 0，且 T =0，A=E+ T ，试计算：（分数：7.50）(1).|A|；（分数：2.50）_(2).A n ；（分数：2.50）_(3).A -1 （分数：2.50）_4.设 A是主对角元为 0的四阶实对称阵，E 是 4阶单位阵， （分数：2.50）_5.设 （分数：2.50）_6.A，B 均是 n阶矩阵，且 AB=A+B证明：A-E 可逆，并求(A-E) -1 （分数：2.50）_7.设 B是可逆阵，A 和 B同阶，且满足 A 2 +AB+B 2 =O证明：A 和 A+B都是可逆阵，并求 A -1 和(A+B) -1 （分
3、数：2.50）_8.已知 A，B 是三阶方阵，AO，AB=O证明：B 不可逆 （分数：2.50）_9.设 A=(a ij ) nn ，且 （分数：2.50）_10.已知 n阶矩阵 求|A|中元素的代数余子式之和 ，第 i行元素的代数余子式之和 及主对角元的代数余子式之和 （分数：2.50）_11.设矩阵 A的伴随矩阵 （分数：2.50）_12.设 A是 n阶可逆阵，将 A的第 i行和第 j行对换得到的矩阵记为 B证明：B 可逆，并推导 A -1 和 B -1 的关系 （分数：2.50）_13.设 A是 n阶可逆阵，其每行元素之和都等于常数 a证明：(1)a0；(2)A -1 的每行元素之和均为
4、 （分数：2.50）_(1).A，B 为 n阶方阵证明： （分数：2.50）_(2).计算 （分数：2.50）_14.设有矩阵 A mn ，B nm ，E m +AB可逆 (1)验证：E n +BA也可逆，且(E n +BA) -1 =E n -B(E m +AB) -1 A； (2)设 其中 （分数：2.50）_15.已知 1 =1，-1，1 T ， 2 =1，t，-1 T ， 3 =t，1，2 T ，=4，t 2 ，-1 T ，若 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，且表示法不唯一，求 t及 的表达式 （分数：2.50）_16.设向量组 1 ， 2 ， s (s2)线性无关，且 1 = 1
5、 + 2 ， 2 = 2 + 3 ， s-1 = s-1 + s ， s = s + 1 讨论向量组 1 ， 2 ， s 的线性相关性 （分数：2.50）_17.设向量组 1 ， 2 ， t 是齐次线性方程组 Ax=0的一个基础解系，向量 不是方程组 Ax=0的解，即 A0证明：向量组 ，+ 1 ，+ 2 ，+ t 线性无关 （分数：2.50）_18.设向量组()与向量组()，若()可由()线性表示，且 r()=r()=r证明：()与()等价 （分数：2.50）_19.求齐次线性方程组 （分数：2.50）_20.问 为何值时，线性方程组 （分数：2.50）_21. 为何值时，方程组 （分数：2
6、.50）_设四元齐次线性方程组()为 （分数：5.00）(1).求线性方程组()的基础解系；（分数：2.50）_(2).问线性方程组()和()是否有非零公共解?若有，则求出所有的非零公共解若没有，则说明理由（分数：2.50）_22.设 1 ， 2 ， t 和 1 ， 2 ， s 分别是 AX=0和 BX=0的基础解系证明：AX=0和 BX=0有非零公共解的充要条件是 1 ， 2 ， t 和 1 ， 2 ， s 线性相关 （分数：2.50）_23.已知 1 =1，2，-3，1 T ， 2 =5，-5，a，11 T ， 3 =1，-3，6，3 T ， 4 =2，-1，3，a T 问： (1)a为何
7、值时，向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关； (2)a为何值时，向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关； (3)a为何值时， 4 能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，并写出它的表出式 （分数：2.50）_24.已知 （分数：2.50）_25.设向量组 1 =a 11 ，a 21 ，a n1 T ， 2 =a 12 ，a 22 ，a n2 T ， s =a 1s ，a 2s ，a ns T 证明：向量组 1 ， 2 ， s 线性相关(线性无关)的充要条件是齐次线性方程组 （分数：2.50）_26.已知 1 ， 2 ， s 线性无关， 可由 1 ， 2 ， s 线性表出，且表示式的系
8、数全不为零证明： 1 ， 2 ， s ， 中任意 s个向量线性无关 （分数：2.50）_27.已知向量组 1 ， 2 ， s+1 (s1)线性无关，i= i +t i+1 ，i=1，2，s证明：向量组 1 ， 2 ， s 线性无关 （分数：2.50）_设 A是 33矩阵， 1 ， 2 ， 3 是三维列向量，且线性无关，已知 A 1 = 2 + 3 ，A 2 = 1 + 3 ，A 3 = 1 + 2 （分数：5.00）(1).证明：A 1 ，A 2 ，A 3 线性无关；（分数：2.50）_(2).求|A|（分数：2.50）_28.已知 A是 n阶矩阵， 1 ， 2 ， s 是 n维线性无关向量组
