1、考研数学三-93 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：40，分数：100.00)1. （分数：2.50）A.2B.-2C.3D.-32.设 则 （分数：2.50）A.B.C.D.3.设 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 都是 4 维列向量，且 4 阶行列式| 1 ， 2 ， 3 ， 1 |=m，| 1 ， 2 ， 2 ， 3 |=n，则 4 阶行列式| 3 ， 2 ， 1 ， 1 + 2 |等于_（分数：2.50）A.m+nB.-(m+n)C.n-mD.m-n4.线性方程组 （分数：2.50）A.若方程组无解，则必有系数行列式|A|=0B.若方程组有解，
2、则必有系数行列式|A|0C.系数行列式|A|=0则方程组必无解D.系数行列式|A|0 是方程组有唯一解的充分非必要条件5.线性方程组 （分数：2.50）A.当 a，b，c 为任意实数时，方程组均有解B.当 a=0 时，方程组无解C.当 b=0 时，方程组无解D.当 c=0 时方程组无解6.设 A，B 是 n 阶矩阵，则下列结论正确的是_ A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.7.设 A 是 n 阶方阵，X 是任意的 n 维列向量，B 是任意的 n 阶方阵，则下列说法错误的是_ A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.8.设 n 维行向量 （分数：2.50）A.B.C.D.
3、9.A，B 是 n 阶方阵，则下列公式正确的是_ A.(A2)-1=(A-1)2 B.(A+B)-1=A-1+B-1 C.(A+B)(A-B)=A2-B2 D.(kA)-1=kA-1(k0)（分数：2.50）A.B.C.D.10.已知 A，B，A+B，A -1 +B -1 均为 n 阶可逆阵，则(A -1 +B -1 ) -1 等于_ A.A+B B.A-1+B-1 C.A(A+B)-1B D.(A+B)-1（分数：2.50）A.B.C.D.11.下列命题正确的是_ A.若 AB=E，则 A 必可逆，且 A-1=B B.若 A，B 均为 n 阶可逆阵，则 A+B 必可逆 C.若 A，B 均为
4、n 阶不可逆阵，则 A-B 必不可逆 D.若 A，B 均为 n 阶不可逆阵，则 AB 必不可逆（分数：2.50）A.B.C.D.12.设 A 是 n 阶方阵，且 A 3 =O，则_ A.A 不可逆，且 E-A 不可逆 B.A 可逆，但 E+A 不可逆 C.A2-A+E 及 A2+A+E 均可逆 D.A 不可逆，且必有 A2=O（分数：2.50）A.B.C.D.13.设 A，B 是 n 阶方阵，AB=O，BO，则必有_ A.(A+B)2=A2+B2 B.|B|0 C.|B*|=0 D.|A*|=0（分数：2.50）A.B.C.D.14.A 是 n 阶方阵，A * 是 A 的伴随矩阵，则|A *
5、|=_ A.|A| B.|A-1| C.|An-1| D.|An|（分数：2.50）A.B.C.D.15.A 是 n 阶方阵，|A|=3则|(A * ) * |=_ A.3(n-1)2 B.3n2-1 C.3n2-n D.3n-1（分数：2.50）A.B.C.D.16.设 A 是 n 阶可逆方阵(n2)，A * 是 A 的伴随阵，则(A * ) * =_ A.|A|n-1A B.|A|n+1A C.|A|n-2A D.|A|n+2A（分数：2.50）A.B.C.D.17.设 A nn 是正交矩阵，则_ A.A*(A*)T=|A|E B.(A*)TA*=|A*|E C.A*(A*)T=E D.(
6、A*)TA*=-E（分数：2.50）A.B.C.D.18.设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下列等式中，不一定成立的是_ A.(A+A-1)2=A2+2AA-1+(A-1)2 B.(A+AT)2=A2+2AAT+(AT)2 C.(A+A*)2=A2+2AA*+(A*)2 D.(A+E)2=A2+2A+E（分数：2.50）A.B.C.D.19.设 A 为 3 阶非零矩阵，且满足 a ij =A ij (i，j=1，2，3)，其中 A ij 为 a ij 的代数余子式，则下列结论： A 是可逆矩阵；A 是对称矩阵；A 是不可逆矩阵；A 是正交矩阵 其中正确的个数为_（分数：2.50）A.1B.2C.3
