1、考研数学三-88 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：11.00)1.设平面区域 D 由曲线 围成，则 （分数：1.00）A.2B.-2CD.-2.已知 则 I=_ A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.3.交换二次积分 次序正确的是_ A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.4.设平面区域 D 由 x=0，y=0， ，x+y=1 围成，若 （分数：1.00）A.I1I2I3B.I3I2I1C.I1I3I2D.I3I1I25.累次积分 化为极坐标形式的累次积分为_ A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.6.设平
2、面区域 D：(x-2) 2 +(y-1) 2 1，若比较 （分数：1.00）A.I1=I2B.I1I2C.I1I2D.不能比较7.设 m 和 n 为正整数，a0，且为常数，则下列说法不正确的是_ A当 m 为偶数，n 为奇数时， 一定为 0 B当 m 为奇数，n 为偶数时， 一定为 0 C当 m 为奇数，n 为奇数时， 一定为 0 D当 m 为偶数，n 为偶数时， （分数：1.00）A.B.C.D.8. （分数：1.00）A.cbaB.abcC.bacD.cab9.设 D：|x|+|y|1，则 A0 B C （分数：1.00）A.B.C.D.10. 化为极坐标系中的累次积分为_ A B C D
3、 （分数：1.00）A.B.C.D.11.设 D 由直线 x=0，y=0，x+y=1 围成，已知 _ A2 B0 C （分数：1.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：11，分数：22.00)12.二重积分 （分数：2.00）13.若 f(x，y)为关于 x 的奇函数，且积分区域 D 关于 y 轴对称，则当 f(x，y)在 D 上连续时，必有 （分数：2.00）14.设 D=(x，y)|1x 2 +y 2 e 2 ，则二重积分 （分数：2.00）15.由曲线 y=lnx 及直线 x+y=e+1，y=0 所围成的平面图形的面积可用二重积分表示为 1，其值等于 2 （分数：2.00）16.设
4、（分数：2.00）17.设 f(x，y)为连续函数，则 （分数：2.00）18. （分数：2.00）19.交换二次积分次序： （分数：2.00）20.交换二次积分次序： （分数：2.00）21.设 f(x)为连续函数，a 与 m 是常数且 a0，将二次积分 （分数：2.00）22.设 f(u)为连续函数，D 是由 y=1，x 2 -y 2 =1 及 y=0 所围成的平面闭区域，则 （分数：2.00）三、解答题(总题数：23，分数：67.00)平面区域 D=(x，y)|x|+|y|1计算如下二重积分：（分数：4.00）(1).其中 f(t)为定义在(-，+)上的连续正值函数，常数 a0，b0；
5、（分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_23.设 p(x)在a，b上非负连续，f(x)与 g(x)在a，b上连续且有相同的单调性，其中 D=(x，y)|axb，ayb，比较 （分数：2.00）_24.设函数 f(x，y)在 D 上连续，且 其中 D 由 （分数：2.00）_交换下列累次积分的积分次序（分数：4.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_(1).计算 （分数：2.00）_(2).当 x1 - 时求与 （分数：2.00）_25.证明： （分数：2.00）_26.设 在 D=a，bc，d上连续，求 （分数：2.00）_(1).设 D=(x，y)|ax
6、b，cyd，若 与 在 D 上连续证明： （分数：2.00）_(2).设 D 为 xOy 平面上的区域，若 都在 D 上连续证明： （分数：2.00）_27.证明： （分数：2.00）_28.设函数 f(x)在0，1上连续证明： （分数：2.00）_29.求 的最大值， 其中 D t =(x，y)|x 2 +y 2 1， （分数：2.00）_变换下列二次积分的积分次序：（分数：8.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_(3). （分数：2.00）_(4). （分数：2.00）_30.计算二重积分 （分数：2.00）_31.计算二重积分 （分数：2.00）_32.求二
