1、考研数学三-87 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：27，分数：100.00)1.设 其中函数 f，g 具有二阶连续偏导数，求 （分数：3.00）_2.设 z=f(2x-y)+g(x，xy)，其中函数 f(t)二阶可导，g(u，v)具有二阶连续偏导数，求 （分数：3.00）_3.设函数 z=f(u)，方程 确定 u 是 x，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微，P(t)，“(u)连续，且“(u)1求 （分数：3.00）_4.设 （分数：3.50）_5.设 u=f(x，y，z)有连续偏导数，y=y(x)和 z=z(x)分别由方程 e xy -y=0 和
2、e z -xz=0 所确定，求 （分数：3.50）_设函数 f(u)在(0，+)内具有二阶导数，且 满足等式 （分数：7.00）(1).验证 （分数：3.50）_(2).若 f(1)=0，f“(1)=1，求函数 f(u)的表达式（分数：3.50）_6.设 z=u(x，y)e ax+y ， 求常数 a，使 （分数：3.50）_7.已知函数 u=u(x，y)满足方程 （分数：3.50）_8.求二元函数 z=f(x，y)=x 2 y(4-x-y)在由直线 x+y=6，x 轴和 y 轴所围成的闭区域 D 上的极值、最大值与最小值 （分数：3.50）_某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，
3、根据统计资料，销售收入 R 万元与电台广告费x 1 万元及报纸广告费用 x 2 万元之间的关系有如下经验公式： （分数：7.00）(1).在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；（分数：3.50）_(2).若提供的广告费用为 1.5 万元，求相应的最优广告策略（分数：3.50）_9.求 f(x，y)=x+xy-x 2 -y 2 在闭区域 D=(x，y)|0x1，0y2上的最大值和最小值 （分数：3.50）_10.设 f(x，y)=kx 2 +2kxy+y 2 在点(0，0)处取得极小值，求 k 的取值范围 （分数：3.50）_11.设 f(x，y)具有二阶连续偏导数证明：由方程 f(x，y)=
4、0 所确定的隐函数 y=(x)在 x=a 处取得极值b=(a)的必要条件是 且当 r(a，b)0 时，b=(a)是极大值；当 r(a，b)0 时，b=(a)是极小值，其中 （分数：3.50）_12.求函数 z=x 2 +y 2 +2x+y 在区域 D：x 2 +y 2 1 上的最大值与最小值 （分数：3.50）_13.求内接于椭球面 （分数：3.50）_14.在第一象限的椭圆 （分数：3.50）_15.厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为 p 1 和 p 2 ，销售量分别为 q 1 和 q 2 ，需求函数分别为 q 1 =24-0.2p 1 和 q 2 =10-0.05p 2 ，总
5、成本函数为 C=35+40(q 1 +q 2 ) 试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大?最大总利润为多少? （分数：3.50）_16.在球面 x 2 +y 2 +z 2 =5R 2 (x0，y0，z0)上，求函数 f(x，y，z)=lnx+lny+3lnz 的最大值，并利用所得结果证明不等式 （分数：3.50）_17.设 (1) (2) （分数：3.50）_18.设 A，B，C 为常数，B 2 -AC0，A0u(x，y)具有二阶连续偏导数试证明：必存在非奇异线性变换 = 1 x+y，= 2 x+y ( 1 ， 2 为常数)，将方程 （分数：3.50）_19.设 f(x，y)
6、在点 O(0，0)的某邻域 U 内连续，且 常数 （分数：3.50）_20.求函数 f(x，y)=x 2 +2y 2 -x 2 y 2 在区域 D=(x，y)|x 2 +y 2 4，y0上的最大值与最小值 （分数：3.50）_21.设 h(t)为三阶可导函数，u=h(xyz)， 且满足 求 u 的表达式，其中 （分数：3.50）_22.证明：f(x，y)=Ax 2 +2Bxy+Cy 2 在约束条件 （分数：3.50）_23.某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为 p 1 和 p 2 ，销售量分别为 q 1 和 q 2 需求函数分别为：q 1 =2-ap 1 +bp 2 ，q 2 =