7、D.420.设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 AB=A+B，则下列命题中： 若 A 可逆，则 B 可逆； 若 A+B 可逆，则 B 可逆； 若 B 可逆，则 A+B 可逆； A-E 恒可逆正确的个数为_（分数：2.50）A.1B.2C.3D.421.已知 （分数：2.50）A.t=6 时 P 的秩必为 1B.t=6 时 P 的秩必为 2C.t6 时 P 的秩必为 1D.t6 时 P 的秩必为 222.设 n 阶矩阵 A，B 等价，则下列说法中，不一定成立的是_ A若|A|0，则|B|0 B如果 A 可逆，则存在可逆矩阵 P，使得 PB=E C如果 A （分数：2.50）A.B.C.D.23.设
8、 （分数：2.50）A.1B.3C.1 或 3D.无法确定24.设 （分数：2.50）A.AP1P2=BB.AP2P1=BC.P1P2A=BD.P2P1A=B25.设 （分数：2.50）A.B.C.D.26.设 A 是 n 阶矩阵，则 （分数：2.50）A.B.C.D.27.设 则(P -1 ) 2016 A(Q 2011 ) -1 =_ A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.28.已知 1 ， 2 ， 3 ， 4 为 3 维非零列向量，则下列结论： 如果 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 1 ， 2 ， 3 线性相关； 如果 1 ， 2 ， 3 线性相关， 2 ， 3
9、 ， 4 线性相关，则 1 ， 2 ， 4 也线性相关； 如果 r( 1 ， 1 + 2 ， 2 + 3 )=r( 4 ， 1 + 4 ， 2 + 4 ， 3 + 4 )，则 4 ，可以由 1 ， 2 ， 3 线性表出 其中正确结论的个数为_（分数：2.50）A.0B.1C.2D.329.设 1 ， 2 ， 3 ，均为线性方程组 Ax=b 的解，下列向量中 1 - 2 ， 1 -2 2 + 3 ， （分数：2.50）A.4B.3C.2D.130.设 A 是秩为 n-1 的 n 阶矩阵， 1 ， 2 是方程组 Ax=0 的两个不同的解向量，则 Ax=0 的通解必定是_（分数：2.50）A.1+2
10、B.k1C.k(1+2)D.k(1-2)31.设 A 是 n 阶矩阵，对于齐次线性方程组()A n x=0 和()A n+1 x=0，现有命题 ()的解必是()的解； ()的解必是()的解； ()的解不一定是()的解； ()的解不一定是()的解 其中正确的是_（分数：2.50）A.B.C.D.32.n 维向量组 1 ， 2 ， s (3sn)线性无关的充要条件是_（分数：2.50）A.存在一组全为零的数 k1，k2，ks，使是 k11+k22+kss=0B.1，2，s 中任意两个向量都线性无关C.1，2，s 中任意一个向量都不能由其余向量线性表出D.存在一组不全为零的数 k1，k2，ks，使
11、k11+k22+kss033.设有两个 n 维向量组() 1 ， 2 ， s ，() 1 ， 2 ， s ，若存在两组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ， 1 ， 2 ， s ，使(k 1 + 1 ) 1 +(k 2 + 2 ) 2 +(k s + s ) s +(k 1 - 1 ) 1 +(k s - s ) s =0，则_（分数：2.50）A.1+1，s+s，1-1，s-s 线性相关B.1，s 及 1，s 均线性无关C.1，s 及 1，s 均线性相关D.1+1，s+s，1-1，s-s 线性无关34.已知向量组() 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则与()等价的向量组是_（分数
12、：2.50）A.1+2，2+3，3+4，4+1B.1-2，2-3，3-4，4-1C.1+2，2-3，3+4，4-1D.1+2，2-3，3-4，4-135.设向量组() 1 ， 2 ， s 线性无关，() 1 ， 2 ， t 线性无关，且 i (i=1，2，s)不能由() 1 ， 2 ， t 线性表出， i (i=1，2，t)不能由() 1 ， 2 ， s 线性表出，则向量组 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s _（分数：2.50）A.必线性相关B.必线性无关C.可能线性相关，也可能线性无关D.以上都不对36.已知 n 维向量的向量组 1 ， 2 ， s 线性无关，则向量组 可能线性相关
