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    【考研类试卷】考研数学三-93及答案解析.doc

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    【考研类试卷】考研数学三-93及答案解析.doc

    1、考研数学三-93 及答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:40,分数:100.00)1. (分数:2.50)A.2B.-2C.3D.-32.设 则 (分数:2.50)A.B.C.D.3.设 1 , 2 , 3 , 1 , 2 都是 4 维列向量,且 4 阶行列式| 1 , 2 , 3 , 1 |=m,| 1 , 2 , 2 , 3 |=n,则 4 阶行列式| 3 , 2 , 1 , 1 + 2 |等于_(分数:2.50)A.m+nB.-(m+n)C.n-mD.m-n4.线性方程组 (分数:2.50)A.若方程组无解,则必有系数行列式|A|=0B.若方程组有解,

    2、则必有系数行列式|A|0C.系数行列式|A|=0则方程组必无解D.系数行列式|A|0 是方程组有唯一解的充分非必要条件5.线性方程组 (分数:2.50)A.当 a,b,c 为任意实数时,方程组均有解B.当 a=0 时,方程组无解C.当 b=0 时,方程组无解D.当 c=0 时方程组无解6.设 A,B 是 n 阶矩阵,则下列结论正确的是_ A B C D (分数:2.50)A.B.C.D.7.设 A 是 n 阶方阵,X 是任意的 n 维列向量,B 是任意的 n 阶方阵,则下列说法错误的是_ A B C D (分数:2.50)A.B.C.D.8.设 n 维行向量 (分数:2.50)A.B.C.D.

    3、9.A,B 是 n 阶方阵,则下列公式正确的是_ A.(A2)-1=(A-1)2 B.(A+B)-1=A-1+B-1 C.(A+B)(A-B)=A2-B2 D.(kA)-1=kA-1(k0)(分数:2.50)A.B.C.D.10.已知 A,B,A+B,A -1 +B -1 均为 n 阶可逆阵,则(A -1 +B -1 ) -1 等于_ A.A+B B.A-1+B-1 C.A(A+B)-1B D.(A+B)-1(分数:2.50)A.B.C.D.11.下列命题正确的是_ A.若 AB=E,则 A 必可逆,且 A-1=B B.若 A,B 均为 n 阶可逆阵,则 A+B 必可逆 C.若 A,B 均为

    4、n 阶不可逆阵,则 A-B 必不可逆 D.若 A,B 均为 n 阶不可逆阵,则 AB 必不可逆(分数:2.50)A.B.C.D.12.设 A 是 n 阶方阵,且 A 3 =O,则_ A.A 不可逆,且 E-A 不可逆 B.A 可逆,但 E+A 不可逆 C.A2-A+E 及 A2+A+E 均可逆 D.A 不可逆,且必有 A2=O(分数:2.50)A.B.C.D.13.设 A,B 是 n 阶方阵,AB=O,BO,则必有_ A.(A+B)2=A2+B2 B.|B|0 C.|B*|=0 D.|A*|=0(分数:2.50)A.B.C.D.14.A 是 n 阶方阵,A * 是 A 的伴随矩阵,则|A *

    5、|=_ A.|A| B.|A-1| C.|An-1| D.|An|(分数:2.50)A.B.C.D.15.A 是 n 阶方阵,|A|=3则|(A * ) * |=_ A.3(n-1)2 B.3n2-1 C.3n2-n D.3n-1(分数:2.50)A.B.C.D.16.设 A 是 n 阶可逆方阵(n2),A * 是 A 的伴随阵,则(A * ) * =_ A.|A|n-1A B.|A|n+1A C.|A|n-2A D.|A|n+2A(分数:2.50)A.B.C.D.17.设 A nn 是正交矩阵,则_ A.A*(A*)T=|A|E B.(A*)TA*=|A*|E C.A*(A*)T=E D.(

