1、考研数学三-94 (1)及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设有任意两个 n 维向量组 1， m和 1， m，若存在两组不全为零的数 1， m和k1，k m。使( 1+k1) 1+( m+km) m+( 1-k1) 1+( m-km) m=0，则_（分数：4.00）A. 1， m和 1， m都线性相关B. 1， m和 1， m都线性无关C. 1+ 1， m+ m， 1- 1， m- m线性相关D. 1+ 1， m+ m， 1- 1， m- m线性无关2.设函数 f(x)在点 x=a 处可导，则函数|f(x)|在点 x=a 处不可导
2、的充分条件是_。（分数：4.00）A.f(a)=0 且 f(a)=0B.f(a)=0 且 f(a)0C.f(a)0 且 f(a)0D.f(a)0 且 f(a)03.设当事件 A 与 B 同时发生时，事件 C 也发生，则_（分数：4.00）A.P（C）P（A）+P（B）-1B.P（C）P（A）+P（B）-1C.P（C）=P（AB）D.P（C）=P（AB）4.设 0P(A)1，0P(B)1， （分数：4.00）A.B.C.D.5.下列广义积分中发散的是_（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则_（分数：4.00）A.E-A=
3、E-BB.A 与 B 有相同的特征值和特征向量C.A 与 B 都相似于一个对角矩阵D.对任意常数 t，tE-A 与 tE-B 相似7.当 x0 -时，与 等价的无穷小量是_（分数：4.00）A.B.C.D.8.设线性无关的函数 y1，y 2，y 3都是二阶非齐次线性方程 y“+p(x)y+q(x)y=f(x)的解，C 1、C 2是任意常数，则该非齐次方程通解是_（分数：4.00）A.C1y1+C2y2+y3B.C1y1+C2y2-(C1+C2)y3C.C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3D.C1y1+C2y2+(1-C1-C2y3二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.极限 （分数
4、：4.00）填空项 1:_10.若 （分数：4.00）填空项 1:_11.若四阶矩阵 A 与 B 相似，矩阵 A 的特征值为 （分数：4.00）填空项 1:_12.设 （分数：4.00）填空项 1:_13.在区间(0，1)内随机地取两个数，则两数之差的绝对值小于 （分数：4.00）填空项 1:_14.设总体 X 的概率密度为（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15. （分数：9.00）_16.求函数 （分数：9.00）_17.设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数记分块矩阵（分数：11.00）_18.试证明函数 （分数：11.00）_
5、19.已知线性方程组（分数：10.00）_20.设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值是 1，2，3；矩阵 A 的属于特征值 1，2 的特征向量分别是 1=(-1，-1，1) T， 2=(1，-2，-1) T(1) 求 A 的属于特征值 3 的特征向量；(2) 求矩阵 A（分数：11.00）_21.假设 X1，X 2，X n为来自总体 X 的简单随机样本，已知 E(Xk)=ak(k=1，2，3，4)证明：当 n 充分大时，随机变量 （分数：11.00）_22.X1，X 2，X n(n2)为来自总体 N(0， 2)的简单随机样本，其样本均值为 ，记Yi=X， （分数：11.00）_23.设随机变量
6、X 的分布函数为（分数：11.00）_考研数学三-94 (1)答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设有任意两个 n 维向量组 1， m和 1， m，若存在两组不全为零的数 1， m和k1，k m。使( 1+k1) 1+( m+km) m+( 1-k1) 1+( m-km) m=0，则_（分数：4.00）A. 1， m和 1， m都线性相关B. 1， m和 1， m都线性无关C. 1+ 1， m+ m， 1- 1， m- m线性相关 D. 1+ 1， m+ m， 1- 1， m- m线性无关解析：考点提示 利用向量组线性相关的定义易得