13、的是_ A 是 i (i=1，2，s)中第一个分量加到第 2 个分量得到的向量 B 是 i (i=1，2，s)中第一个分量改变成其相反数的向量 C 是 i (i=1，2，s)中第一个分量改为 0 的向量 D （分数：2.50）A.B.C.D.37.设 且 （分数：2.50）A.存在 aij(i，j=1，2，3)使得 1，2，3 线性无关B.不存在 aij(i，j=1，2，3)使得 1，2，3 线性相关C.存在 bij(i，j=1，2，3)使得 1，2，3 线性无关D.不存在 bij(i，j=1，2，3)使得 1，2，3 线性相关38.设 A 是 mn 矩阵，r(A)=rminm，n，则 A 中
14、必_（分数：2.50）A.没有等于零的 r-1 阶子式，至少有一个 r 阶子式不为零B.有不等于零的 r 阶子式，所有 r+1 阶子式全为零C.有等于零的 r 阶子式，没有不等于零的 r+1 阶子式D.任何 r 阶子式不等于零，任何 r+1 阶子式全为零39.向量组() 1 ， 2 ， s ，其秩为 r 1 ，向量组() 1 ， 2 ， s ，其秩为 r 2 ，且 i ，i=1，2，s 均可由向量组() 1 ， 2 ， s 线性表出，则必有_（分数：2.50）A.1+1，2+2，s+s 的秩为 r1+r2B.1-1，2-2，s-s 的秩为 r1-r2C.1，2，s，1，2，s 的秩为 r1+r
15、2D.1，2，s，1，2，s 的秩为 r140.已知 r(A)=r 1 ，且方程组 AX= 有解，r(B)=r 2 ，且 BY= 无解，设 A= 1 ， 2 ， n ，B= 1 ， 2 ， n ，且 r( 1 ， 2 ， n ， 1 ， 2 ， n ，)=r，则_（分数：2.50）A.r=r1+r2B.rr1+r2C.r=r1+r2+1D.rr1+r2+1考研数学三-93 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：40，分数：100.00)1. （分数：2.50）A.2B.-2 C.3D.-3解析：解析 按第 1 行展开： 其中第 1，3，4 项都没有 x 3 的
16、因子，所以只分析第 2 项 因为第 2 项 的行列式中只有主对角线上元素的乘积是 x 2 项，所以行列式展开式含 x 3 项的系数是-2 由行列式展开定理，只有 a 12 A 12 这一项有可能得到 x 3 项，又 2.设 则 （分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 由 3.设 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 都是 4 维列向量，且 4 阶行列式| 1 ， 2 ， 3 ， 1 |=m，| 1 ， 2 ， 2 ， 3 |=n，则 4 阶行列式| 3 ， 2 ， 1 ， 1 + 2 |等于_（分数：2.50）A.m+nB.-(m+n)C.n-m D.m-n解析：解析 因 4.线性方程组
17、 （分数：2.50）A.若方程组无解，则必有系数行列式|A|=0 B.若方程组有解，则必有系数行列式|A|0C.系数行列式|A|=0则方程组必无解D.系数行列式|A|0 是方程组有唯一解的充分非必要条件解析：解析 方程组无解 |A|=0(反证，若|A|0，用克拉默法则，方程组必有解)；(B)方程组有解，|A|可能为零，也可能不为零；(C)|A|=0，方程组也可能有解；(D) ，反过来，若方程组有唯一解5.线性方程组 （分数：2.50）A.当 a，b，c 为任意实数时，方程组均有解 B.当 a=0 时，方程组无解C.当 b=0 时，方程组无解D.当 c=0 时方程组无解解析：解析 因：a=0 或
18、 b=0 或 c=0 时，方程组均有解，且系数行列式 6.设 A，B 是 n 阶矩阵，则下列结论正确的是_ A B C D （分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 因 或|B|=0，故(C)正确； A不正确，例： 但 AB=O； B不正确，例： D不正确，例： 7.设 A 是 n 阶方阵，X 是任意的 n 维列向量，B 是任意的 n 阶方阵，则下列说法错误的是_ A B C D （分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 对任意的 X，有 X T AX=0，可推出 A T =-A，不能推出 A=O例 ，对任意的x 1 ，x 2 T ，均有 但 8.设 n 维行向量 （分数：2.50