7、1-cp 2 +dp 1 总成本函数 C=3+k(q 1 +q 2 )其中a，b，c，d，k 都为大于 0 的常数，且 4ac(b+d) 2 试问厂家如何确定两个市场的售价，能够使获得的总利润最大 （分数：3.50）_24.设生产某种产品必须投入两种要素，x 1 和 x 2 分别为两要素的投入量，Q 为产出量如果生产函数为 （分数：3.50）_25.设生产函数和成本函数分别为 （分数：3.50）_考研数学三-87 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：27，分数：100.00)1.设 其中函数 f，g 具有二阶连续偏导数，求 （分数：3.00）_正确答案：()
8、解析：【解】 2.设 z=f(2x-y)+g(x，xy)，其中函数 f(t)二阶可导，g(u，v)具有二阶连续偏导数，求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：【解】3.设函数 z=f(u)，方程 确定 u 是 x，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微，P(t)，“(u)连续，且“(u)1求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：【解】由 z=f(u)，可得 在方程 两边分别对 x，y 求偏导数，得 由此得 于是 4.设 （分数：3.50）_正确答案：()解析：【解】 5.设 u=f(x，y，z)有连续偏导数，y=y(x)和 z=z(x)分别由方程 e xy -y=0 和 e z -xz
9、=0 所确定，求 （分数：3.50）_正确答案：()解析：【解】 方程 e xy -y=0 两边关于 x 求导，有 方程 e z -xz=0 两边关于 x 求导，有 于是 设函数 f(u)在(0，+)内具有二阶导数，且 满足等式 （分数：7.00）(1).验证 （分数：3.50）_正确答案：()解析：【解】求二元复合函数 的二阶偏导数 中必然包含 f“(u)及 f“(u)，将 的表达式代入等式 中，就能找出 f“(u)与 f“(u)的关系式 (2).若 f(1)=0，f“(1)=1，求函数 f(u)的表达式（分数：3.50）_正确答案：()解析：【解】解可降阶的二阶线性微分方程的通解和特解 在
10、方程 中，令 f“(u)=g(u)，则 f“(u)=g“(u)，方程变为 这是可分离变量微分方程，解得 由初值条件 f“(1)=1 得 C 1 =1，所以， 6.设 z=u(x，y)e ax+y ， 求常数 a，使 （分数：3.50）_正确答案：()解析：【解】 将，式代入 中并整理得 7.已知函数 u=u(x，y)满足方程 （分数：3.50）_正确答案：()解析：【解】等式 U(x，y)=V(x，y)e ax+by 两边同时求偏导数， 将，式代入方程 中，得 由题意可知，应令 2a+k=0，-2b+k=0，解得 原方程变为 8.求二元函数 z=f(x，y)=x 2 y(4-x-y)在由直线
11、x+y=6，x 轴和 y 轴所围成的闭区域 D 上的极值、最大值与最小值 （分数：3.50）_正确答案：()解析：【解】由方程组 得 x=0(0y6)及点(4，0)，(2，1)而点(4，0)及线段 x=0(0y6)在D 的边界上，只有点(2，1)在 D 内部，可能是极值点 在点(2，1)处， 某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入 R 万元与电台广告费x 1 万元及报纸广告费用 x 2 万元之间的关系有如下经验公式： （分数：7.00）(1).在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；（分数：3.50）_正确答案：()解析：【解】利润函数为 由 解得 函数 z
12、=f(x 1 ，x 2 )在(0.75，1.25)的二阶导数为 (2).若提供的广告费用为 1.5 万元，求相应的最优广告策略（分数：3.50）_正确答案：()解析：【解】若广告费用为 1.5 万元，则需求利润函数 z=f(x 1 ，x 2 )在 x 1 +x 2 =1.5 时的条件极值 构造拉格朗日函数 由方程组 9.求 f(x，y)=x+xy-x 2 -y 2 在闭区域 D=(x，y)|0x1，0y2上的最大值和最小值 （分数：3.50）_正确答案：()解析：【解】这是闭区域上求最值的问题由于函数 f(x，y)=x+xy-x 2 -y 2 在闭区域 D 上连续，所以一定存在最大值和最小值