7、重积分 其中 D 是由曲线 （分数：2.00）_33.求 （分数：2.00）_34.计算 （分数：2.00）_35.计算 （分数：2.00）_36.计算 其中 D 由 y=-x，x 2 +y 2 =4， （分数：2.00）_37.计算 （分数：2.00）_38.设 计算 （分数：3.00）_39.设函数 f(x)，g(x)在a，b上连续且单调增，证明： （分数：5.00）_40.计算 （分数：5.00）_考研数学三-88 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：11.00)1.设平面区域 D 由曲线 围成，则 （分数：1.00）A.2B.-2CD.-
8、 解析：解析 如图所示，用曲线 将区域 D 划分为 D 1 和 D 2 两部分，则 D 1 关于 x 轴对称，D 2 关于 y 轴对称，于是有 从而 由于区域 D 的面积与直线 y=0，y=1， 所围成矩形的面积相等，故 S D =，故应选(D) 2.已知 则 I=_ A B C D （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 积分域由两部分组成(如下图)设 将 D=D 1 D 2 视为 Y 型区域，则 从而 故应选(A) 3.交换二次积分 次序正确的是_ A B C D （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 交换积分次序的步骤是： 由原累次积分的上、下限写出来表示为积分区域 D
9、 的联立不等式，并作出 D 的草图，原积分变成二重积分 按新的累次积分次序的要求写出新的累次积分表达式 由已知积分的上、下限，可知积分区域的不等式表示为： 见下图，则 4.设平面区域 D 由 x=0，y=0， ，x+y=1 围成，若 （分数：1.00）A.I1I2I3B.I3I2I1C.I1I3I2 D.I3I1I2解析：解析 在积分区域 D 内， 所以 ln(x+y)0sinx(x+y)x+y， 于是 5.累次积分 化为极坐标形式的累次积分为_ A B C D （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 积分区域 D 为： 见下图在极坐标系下 D 可表示为： 故 6.设平面区域 D：(x
10、-2) 2 +(y-1) 2 1，若比较 （分数：1.00）A.I1=I2B.I1I2C.I1I2 D.不能比较解析：解析 由二重积分的比较性质，只需比较 D 上(x+y) 2 与(x+y) 3 的大小，即 x+y 与 1 的大小从几何的角度也就是考查网域 D 与直线 x+y=1 的位置关系因积分域 D 的圆心(2，1)到直线 x+y=1 的距离 7.设 m 和 n 为正整数，a0，且为常数，则下列说法不正确的是_ A当 m 为偶数，n 为奇数时， 一定为 0 B当 m 为奇数，n 为偶数时， 一定为 0 C当 m 为奇数，n 为奇数时， 一定为 0 D当 m 为偶数，n 为偶数时， （分数：
11、1.00）A.B.C.D. 解析：解析 令 则 对于 则 当 m 和 n 中有且仅有一个为奇数时，(-1) m (-1) n =-1，从而积分为零； 当 m 和 n 均为奇数时，(-1) m (-1) n =1，从而 由于 上的奇函数，故积分为零 总之，当 m 和 n 中至少一个为奇数时， 8. （分数：1.00）A.cba B.abcC.bacD.cab解析：解析 由于 D=(x，y)|x 2 +y 2 1，所以 由 cosx 在 上单调减少可得 9.设 D：|x|+|y|1，则 A0 B C （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 因为 D 关于 x，y 轴都对称，故 且有 其中
12、D 1 =(x，y)|x+y1，x0，y0 于是 10. 化为极坐标系中的累次积分为_ A B C D （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 由 有 x 2 +(y-1) 2 =1(y1)，所以，积分区域 D 是圆 x 2 +(y-1) 2 1 的右半圆在直线 y=x 上方的部分，于是，其极坐标形式为 11.设 D 由直线 x=0，y=0，x+y=1 围成，已知 _ A2 B0 C （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 由 于是 二、填空题(总题数：11，分数：22.00)12.二重积分 （分数：2.00）解析：负号 解析 二重积分的积分值的符号由被积函数在积分区域内的正负
13、号所确定 积分区域 D：|x|+|y|1因 0x 2 +y 2 (|x|+|y|) 2 1，故 ln(x 2 +y 2 )ln1=0，但又不恒等于零，故 13.若 f(x，y)为关于 x 的奇函数，且积分区域 D 关于 y 轴对称，则当 f(x，y)在 D 上连续时，必有 （分数：2.00）解析：0 解析 设连续函数 z=f(x，y)关于 x 为奇函数(f(-x，y)=-f(x，y)或关于 x 为偶函数(f(-x，y)=f(x，y)，积分域 D 关于 y 轴对称，D 1 表示 D 位于 y 轴右方的部分则有 14.设 D=(x，y)|1x 2 +y 2 e 2 ，则二重积分 （分数：2.00）