7、答案为(C)解题分析 由题意知， 1， 2， m和 k1，k 2，k m两组数均不全为零，将已知条件整理后得 1( 1+ 1)+ m( m+ m)+k1( 1- 1)+km( m- m)=0，由向量组的线性相关性定义知 1+ 1， m+ m， 1- 1， m- m线性相关故选 C2.设函数 f(x)在点 x=a 处可导，则函数|f(x)|在点 x=a 处不可导的充分条件是_。（分数：4.00）A.f(a)=0 且 f(a)=0B.f(a)=0 且 f(a)0 C.f(a)0 且 f(a)0D.f(a)0 且 f(a)0解析：考点提示 可导性解题分析 本题可采取举反例的方法一一排除干扰项关于 A
8、，令 f(x)=x2，a=0，则 f(a)=f(a)=0，但|f(x)|=x 2在 x=0 处可导，因此 A 不正确；关于 C令 f(x)=x-1，则 f(a)-10，f(a)-10，但|f(x)|=|x|在 x=1 处可导，所以 C 也可排除；关于 D，令 f(x)=-x，a=1，则 f(a)=-10，f(a)=-10，但|f(x)|=|x|在 x=1 也可导，即 D 也可排除关于 B 的正确性证明如下：设 f(a)=0，f(a)0，不失一般性，设 f(a)0，则*，因而在点 x=a 左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，记 (x)=|f(x)|，则*从而 (x)在 x=a 处不可导，即|f(
9、x)|在 x=a 处不可导3.设当事件 A 与 B 同时发生时，事件 C 也发生，则_（分数：4.00）A.P（C）P（A）+P（B）-1B.P（C）P（A）+P（B）-1 C.P（C）=P（AB）D.P（C）=P（AB）解析：考点提示 利用随机事件之间的关系及其概率性质由 P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)，知 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)解题分析 因为*，所以 P(AB)P(C)，又 P(AB)1，故 P(C)P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A)+P(B)-1故应选 B评注 注意以下概率不等式：1若*，则 P(A)P(B)；2P(AB)P(A)，P(B)P
10、(AB)4.设 0P(A)1，0P(B)1， （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点提示 利用随饥事件相互独立的定义及条件概率公式*，逆事件概率公式*即可解题分析 由已知*及条件概率公式得*于是有*即 P(AB)-P(AB)P(B)=P(B)P(A)-P(B)P(AB)，得 P(AB)=P(A)P(B)即事件 A 和 B 相互独立故应选 D评注 1 本题主要考查条件概率定义公式和概率的计算性质，题目条件中的 0P(A)1，0P(B)1 是为了使 P(B|A)，*，P(A|B)，*等式子有意义评注 由*可知事件 B 是否发生不影响事件 A 发生的概率，所以事件 A 和 B 相互独立评注
11、3 一般地，下列条件之一均是事件 A 和 B 相互独立的充分必要条件：1P(AB)=P(A)P(B)；2P(A|B)=P(A) (P(B)0)或 P(B|A)=P(B) (P(A)0)；3*(0P(A)1)或 P(A|B)=P(A|B (0P(B)1)；4*(0P(A)1)或*但通常用第一个命题来判断或证明 A 与 B 是否相互独立5.下列广义积分中发散的是_（分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点提示 广义积分的敛散性解题分析 由计算知*且泊松积分*故应选 A6.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则_（分数：4.00）A.E-A=E-BB.A 与
12、 B 有相同的特征值和特征向量C.A 与 B 都相似于一个对角矩阵D.对任意常数 t，tE-A 与 tE-B 相似 解析：考点提示 相似矩阵解题分析 由题设，若 A 与 B 相似，则|A-E|=|B-E|，即 A 与 B 的特征值相同若 A-E=B-E，则A-B，但是 A 与 B 相似并不能得出 A-E=BE 的结论，由此可知 A，B 不正确此外，相似矩阵 A，B 不一定可以对角化，即不一定相似于对角阵，所以 C 也可排除，关于 D 的正确性证明如下：已知 A 相似于 B，则存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B，则 P-1(tE-A)P=P-1AP=P-1AP=tE-B，从而 tE-A 与