13、首先求 f(x，y)=x+xy-x 2 -y 2 在闭区域 D 内部的极值： 解方程组 得区域 D 内部唯一的驻点为 由 得 f(x，y)=x+xy-x 2 -y 2 在闭区域 D 内部的极大值 再求 f(x，y)在闭区域 D 边界上的最大值与最小值： 这是条件极值问题，边界直线方程即为约束条件 在 x 轴上约束条件为 y=0(0x1)，于是拉格朗日函数为 F(x，y，)=x+xy-x 2 -y 2 +y， 解方程组 得可能的极值点 其函数值为 在下面边界的端点(0，0)，(1，0)处 f(0，0)=0，f(1，0)=0，所以，下面边界的最大值为 最小值为 0 同理可求出： 在上面边界上的最大
14、值为-2，最小值为-4； 在左面边界上的最大值为 0，最小值为-4； 在右面边界上的最大值为 最小值为-2 比较以上各值，可知函数 f(x，y)=x+xy-x 2 -y 2 在闭区域 D 上的最大值为 10.设 f(x，y)=kx 2 +2kxy+y 2 在点(0，0)处取得极小值，求 k 的取值范围 （分数：3.50）_正确答案：()解析：【解】由 f(x，y)=kx 2 +2kxy+y 2 ，可得 11.设 f(x，y)具有二阶连续偏导数证明：由方程 f(x，y)=0 所确定的隐函数 y=(x)在 x=a 处取得极值b=(a)的必要条件是 且当 r(a，b)0 时，b=(a)是极大值；当
15、r(a，b)0 时，b=(a)是极小值，其中 （分数：3.50）_正确答案：()解析：【证】本题是一道新颖的计算性证明题，考查抽象函数的极值判别和高阶偏导数计算，计算量大，难度不小 y=(x)在 x=a 处取得极值的必要条件是 “(a)=0而 设 b=(a)，则 f(a，b)=0， 于是 又 当 时，“(a)0，故 b=(a)是极大值； 当 12.求函数 z=x 2 +y 2 +2x+y 在区域 D：x 2 +y 2 1 上的最大值与最小值 （分数：3.50）_正确答案：()解析：【解】由于 x 2 +y 2 1 是有界闭区域，z=x 2 +y 2 +2x+y 在该区域上连续，因此一定能取到最
16、大值与最小值 解方程组 由于 不在区域 D 内，舍去 函数在区域内部无偏导数不存在的点 再求函数在边界上的最大值点与最小值点，即求 z=x 2 +y 2 +2x+y 满足约束条件 x 2 +y 2 =1 的条件极值点此时，z=1+2x+y 用拉格朗日乘数法，作拉格朗日函数 L(x，y，)=1+2x+y+(x 2 +y 2 -1)， 解方程组 所有三类最值怀疑点仅有两个，由于 所以最小值 最大值 13.求内接于椭球面 （分数：3.50）_正确答案：()解析：【解】设该内接长方体体积为 v，p(x，y，z)(x0，y0，z0)是长方体的一个顶点，且位于椭球面上，由于椭球面关于三个坐标平面对称，所以
17、 v=8xyz，x0，y0，z0 且满足条件 因此，需要求出 v=8xyz 在约束条件 下的极值 设 求出 L 的所有偏导数，并令它们都等于 0，有 ，分别乘以 x，y，z，有 得 或 =0(=0 时，8xyz=0，不合题意，舍去) 把 代入，有 解得 从而 由题意知，内接于椭球面的长方体的体积没有最小值，而存在最大值，因而以点 为顶点所作对称于坐标平面的长方体即为所求的最大长方体，体积为 14.在第一象限的椭圆 （分数：3.50）_正确答案：()解析：【解】设 则有 椭圆上任意一点(x，y)处的法线方程为 原点到该法线的距离为 记 约束条件为 构造拉格朗日函数 h(x，y，)=f(x，y)+
18、g(x，y) 根据条件极值的求解方法，先求 令 得联立方程组： 由式得 由式得 所以有 代入式得到 根据实际问题，距离最大的法线是存在的，驻点只有一个，所得即所求，故可断定所求的点为 15.厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为 p 1 和 p 2 ，销售量分别为 q 1 和 q 2 ，需求函数分别为 q 1 =24-0.2p 1 和 q 2 =10-0.05p 2 ，总成本函数为 C=35+40(q 1 +q 2 ) 试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大?最大总利润为多少? （分数：3.50）_正确答案：()解析：【解】总收入函数为 总利润函数为 由极值的必要条
