1、考研数学三-87 及答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、解答题(总题数:27,分数:100.00)1.设 其中函数 f,g 具有二阶连续偏导数,求 (分数:3.00)_2.设 z=f(2x-y)+g(x,xy),其中函数 f(t)二阶可导,g(u,v)具有二阶连续偏导数,求 (分数:3.00)_3.设函数 z=f(u),方程 确定 u 是 x,y 的函数,其中 f(u),(u)可微,P(t),“(u)连续,且“(u)1求 (分数:3.00)_4.设 (分数:3.50)_5.设 u=f(x,y,z)有连续偏导数,y=y(x)和 z=z(x)分别由方程 e xy -y=0 和
2、e z -xz=0 所确定,求 (分数:3.50)_设函数 f(u)在(0,+)内具有二阶导数,且 满足等式 (分数:7.00)(1).验证 (分数:3.50)_(2).若 f(1)=0,f“(1)=1,求函数 f(u)的表达式(分数:3.50)_6.设 z=u(x,y)e ax+y , 求常数 a,使 (分数:3.50)_7.已知函数 u=u(x,y)满足方程 (分数:3.50)_8.求二元函数 z=f(x,y)=x 2 y(4-x-y)在由直线 x+y=6,x 轴和 y 轴所围成的闭区域 D 上的极值、最大值与最小值 (分数:3.50)_某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告,
3、根据统计资料,销售收入 R 万元与电台广告费x 1 万元及报纸广告费用 x 2 万元之间的关系有如下经验公式: (分数:7.00)(1).在广告费用不限的情况下,求最优广告策略;(分数:3.50)_(2).若提供的广告费用为 1.5 万元,求相应的最优广告策略(分数:3.50)_9.求 f(x,y)=x+xy-x 2 -y 2 在闭区域 D=(x,y)|0x1,0y2上的最大值和最小值 (分数:3.50)_10.设 f(x,y)=kx 2 +2kxy+y 2 在点(0,0)处取得极小值,求 k 的取值范围 (分数:3.50)_11.设 f(x,y)具有二阶连续偏导数证明:由方程 f(x,y)=
4、0 所确定的隐函数 y=(x)在 x=a 处取得极值b=(a)的必要条件是 且当 r(a,b)0 时,b=(a)是极大值;当 r(a,b)0 时,b=(a)是极小值,其中 (分数:3.50)_12.求函数 z=x 2 +y 2 +2x+y 在区域 D:x 2 +y 2 1 上的最大值与最小值 (分数:3.50)_13.求内接于椭球面 (分数:3.50)_14.在第一象限的椭圆 (分数:3.50)_15.厂家生产的一种产品同时在两个市场销售,售价分别为 p 1 和 p 2 ,销售量分别为 q 1 和 q 2 ,需求函数分别为 q 1 =24-0.2p 1 和 q 2 =10-0.05p 2 ,总
5、成本函数为 C=35+40(q 1 +q 2 ) 试问:厂家如何确定两个市场的售价,能使其获得的总利润最大?最大总利润为多少? (分数:3.50)_16.在球面 x 2 +y 2 +z 2 =5R 2 (x0,y0,z0)上,求函数 f(x,y,z)=lnx+lny+3lnz 的最大值,并利用所得结果证明不等式 (分数:3.50)_17.设 (1) (2) (分数:3.50)_18.设 A,B,C 为常数,B 2 -AC0,A0u(x,y)具有二阶连续偏导数试证明:必存在非奇异线性变换 = 1 x+y,= 2 x+y ( 1 , 2 为常数),将方程 (分数:3.50)_19.设 f(x,y)
6、在点 O(0,0)的某邻域 U 内连续,且 常数 (分数:3.50)_20.求函数 f(x,y)=x 2 +2y 2 -x 2 y 2 在区域 D=(x,y)|x 2 +y 2 4,y0上的最大值与最小值 (分数:3.50)_21.设 h(t)为三阶可导函数,u=h(xyz), 且满足 求 u 的表达式,其中 (分数:3.50)_22.证明:f(x,y)=Ax 2 +2Bxy+Cy 2 在约束条件 (分数:3.50)_23.某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售,售价分别为 p 1 和 p 2 ,销售量分别为 q 1 和 q 2 需求函数分别为:q 1 =2-ap 1 +bp 2 ,q 2 =