    6、A*)TA*=-E(分数:2.50)A.B.C.D.18.设 A 为 n 阶可逆矩阵,则下列等式中,不一定成立的是_ A.(A+A-1)2=A2+2AA-1+(A-1)2 B.(A+AT)2=A2+2AAT+(AT)2 C.(A+A*)2=A2+2AA*+(A*)2 D.(A+E)2=A2+2A+E(分数:2.50)A.B.C.D.19.设 A 为 3 阶非零矩阵,且满足 a ij =A ij (i,j=1,2,3),其中 A ij 为 a ij 的代数余子式,则下列结论: A 是可逆矩阵;A 是对称矩阵;A 是不可逆矩阵;A 是正交矩阵 其中正确的个数为_(分数:2.50)A.1B.2C.3

    7、D.420.设 A,B 均为 n 阶矩阵,且 AB=A+B,则下列命题中: 若 A 可逆,则 B 可逆; 若 A+B 可逆,则 B 可逆; 若 B 可逆,则 A+B 可逆; A-E 恒可逆正确的个数为_(分数:2.50)A.1B.2C.3D.421.已知 (分数:2.50)A.t=6 时 P 的秩必为 1B.t=6 时 P 的秩必为 2C.t6 时 P 的秩必为 1D.t6 时 P 的秩必为 222.设 n 阶矩阵 A,B 等价,则下列说法中,不一定成立的是_ A若|A|0,则|B|0 B如果 A 可逆,则存在可逆矩阵 P,使得 PB=E C如果 A (分数:2.50)A.B.C.D.23.设

    8、 (分数:2.50)A.1B.3C.1 或 3D.无法确定24.设 (分数:2.50)A.AP1P2=BB.AP2P1=BC.P1P2A=BD.P2P1A=B25.设 (分数:2.50)A.B.C.D.26.设 A 是 n 阶矩阵,则 (分数:2.50)A.B.C.D.27.设 则(P -1 ) 2016 A(Q 2011 ) -1 =_ A B C D (分数:2.50)A.B.C.D.28.已知 1 , 2 , 3 , 4 为 3 维非零列向量,则下列结论: 如果 4 不能由 1 , 2 , 3 线性表出,则 1 , 2 , 3 线性相关; 如果 1 , 2 , 3 线性相关, 2 , 3

    9、 , 4 线性相关,则 1 , 2 , 4 也线性相关; 如果 r( 1 , 1 + 2 , 2 + 3 )=r( 4 , 1 + 4 , 2 + 4 , 3 + 4 ),则 4 ,可以由 1 , 2 , 3 线性表出 其中正确结论的个数为_(分数:2.50)A.0B.1C.2D.329.设 1 , 2 , 3 ,均为线性方程组 Ax=b 的解,下列向量中 1 - 2 , 1 -2 2 + 3 , (分数:2.50)A.4B.3C.2D.130.设 A 是秩为 n-1 的 n 阶矩阵, 1 , 2 是方程组 Ax=0 的两个不同的解向量,则 Ax=0 的通解必定是_(分数:2.50)A.1+2

    10、B.k1C.k(1+2)D.k(1-2)31.设 A 是 n 阶矩阵,对于齐次线性方程组()A n x=0 和()A n+1 x=0,现有命题 ()的解必是()的解; ()的解必是()的解; ()的解不一定是()的解; ()的解不一定是()的解 其中正确的是_(分数:2.50)A.B.C.D.32.n 维向量组 1 , 2 , s (3sn)线性无关的充要条件是_(分数:2.50)A.存在一组全为零的数 k1,k2,ks,使是 k11+k22+kss=0B.1,2,s 中任意两个向量都线性无关C.1,2,s 中任意一个向量都不能由其余向量线性表出D.存在一组不全为零的数 k1,k2,ks,使

    11、k11+k22+kss033.设有两个 n 维向量组() 1 , 2 , s ,() 1 , 2 , s ,若存在两组不全为零的数 k 1 ,k 2 ,k s , 1 , 2 , s ,使(k 1 + 1 ) 1 +(k 2 + 2 ) 2 +(k s + s ) s +(k 1 - 1 ) 1 +(k s - s ) s =0,则_(分数:2.50)A.1+1,s+s,1-1,s-s 线性相关B.1,s 及 1,s 均线性无关C.1,s 及 1,s 均线性相关D.1+1,s+s,1-1,s-s 线性无关34.已知向量组() 1 , 2 , 3 , 4 线性无关,则与()等价的向量组是_(分数