14、解析： 解析 被积函数的特点含有 x 2 +y 2 的形式，且积分域是以原点为中心的圆环域，选用极坐标计算较方便 15.由曲线 y=lnx 及直线 x+y=e+1，y=0 所围成的平面图形的面积可用二重积分表示为 1，其值等于 2 （分数：2.00）解析： 解析 由 得交点 A(e，1)所求平面图形的面积为 16.设 （分数：2.00）解析： 解析 积分域 D 为：e x ye 2x ，0x1曲线 y=e 2x ，y=e x 与直线 x=1 的交点分别为(1，e 2 )与(1，e)故 17.设 f(x，y)为连续函数，则 （分数：2.00）解析：f(0，0) 解析 因被积函数 f(x，y)在闭
15、区域 D：x 2 +y 2 t 2 上是抽象函数，故无法用先求出重积分的方法去求极限，因此考虑：用中值定理先去掉积分号再求极限；用二次积分化分子为含变上限积分的函数 方法一 因 f(x，y)在 D：x 2 +y 2 t 2 上连续，由积分中值定理可知，在 D 上至少存在一点(，)使 因(，)在 D：x 2 +y 2 t 2 上，所以当 t0 + 时，(，)(0，0)于是 方法二 故 18. （分数：2.00）解析： 解析 令 x=rsin，y=rcos，则 19.交换二次积分次序： （分数：2.00）解析： 解析 由已知可知，所求积分区域为 x=y 2 所围成的区域，所以 20.交换二次积分次
16、序： （分数：2.00）解析： 解析 由已知可知，所求积分区域为 y=1，y=-x 2 +1，y=lnx 所围成的区域，所以 21.设 f(x)为连续函数，a 与 m 是常数且 a0，将二次积分 （分数：2.00）解析： 解析 被积函数仅是 x 的函数，交换积分次序即可完成一次定积分由二次积分的积分限可知 D 为：0xy，0ya，故 22.设 f(u)为连续函数，D 是由 y=1，x 2 -y 2 =1 及 y=0 所围成的平面闭区域，则 （分数：2.00）解析：0 解析 因积分域 D 关于 y 轴对称，被积函数 xf(y 2 )关于变量 x 是奇函数，故 三、解答题(总题数：23，分数：67
17、.00)平面区域 D=(x，y)|x|+|y|1计算如下二重积分：（分数：4.00）(1).其中 f(t)为定义在(-，+)上的连续正值函数，常数 a0，b0； （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】易见，积分区域 D 是边长为 的正方形，故其面积 S D =2，因为积分区域 D 关于直线y=x 对称，则由二重积分的性质便有 (2). （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】因为积分区域 D 关于直线 y=x 对称，又分别关于 y 轴，x 轴对称；函数 e x -e -x ，e y -e -y 分别关于 x,y 为奇函数，则由二重积分的性质得 23.设 p(x)在a，b上非负连续
18、，f(x)与 g(x)在a，b上连续且有相同的单调性，其中 D=(x，y)|axb，ayb，比较 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】 由于 D 关于直线 x=y 对称，所以 I 1 -I 2 又可以写成 所以 24.设函数 f(x，y)在 D 上连续，且 其中 D 由 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】设 两边求二重积分，则 从而 故 解析 这是一道综合题目，表面看来很复杂只要分析清楚了并不难首先可以知道积分 是一个常数，因此 变为 交换下列累次积分的积分次序（分数：4.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】由累次积分 I 的积分限容易写出其对应
19、的二重积分的积分区域 = 1 2 ，它们可表示为 显然，平面区域 的边界曲线为抛物线 上半圆弧 与直线 y=0则 1 ， 2 也可以写为 于是，累次积分 I 交换积分次序后为 (2). （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】由累次积分 I 的积分限容易写出其对应的二重积分的积分区域为 = 1 2 3 ，其中 根据区域 的图形可知， 的边界曲线是由上半圆 直线 x=0 与抛物线 y=x-x 2 组成，故可用不等式表示为 于是，累次积分 I 化为另一种先对 y 后对 x 的累次积分 (1).计算 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】记 则 故 (2).当 x1 - 时求与 （分数
