1、考研数学三-96 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：32，分数：100.00)1.计算行列式 （分数：2.50）_2.计算行列式 （分数：2.50）_3.计算 （分数：2.50）_4.已知 n(n3)阶实矩阵 A=(a ij ) nn 满足条件：(1)a ij =A ij (i，j=1，2，n)，其中 A ij 是 a ij 的代数余子式：(2)a 11 0求|A| （分数：2.50）_5.|A|是 n阶行列式，其中有一行(或一列)元素全是 1证明：这个行列式的全部代数余子式的和等于该行列式的值 （分数：2.50）_6.计算 （分数：2.50）_7.计算
2、行列式 （分数：2.50）_8.设 试证明： （分数：2.50）_9.计算 （分数：2.50）_设 A为 n(n3)阶非零实矩阵，A ij 为 A中元素 a ij 的代数余子式，证明下列结论：（分数：5.00）(1). （分数：2.50）_(2). （分数：2.50）_10.设 A是 n阶矩阵，满足 AA T =E(E是 n阶单位矩阵，A T 是 A的转置矩阵)，|A|0，求|A+E| （分数：2.50）_11.设 a 1 ，a 2 ，a s 是互不相同的实数，且 （分数：2.50）_12.设 B=2A-E证明：B 2 =E的充分必要条件是 A 2 =A （分数：2.50）_13.设 A是 n
3、阶矩阵证明：A=O 的充要条件是 AA T =O （分数：2.50）_设 （分数：5.00）(1).证明：当 n3 时，有 A n =A n-2 +A 2 -E；（分数：2.50）_(2).求 A 100 （分数：2.50）_设 （分数：5.00）(1).计算 A 2 ，并将 A 2 用 A和 E表出；（分数：2.50）_(2).设 A是二阶方阵，当 k2 时，证明：A k =O的充分必要条件为 A 2 =O（分数：2.50）_14.证明：方阵 A与所有同阶对角阵可交换的充分必要条件是 A是对角阵 （分数：2.50）_15.证明：若 A为 n阶可逆方阵，A * 为 A的伴随矩阵，则(A * )
4、 T =(A T ) * （分数：2.50）_16.证明：若 A为 n阶方阵，则有|A * |=|(-A) * |(n2) （分数：2.50）_17.已知 n阶方阵 A满足矩阵方程 A 2 -3A-2E=O证明：A 可逆，并求出其逆矩阵 A -1 （分数：2.50）_18.已知对于 n阶方阵 A，存在自然数 k，使得 A k =O证明：矩阵 EA可逆，并写出其逆矩阵的表达式(E为 n阶单位阵) （分数：2.50）_19.设 （分数：2.50）_20.设矩阵 （分数：2.50）_21.假设 （分数：2.50）_设 A为 n阶非奇异矩阵， 为 n维列向量，b 为常数记分块矩阵 （分数：5.00）(
5、1).计算并化简 PQ；（分数：2.50）_(2).证明：矩阵 Q可逆的充分必要条件是 T A -1 b（分数：2.50）_22.设(2E-C -1 B)A T =C -1 ，其中 E是 4阶单位矩阵，A T 是 4阶矩阵 A的转置矩阵， （分数：2.50）_23.设 （分数：2.50）_24.已知 （分数：2.50）_设有两个非零矩阵 A=a 1 ，a 2 ，a n T ，B=b 1 ，b 2 ，b n T （分数：7.50）(1).计算 AB T 与 A T B；（分数：2.50）_(2).求矩阵 AB T 的秩 r(AB T )；（分数：2.50）_(3).设 C=E-AB T ，其中
6、E为 n阶单位阵证明：C T C=E-BA T -AB T +BB T 的充要条件是 A T A=1（分数：2.50）_25.证明：若 A为 mn矩阵，B 为 np矩阵，则有 r(AB)r(A)+r(B)-n特别地，当 AB=O时，有 r(A)+r(B)n （分数：2.50）_26.证明：r(A+B)r(A)+r(B) （分数：5.00）_27.设 A是 n阶实矩阵，证明：tr(AA T )=0的充分必要条件是 A=O （分数：5.00）_考研数学三-96 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：32，分数：100.00)1.计算行列式 （分数：2.50）_正确
7、答案：()解析：【解】按第一列展开，得 2.计算行列式 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】 3.计算 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】方法一 把 D n 按第一行展开，得 把递推公式改写成 D n -D n-1 =(D n-1 -D n-2 )， 继续用递推关系递推，得 D n -D n-1 =(D n-1 -D n-2 )= 2 (D n-2 -D n-3 )= n-2 (D 2 -D 1 )， 而 D 2 =(+) 2 -，D 1 =+， D n -D n-1 = n-2 (D 2 -D 1 )= n ， 式递推得 D n =D n-1 + n =(D n-2 +
8、 n-1 )+ n = n + n-1 + n-2 2 + n-1 + n 除了将式变形得式外，还可将式改写成 D n -D n-1 =(D n-1 -D n-2 ) 由递推可得 D n -D n-1 = n ， - 得 (-)D n = n+1 - n+1 ， -0 时，有 方法二 把原行列式表示成如下形式 4.已知 n(n3)阶实矩阵 A=(a ij ) nn 满足条件：(1)a ij =A ij (i，j=1，2，n)，其中 A ij 是 a ij 的代数余子式：(2)a 11 0求|A| （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】由已知 a ij =A ij ，所以 A * =A
9、T ，且 AA * =AA T =|A|E 两边取行列式得 |AA T |=|A| 2 =|A|E|=|A| n 从而 |A|=1或|A|=0 由于 a 11 0可知 5.|A|是 n阶行列式，其中有一行(或一列)元素全是 1证明：这个行列式的全部代数余子式的和等于该行列式的值 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】不失一般性设 又因 故 6.计算 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】按第一行展开 得到递推公式 D 5 -D 4 =-x(D 4 -D 3 )=-x 3 (D 2 -D 1 ) 由于 D 1 =1-x，于是得 7.计算行列式 （分数：2.50）_正确答案：()解