    12、:2.50)A.1+2,2+3,3+4,4+1B.1-2,2-3,3-4,4-1C.1+2,2-3,3+4,4-1D.1+2,2-3,3-4,4-135.设向量组() 1 , 2 , s 线性无关,() 1 , 2 , t 线性无关,且 i (i=1,2,s)不能由() 1 , 2 , t 线性表出, i (i=1,2,t)不能由() 1 , 2 , s 线性表出,则向量组 1 , 2 , s , 1 , 2 , s _(分数:2.50)A.必线性相关B.必线性无关C.可能线性相关,也可能线性无关D.以上都不对36.已知 n 维向量的向量组 1 , 2 , s 线性无关,则向量组 可能线性相关

    13、的是_ A 是 i (i=1,2,s)中第一个分量加到第 2 个分量得到的向量 B 是 i (i=1,2,s)中第一个分量改变成其相反数的向量 C 是 i (i=1,2,s)中第一个分量改为 0 的向量 D (分数:2.50)A.B.C.D.37.设 且 (分数:2.50)A.存在 aij(i,j=1,2,3)使得 1,2,3 线性无关B.不存在 aij(i,j=1,2,3)使得 1,2,3 线性相关C.存在 bij(i,j=1,2,3)使得 1,2,3 线性无关D.不存在 bij(i,j=1,2,3)使得 1,2,3 线性相关38.设 A 是 mn 矩阵,r(A)=rminm,n,则 A 中

    14、必_(分数:2.50)A.没有等于零的 r-1 阶子式,至少有一个 r 阶子式不为零B.有不等于零的 r 阶子式,所有 r+1 阶子式全为零C.有等于零的 r 阶子式,没有不等于零的 r+1 阶子式D.任何 r 阶子式不等于零,任何 r+1 阶子式全为零39.向量组() 1 , 2 , s ,其秩为 r 1 ,向量组() 1 , 2 , s ,其秩为 r 2 ,且 i ,i=1,2,s 均可由向量组() 1 , 2 , s 线性表出,则必有_(分数:2.50)A.1+1,2+2,s+s 的秩为 r1+r2B.1-1,2-2,s-s 的秩为 r1-r2C.1,2,s,1,2,s 的秩为 r1+r

    15、2D.1,2,s,1,2,s 的秩为 r140.已知 r(A)=r 1 ,且方程组 AX= 有解,r(B)=r 2 ,且 BY= 无解,设 A= 1 , 2 , n ,B= 1 , 2 , n ,且 r( 1 , 2 , n , 1 , 2 , n ,)=r,则_(分数:2.50)A.r=r1+r2B.rr1+r2C.r=r1+r2+1D.rr1+r2+1考研数学三-93 答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:40,分数:100.00)1. (分数:2.50)A.2B.-2 C.3D.-3解析:解析 按第 1 行展开: 其中第 1,3,4 项都没有 x 3 的

    16、因子,所以只分析第 2 项 因为第 2 项 的行列式中只有主对角线上元素的乘积是 x 2 项,所以行列式展开式含 x 3 项的系数是-2 由行列式展开定理,只有 a 12 A 12 这一项有可能得到 x 3 项,又 2.设 则 (分数:2.50)A.B. C.D.解析:解析 由 3.设 1 , 2 , 3 , 1 , 2 都是 4 维列向量,且 4 阶行列式| 1 , 2 , 3 , 1 |=m,| 1 , 2 , 2 , 3 |=n,则 4 阶行列式| 3 , 2 , 1 , 1 + 2 |等于_(分数:2.50)A.m+nB.-(m+n)C.n-m D.m-n解析:解析 因 4.线性方程组