19、）A.B.C. D.解析：解析 AB=(E- T )(E+2 T )=E+ T -2 T T =E+ T -2 T ( T ) 其中 故 9.A，B 是 n 阶方阵，则下列公式正确的是_ A.(A2)-1=(A-1)2 B.(A+B)-1=A-1+B-1 C.(A+B)(A-B)=A2-B2 D.(kA)-1=kA-1(k0)（分数：2.50）A. B.C.D.解析：解析 (A 2 ) -1 =(AA) -1 =A -1 A -1 =(A -1 ) 2 ；(B)不成立，例：B=-A，A+B 不可逆；(C)中，ABBA，BA-ABO；(D)中， 10.已知 A，B，A+B，A -1 +B -1
20、均为 n 阶可逆阵，则(A -1 +B -1 ) -1 等于_ A.A+B B.A-1+B-1 C.A(A+B)-1B D.(A+B)-1（分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 方法一 验算 (A -1 +B -1 )A(A+B) -1 B=(E+B -1 A)(A+B) -1 B =B -1 (B+A)(A+B) -1 B=B -1 B=E， 故(A -1 +B -1 ) -1 =A(A+B) -1 B 方法二 直接计算 (A -1 +B -1 ) -1 =B -1 (BA -1 +E) -1 =B -1 (B+A)A -1 -1 =A(A+B) -1 B11.下列命题正确的是_ A
21、.若 AB=E，则 A 必可逆，且 A-1=B B.若 A，B 均为 n 阶可逆阵，则 A+B 必可逆 C.若 A，B 均为 n 阶不可逆阵，则 A-B 必不可逆 D.若 A，B 均为 n 阶不可逆阵，则 AB 必不可逆（分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 因 A，B 不可逆，则|A|=0，|B|=0，故|AB|=|A|B|=0，AB 不可逆；(A)中 AB=E，但未指出是方阵，若 则 AB=E，但 A，B 均无逆可言；(B)中，取 B=-A，则 A+B=A-A=O 不可逆；(C)中，取12.设 A 是 n 阶方阵，且 A 3 =O，则_ A.A 不可逆，且 E-A 不可逆 B.A
22、可逆，但 E+A 不可逆 C.A2-A+E 及 A2+A+E 均可逆 D.A 不可逆，且必有 A2=O（分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 A 3 =O，有 E 3 +A 3 =(E+A)(A 2 -A+E)=E， E 3 -A 3 =(E-A)(A 2 +A+E)=E，故 A 2 -A+E 及 A 2 +A 十 E 均可逆，由以上两式知，E-A，E+A 也均可逆，故(A)，(B)不成立，同时(D)不成立，例： 有 但 13.设 A，B 是 n 阶方阵，AB=O，BO，则必有_ A.(A+B)2=A2+B2 B.|B|0 C.|B*|=0 D.|A*|=0（分数：2.50）A.B.C
23、.D. 解析：解析 AB=O，不一定有 BA=O，故(A)选项中(A+B) 2 =A 2 +B 2 ，不成立；BO，|B|可以为零，也可以不为零，|B * |也可以为零，可以不为零，故(B)，(C)不成立；BO，AB=O，AX=0 有非零解，故|A|=0，从而|A * |=|A| n-1 =014.A 是 n 阶方阵，A * 是 A 的伴随矩阵，则|A * |=_ A.|A| B.|A-1| C.|An-1| D.|An|（分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 AA * =|A|E，两边取行列式，得|A|A * |=|A| n 若|A|0，|A * |=|A| n-1 =|A n-1
24、|； 若|A|=0，则|A * |=0，故选(C)15.A 是 n 阶方阵，|A|=3则|(A * ) * |=_ A.3(n-1)2 B.3n2-1 C.3n2-n D.3n-1（分数：2.50）A. B.C.D.解析：解析 |A|=3，A 可逆，则 (A * )(A * ) * =|A * |E， 16.设 A 是 n 阶可逆方阵(n2)，A * 是 A 的伴随阵，则(A * ) * =_ A.|A|n-1A B.|A|n+1A C.|A|n-2A D.|A|n+2A（分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 AA * =|A|E，得 A * (A * ) * =|A * |E，(A