13、tE-B 相似综上选 D7.当 x0 -时，与 等价的无穷小量是_（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点提示 等价无穷小解题分析 常用的等价无穷小(当 x0 时)有：e x-1x, ln(1+x)x，*，sinxx，, A 选项*，B 选项*C 选项*，D 选项*，故应选 B8.设线性无关的函数 y1，y 2，y 3都是二阶非齐次线性方程 y“+p(x)y+q(x)y=f(x)的解，C 1、C 2是任意常数，则该非齐次方程通解是_（分数：4.00）A.C1y1+C2y2+y3B.C1y1+C2y2-(C1+C2)y3C.C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3D.C1y1+C2y2+
14、(1-C1-C2y3 解析：考点提示 非齐次方程的通解解题分析 非齐次线性方程的通解应该是相应齐次线性方程的通解加上一个非齐次线性方程的特解c 1y1+c2y2不是相应齐次方程的通解，显然 A 不对；B 写成 c1(y1-y3)+c2(y2-y3)，y 1-y3与 y2-y3是相应齐次方程的解，因而 B 是相应齐次方程的通解，而不是非齐次方程的通解；C 写成 c1(y1+y3)+c2(y2+y3)-y3，y 1+y3与 y2+y3并非相应齐次方程的解，显然也不对；应选 D实际 D 可以写成 c1(y1-y3)+c2(y2-y3)+y3，y 1-y3与 y2-y3显然是线性无关的相应齐次方程的解
15、，y 3是非齐次方程的特解二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.极限 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：考点提示 求极限解题分析 令*，所以*10.若 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1，-4）解析：考点提示 求极限解题分析 由题设，*，则 a=1，*则 b=-411.若四阶矩阵 A 与 B 相似，矩阵 A 的特征值为 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：24）解析：考点提示 相似矩阵、特征值、行列式解题分析 由已知 A 与 B 相似则 A 与 B 的特征值相同，即 B 的特征值也为*，从而 2-1，的特征值为 2-1，3-1，4-1，5-
16、1即 1，2，3，4，因此|B-1-E|=1234=2412.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 直接用分块求逆公式即可解题分析 利用分块求逆公式*，有*评注 本题也可利用初等行变换来求逆13.在区间(0，1)内随机地取两个数，则两数之差的绝对值小于 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 随机变量的概率解题分析 设随机取到的两个数为 x，y则*的概率可以利用二维图形来求如图所示，05g1，0y1，正方形为总体的量，*表示图中阴影部分，阴影与正方形面积之比即为所求概率：*14.设总体 X 的概率密度为（分数：4.00）填空项 1:_
17、（正确答案：E(x)-1）解析：考点提示 矩估计解题分析 本题考查矩估计量的求法，由题设，*故 的矩估计量*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15. （分数：9.00）_正确答案：(由洛必达法则有从而所以)解析：考点提示 洛必达法则求极限16.求函数 （分数：9.00）_正确答案：(知 I(x)在区间e，e 2上单调增加故在 x=e2处取得最大值，其最大值为)解析：评注 本题主要考查变上限积分求导，函数最值及定积分的计算考点提示 先求出 I(x)在区问e，e 2上的最大值点，再代入 I(x)中计算定积分即可17.设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数记分块矩阵（分