20、：2.00）_正确答案：()解析：【解】要解决第二个问题，首先需要弄清楚以下几个要点： xx 0 时，f(x)与 g(x)为等价无穷大 无穷大量的表达形式众多有一种常用的形式： 此题 x1 - 故考虑用 于是， 根据第一问的提示，我们要凑出“e -u2 ”这种形式，故令 即 则 取 极限值为 25.证明： （分数：2.00）_正确答案：()解析：【证】本题看似是二重积分问题，事实上，用代换 t=xy 可将累次积分化为定积分在 中，视 x 为常数，令 t=xy，dt=xdy，当 y 从 0 变到 1 时，t 从 0 变到 x，则 从而 于是也就是要证明 移项后就是要证明 事实上， t t (1+
21、lnt)dt=e tlnt (1+lnt)dt=e tlnt d(tlnt)=d(e tlnt )， 故 26.设 在 D=a，bc，d上连续，求 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】 (1).设 D=(x，y)|axb，cyd，若 与 在 D 上连续证明： （分数：2.00）_正确答案：()解析：【证】 同理， (2).设 D 为 xOy 平面上的区域，若 都在 D 上连续证明： （分数：2.00）_正确答案：()解析：【证】用反证法 设 有 不妨设 由于 由极限的保号性， 当 P(x，y)U(P 0 ，)时有 取 于是， 由上小题， 27.证明： （分数：2.00）_正确答案：(
22、)解析：【证】一方面，有 另一方面，由泰勒公式 有 所以， 28.设函数 f(x)在0，1上连续证明： （分数：2.00）_正确答案：()解析：【证】方法一 由对称性，知 方法二 由泰勒公式知， 恒有 所以，有 e f(x)-f(y) 1+f(x)-f(y)从而 29.求 的最大值， 其中 D t =(x，y)|x 2 +y 2 1， （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】 于是 V(t)单调增加，故 变换下列二次积分的积分次序：（分数：8.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】如图 1 所示， 则 (2). （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】如图
23、2 所示， 则 (3). （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】如图 3 所示，D=D 1 +D 2 ，其中 故 (4). （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】如图 4 所示， 故 30.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】31.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】32.求二重积分 其中 D 是由曲线 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】33.求 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】被积函数： 其中 D 1 =(x,y)|0y1，yx3，D 2 =(x，y)|0y1，0xy所以 34.计算 （分数：2.00）
24、_正确答案：()解析：【解】35.计算 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】36.计算 其中 D 由 y=-x，x 2 +y 2 =4， （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】 y=-x 与 x 2 +y 2 =4 的交点为 y=-x 与 的交点为(0，0) x 2 +y 2 =4 与 的交点为(2，0)如下图所示 37.计算 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】 则 D=D 1 +D 2 ： 所以 38.设 计算 （分数：3.00）_正确答案：()解析：【解】 39.设函数 f(x)，g(x)在a，b上连续且单调增，证明： （分数：5.00）_正确答案：()解析：【证】设 其中 D：axb，ayb因为 D 关于 y=x 对称，所以 故 由 f(x)，g(x)在a，b上单调递增，得 2I0，即 I0，故 40.计算 （分数：5.00）_正确答案：()解析：【解】方法一 设 a0，D a =(x，y)|-axa，-aya，则当 a+时，D a D，其中D=(x，y)|-x+，-y+，从而 方法二 设 R0，D R =(x，y)|x 2 +y 2 R 2 ，则当 R+时，D R D，从而 引入极坐标系 x=rcos，y=rsin，则当 时，minx，y=y=rsin，而当 时，minx，y=x=rcos，于是