7、1-cp 2 +dp 1 总成本函数 C=3+k(q 1 +q 2 )其中a,b,c,d,k 都为大于 0 的常数,且 4ac(b+d) 2 试问厂家如何确定两个市场的售价,能够使获得的总利润最大 (分数:3.50)_24.设生产某种产品必须投入两种要素,x 1 和 x 2 分别为两要素的投入量,Q 为产出量如果生产函数为 (分数:3.50)_25.设生产函数和成本函数分别为 (分数:3.50)_考研数学三-87 答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、解答题(总题数:27,分数:100.00)1.设 其中函数 f,g 具有二阶连续偏导数,求 (分数:3.00)_正确答案:()
8、解析:【解】 2.设 z=f(2x-y)+g(x,xy),其中函数 f(t)二阶可导,g(u,v)具有二阶连续偏导数,求 (分数:3.00)_正确答案:()解析:【解】3.设函数 z=f(u),方程 确定 u 是 x,y 的函数,其中 f(u),(u)可微,P(t),“(u)连续,且“(u)1求 (分数:3.00)_正确答案:()解析:【解】由 z=f(u),可得 在方程 两边分别对 x,y 求偏导数,得 由此得 于是 4.设 (分数:3.50)_正确答案:()解析:【解】 5.设 u=f(x,y,z)有连续偏导数,y=y(x)和 z=z(x)分别由方程 e xy -y=0 和 e z -xz
9、=0 所确定,求 (分数:3.50)_正确答案:()解析:【解】 方程 e xy -y=0 两边关于 x 求导,有 方程 e z -xz=0 两边关于 x 求导,有 于是 设函数 f(u)在(0,+)内具有二阶导数,且 满足等式 (分数:7.00)(1).验证 (分数:3.50)_正确答案:()解析:【解】求二元复合函数 的二阶偏导数 中必然包含 f“(u)及 f“(u),将 的表达式代入等式 中,就能找出 f“(u)与 f“(u)的关系式 (2).若 f(1)=0,f“(1)=1,求函数 f(u)的表达式(分数:3.50)_正确答案:()解析:【解】解可降阶的二阶线性微分方程的通解和特解 在
10、方程 中,令 f“(u)=g(u),则 f“(u)=g“(u),方程变为 这是可分离变量微分方程,解得 由初值条件 f“(1)=1 得 C 1 =1,所以, 6.设 z=u(x,y)e ax+y , 求常数 a,使 (分数:3.50)_正确答案:()解析:【解】 将,式代入 中并整理得 7.已知函数 u=u(x,y)满足方程 (分数:3.50)_正确答案:()解析:【解】等式 U(x,y)=V(x,y)e ax+by 两边同时求偏导数, 将,式代入方程 中,得 由题意可知,应令 2a+k=0,-2b+k=0,解得 原方程变为 8.求二元函数 z=f(x,y)=x 2 y(4-x-y)在由直线
11、x+y=6,x 轴和 y 轴所围成的闭区域 D 上的极值、最大值与最小值 (分数:3.50)_正确答案:()解析:【解】由方程组 得 x=0(0y6)及点(4,0),(2,1)而点(4,0)及线段 x=0(0y6)在D 的边界上,只有点(2,1)在 D 内部,可能是极值点 在点(2,1)处, 某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告,根据统计资料,销售收入 R 万元与电台广告费x 1 万元及报纸广告费用 x 2 万元之间的关系有如下经验公式: (分数:7.00)(1).在广告费用不限的情况下,求最优广告策略;(分数:3.50)_正确答案:()解析:【解】利润函数为 由 解得 函数 z
12、=f(x 1 ,x 2 )在(0.75,1.25)的二阶导数为 (2).若提供的广告费用为 1.5 万元,求相应的最优广告策略(分数:3.50)_正确答案:()解析:【解】若广告费用为 1.5 万元,则需求利润函数 z=f(x 1 ,x 2 )在 x 1 +x 2 =1.5 时的条件极值 构造拉格朗日函数 由方程组 9.求 f(x,y)=x+xy-x 2 -y 2 在闭区域 D=(x,y)|0x1,0y2上的最大值和最小值 (分数:3.50)_正确答案:()解析:【解】这是闭区域上求最值的问题由于函数 f(x,y)=x+xy-x 2 -y 2 在闭区域 D 上连续,所以一定存在最大值和最小值
13、首先求 f(x,y)=x+xy-x 2 -y 2 在闭区域 D 内部的极值: 解方程组 得区域 D 内部唯一的驻点为 由 得 f(x,y)=x+xy-x 2 -y 2 在闭区域 D 内部的极大值 再求 f(x,y)在闭区域 D 边界上的最大值与最小值: 这是条件极值问题,边界直线方程即为约束条件 在 x 轴上约束条件为 y=0(0x1),于是拉格朗日函数为 F(x,y,)=x+xy-x 2 -y 2 +y, 解方程组 得可能的极值点 其函数值为 在下面边界的端点(0,0),(1,0)处 f(0,0)=0,f(1,0)=0,所以,下面边界的最大值为 最小值为 0 同理可求出: 在上面边界上的最大
