1、考研数学三-95 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：42，分数：100.00)1.设 3 阶方阵 A，B 满足关系式 A -1 BA=6A+BA，且 （分数：2.00）2.设 =-1，2，3， （分数：2.00）3.设 （分数：2.00）4.设 （分数：2.00）5.已知 A 2 -2A+E=O，则(A+E) -1 = 1 （分数：2.00）6.设 A 是 n 阶矩阵，|A|=5，则|(2A) * |= 1 （分数：2.00）7.设 （分数：2.00）8.设 （分数：2.00）9.已知 A，B 均是 3 阶矩阵，将 A 中第 3 行的-2 倍加到第 2
2、行得矩阵 A 1 ，将 B 中第 1 列和第 2 列对换得到 B 1 ，又 （分数：2.00）10.设 （分数：2.00）11.设 A，B 为 3 阶相似矩阵，且|2E+A|=0， 1 =1， 2 =-1 为 B 的两个特征值，则行列式|A+2AB|= 1 （分数：2.50）12.设 A=E+ T ，其中 ， 均为 n 维列向量， T =3，则|A+2E|= 1 （分数：2.50）13.已知 ABC=D，其中 （分数：2.50）14.设 1 =1，0，-1，2 T ， 2 =2，-1，-2，6 2 ， 3 =3，1，t，4 2 ，=4，-1，-5，10 2 ，已知 不能由 1 ， 2 ， 3
3、线性表出，则 t= 1 （分数：2.50）15.已知 3 维向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则向量组 1 - 2 ， 2 -k 3 ， 3 - 1 也线性无关的充要条件是 k= 1 （分数：2.50）16.设 n 维向量 1 ， 2 ， 3 满足 2 1 - 2 +3 3 =0，对于任意的 n 维向量 ，向量组 l 1 + 1 ，l 2 + 2 ，l 3 + 3 都线性相关，则参数 l 1 ，l 2 ，l 3 应满足关系 1 （分数：2.50）17.设 A 是 5 阶方阵，且 A 2 =O，则 r(A * )= 1 （分数：2.50）18.设 A mn ，B nn ，G nm ，其中 A
4、B=A，BC=O，r(A)=n，则|CA-B|= 1 （分数：2.50）19.已知向量组 与向量组 （分数：2.50）20.已知 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，且 r(A)=n-1，则线性方程组 AX=0 的通解是 1 （分数：2.50）21.设 n 阶(n3)矩阵 A 的主对角元均为 1，其余元素均为 a，且方程组 AX=0 只有一个非零解组成基础解系，则 a= 1 （分数：2.50）22.设 A 是 n 阶矩阵，|A|=0，A 11 0，则 A * X=0 的通解是 1 （分数：2.50）23.方程组 x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 =0 的基础解系是 1 （分数：
5、2.50）24.方程组 （分数：2.50）25.方程组 （分数：2.50）26.设线性方程组 有解，则方程组右端 （分数：2.50）27.已知非齐次线性方程组 A 34 X=b 有通解是 k 1 1，2，0，-2 T +k 2 4，-1，-1，-1 T +1，0，-1，1 T ，则满足方程组且满足条件 x 1 =x 2 ，x 3 =x 4 的解是 1 （分数：2.50）28.已知 4 阶方阵 A= 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 均为 4 维列向量，其中 1 ， 2 线性无关，若 = 1 +2 2 - 3 = 1 + 2 + 3 + 4 = 1 +3 2 + 3 +
6、2 4 ，则 Ax= 的通解为 1 （分数：2.50）29.设 （分数：2.50）30.已知-2 是 （分数：2.50）31.设 n 阶矩阵 A 的元素全是 1，则 A 的 n 个特征值是 1 （分数：2.50）32.设 A 是 3 阶矩阵，已知|A+E|=0，|A+2E|=0，|A+3E|=0，则|A+4E|= 1 （分数：2.50）33.设 A 是 3 阶矩阵，|A|=3且满足|A 2 +2A|=0，|2A 2 +A|=0，则 A * 的特征值是 1 （分数：2.50）34.设 A 是 n 阶实对称阵， 1 ， 2 ， n 是 A 的 n 个互不相同的特征值， 1 是 A 的对应于 1 的
