1、考研数学三-89 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：20，分数：40.00)1.若 （分数：2.00）A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.敛散性不确定2.已知级数 绝对收敛，级数 条件收敛，则_ A B C13 D （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 则级数_ A 都收敛 B 都发散 C 收敛， 发散 D 发散， （分数：2.00）A.B.C.D.4.下列命题中正确的是_ A若 u n v n (n=1，2，3，)，则 B若 u n v n (n=1，2，3，)，且 收敛，则 收敛 C若 D若 w n u n v n (n=1，2，3，)，且 （分
2、数：2.00）A.B.C.D.5.下列命题中错误的是_ A B C 不一定发散 D （分数：2.00）A.B.C.D.6.对于级数 其中 u n 0(n=12，)，则下列命题正确的是_ A若 收敛，则必为条件收敛 B C D （分数：2.00）A.B.C.D.7.下列结论正确的是_ A 在收敛域上必绝对收敛 B 的收敛半径为 R，则 R 一定是正常数 C若 的收敛半径为 R，则其和函数 S(x)在(-R，R)内必可微 D （分数：2.00）A.B.C.D.8.设 则下列级数中一定收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.9.设 a0 为常数，则 （分数：2.00）A.绝对收
3、敛B.条件收敛C.发散D.敛散性与 a 有关10.级数 （分数：2.00）A.收敛B.发散C.条件收敛D.绝对收敛11.当|x|1 时，级数 的和函数是_ Aln(1-x) B （分数：2.00）A.B.C.D.12.设 则级数_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.13.函数项级数 （分数：2.00）A.(-1，1)B.(-1，0)C.-1，0D.-1，0)14.函数 展开为(x-1)的幂级数，则其收敛半径 R 等于_ A （分数：2.00）A.B.C.D.15.已知级数(1) 和级数(2) （分数：2.00）A.级数(1)收敛，级数(2)发散B.级数(1)发散，级数(2)收敛
4、C.两级数都收敛D.两级数都发散16.当级数 都收敛时，级数 （分数：2.00）A.一定条件收敛B.一定绝对收敛C.一定发散D.可能收敛，也可能发散17.级数 （分数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性与 a 有关18.若正项级数 收敛，级数 发散，则_ A 必收敛 B 必发散 C 必收敛 D （分数：2.00）A.B.C.D.19.设数列a n 单调减少， 无界，则幂级数 （分数：2.00）A.(-1，1B.-1，1)C.0，2)D.(0，220.设 u n 0(n=1，2，)，且 则级数 （分数：2.00）A.发散B.绝对收敛C.条件收敛D.敛散性由所给条件无法确定二、填
5、空题(总题数：17，分数：34.00)21.设 a 为正常数，则级数 （分数：2.00）22.设 a 为常数，若级数 收敛，则 （分数：2.00）23.级数 （分数：2.00）24.级数 （分数：2.00）25.函数 （分数：2.00）26.常数项级数 （分数：2.00）27.幂级数 （分数：2.00）28.函数 f(x)=ln(3+x)展开为 x 的幂级数为 1 （分数：2.00）29.幂级数 （分数：2.00）30.设 收敛，且 则 （分数：2.00）31.正项级数 （分数：2.00）32.幂级数 （分数：2.00）33.e x 展开成(x-3)的幂级数为 1 （分数：2.00）34.级数
6、 （分数：2.00）35.若 （分数：2.00）36.函数 f(x)=cosx 展开成 （分数：2.00）37.幂级数 （分数：2.00）三、解答题(总题数：3，分数：26.00)38. （分数：8.00）_39. （分数：9.00）_判别下列级数的敛散性(k1，a1)：（分数：9.00）(1). （分数：3.00）_(2). （分数：3.00）_(3). （分数：3.00）_考研数学三-89 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：20，分数：40.00)1.若 （分数：2.00）A.条件收敛B.绝对收敛 C.发散D.敛散性不确定解析：解析 由 2.已知级数