9、，若 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关证明：A 不可逆 （分数：5.00）_29.设 A是 nm阶矩阵，B 是 mn矩阵，E 是 n阶单位阵若 AB=E，证明：B 的列向量组线性无关 （分数：5.00）_考研数学三-97 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：33，分数：100.00)1.证明：方阵 A是正交矩阵，即 AA T =E的充分必要条件是：(1)A 的列向量组组成标准正交向量组，即 或(2)A 的行向量组组成标准正交向量组，即 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】设 且 A是正交矩阵 (1)AA T =E，A，A T 互为逆矩阵，有 A
10、 T A=E，故 (2)AA T =E，即 2.证明：n3 的非零实方阵 A，若它的每个元素等于自己的代数余子式，则 A是正交矩阵 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】由题设，a ij =A ij ，则 A * =A T ， AA * =AA T =|A|E 两边取行列式，得|A| 2 =|A| n 得|A| 2 (|A| n-2 -1)=0 因 A是非零阵，设 a ij 0，则|A|按第 i行展开有 3.证明：方阵 A是正交矩阵的充分必要条件是|A|=1，且若|A|=1，则它的每一个元素等于自己的代数余子式；若|A|=-1，则它的每个元素等于自己的代数余子式乘-1 （分数：2.50
11、）_正确答案：()解析：【证】必要性 设 =a 1 ，a 2 ，a n T 0，=b 1 ，b 2 ，b n T 0，且 T =0，A=E+ T ，试计算：（分数：7.50）(1).|A|；（分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】 (2).A n ；（分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】 (3).A -1 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】A 2 =(E+ T )(E+ T )=E+2 T + T T =E+2 T =2E+2 T -E=2A-E 2A-A 2 =E，A(2E-A)=E， A -1 =2E-A=E- T 4.设 A是主对角元为 0的四阶实对称阵，E 是
12、 4阶单位阵， （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】设 则 因(E+AB) T =(E+AB) 故有 b=c=d=e=0 又 E+AB不可逆，有 得 从而得 5.设 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】因 E和任何矩阵可交换(和 B可交换)且 B 4 =O故 (E+B)(E-B+B 2 -B 3 )=E-B 4 =E 故 A=E+B可逆且 A -1 =(E+B) -1 =E-B+B 2 -B 3 又 即得 6.A，B 均是 n阶矩阵，且 AB=A+B证明：A-E 可逆，并求(A-E) -1 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】因 AB=A+B即 AB-A-B=OA
13、B-A-B+E=EA(B-E)-(B-E)=E，即 (A-E)(B-E)=E， 故 A-E可逆，且(A-E) -1 =B-E7.设 B是可逆阵，A 和 B同阶，且满足 A 2 +AB+B 2 =O证明：A 和 A+B都是可逆阵，并求 A -1 和(A+B) -1 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】由题设：A 2 +AB+B 2 =O，得 A(A+B)=-B 2 式有乘(-B 2 ) -1 ，得 A(A+B)(-B 2 ) -1 =E得 A可逆，且 A -1 =(A+B)(-B 2 ) -1 式左乘(-B 2 ) -1 ，得(-B 2 ) -1 A(A+B)=E得 A+B可逆，且 (
14、A+B) -1 =(-B 2 ) -1 A8.已知 A，B 是三阶方阵，AO，AB=O证明：B 不可逆 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】AB=O(AB) T =B T A T =OAO，B T X=0有非零解，故|B T |=0，即|B|=0，从而有 B不可逆9.设 A=(a ij ) nn ，且 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】 10.已知 n阶矩阵 求|A|中元素的代数余子式之和 ，第 i行元素的代数余子式之和 及主对角元的代数余子式之和 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】AA * =|A|E=E， 由 A * 可知： 11.设矩阵 A的伴随矩阵 （