7、一个单位特征向量，则矩阵 （分数：2.50）35.矩阵 （分数：2.50）36.设 A 是 n 阶矩阵， 是 A 的 r 重特征根，A 的对应于 的线性无关的特征向量是 k 个，则 k 满足 1 （分数：2.50）37.与 1 =1，2，3，-1 T ， 2 =0，1，1，2 T ， 3 =2，1，3，0 T 都正交的单位向量是 1 （分数：2.50）38.已知 =a，1，1 T 是矩阵 （分数：2.50）39.已知 =1，3，2 T ，=1，-1，-2 T ，A=E- T ，则 A 的最大特征值为 1 （分数：2.50）40.已知 （分数：2.50）41.设 A 是 3 阶矩阵， 1 ， 2
8、 ， 3 是三个线性无关的 3 维列向量，满足 A i = i ，i=1，2，3，则 A= 1. （分数：2.50）42.已知二次型 （分数：2.50）考研数学三-95 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：42，分数：100.00)1.设 3 阶方阵 A，B 满足关系式 A -1 BA=6A+BA，且 （分数：2.00）解析：diag(3，2，1) 解析 由 A -1 BA=6A+BA 得 B=6A(E-A) -1 =diag(3，2，1)，其中， 2.设 =-1，2，3， （分数：2.00）解析：3 n-1 A 解析 3.设 （分数：2.00）解析：O解析
9、 4.设 （分数：2.00）解析： 解析 方法一用初等变换求 方法二 5.已知 A 2 -2A+E=O，则(A+E) -1 = 1 （分数：2.00）解析： 解析 A 2 -2A+E=O，(A+E)(A-3E)=-4E， 6.设 A 是 n 阶矩阵，|A|=5，则|(2A) * |= 1 （分数：2.00）解析：2 n2-n 5 n-1 解析 (2A)(2A) * =|2A|E，(2A) * =|2A|(2A) -1 ， 7.设 （分数：2.00）解析：解析 8.设 （分数：2.00）解析： 解析 E+B=E+(E+A) -1 (E-A)=(E+A) -1 (E+A+E-A)=(E+A) -1
10、 2E， 故 9.已知 A，B 均是 3 阶矩阵，将 A 中第 3 行的-2 倍加到第 2 行得矩阵 A 1 ，将 B 中第 1 列和第 2 列对换得到 B 1 ，又 （分数：2.00）解析：解析 10.设 （分数：2.00）解析： 解析 故 11.设 A，B 为 3 阶相似矩阵，且|2E+A|=0， 1 =1， 2 =-1 为 B 的两个特征值，则行列式|A+2AB|= 1 （分数：2.50）解析：18 解析 由|2E+A|=|A-(-2E)|=0 知 =-2 为 A 的一个特征值由 AB 知 A 和 B 有相同特征值，因此 1 =1， 2 =-1 也是 A 的特征值故 A，B 的特征值均为
11、 1 =1， 2 =-1 3 =-2则有E+2B 的特征值为 1+21=3，1+2(-1)=-1，1+2(-2)=-3，从而 |E+2B|=3(1)(-3)=9，|A|= 1 2 3 =2 故 |A+2AB|=|A(E+2B)|=|A|E+2B|=29=1812.设 A=E+ T ，其中 ， 均为 n 维列向量， T =3，则|A+2E|= 1 （分数：2.50）解析：23 n 解析 由于 T =3，可知 tr( T )=3 T 的秩为 1，故 0 至少为 T 的 n-1 重特征值。故 T 的特征值为 0(n-1 重)，3因此，A+2E= T +3E 的特征值为 3(n-1 重)，6，故 |A
12、+2E|=3 n-1 6=23 n 13.已知 ABC=D，其中 （分数：2.50）解析： 解析 且 所以 14.设 1 =1，0，-1，2 T ， 2 =2，-1，-2，6 2 ， 3 =3，1，t，4 2 ，=4，-1，-5，10 2 ，已知 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 t= 1 （分数：2.50）解析：-3解析 15.已知 3 维向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则向量组 1 - 2 ， 2 -k 3 ， 3 - 1 也线性无关的充要条件是 k= 1 （分数：2.50）解析：1 解析 1 ， 2 ， 3 线性无关，故 1 - 2 ， 2 -k 3 ， 3 - 1 线性无