    17、 (分数:2.50)A.若方程组无解,则必有系数行列式|A|=0 B.若方程组有解,则必有系数行列式|A|0C.系数行列式|A|=0则方程组必无解D.系数行列式|A|0 是方程组有唯一解的充分非必要条件解析:解析 方程组无解 |A|=0(反证,若|A|0,用克拉默法则,方程组必有解);(B)方程组有解,|A|可能为零,也可能不为零;(C)|A|=0,方程组也可能有解;(D) ,反过来,若方程组有唯一解5.线性方程组 (分数:2.50)A.当 a,b,c 为任意实数时,方程组均有解 B.当 a=0 时,方程组无解C.当 b=0 时,方程组无解D.当 c=0 时方程组无解解析:解析 因:a=0 或

    18、 b=0 或 c=0 时,方程组均有解,且系数行列式 6.设 A,B 是 n 阶矩阵,则下列结论正确的是_ A B C D (分数:2.50)A.B.C. D.解析:解析 因 或|B|=0,故(C)正确; A不正确,例: 但 AB=O; B不正确,例: D不正确,例: 7.设 A 是 n 阶方阵,X 是任意的 n 维列向量,B 是任意的 n 阶方阵,则下列说法错误的是_ A B C D (分数:2.50)A.B.C.D. 解析:解析 对任意的 X,有 X T AX=0,可推出 A T =-A,不能推出 A=O例 ,对任意的x 1 ,x 2 T ,均有 但 8.设 n 维行向量 (分数:2.50

    19、)A.B.C. D.解析:解析 AB=(E- T )(E+2 T )=E+ T -2 T T =E+ T -2 T ( T ) 其中 故 9.A,B 是 n 阶方阵,则下列公式正确的是_ A.(A2)-1=(A-1)2 B.(A+B)-1=A-1+B-1 C.(A+B)(A-B)=A2-B2 D.(kA)-1=kA-1(k0)(分数:2.50)A. B.C.D.解析:解析 (A 2 ) -1 =(AA) -1 =A -1 A -1 =(A -1 ) 2 ;(B)不成立,例:B=-A,A+B 不可逆;(C)中,ABBA,BA-ABO;(D)中, 10.已知 A,B,A+B,A -1 +B -1

    20、均为 n 阶可逆阵,则(A -1 +B -1 ) -1 等于_ A.A+B B.A-1+B-1 C.A(A+B)-1B D.(A+B)-1(分数:2.50)A.B.C. D.解析:解析 方法一 验算 (A -1 +B -1 )A(A+B) -1 B=(E+B -1 A)(A+B) -1 B =B -1 (B+A)(A+B) -1 B=B -1 B=E, 故(A -1 +B -1 ) -1 =A(A+B) -1 B 方法二 直接计算 (A -1 +B -1 ) -1 =B -1 (BA -1 +E) -1 =B -1 (B+A)A -1 -1 =A(A+B) -1 B11.下列命题正确的是_ A

    21、.若 AB=E,则 A 必可逆,且 A-1=B B.若 A,B 均为 n 阶可逆阵,则 A+B 必可逆 C.若 A,B 均为 n 阶不可逆阵,则 A-B 必不可逆 D.若 A,B 均为 n 阶不可逆阵,则 AB 必不可逆(分数:2.50)A.B.C.D. 解析:解析 因 A,B 不可逆,则|A|=0,|B|=0,故|AB|=|A|B|=0,AB 不可逆;(A)中 AB=E,但未指出是方阵,若 则 AB=E,但 A,B 均无逆可言;(B)中,取 B=-A,则 A+B=A-A=O 不可逆;(C)中,取12.设 A 是 n 阶方阵,且 A 3 =O,则_ A.A 不可逆,且 E-A 不可逆 B.A