19、件，得方程组 16.在球面 x 2 +y 2 +z 2 =5R 2 (x0，y0，z0)上，求函数 f(x，y，z)=lnx+lny+3lnz 的最大值，并利用所得结果证明不等式 （分数：3.50）_正确答案：()解析：【解】作拉格朗日函数 L(x，y，z，)=lnx+lny+3lnz+(x 2 +y 2 +z 2 -5R 2 )，并令 由前 3 式得 代入第 4 式得可疑点 因 xyz 3 在有界闭集 x 2 +y 2 +z 2 =5R 2 (x0,y0，z0)上必有最大值，且最大值必在 x0，y0，z0 取得，故 f=lnxyz 3 在 x 2 +y 2 +z 2 =5R 2 也有最大值，
20、而 唯一，故最大值为 又 lnx+lny+3lnz 故 x 2 y 2 z 6 27R 10 令 x 2 =a，y 2 =b，z 2 =c，又知 x 2 +y 2 +z 2 =5R 2 ，则 17.设 (1) (2) （分数：3.50）_正确答案：()解析：【解】(1)按定义易知 (当(x，y)(0，0)，所以 f(x，y)在点(0，0)处连续 按可微定义，若可微，则 即应有 但上式并不成立(例如取 y=kx，上式左边为 )，故不可微 (2)以下直接证明成立，由此可推知，均成立事实上， 所以 18.设 A，B，C 为常数，B 2 -AC0，A0u(x，y)具有二阶连续偏导数试证明：必存在非奇异
21、线性变换 = 1 x+y，= 2 x+y ( 1 ， 2 为常数)，将方程 （分数：3.50）_正确答案：()解析：【证】 代入所给方程，将该方程化为 由于 B 2 -AC0，A0，所以代数方程 A 2 +2B+C=0 有两个不相等的实根 1 与 2 取此 1 与 2 ，此时 代入变换后的方程，成为 19.设 f(x，y)在点 O(0，0)的某邻域 U 内连续，且 常数 （分数：3.50）_正确答案：()解析：【解】由 再令 于是上式可改写为 由 f(x，y)的连续性，有 另一方面，由 知，存在点(0，0)的去心邻域 当 时，有 故在 20.求函数 f(x，y)=x 2 +2y 2 -x 2
22、y 2 在区域 D=(x，y)|x 2 +y 2 4，y0上的最大值与最小值 （分数：3.50）_正确答案：()解析：【解】先求 f(x，y)在 D 的内部的驻点由 解得 x=0 或 y=1； 或 y=0经配对之后，位于区域 D 内部的点为 经计算， 再考虑 D 的边界上的 f(x，y)在 y=0 上，f(x，0)=x 2 ，最大值 f(2，0)=4，最小值 f(0，0)=0又在 x 2 +y 2 =4 上， 令 g“(x)=4x 3 -10x=0，得 x=0 或 有 g(0)=8， 比较以上所获得的那些函数值的大小，有 21.设 h(t)为三阶可导函数，u=h(xyz)， 且满足 求 u 的
23、表达式，其中 （分数：3.50）_正确答案：()解析：【解】 故 3xyzh“(xyz)+h“(xyz)=0，令 xyz=t，得 3th“(t)+h“(t)=0 设 v=h“(t)，得 3tv“+v=0，分离变量，得 又 f(x，0)=0，则易知 当(x，y)(0，0)时， 于是 所以 由对称性知 所以 h(1)=-1，h“(1)=1，从而 这样 从而 22.证明：f(x，y)=Ax 2 +2Bxy+Cy 2 在约束条件 （分数：3.50）_正确答案：()解析：【证】因为 f(x，y)在全平面连续， 为有界闭区域，故 f(x，y)在此约束条件下必有最大值和最小值 设(x 1 ，y 1 )，(x
24、 2 ，y 2 )分别为最大值点和最小值点，令 则(x 1 ，y 1 )，(x 2 ，y 2 )应满足方程 记相应乘子为 1 ， 2 ，则(x 1 ，y 1 ， 1 )满足 解得 同理 即 1 ， 2 是 f(x，y)在椭圆 上的最大值和最小值 又方程组和有非零解，系数行列式为 0，即 23.某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为 p 1 和 p 2 ，销售量分别为 q 1 和 q 2 需求函数分别为：q 1 =2-ap 1 +bp 2 ，q 2 =1-cp 2 +dp 1 总成本函数 C=3+k(q 1 +q 2 )其中a，b，c，d，k 都为大于 0 的常数，且 4ac(b+d) 2 试问厂家如何确定两个市场的售价，能够使获得的总利润最大 （分数：3.50）_正确答案：()解析：【解】收益函数 24.设生产某种产品必须投入两种要素，x 1 和 x 2 分别为两要素的投入量，Q 为产出量如果生产函数为 （分数：3.50）_正确答案：()解析：【解】费用 c=p 1 x 1 +p 2 x 2 ，条件： 构造拉格朗日函数： 于是，有 解得 25.设生产函数和成本函数分别为 （分数：3.50）_正确答案：()解析：【解】令 F(x，y，)=ln(lx y )+(S-ax-by)=lnl+lnx+lny+(S-ax-by)，则