25、* ) * =|A * |(A * ) -1 ， 其中 故 17.设 A nn 是正交矩阵，则_ A.A*(A*)T=|A|E B.(A*)TA*=|A*|E C.A*(A*)T=E D.(A*)TA*=-E（分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 A 是正交阵，则有 18.设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下列等式中，不一定成立的是_ A.(A+A-1)2=A2+2AA-1+(A-1)2 B.(A+AT)2=A2+2AAT+(AT)2 C.(A+A*)2=A2+2AA*+(A*)2 D.(A+E)2=A2+2A+E（分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 由矩阵乘法的分配律可知： (
26、A+B) 2 =(A+B)A+(A+B)B=A 2 +BA+AB+B 2 ，因此，(A+B) 2 =A 2 +2AB+B 2 的充要条件是 BA=AB，也即A，B 的乘积可交换 由于 A 与 A -1 ，A 与 A * 以及 A 与 E 都是可交换的，故(A)，(C)，(D)中的等式都是成立的故选(B)19.设 A 为 3 阶非零矩阵，且满足 a ij =A ij (i，j=1，2，3)，其中 A ij 为 a ij 的代数余子式，则下列结论： A 是可逆矩阵；A 是对称矩阵；A 是不可逆矩阵；A 是正交矩阵 其中正确的个数为_（分数：2.50）A.1B.2 C.3D.4解析：解析 由 a i
27、j =A ij (i，j=1，2，3)及伴随矩阵的定义可知：A * =A T ，那么|A * |=|A T |，也即|A| 2 =|A|，即|A|(|A|-1)=0 又由于 A 为非零矩阵，不妨设 a 11 0，则 20.设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 AB=A+B，则下列命题中： 若 A 可逆，则 B 可逆； 若 A+B 可逆，则 B 可逆； 若 B 可逆，则 A+B 可逆； A-E 恒可逆正确的个数为_（分数：2.50）A.1B.2C.3D.4 解析：解析 由于(A-E)B=A，可知当 A 可逆时，|A-E|B|0，故|B|0，因此 B 可逆，可知是正确的 当 A+B 可逆时，|AB|=
28、|A|B|0，故|B|0，因此 B 可逆，可知是正确的 类似地，当 B 可逆时，A 可逆，故|AB|=|A|B|0，因此 AB 可逆，故 A+B 也可逆，可知是正确的 最后，由 AB=A+B 可知(A-E)B-A=O，也即(A-E)B-(A-E)=E，进一步有(A-E)(B-E)=E，故 A-E 恒可逆可知也是正确的 综上，4 个命题都是正确的，故选(D)21.已知 （分数：2.50）A.t=6 时 P 的秩必为 1B.t=6 时 P 的秩必为 2C.t6 时 P 的秩必为 1 D.t6 时 P 的秩必为 2解析：解析 “AB=O”是考研出题频率极高的考点，其基本结论为： 组成 B 的每一列都
29、是 A ms X=0 的解向量 对于本题， 当 t=6 时， 则(A)和(B)都错； 当 t6 时， 22.设 n 阶矩阵 A，B 等价，则下列说法中，不一定成立的是_ A若|A|0，则|B|0 B如果 A 可逆，则存在可逆矩阵 P，使得 PB=E C如果 A （分数：2.50）A. B.C.D.解析：解析 两矩阵等价的充要条件是秩相同 当 A 可逆时，有 r(A)=n，因此有 r(B)=n，也即 B 是可逆的，故 B -1 B=E，可见(B)中命题成立 23.设 （分数：2.50）A.1B.3C.1 或 3 D.无法确定解析：解析 由 r(A * )=1 得 r(A)=3，则|A|=0，即
30、24.设 （分数：2.50）A.AP1P2=BB.AP2P1=BC.P1P2A=B D.P2P1A=B解析：解析 B 由 A 第一行加到第 3 行(P 2 左乘 A)再将第 1，2 行对换(再 P 1 左乘 P 2 A)得到，故(C)成立25.设 （分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 因26.设 A 是 n 阶矩阵，则 （分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 27.设 则(P -1 ) 2016 A(Q 2011 ) -1 =_ A B C D （分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 易知 P 2 =E，故 P -1 =P，进一步有 (P -1 ) 2016 =P 2