    22、可逆,但 E+A 不可逆 C.A2-A+E 及 A2+A+E 均可逆 D.A 不可逆,且必有 A2=O(分数:2.50)A.B.C. D.解析:解析 A 3 =O,有 E 3 +A 3 =(E+A)(A 2 -A+E)=E, E 3 -A 3 =(E-A)(A 2 +A+E)=E,故 A 2 -A+E 及 A 2 +A 十 E 均可逆,由以上两式知,E-A,E+A 也均可逆,故(A),(B)不成立,同时(D)不成立,例: 有 但 13.设 A,B 是 n 阶方阵,AB=O,BO,则必有_ A.(A+B)2=A2+B2 B.|B|0 C.|B*|=0 D.|A*|=0(分数:2.50)A.B.C

    23、.D. 解析:解析 AB=O,不一定有 BA=O,故(A)选项中(A+B) 2 =A 2 +B 2 ,不成立;BO,|B|可以为零,也可以不为零,|B * |也可以为零,可以不为零,故(B),(C)不成立;BO,AB=O,AX=0 有非零解,故|A|=0,从而|A * |=|A| n-1 =014.A 是 n 阶方阵,A * 是 A 的伴随矩阵,则|A * |=_ A.|A| B.|A-1| C.|An-1| D.|An|(分数:2.50)A.B.C. D.解析:解析 AA * =|A|E,两边取行列式,得|A|A * |=|A| n 若|A|0,|A * |=|A| n-1 =|A n-1

    24、|; 若|A|=0,则|A * |=0,故选(C)15.A 是 n 阶方阵,|A|=3则|(A * ) * |=_ A.3(n-1)2 B.3n2-1 C.3n2-n D.3n-1(分数:2.50)A. B.C.D.解析:解析 |A|=3,A 可逆,则 (A * )(A * ) * =|A * |E, 16.设 A 是 n 阶可逆方阵(n2),A * 是 A 的伴随阵,则(A * ) * =_ A.|A|n-1A B.|A|n+1A C.|A|n-2A D.|A|n+2A(分数:2.50)A.B.C. D.解析:解析 AA * =|A|E,得 A * (A * ) * =|A * |E,(A

    25、* ) * =|A * |(A * ) -1 , 其中 故 17.设 A nn 是正交矩阵,则_ A.A*(A*)T=|A|E B.(A*)TA*=|A*|E C.A*(A*)T=E D.(A*)TA*=-E(分数:2.50)A.B.C. D.解析:解析 A 是正交阵,则有 18.设 A 为 n 阶可逆矩阵,则下列等式中,不一定成立的是_ A.(A+A-1)2=A2+2AA-1+(A-1)2 B.(A+AT)2=A2+2AAT+(AT)2 C.(A+A*)2=A2+2AA*+(A*)2 D.(A+E)2=A2+2A+E(分数:2.50)A.B. C.D.解析:解析 由矩阵乘法的分配律可知: (

    26、A+B) 2 =(A+B)A+(A+B)B=A 2 +BA+AB+B 2 ,因此,(A+B) 2 =A 2 +2AB+B 2 的充要条件是 BA=AB,也即A,B 的乘积可交换 由于 A 与 A -1 ,A 与 A * 以及 A 与 E 都是可交换的,故(A),(C),(D)中的等式都是成立的故选(B)19.设 A 为 3 阶非零矩阵,且满足 a ij =A ij (i,j=1,2,3),其中 A ij 为 a ij 的代数余子式,则下列结论: A 是可逆矩阵;A 是对称矩阵;A 是不可逆矩阵;A 是正交矩阵 其中正确的个数为_(分数:2.50)A.1B.2 C.3D.4解析:解析 由 a i

    27、j =A ij (i,j=1,2,3)及伴随矩阵的定义可知:A * =A T ,那么|A * |=|A T |,也即|A| 2 =|A|,即|A|(|A|-1)=0 又由于 A 为非零矩阵,不妨设 a 11 0,则 20.设 A,B 均为 n 阶矩阵,且 AB=A+B,则下列命题中: 若 A 可逆,则 B 可逆; 若 A+B 可逆,则 B 可逆; 若 B 可逆,则 A+B 可逆; A-E 恒可逆正确的个数为_(分数:2.50)A.1B.2C.3D.4 解析:解析 由于(A-E)B=A,可知当 A 可逆时,|A-E|B|0,故|B|0,因此 B 可逆,可知是正确的 当 A+B 可逆时,|AB|=