10、析：【解】 8.设 试证明： （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】f(x)显然在0，1上连续，在(0，1)上可导而 可知 f(x)在0，1上满足罗尔定理的条件，故 9.计算 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】把第 1行的(-x)倍分别加到第 2，3，n 行，得 当 x0 时，再把第 j列的 倍加到第 1列(j=2，n)，就把 D n 化成了上三角行列式 设 A为 n(n3)阶非零实矩阵，A ij 为 A中元素 a ij 的代数余子式，证明下列结论：（分数：5.00）(1). （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】当 a ij =A ij 时，有 A T =A *
11、，则 A T A=AA * =|A|E由于 A为 n阶非零实矩阵，即 a ij 不全为 0，所以 (2). （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】当 a ij =-A ij 时，有 A T =-A * ，则 A T A=-A * A=-|A|E由于 A为 n阶非零实矩阵，即a ij 不全为 0，所以 10.设 A是 n阶矩阵，满足 AA T =E(E是 n阶单位矩阵，A T 是 A的转置矩阵)，|A|0，求|A+E| （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】由|A+E|=|A+AA T |=|A(E+A T )|=|A|(A+E) T |=|A|A+E|， 故 11.设 a 1
12、，a 2 ，a s 是互不相同的实数，且 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】因 a 1 ，a 2 ，a n ，互不相同，故由范德蒙德行列式知，|A|0，根据克拉默法则，方程组 AX=b有唯一解，且 12.设 B=2A-E证明：B 2 =E的充分必要条件是 A 2 =A （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】因为 B=2A-E，B 2 =(2A-E)(2A-E)=4A 2 -4A+E，所以 4A 2 -4A+E=E 4A 2 -4A=O 13.设 A是 n阶矩阵证明：A=O 的充要条件是 AA T =O （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】设 则若 应有 设 （分数
13、：5.00）(1).证明：当 n3 时，有 A n =A n-2 +A 2 -E；（分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】用归纳法 n=3时，因 (2).求 A 100 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】由上述递推关系可得 A 100 =A 98 +A 2 -E=(A 96 +A 2 -E)+A 2 -E =A 96 +2(A 2 -E)=A 2 +49(A 2 -E) 设 （分数：5.00）(1).计算 A 2 ，并将 A 2 用 A和 E表出；（分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】 令 得 (2).设 A是二阶方阵，当 k2 时，证明：A k =O的充分必要条件为
14、 A 2 =O（分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】充分性 k2，显然成立； 必要性 方法一 由(1)知 A 2 =(a+d)A，于是 A k =(a+d) k-1 A=O，故 A=O或 a+d=0，从而有 A 2 =(a+d)A=O 方法二 A 是 2阶矩阵，|A|=0，故 r(A)1 若 r(A)=0，则 A=O，从而 A 2 =O； 若 r(A)=1，则 A= T ，A 2 = T T =( T )A，其中 ， 为非零二维列向量 14.证明：方阵 A与所有同阶对角阵可交换的充分必要条件是 A是对角阵 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】充分性 A 是对角阵，则显然 A可
15、与任何对角阵可交换 必要性 设 与任何对角阵可交换，则应与对角元素互不相同的对角阵 可交换，即 b 1 a 12 =b 2 a 12 ，b 1 b 2 ，故 a 12 =0b i a ij =b j a ij ，ij，b i b j ，a ij =0，i=1，2，n，j=1，2，n，故 15.证明：若 A为 n阶可逆方阵，A * 为 A的伴随矩阵，则(A * ) T =(A T ) * （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】(A * ) T =(|A|A -1 ) T =|A|(A -1 ) T =|A|(A T ) -1 =|A T |(A T ) -1 =(A T ) * 16.证
16、明：若 A为 n阶方阵，则有|A * |=|(-A) * |(n2) （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】设 A=(a ij ) nn ，|A|的元素 a ij 的代数余子式为 A ij ，则|-A|的元素-a ij 的代数余子式为 B ij =(-1) n-1 A ij ， 于是(-A) * =(-1) n-1 (A ji ) nn =(-1) n-1 A * ，所以 |(-A) * |=|(-1) n-1 A * |=(-1) n-1 n |A * |=|A * |17.已知 n阶方阵 A满足矩阵方程 A 2 -3A-2E=O证明：A 可逆，并求出其逆矩阵 A -1 （分数：2.