31、016 =(P 2 ) 1008 =E 利用归纳法易证 则 故 28.已知 1 ， 2 ， 3 ， 4 为 3 维非零列向量，则下列结论： 如果 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 1 ， 2 ， 3 线性相关； 如果 1 ， 2 ， 3 线性相关， 2 ， 3 ， 4 线性相关，则 1 ， 2 ， 4 也线性相关； 如果 r( 1 ， 1 + 2 ， 2 + 3 )=r( 4 ， 1 + 4 ， 2 + 4 ， 3 + 4 )，则 4 ，可以由 1 ， 2 ， 3 线性表出 其中正确结论的个数为_（分数：2.50）A.0B.1C.2 D.3解析：解析 如果 1 ， 2 ， 3 线性
32、无关，由于 1 ， 2 ， 3 ， 4 为 4 个 3 维向量，故 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，则 4 必能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，可知是正确的 令 29.设 1 ， 2 ， 3 ，均为线性方程组 Ax=b 的解，下列向量中 1 - 2 ， 1 -2 2 + 3 ， （分数：2.50）A.4 B.3C.2D.1解析：解析 由 A 1 =A 2 =A 3 =b 可知 A( 1 - 2 )=A 1 -A 2 =b-b=0， A( 1 -2 2 + 3 )=A 1 -2A 2 +A 3 =b-2b+b=0， 30.设 A 是秩为 n-1 的 n 阶矩阵， 1 ， 2 是方程组 A
33、x=0 的两个不同的解向量，则 Ax=0 的通解必定是_（分数：2.50）A.1+2B.k1C.k(1+2)D.k(1-2) 解析：解析 因为通解中必有任意常数，显见(A)不正确由 n-r(A)=1 知 Ax=0 的基础解系由一个非零向量构成 1 ， 1 + 2 与 1 - 2 中哪一个一定是非零向量呢? 已知条件只是说 1 ， 2 是两个不同的解，那么 1 可以是零解，因而 k 1 可能不是通解如果 1 =- 2 0，则 1 ， 2 是两个不同的解，但 1 + 2 =0，即两个不同的解不能保证 1 + 2 0因此要排除(B)，(C)由于 1 2 ，必有 1 - 2 0可见(D)正确31.设
34、A 是 n 阶矩阵，对于齐次线性方程组()A n x=0 和()A n+1 x=0，现有命题 ()的解必是()的解； ()的解必是()的解； ()的解不一定是()的解； ()的解不一定是()的解 其中正确的是_（分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 当 A n x=0 时，易知 A n+1 x=A(A n x)=0，故()的解必是()的解，也即正确，错误 当 A n+1 x=0 时，假设 A n x0，则有 x，Ax，A n x 均不为零，可以证明这种情况下 x，Ax，A n x 是线性无关的由于 x，Ax，A n x 均为 x 维向量，而 n+1 个 n 维向量都是线性相关的，矛盾，
35、故假设不成立，因此必有 A n x=0可知()的解必是()的解，故正确，错误故选(B)32.n 维向量组 1 ， 2 ， s (3sn)线性无关的充要条件是_（分数：2.50）A.存在一组全为零的数 k1，k2，ks，使是 k11+k22+kss=0B.1，2，s 中任意两个向量都线性无关C.1，2，s 中任意一个向量都不能由其余向量线性表出 D.存在一组不全为零的数 k1，k2，ks，使 k11+k22+kss0解析：解析 可用反证法证明之必要性：假设有一向量，如 s 可由 1 ， 2 ， s-1 线性表出，则 1 ， 2 ， s 线性相关，这和已知矛盾，故任一向量均不能由其余向量线性表出充
36、分性：假设 1 ， 2 ， s 线性相关 33.设有两个 n 维向量组() 1 ， 2 ， s ，() 1 ， 2 ， s ，若存在两组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ， 1 ， 2 ， s ，使(k 1 + 1 ) 1 +(k 2 + 2 ) 2 +(k s + s ) s +(k 1 - 1 ) 1 +(k s - s ) s =0，则_（分数：2.50）A.1+1，s+s，1-1，s-s 线性相关 B.1，s 及 1，s 均线性无关C.1，s 及 1，s 均线性相关D.1+1，s+s，1-1，s-s 线性无关解析：解析 存在不全为 0 的 k 1 ，k 2 ，k s ， 1 ，
37、 2 ， s 使得 (k 1 + 1 ) 1 +(k 2 + 2 ) 2 +(k s + s ) s +(k 1 - 1 ) 1 +(k 2 - 2 ) 2 +(k s - s ) s =0， 整理得 k 1 ( 1 + 1 )+k 2 ( 2 + 2 )+k s ( s + s )+ 1 ( 1 - 1 )+ 2 ( 2 - 2 )+ s ( s - s )=0，从而得 1 + 1 ， s + s ， 1 - 1 ， s - s 线性相关34.已知向量组() 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则与()等价的向量组是_（分数：2.50）A.1+2，2+3，3+4，4+1B.1-2，2-3，