7、绝对收敛，级数 条件收敛，则_ A B C13 D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 设 则当 n时， 的敛散性相同，故 而由 条件收敛可知 03-1，即 23 若使两个结论都成立，只有 3.设 则级数_ A 都收敛 B 都发散 C 收敛， 发散 D 发散， （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 因为 所以级数 是满足莱布尼茨条件的交错级数，因此 收敛，因为在 n时与 是等价无穷小，且调和级数 发散，所以4.下列命题中正确的是_ A若 u n v n (n=1，2，3，)，则 B若 u n v n (n=1，2，3，)，且 收敛，则 收敛 C若 D若 w n u n v
8、 n (n=1，2，3，)，且 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 w n u n v n ，所以 0u n -w n v n -w n 又因为 收敛，所以 收敛，因而 收敛故 收敛 因为只有当级数收敛时，才能比较其和的大小，所以不能选(A)；选项(B)，(C)将正项级数的结论用到了一般级数上，显然不对例如取级数 可以说明(B)不对，取级数 5.下列命题中错误的是_ A B C 不一定发散 D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 由级数收敛的性质知命题(A)正确 由反证法可知命题(B)正确 若设 这两个级数都发散，但是 6.对于级数 其中 u n 0(n=12，)
9、，则下列命题正确的是_ A若 收敛，则必为条件收敛 B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 因|(-1) n-1 u n |=|u n |=u n ，由 收敛知 绝对收敛，命题(B)正确(A)错误：如 (C)，(D)错误：如 7.下列结论正确的是_ A 在收敛域上必绝对收敛 B 的收敛半径为 R，则 R 一定是正常数 C若 的收敛半径为 R，则其和函数 S(x)在(-R，R)内必可微 D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 由幂级数 在收敛域(-R，R)上的和函数性质可知，命题(C)正确 A错误：如 收敛域为(-1,1，但在 x=1 处， 条件收敛 B错误：因为
10、可能 R=0 或 R=+ D错误：由幂级数的定义可知 8.设 则下列级数中一定收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 因 有 而 收敛，由正项级数的比较审敛法知 收敛，故 绝对收敛从而收敛，故选(D) A，(C)错：如 (B)错：如 9.设 a0 为常数，则 （分数：2.00）A.绝对收敛 B.条件收敛C.发散D.敛散性与 a 有关解析：解析 因 收敛，因此 收敛，10.级数 （分数：2.00）A.收敛B.发散C.条件收敛 D.绝对收敛解析：解析 设 对于 因 又 发散，故由比较审敛法的极限形式可知 发散 而 为交错级数因 |u n |(或因当 x0 时，
11、)，因此|u n |即 是单调递减数列，且极限显然为 0由莱布尼茨定理知， 收敛，故 11.当|x|1 时，级数 的和函数是_ Aln(1-x) B （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 设 则 S(0)=0 因 故 12.设 则级数_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 为交错级数， 为正项级数 因 且 则由莱布尼茨定理， 收敛 因 而 发散，故 13.函数项级数 （分数：2.00）A.(-1，1)B.(-1，0)C.-1，0D.-1，0) 解析：解析 因 令 原级数为 而 故 又因 时， 发散而 时，收敛，从而 的收敛域为 又因 即 所以-1，0)为原
12、级数14.函数 展开为(x-1)的幂级数，则其收敛半径 R 等于_ A （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 因 其中-1x1，故 15.已知级数(1) 和级数(2) （分数：2.00）A.级数(1)收敛，级数(2)发散B.级数(1)发散，级数(2)收敛C.两级数都收敛D.两级数都发散 解析：解析 设 则u 2n 为单调增数列，故 从而级数(1)发散，由级数 16.当级数 都收敛时，级数 （分数：2.00）A.一定条件收敛B.一定绝对收敛 C.一定发散D.可能收敛，也可能发散解析：解析 因级数 都为正项级数，且收敛，又 由比较审敛法， 收敛，即 17.级数 （分数：2.00）A.绝对