15、分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】由题设 (A-E)BA -1 =3E, (A-E)B=3A， A -1 (A-E)B=3E， (E-A -1 )B=3E， 其中|A * |=8=|A| 3 ，|A|=2，从而得(2E-A * )B=6E，B=6(2E-A * ) -1 12.设 A是 n阶可逆阵，将 A的第 i行和第 j行对换得到的矩阵记为 B证明：B 可逆，并推导 A -1 和 B -1 的关系 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】记 E ij 为初等矩阵 13.设 A是 n阶可逆阵，其每行元素之和都等于常数 a证明：(1)a0；(2)A -1 的每行元素之和均为 （分
16、数：2.50）_正确答案：()解析：【证】(1)将 A中各列加到第一列，得 若 a=0，则|A|=0，这与 A是可逆阵矛盾，故 a0 (2)令 A= 1 ， 2 ， n ，A -1 = 1 ， 2 ， n ，E=e 1 ，e 2 ，e n ，由A -1 A=E，得 A -1 1 ， 2 ， n =e 1 ，e 2 ，e n ， A -1 j =e j ，j=1，n， A -1 1 +A -1 2 +A -1 n =e 1 +e 2 +e n ， 另一方面， 比较以上两式，得证 得证 A -1 的每行元素之和为 (1).A，B 为 n阶方阵证明： （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】(
17、2).计算 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】14.设有矩阵 A mn ，B nm ，E m +AB可逆 (1)验证：E n +BA也可逆，且(E n +BA) -1 =E n -B(E m +AB) -1 A； (2)设 其中 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】(1) (E n +BA)(E n -B(E m +AB) -1 A) =E n +BA-B(E m +AB) -1 A-BAB(E m +AB) -1 A =E n +BA-B(E n +AB)(E m +AB) -1 A=E n ， 故 (E n +BA) -1 =E n -B(E m +AB) -1 A
18、(2) 其中 X=x 1 ，x 2 ，x n T ，Y=y 1 ，y 2 ，y n T 因 由(1)知 P=E+XY T 可逆，且 15.已知 1 =1，-1，1 T ， 2 =1，t，-1 T ， 3 =t，1，2 T ，=4，t 2 ，-1 T ，若 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，且表示法不唯一，求 t及 的表达式 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】设 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 =，按分量写出为 对增广矩阵进行初等行变换得 由条件知 从而 t=4，此时增广矩阵可化为 其通解为 16.设向量组 1 ， 2 ， s (s2)线性无关，且 1 = 1 + 2 ，
19、2 = 2 + 3 ， s-1 = s-1 + s ， s = s + 1 讨论向量组 1 ， 2 ， s 的线性相关性 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】方法一 设 x 1 1 +x 2 2 +x s s =0，即 (x 1 +x s ) 1 +(x 1 +x 2 ) 2 +(x s-1 +x s ) s =0 因为 1 ， 2 ， a 线性无关，则 其系数行列式 (1)当 s为奇数时，|A|=20，方程组只有零解，则向量组 1 ， 2 ， s 线性无关； (2)当 s为偶数时，|A|=0，方程组有非零解，则向量组 1 ， 2 ， s 线性相关 方法二 显然 因为 1 ， 2 ，
20、 s 线性无关，则 r( 1 ， 2 ， s )=r(K) (1) 为奇数时，r( 1 ， 2 ， s )=s则向量组 1 ， 2 ， s 线性无关； (2) 17.设向量组 1 ， 2 ， t 是齐次线性方程组 Ax=0的一个基础解系，向量 不是方程组 Ax=0的解，即 A0证明：向量组 ，+ 1 ，+ 2 ，+ t 线性无关 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】设 k+k 1 (+ 1 )+k t (+ t )=0即 (k+k 1 +k t )+k 1 1 +k t t =0， 等式两边左乘 A，得 则 k 1 1 +k t t =0 由 1 ， 2 ， t 线性无关，得 18.