18、数：11.00）_正确答案：(1) 由题设 A 非奇异，则|A|0，由公式 AA*=A*A=|A|E，则)解析：考点提示 分块矩阵的运算、矩阵可逆的充分必要条件18.试证明函数 （分数：11.00）_正确答案：(详解 1 由 ，有只需证明对于任意 x(0，+)，方括号中的值大于 0记对于任意 x(0，+)有故函数 g(x)在(0，+)上单调减少由于可见，对于任意 x(0，+)，有从而 f(x)0x(0，+)于是，函数 f(x)在(0，+)上单调增加详解 2 令 y=lnx 并在区间x，x+1对其用拉格朗日中值定理，有因此，有从而，对于任意 x(0，+)有)解析：考点提示 函数 f(x)在(0，
19、+)内单调增加的充分条件是 f(x)0x(0，+)因此只需证明：对任意 x(0，+)有 f(x)019.已知线性方程组（分数：10.00）_正确答案：(考虑方程组的增广矩阵因此，当 b-3a=0 且 2-2a=0 即 a=1，且 b=3 时，方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩相等，故 a=1，b=3时方程组有解(2) 当 a=1，b=3，有因此，原方程组的同解方程组为得导出组的基础解系为(3) 令 x3=x4=x5=0，得原方程组的特解于是原方程组的全部解为 )解析：评注 本题考查带未知参数的非齐次线性方程组解的判定和通解结构考点提示 化增广矩阵为阶梯形然后对参数进行讨论20.设 3 阶实对称矩阵
20、 A 的特征值是 1，2，3；矩阵 A 的属于特征值 1，2 的特征向量分别是 1=(-1，-1，1) T， 2=(1，-2，-1) T(1) 求 A 的属于特征值 3 的特征向量；(2) 求矩阵 A（分数：11.00）_正确答案：(1) 由题设，实对称矩阵 A 的三个特征值不同，则相应的特征向量彼此正交，设 A 的属于特征值 3 的特征向量为 3=(x1，x 2，x 3)T，则 ，写成线性方程组的形式为可解得 ，其中 C 为任意非零常数，所以 A 的属于特征值 3 的特征向量为 3=C(1，0，1) T(2) 由于实对称阵必可对角化即存在可逆矩阵 P，使 ，且由前述可令因此先求出 ，则)解析
21、：评注 在求 A 的过程中，也可由特征值、特征向量的定义来求，即由 A i=i i(i=1，2，3)，知A( 1， 2， 3)=( 1，2 2，3 3)，记 P=( 1， 2， 3)，B=( 1，2 2，3 3)，由|P|0，所以A=BP-1考点提示 矩阵运算、特征值和特征向量21.假设 X1，X 2，X n为来自总体 X 的简单随机样本，已知 E(Xk)=ak(k=1，2，3，4)证明：当 n 充分大时，随机变量 （分数：11.00）_正确答案：(依题意 X1，X 2，X n独立同分布，可知 也独立同分布，由 E(Xk)=ak(k=1，2，3，4)有，于是因此根据独立同分布的(列维-林德伯格
22、)中心极限定理，当 n 充分大时，故当 n 充分大时， 近似服从参数为 )解析：评注 本题主要考查独立同分布的(列维-林德伯格)中心极限定理的条件和结论，及简单随机样本的概念与数学期望、方差的性质考点提示 利用独立同分布的(列维-林德伯格)中心极限定理即可，关键在于计算 Zn的数学期望和方差22.X1，X 2，X n(n2)为来自总体 N(0， 2)的简单随机样本，其样本均值为 ，记Yi=X， （分数：11.00）_正确答案：(根据题意设 X1，X 2，X n是一个简单随机样本，因此 X1，X 2，X n相互独立，且与总体同分布，从而可知XiN(0， 2)， E(X i)=0， D(X i)=
23、 2， i=1，2，n() 由于() 因为 X1，X 2，X n相互独立，所以又由协方差的性质有类似地，() 因为 E(Y1+Yn)=E(Y1)+E(Yn)=0，所以若 C(Y1+Yn)2是 2的无偏估计量则 C 应满足等式由此解得 )解析：考点提示 简单随机样本的性质、无偏估计的概念23.设随机变量 X 的分布函数为（分数：11.00）_正确答案：() 当 a=1 时，X 的分布函数为则 X 的概率密度函数为此时令 ，则 ，从而参数 的矩估计量为() 对于总体 X 的简单随机样本值 X1，X 2，X n引入似然函数当 xi1(i=1，2，n)时，L()0，取对数得则令 ，可解得 ，所以 的最大似然估计量为() 当 一 2 时，X 的分布函数为则 X 的概率密度函数为对于总体 X 的简单随机样本值 X1，X 2，X n引入似然函数当 xi(i=1，2，n)时， ，且是 的增函数，因此min(x 1，x 2，x n)，从而 (0，min(x 1，x 2，x n)由于 L()是 的增函数，所以 的最大似然估计量为 )解析：考点提示 矩估计、最大似然估计