38、3-4，4-1C.1+2，2-3，3+4，4-1D.1+2，2-3，3-4，4-1 解析：解析 因(A) 1 + 2 -( 2 + 3 )+( 3 + 4 )-( 4 + 1 )=0； B( 1 - 2 )+( 2 - 3 )+( 3 - 4 )+( 4 - 1 )=0； C( 1 + 2 )-( 2 - 3 )-( 3 + 4 )+( 4 - 1 )=0， 故均线性相关，而 其中 35.设向量组() 1 ， 2 ， s 线性无关，() 1 ， 2 ， t 线性无关，且 i (i=1，2，s)不能由() 1 ， 2 ， t 线性表出， i (i=1，2，t)不能由() 1 ， 2 ， s 线性
39、表出，则向量组 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s _（分数：2.50）A.必线性相关B.必线性无关C.可能线性相关，也可能线性无关 D.以上都不对解析：解析 只要对两种情况举出例子即可 取 线性无关， 线性无关，且显然不能相互线性表出，但 4 个 3 维向量必定线性相关； 取 线性无关， 36.已知 n 维向量的向量组 1 ， 2 ， s 线性无关，则向量组 可能线性相关的是_ A 是 i (i=1，2，s)中第一个分量加到第 2 个分量得到的向量 B 是 i (i=1，2，s)中第一个分量改变成其相反数的向量 C 是 i (i=1，2，s)中第一个分量改为 0 的向量 D （分数：
40、2.50）A.B.C. D.解析：解析 将一个分量均变为 0，相当于减少一个分量，此时新向量组可能变为线性相关(A)，(B)属初等(行)变换不改变矩阵的秩，并未改变列向量组的线性无关性，(D)增加向量分量也不改变线性无关性37.设 且 （分数：2.50）A.存在 aij(i，j=1，2，3)使得 1，2，3 线性无关B.不存在 aij(i，j=1，2，3)使得 1，2，3 线性相关C.存在 bij(i，j=1，2，3)使得 1，2，3 线性无关 D.不存在 bij(i，j=1，2，3)使得 1，2，3 线性相关解析：解析 由 38.设 A 是 mn 矩阵，r(A)=rminm，n，则 A 中必
41、_（分数：2.50）A.没有等于零的 r-1 阶子式，至少有一个 r 阶子式不为零B.有不等于零的 r 阶子式，所有 r+1 阶子式全为零 C.有等于零的 r 阶子式，没有不等于零的 r+1 阶子式D.任何 r 阶子式不等于零，任何 r+1 阶子式全为零解析：解析 由矩阵的秩的定义知，r(A)=r，r 是 A 中最大的不等于零的子行列式的阶数，故 A 中有不等于零的(至少一个)，一阶子式，而 r 阶以上子式都等于零，这只需所有 r+1 阶子式全为零即可，故选(B)，而(A)，(C)，(D)均不成立，请读者自行说明理由39.向量组() 1 ， 2 ， s ，其秩为 r 1 ，向量组() 1 ，
42、2 ， s ，其秩为 r 2 ，且 i ，i=1，2，s 均可由向量组() 1 ， 2 ， s 线性表出，则必有_（分数：2.50）A.1+1，2+2，s+s 的秩为 r1+r2B.1-1，2-2，s-s 的秩为 r1-r2C.1，2，s，1，2，s 的秩为 r1+r2D.1，2，s，1，2，s 的秩为 r1 解析：解析 设 1 ， 2 ， s 的极大线性无关组为 1 ， 2 ， r1 ，则 i (i=1，2，s)均可由 1 ， 2 ， r1 线性表出，又 i (i=1，2，s)可由()表出，即可由 1 ， 2 ， r1 线性表出，即 1 ， 2 ， r1 也是向量组 1 ， 2 ， s ，
43、1 ， 2 ， s 的极大线性无关组，故 r( 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s )=r 1 其余选项可用反例否定40.已知 r(A)=r 1 ，且方程组 AX= 有解，r(B)=r 2 ，且 BY= 无解，设 A= 1 ， 2 ， n ，B= 1 ， 2 ， n ，且 r( 1 ， 2 ， n ， 1 ， 2 ， n ，)=r，则_（分数：2.50）A.r=r1+r2B.rr1+r2C.r=r1+r2+1D.rr1+r2+1 解析：解析 由题设 r( 1 ， 2 ， n ，)=r 1 ，r( 1 ， 2 ， n ，)=r 2 +1故 r( 1 ， 2 ， n ， 1 ， 2 ， n ，)r 1 +r 2 +1