    28、|A|B|0,故|B|0,因此 B 可逆,可知是正确的 类似地,当 B 可逆时,A 可逆,故|AB|=|A|B|0,因此 AB 可逆,故 A+B 也可逆,可知是正确的 最后,由 AB=A+B 可知(A-E)B-A=O,也即(A-E)B-(A-E)=E,进一步有(A-E)(B-E)=E,故 A-E 恒可逆可知也是正确的 综上,4 个命题都是正确的,故选(D)21.已知 (分数:2.50)A.t=6 时 P 的秩必为 1B.t=6 时 P 的秩必为 2C.t6 时 P 的秩必为 1 D.t6 时 P 的秩必为 2解析:解析 “AB=O”是考研出题频率极高的考点,其基本结论为: 组成 B 的每一列都

    29、是 A ms X=0 的解向量 对于本题, 当 t=6 时, 则(A)和(B)都错; 当 t6 时, 22.设 n 阶矩阵 A,B 等价,则下列说法中,不一定成立的是_ A若|A|0,则|B|0 B如果 A 可逆,则存在可逆矩阵 P,使得 PB=E C如果 A (分数:2.50)A. B.C.D.解析:解析 两矩阵等价的充要条件是秩相同 当 A 可逆时,有 r(A)=n,因此有 r(B)=n,也即 B 是可逆的,故 B -1 B=E,可见(B)中命题成立 23.设 (分数:2.50)A.1B.3C.1 或 3 D.无法确定解析:解析 由 r(A * )=1 得 r(A)=3,则|A|=0,即

    30、24.设 (分数:2.50)A.AP1P2=BB.AP2P1=BC.P1P2A=B D.P2P1A=B解析:解析 B 由 A 第一行加到第 3 行(P 2 左乘 A)再将第 1,2 行对换(再 P 1 左乘 P 2 A)得到,故(C)成立25.设 (分数:2.50)A.B.C. D.解析:解析 因26.设 A 是 n 阶矩阵,则 (分数:2.50)A.B. C.D.解析:解析 27.设 则(P -1 ) 2016 A(Q 2011 ) -1 =_ A B C D (分数:2.50)A.B. C.D.解析:解析 易知 P 2 =E,故 P -1 =P,进一步有 (P -1 ) 2016 =P 2

    31、016 =(P 2 ) 1008 =E 利用归纳法易证 则 故 28.已知 1 , 2 , 3 , 4 为 3 维非零列向量,则下列结论: 如果 4 不能由 1 , 2 , 3 线性表出,则 1 , 2 , 3 线性相关; 如果 1 , 2 , 3 线性相关, 2 , 3 , 4 线性相关,则 1 , 2 , 4 也线性相关; 如果 r( 1 , 1 + 2 , 2 + 3 )=r( 4 , 1 + 4 , 2 + 4 , 3 + 4 ),则 4 ,可以由 1 , 2 , 3 线性表出 其中正确结论的个数为_(分数:2.50)A.0B.1C.2 D.3解析:解析 如果 1 , 2 , 3 线性

    32、无关,由于 1 , 2 , 3 , 4 为 4 个 3 维向量,故 1 , 2 , 3 , 4 线性相关,则 4 必能由 1 , 2 , 3 线性表出,可知是正确的 令 29.设 1 , 2 , 3 ,均为线性方程组 Ax=b 的解,下列向量中 1 - 2 , 1 -2 2 + 3 , (分数:2.50)A.4 B.3C.2D.1解析:解析 由 A 1 =A 2 =A 3 =b 可知 A( 1 - 2 )=A 1 -A 2 =b-b=0, A( 1 -2 2 + 3 )=A 1 -2A 2 +A 3 =b-2b+b=0, 30.设 A 是秩为 n-1 的 n 阶矩阵, 1 , 2 是方程组 A