13、收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性与 a 有关 解析：解析 当 a=0 时， 为交错级数，当 n3 时满足莱布尼茨定理，所以收敛当 a=1 时，的一般项18.若正项级数 收敛，级数 发散，则_ A 必收敛 B 必发散 C 必收敛 D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 级数 当 nN 时， 由比较审敛法，19.设数列a n 单调减少， 无界，则幂级数 （分数：2.00）A.(-1，1B.-1，1)C.0，2) D.(0，2解析：解析 本题主要考查交错级数的莱布尼茨判别法和幂级数的收敛区间、收敛域的概念，是一道综合了多个知识点的考题 因数列a n 单调减少，且 故根据莱布尼茨判别法知
14、，交错级数 收敛，即幂级数 在x=0 处条件收敛； 又 无界，所以幂级数 在 x=2 处发散； 综上，幂级数 20.设 u n 0(n=1，2，)，且 则级数 （分数：2.00）A.发散B.绝对收敛C.条件收敛 D.敛散性由所给条件无法确定解析：解析 由 充分大时 且 所考查级数为交错级数但不能保证 的单调性，不满足莱布尼茨定理的条件，于是按定义考查部分和 故原级数收敛再考查取绝对值后的级数 注意 级数 发散，所以 二、填空题(总题数：17，分数：34.00)21.设 a 为正常数，则级数 （分数：2.00）解析：发散 解析 方法一 当 n1 时， 原级数为一个正项级数 因 发散，所以 发散
15、方法二 因 发散， 收敛，所以 22.设 a 为常数，若级数 收敛，则 （分数：2.00）解析：a解析 因级数 收敛，所以 从而23.级数 （分数：2.00）解析：解析 因级数 为等比级数，其公比 q 满足 故 收敛且和为24.级数 （分数：2.00）解析：(-1，1 解析 因 为不缺项的 x 的幂级数，又因 故 R=1 在 x=1 处， 收敛；在 x=-1 处， 发散 故 25.函数 （分数：2.00）解析： 解析 因 故 26.常数项级数 （分数：2.00）解析：发散 解析 将已给级数每相邻二项加括号得新级数 因 收敛， 发散，则级数 27.幂级数 （分数：2.00）解析：解析 记 因 故
16、28.函数 f(x)=ln(3+x)展开为 x 的幂级数为 1 （分数：2.00）解析： 解析 因 故 29.幂级数 （分数：2.00）解析：1，3) 解析 令 y=x-2，则 为不缺项级数， 故 R=1当 y=1 时， 发散(p 级数， )，当 y=-1 时， 为收敛的交错级数因此 的收敛域为-1，1) 可知-1x-21，即 1x3 时，原级数 30.设 收敛，且 则 （分数：2.00）解析：发散解析 由 收敛，知 故 从而31.正项级数 （分数：2.00）解析：有界(或有上界) 解析 级数 收敛等价于S n 收敛对于正项级数 32.幂级数 （分数：2.00）解析：-1,1 解析 为缺项级数
17、，不能通过 求 R，可用比值审敛法求收敛半径 R 具体为： 当|x 2 |1，即|x|1 时，级数绝对收敛； 当|x 2 |1，即|x|1 时，级数发散，故 R=1 当 x=1 时，原级数 收敛；当 x=-1 时，原级数 33.e x 展开成(x-3)的幂级数为 1 （分数：2.00）解析： 解析 e x =e 3+(x-3) =e3e x-3 ，因 从而 34.级数 （分数：2.00）解析：p1；0p1；p0 解析 设 则 当 p1 时， 收敛，原级数 绝对收敛； 当 0p1 时， 发散而 为交错级数且 |u n+1 |， 故由莱布尼茨定理 收敛且为条件收敛； 当 p0 时， 35.若 （分
18、数：2.00）解析：3 解析 因 在 x=-3 收敛，故由阿贝尔定理，|x|3 时， 绝对收敛 又因 在 x=-3 条件收敛，故|x|3 时， 发散如若不然，必存在 x 1 ，使|x 1 |3 且有在x=x 1 处 收敛由阿贝尔定理便可推出|x|x 1 |时，特别是 x=-3 时 36.函数 f(x)=cosx 展开成 （分数：2.00）解析： 解析 37.幂级数 （分数：2.00）解析： 解析 设 因 即 故 三、解答题(总题数：3，分数：26.00)38. （分数：8.00）_正确答案：()解析：【解】利用级数的收敛，求数列极限或证明数列收敛若 收敛，则 对于级数 由 知 绝对收敛，因此 39. （分数：9.00）_正确答案：()解析：【解】由 为正项级数，设 由 知 收敛，因此， 判别下列级数的敛散性(k1，a1)：（分数：9.00）(1). （分数：3.00）_正确答案：()解析：【解】因为(2). （分数：3.00）_正确答案：()解析：【解】因为(3). （分数：3.00）_正确答案：()解析：【解】因为