21、设向量组()与向量组()，若()可由()线性表示，且 r()=r()=r证明：()与()等价 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】设()的一个极大无关组为 1 ， 2 ， r ，()的一个极大无关组为 1 ， 2 ， r 因为()可由()表示，即 1 ， 2 ， r 可由 1 ， 2 ， r 线性表示，于是 r( 1 ， 2 ， r ， 1 ， 2 ， r )=r( 1 ， 2 ， r )=r 又 1 ， 2 ， r 线性无关，则 1 ， 2 ， r 也可作为 1 ， 2 ， r ， 1 ， 2 ， r 的一个极大无关组，于是 1 ， 2 ， r 也可由 1 ， 2 ， r 表示，即
22、()也可由()表示，得证19.求齐次线性方程组 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】 则方程组的解为 令 20.问 为何值时，线性方程组 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】 21. 为何值时，方程组 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】方程组改写为 则有 当 1 且 时，方程组有唯一解； 当 =1 时，方程组有无穷多解，且 解为 通解为 当 设四元齐次线性方程组()为 （分数：5.00）(1).求线性方程组()的基础解系；（分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】线性方程组()的解为 (2).问线性方程组()和()是否有非零公共解?若有，则求出所有的非零公共
23、解若没有，则说明理由（分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】将方程组()的通解代入方程组()，得 22.设 1 ， 2 ， t 和 1 ， 2 ， s 分别是 AX=0和 BX=0的基础解系证明：AX=0和 BX=0有非零公共解的充要条件是 1 ， 2 ， t 和 1 ， 2 ， s 线性相关 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】必要性 由 1 ， 2 ， t ， 1 ， 2 ， s 线性相关，知存在 k 1 ，k 2 ，k t ，l 1 ，l 2 ，l s 不全为零，使得 k 1 1 +k 2 2 +k t t +l 1 1 +l 2 2 +l s s =0 令 =k 1 1
24、 +k 2 2 +k t t ，则 0(否则 k 1 ，k 2 ，k t ，l 1 ，l 2 ，l s 全为 0)，且 =-l 1 1 -l 2 2 -l s s ， 即非零向量 既可由 1 ， 2 ， t 表示，也可由 1 ， 2 ， s 表示，所以 Ax=0和 Bx=0有非零公共解 充分性 若 Ax=0和 Bx=0有非零公共解，假设为 0，则 =k 1 1 +k 2 2 +k t t ，且 =-l 1 1 -l 2 2 -l s s ，于是，存在 k 1 ，k 2 ，k t 不全为零，存在 l 1 ，l 2 ，l s 不全为零，使得 k 1 1 +k 2 2 +k t t +l 1 1 +
25、l 2 2 +l s s =0 从而 1 ， 2 ， t ， 1 ， 2 ， s 线性相关23.已知 1 =1，2，-3，1 T ， 2 =5，-5，a，11 T ， 3 =1，-3，6，3 T ， 4 =2，-1，3，a T 问： (1)a为何值时，向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关； (2)a为何值时，向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关； (3)a为何值时， 4 能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，并写出它的表出式 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】 24.已知 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】 25.设向量组 1 =a 11 ，a 21 ，a n1 T ， 2 =a 12 ，a 22 ，a n2 T ， s =a 1s ，a 2s ，a ns T 证明：向量组 1 ， 2 ， s 线性相关(线性无关)的充要条件是齐次线性方程组 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】 26.已知 1 ， 2 ， s 线性无关， 可由 1 ， 2 ， s 线性表出，且表示式的系数全不为零证明： 1 ， 2 ， s ， 中任意 s个向量线性无关 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】用反证法设