    33、x=0 的两个不同的解向量,则 Ax=0 的通解必定是_(分数:2.50)A.1+2B.k1C.k(1+2)D.k(1-2) 解析:解析 因为通解中必有任意常数,显见(A)不正确由 n-r(A)=1 知 Ax=0 的基础解系由一个非零向量构成 1 , 1 + 2 与 1 - 2 中哪一个一定是非零向量呢? 已知条件只是说 1 , 2 是两个不同的解,那么 1 可以是零解,因而 k 1 可能不是通解如果 1 =- 2 0,则 1 , 2 是两个不同的解,但 1 + 2 =0,即两个不同的解不能保证 1 + 2 0因此要排除(B),(C)由于 1 2 ,必有 1 - 2 0可见(D)正确31.设

    34、A 是 n 阶矩阵,对于齐次线性方程组()A n x=0 和()A n+1 x=0,现有命题 ()的解必是()的解; ()的解必是()的解; ()的解不一定是()的解; ()的解不一定是()的解 其中正确的是_(分数:2.50)A.B. C.D.解析:解析 当 A n x=0 时,易知 A n+1 x=A(A n x)=0,故()的解必是()的解,也即正确,错误 当 A n+1 x=0 时,假设 A n x0,则有 x,Ax,A n x 均不为零,可以证明这种情况下 x,Ax,A n x 是线性无关的由于 x,Ax,A n x 均为 x 维向量,而 n+1 个 n 维向量都是线性相关的,矛盾,

    35、故假设不成立,因此必有 A n x=0可知()的解必是()的解,故正确,错误故选(B)32.n 维向量组 1 , 2 , s (3sn)线性无关的充要条件是_(分数:2.50)A.存在一组全为零的数 k1,k2,ks,使是 k11+k22+kss=0B.1,2,s 中任意两个向量都线性无关C.1,2,s 中任意一个向量都不能由其余向量线性表出 D.存在一组不全为零的数 k1,k2,ks,使 k11+k22+kss0解析:解析 可用反证法证明之必要性:假设有一向量,如 s 可由 1 , 2 , s-1 线性表出,则 1 , 2 , s 线性相关,这和已知矛盾,故任一向量均不能由其余向量线性表出充

    36、分性:假设 1 , 2 , s 线性相关 33.设有两个 n 维向量组() 1 , 2 , s ,() 1 , 2 , s ,若存在两组不全为零的数 k 1 ,k 2 ,k s , 1 , 2 , s ,使(k 1 + 1 ) 1 +(k 2 + 2 ) 2 +(k s + s ) s +(k 1 - 1 ) 1 +(k s - s ) s =0,则_(分数:2.50)A.1+1,s+s,1-1,s-s 线性相关 B.1,s 及 1,s 均线性无关C.1,s 及 1,s 均线性相关D.1+1,s+s,1-1,s-s 线性无关解析:解析 存在不全为 0 的 k 1 ,k 2 ,k s , 1 ,

    37、 2 , s 使得 (k 1 + 1 ) 1 +(k 2 + 2 ) 2 +(k s + s ) s +(k 1 - 1 ) 1 +(k 2 - 2 ) 2 +(k s - s ) s =0, 整理得 k 1 ( 1 + 1 )+k 2 ( 2 + 2 )+k s ( s + s )+ 1 ( 1 - 1 )+ 2 ( 2 - 2 )+ s ( s - s )=0,从而得 1 + 1 , s + s , 1 - 1 , s - s 线性相关34.已知向量组() 1 , 2 , 3 , 4 线性无关,则与()等价的向量组是_(分数:2.50)A.1+2,2+3,3+4,4+1B.1-2,2-3,

    38、3-4,4-1C.1+2,2-3,3+4,4-1D.1+2,2-3,3-4,4-1 解析:解析 因(A) 1 + 2 -( 2 + 3 )+( 3 + 4 )-( 4 + 1 )=0; B( 1 - 2 )+( 2 - 3 )+( 3 - 4 )+( 4 - 1 )=0; C( 1 + 2 )-( 2 - 3 )-( 3 + 4 )+( 4 - 1 )=0, 故均线性相关,而 其中 35.设向量组() 1 , 2 , s 线性无关,() 1 , 2 , t 线性无关,且 i (i=1,2,s)不能由() 1 , 2 , t 线性表出, i (i=1,2,t)不能由() 1 , 2 , s 线性