13、关的充要条件是 16.设 n 维向量 1 ， 2 ， 3 满足 2 1 - 2 +3 3 =0，对于任意的 n 维向量 ，向量组 l 1 + 1 ，l 2 + 2 ，l 3 + 3 都线性相关，则参数 l 1 ，l 2 ，l 3 应满足关系 1 （分数：2.50）解析：2l 1 -l 2 +3l 3 =0 解析 因 l 1 + 1 ，l 2 + 2 ，l 3 + 3 线性相关甘存在不全为零的 k 1 ，k 2 ，k 3 ，使得 k 1 (l 1 + 1 )+k 2 (l 2 + 2 )+k 3 (l 3 + 3 )=0， 即 (k 1 l 1 +k 2 l 2 +k 3 l 3 )+k 1 1
14、 +k 2 2 +k 3 3 =0 因 是任意向量， 1 ， 2 ， 3 满足 2 1 - 2 +3 3 =0，故令 2l 1 -l 2 +3l 3 =0 时上式成立故 l 1 ，l 2 ，l 3 应满足 2l 1 -l 2 +3l 3 =017.设 A 是 5 阶方阵，且 A 2 =O，则 r(A * )= 1 （分数：2.50）解析：0 解析 因 A 2 =AA=O，r(A)+r(A)5，r(A)2， 从而 A * =O，r(A * )=018.设 A mn ，B nn ，G nm ，其中 AB=A，BC=O，r(A)=n，则|CA-B|= 1 （分数：2.50）解析：(-1) n 解析
15、因 AB=A，A(B-E)=O，r(A)=n故 B-E=OB=E，且由 BC=O，得 C=O，故 |CA-B|=|-E|=-(-1) n 19.已知向量组 与向量组 （分数：2.50）解析：1 解析 由 知 r( 1 ， 2 3 )=2 由题设：r( 1 ， 2 ， 3 )=2 因 20.已知 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，且 r(A)=n-1，则线性方程组 AX=0 的通解是 1 （分数：2.50）解析：k1,1，,1 T ，其中 k 为任意常数 解析 r(A)=n-1 知 AX=0 的基础解系有 n-(n-1)=1 个非零向量组成A 的各行元素之和均为零，即 a i1 +a i2
16、+a in =0，i=1，2，n 也就是 a i1 1+a i2 1+a in 1=0，i=1，2，n，即 =1，1，1 T 是 AX=0 的非零解，于是方程组 AX=0 的通解为 k1，1，1 T ，其中 k 为任意常数21.设 n 阶(n3)矩阵 A 的主对角元均为 1，其余元素均为 a，且方程组 AX=0 只有一个非零解组成基础解系，则 a= 1 （分数：2.50）解析： 解析 AX=0 只有一个非零解组成基础解系，故 r(A)=n-1， 22.设 A 是 n 阶矩阵，|A|=0，A 11 0，则 A * X=0 的通解是 1 （分数：2.50）解析： 解析 |A|=0，A 11 0，r
17、(A)=n-1，r(A * )=1，A * X=0 有 n-1 个线性无关解向量组成基础解系，因 A * A=|A|E=O，故 A 的列向量是 A * X=0 的解向量，又 A 11 0，故 A 的第 2，3，n 列是A * x=0 的 n-1 个线性无关解向量，设为： 2 ， 3 ， n ，故通解为 k 2 2 +k 3 3 +k n n 或者由已知方程 A * X=0，即是 A 11 x 1 +A 21 x 2 +A n1 x n =0，故方程的通解是： 23.方程组 x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 =0 的基础解系是 1 （分数：2.50）解析： 1 =1，-1，0，0，
18、0 T ， 2 =1，0，-1，0，0 T ， 3 =1，0，0，-1，0 T ， 4 =1，0，0，0，-1 T24.方程组 （分数：2.50）解析：k1，1，1，1 T ，其中 k 是任意常数25.方程组 （分数：2.50）解析：解析 26.设线性方程组 有解，则方程组右端 （分数：2.50）解析： 解析 设 使方程组有解，即当 其中 k 1 ，k 2 ，k 3 是任意常数，方程组有解，即k 1 ，k 2 ，k 3 T 或说 27.已知非齐次线性方程组 A 34 X=b 有通解是 k 1 1，2，0，-2 T +k 2 4，-1，-1，-1 T +1，0，-1，1 T ，则满足方程组且满足
19、条件 x 1 =x 2 ，x 3 =x 4 的解是 1 （分数：2.50）解析：2，2，-1，-1 T 解析 方程组的通解为 即 由题设 x 1 =x 2 ，x 3 =x 4 得 28.已知 4 阶方阵 A= 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 均为 4 维列向量，其中 1 ， 2 线性无关，若 = 1 +2 2 - 3 = 1 + 2 + 3 + 4 = 1 +3 2 + 3 +2 4 ，则 Ax= 的通解为 1 （分数：2.50）解析： 解析 由 = 1 +2 2 - 3 = 1 + 2 + 3 + 4 = 1 +3 2 + 3 +2 4 可知 均为 Ax= 的解，