17、50）_正确答案：()解析：【证】A 2 -3A-2E=O，则 故 A可逆，且 18.已知对于 n阶方阵 A，存在自然数 k，使得 A k =O证明：矩阵 EA可逆，并写出其逆矩阵的表达式(E为 n阶单位阵) （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】 E=E-A k =E k -A k =(E-A)(E+A+A k-1 )，所以 E-A可逆，且 (E-A) -1 =E+A+A k-1 19.设 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】 设 M的逆矩阵为 所以 20.设矩阵 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】由 AX+E=A 2 +X，有(A-E)X=(A-E)(A+E)
18、又|A-E|=-10则 21.假设 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】先计算出 由于|A|=1，所以 设 A为 n阶非奇异矩阵， 为 n维列向量，b 为常数记分块矩阵 （分数：5.00）(1).计算并化简 PQ；（分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】(2).证明：矩阵 Q可逆的充分必要条件是 T A -1 b（分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】由上小题得22.设(2E-C -1 B)A T =C -1 ，其中 E是 4阶单位矩阵，A T 是 4阶矩阵 A的转置矩阵， （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】由(2E-C -1 B)A T =C -1 ，有 2
19、3.设 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】 又 EB=BE，所以 24.已知 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】对 A分块为 则 B=3E+J，于是 而 C 2 =6C，C n =6 n-1 C，所以 设有两个非零矩阵 A=a 1 ，a 2 ，a n T ，B=b 1 ，b 2 ，b n T （分数：7.50）(1).计算 AB T 与 A T B；（分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】 (2).求矩阵 AB T 的秩 r(AB T )；（分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】因 AB T 各行(或列)是第 1行(列)的倍数，又 A，B 皆为非零矩阵，故
20、r(AB T )=1(3).设 C=E-AB T ，其中 E为 n阶单位阵证明：C T C=E-BA T -AB T +BB T 的充要条件是 A T A=1（分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】由于 C T C=(E-AB T ) T (E-AB T )=(E-BA T )(E-AB T )=E-BA T -AB T +BA T AB T ，故若要求 C T C=E-BA T -AB T +BB T ，则 BA T AB T -BB T =O，B(A T A-1)B T =O，即 (A T A-1)BB T =O 因为 BO所以 BB T O故 C T C=E-BA T -AB T
21、+BB T 的充要条件是 A T A=125.证明：若 A为 mn矩阵，B 为 np矩阵，则有 r(AB)r(A)+r(B)-n特别地，当 AB=O时，有 r(A)+r(B)n （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】注意到 因为 是可逆矩阵，所以 而 当 B有一个 t 1 阶子式不为 0，A 有一个 t 2 阶子式不为 0时， 一定有一个 t 1 +t 2 阶子式不为0 因此 26.证明：r(A+B)r(A)+r(B) （分数：5.00）_正确答案：()解析：【证】设 A= 1 ， 2 ， n ，B= 1 ， 2 ， n ，则 A+B= 1 + 1 ， 2 + 2 ， n + n 由于
22、 A+B的列向量组 1 + 1 ， 2 + 2 ， n + n 都是由向量组 1 ， 2 ， n ， 1 ， 2 ， n 线性表出的，故 r( 1 + 1 ， 2 + 2 ， n + n )r( 1 ， 2 ， n ， 1 ， 2 ， n ) 又由于 r( 1 ， 2 ， n ， 1 ， 2 ， n )r( 1 ， 2 ， n )+r( 1 ， 2 ， n )， 故 r(A+B)=r( 1 + 1 ， 2 + 2 ， n + n ) r( 1 ， 2 ， n ， 1 ， 2 ， n ) r( 1 ， 2 ， n )+r( 1 ， 2 ， n ) =r(A)+r(B)27.设 A是 n阶实矩阵，证明：tr(AA T )=0的充分必要条件是 A=O （分数：5.00）_正确答案：()解析：【解】充分性 A=O，显然 tr(AA T )=0 必要性 tr(AA T )=0，设 记 B=AA T ，则