    39、表出,则向量组 1 , 2 , s , 1 , 2 , s _(分数:2.50)A.必线性相关B.必线性无关C.可能线性相关,也可能线性无关 D.以上都不对解析:解析 只要对两种情况举出例子即可 取 线性无关, 线性无关,且显然不能相互线性表出,但 4 个 3 维向量必定线性相关; 取 线性无关, 36.已知 n 维向量的向量组 1 , 2 , s 线性无关,则向量组 可能线性相关的是_ A 是 i (i=1,2,s)中第一个分量加到第 2 个分量得到的向量 B 是 i (i=1,2,s)中第一个分量改变成其相反数的向量 C 是 i (i=1,2,s)中第一个分量改为 0 的向量 D (分数:

    40、2.50)A.B.C. D.解析:解析 将一个分量均变为 0,相当于减少一个分量,此时新向量组可能变为线性相关(A),(B)属初等(行)变换不改变矩阵的秩,并未改变列向量组的线性无关性,(D)增加向量分量也不改变线性无关性37.设 且 (分数:2.50)A.存在 aij(i,j=1,2,3)使得 1,2,3 线性无关B.不存在 aij(i,j=1,2,3)使得 1,2,3 线性相关C.存在 bij(i,j=1,2,3)使得 1,2,3 线性无关 D.不存在 bij(i,j=1,2,3)使得 1,2,3 线性相关解析:解析 由 38.设 A 是 mn 矩阵,r(A)=rminm,n,则 A 中必

    41、_(分数:2.50)A.没有等于零的 r-1 阶子式,至少有一个 r 阶子式不为零B.有不等于零的 r 阶子式,所有 r+1 阶子式全为零 C.有等于零的 r 阶子式,没有不等于零的 r+1 阶子式D.任何 r 阶子式不等于零,任何 r+1 阶子式全为零解析:解析 由矩阵的秩的定义知,r(A)=r,r 是 A 中最大的不等于零的子行列式的阶数,故 A 中有不等于零的(至少一个),一阶子式,而 r 阶以上子式都等于零,这只需所有 r+1 阶子式全为零即可,故选(B),而(A),(C),(D)均不成立,请读者自行说明理由39.向量组() 1 , 2 , s ,其秩为 r 1 ,向量组() 1 ,

    42、2 , s ,其秩为 r 2 ,且 i ,i=1,2,s 均可由向量组() 1 , 2 , s 线性表出,则必有_(分数:2.50)A.1+1,2+2,s+s 的秩为 r1+r2B.1-1,2-2,s-s 的秩为 r1-r2C.1,2,s,1,2,s 的秩为 r1+r2D.1,2,s,1,2,s 的秩为 r1 解析:解析 设 1 , 2 , s 的极大线性无关组为 1 , 2 , r1 ,则 i (i=1,2,s)均可由 1 , 2 , r1 线性表出,又 i (i=1,2,s)可由()表出,即可由 1 , 2 , r1 线性表出,即 1 , 2 , r1 也是向量组 1 , 2 , s ,

    43、1 , 2 , s 的极大线性无关组,故 r( 1 , 2 , s , 1 , 2 , s )=r 1 其余选项可用反例否定40.已知 r(A)=r 1 ,且方程组 AX= 有解,r(B)=r 2 ,且 BY= 无解,设 A= 1 , 2 , n ,B= 1 , 2 , n ,且 r( 1 , 2 , n , 1 , 2 , n ,)=r,则_(分数:2.50)A.r=r1+r2B.rr1+r2C.r=r1+r2+1D.rr1+r2+1 解析:解析 由题设 r( 1 , 2 , n ,)=r 1 ,r( 1 , 2 , n ,)=r 2 +1故 r( 1 , 2 , n , 1 , 2 , n ,)r 1 +r 2 +1


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