20、故 均为 Ax=0 的解 由于 1 ， 2 线性无关，可知 r(A)2又由于 Ax=0 有两个线性无关的解 1 - 2 ， 2 - 3 ，可知 Ax=0 的基础解系中至少含有两个向量，也即 4-r(A)2，即 r(A)2 综上，r(A)=2，Ax=0 的基础解系中含有两个线性无关的向量，故 1 - 2 ， 2 - 3 即为 Ax=0 的基础解系故 Ax= 的通解为 29.设 （分数：2.50）解析：k-1，1，0 T ，k 为任意常数 解析 由于 A 为 43 矩阵，AB=O，且 BO，我们得知 r(A)3，对 A 作变换 30.已知-2 是 （分数：2.50）解析：-4解析 由|E-A|=|
21、-2E-A|=0，可求得 x=-431.设 n 阶矩阵 A 的元素全是 1，则 A 的 n 个特征值是 1 （分数：2.50）解析：0(n-1 重根)，n(单根) 解析 32.设 A 是 3 阶矩阵，已知|A+E|=0，|A+2E|=0，|A+3E|=0，则|A+4E|= 1 （分数：2.50）解析：6解析 由|A+E|=|A+2E|=|A+3E|=0，知 A 有特征值 =-1，-2，-3，A+4E 有特征值 =3，2，1，故|A+4E|=633.设 A 是 3 阶矩阵，|A|=3且满足|A 2 +2A|=0，|2A 2 +A|=0，则 A * 的特征值是 1 （分数：2.50）解析： 解析
22、|A|A+2E|=0，因|A|=3，则|A+2E|=0，故 A 有特征值 1 =-2 又 得 因|A|=3= 1 2 3 ，故 3 =3 故 A * 有特征值 34.设 A 是 n 阶实对称阵， 1 ， 2 ， n 是 A 的 n 个互不相同的特征值， 1 是 A 的对应于 1 的一个单位特征向量，则矩阵 （分数：2.50）解析：0， 2 ， 3 ， n ， 解析 因 A 是实对称阵， 1 ， 2 ， n 互不相同，对应的特征向量 1， 2 ， n 相互正交，故 35.矩阵 （分数：2.50）解析：=4 解析 因 或有 AX=4X，即 36.设 A 是 n 阶矩阵， 是 A 的 r 重特征根，
23、A 的对应于 的线性无关的特征向量是 k 个，则 k 满足 1 （分数：2.50）解析：1kr37.与 1 =1，2，3，-1 T ， 2 =0，1，1，2 T ， 3 =2，1，3，0 T 都正交的单位向量是 1 （分数：2.50）解析： 解析 设 =x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 T ，那么 对齐次方程组 Ax=0 的系数矩阵进行初等行变换，有 故 n-r(A)=4-3=1，则 Ax=0 有一个基础解向量则 Ax=0 的基础解系为-1，-11，0 T ，将其单位化，得 38.已知 =a，1，1 T 是矩阵 （分数：2.50）解析：-1 解析 是矩阵 A -1 属于特征值 0 ，的特征
24、向量，由定义 A -1 = 0 ，于是 = 0 A，即 即 解得 39.已知 =1，3，2 T ，=1，-1，-2 T ，A=E- T ，则 A 的最大特征值为 1 （分数：2.50）解析：7 解析 由于矩阵 T 的秩为 1，故 T 的特征值为 0，0，tr( T )其中 tr( T )= T =-6故 A=E- T 的特征值为 1，1，7，故 A 的最大特征值为 740.已知 （分数：2.50）解析：3 解析 存在可逆阵 P，使得 41.设 A 是 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是三个线性无关的 3 维列向量，满足 A i = i ，i=1，2，3，则 A= 1. （分数：2.50）解析：E 解析 因 A 1 = 1 A 2 = 2 ，A 3 = 3 ，合并成矩阵形式有 A 1 ，A 2 ，A 3 =A 1 ， 2 ， 3 = 1 ， 2 ， 3 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 ， 2 ， 3 是可逆阵，故 A= 1 ， 2 ， 3 1 ， 2 ， 3 -1 =E42.已知二次型 （分数：2.50）解析： 解析 f 的对应矩阵 f 正定，即 A 正定 的顺序主子式大于 0，即 取公共部分，知 t 的取值范围是