14、值为-2,最小值为-4; 在左面边界上的最大值为 0,最小值为-4; 在右面边界上的最大值为 最小值为-2 比较以上各值,可知函数 f(x,y)=x+xy-x 2 -y 2 在闭区域 D 上的最大值为 10.设 f(x,y)=kx 2 +2kxy+y 2 在点(0,0)处取得极小值,求 k 的取值范围 (分数:3.50)_正确答案:()解析:【解】由 f(x,y)=kx 2 +2kxy+y 2 ,可得 11.设 f(x,y)具有二阶连续偏导数证明:由方程 f(x,y)=0 所确定的隐函数 y=(x)在 x=a 处取得极值b=(a)的必要条件是 且当 r(a,b)0 时,b=(a)是极大值;当
15、r(a,b)0 时,b=(a)是极小值,其中 (分数:3.50)_正确答案:()解析:【证】本题是一道新颖的计算性证明题,考查抽象函数的极值判别和高阶偏导数计算,计算量大,难度不小 y=(x)在 x=a 处取得极值的必要条件是 “(a)=0而 设 b=(a),则 f(a,b)=0, 于是 又 当 时,“(a)0,故 b=(a)是极大值; 当 12.求函数 z=x 2 +y 2 +2x+y 在区域 D:x 2 +y 2 1 上的最大值与最小值 (分数:3.50)_正确答案:()解析:【解】由于 x 2 +y 2 1 是有界闭区域,z=x 2 +y 2 +2x+y 在该区域上连续,因此一定能取到最
16、大值与最小值 解方程组 由于 不在区域 D 内,舍去 函数在区域内部无偏导数不存在的点 再求函数在边界上的最大值点与最小值点,即求 z=x 2 +y 2 +2x+y 满足约束条件 x 2 +y 2 =1 的条件极值点此时,z=1+2x+y 用拉格朗日乘数法,作拉格朗日函数 L(x,y,)=1+2x+y+(x 2 +y 2 -1), 解方程组 所有三类最值怀疑点仅有两个,由于 所以最小值 最大值 13.求内接于椭球面 (分数:3.50)_正确答案:()解析:【解】设该内接长方体体积为 v,p(x,y,z)(x0,y0,z0)是长方体的一个顶点,且位于椭球面上,由于椭球面关于三个坐标平面对称,所以
17、 v=8xyz,x0,y0,z0 且满足条件 因此,需要求出 v=8xyz 在约束条件 下的极值 设 求出 L 的所有偏导数,并令它们都等于 0,有 ,分别乘以 x,y,z,有 得 或 =0(=0 时,8xyz=0,不合题意,舍去) 把 代入,有 解得 从而 由题意知,内接于椭球面的长方体的体积没有最小值,而存在最大值,因而以点 为顶点所作对称于坐标平面的长方体即为所求的最大长方体,体积为 14.在第一象限的椭圆 (分数:3.50)_正确答案:()解析:【解】设 则有 椭圆上任意一点(x,y)处的法线方程为 原点到该法线的距离为 记 约束条件为 构造拉格朗日函数 h(x,y,)=f(x,y)+
18、g(x,y) 根据条件极值的求解方法,先求 令 得联立方程组: 由式得 由式得 所以有 代入式得到 根据实际问题,距离最大的法线是存在的,驻点只有一个,所得即所求,故可断定所求的点为 15.厂家生产的一种产品同时在两个市场销售,售价分别为 p 1 和 p 2 ,销售量分别为 q 1 和 q 2 ,需求函数分别为 q 1 =24-0.2p 1 和 q 2 =10-0.05p 2 ,总成本函数为 C=35+40(q 1 +q 2 ) 试问:厂家如何确定两个市场的售价,能使其获得的总利润最大?最大总利润为多少? (分数:3.50)_正确答案:()解析:【解】总收入函数为 总利润函数为 由极值的必要条
19、件,得方程组 16.在球面 x 2 +y 2 +z 2 =5R 2 (x0,y0,z0)上,求函数 f(x,y,z)=lnx+lny+3lnz 的最大值,并利用所得结果证明不等式 (分数:3.50)_正确答案:()解析:【解】作拉格朗日函数 L(x,y,z,)=lnx+lny+3lnz+(x 2 +y 2 +z 2 -5R 2 ),并令 由前 3 式得 代入第 4 式得可疑点 因 xyz 3 在有界闭集 x 2 +y 2 +z 2 =5R 2 (x0,y0,z0)上必有最大值,且最大值必在 x0,y0,z0 取得,故 f=lnxyz 3 在 x 2 +y 2 +z 2 =5R 2 也有最大值,
20、而 唯一,故最大值为 又 lnx+lny+3lnz 故 x 2 y 2 z 6 27R 10 令 x 2 =a,y 2 =b,z 2 =c,又知 x 2 +y 2 +z 2 =5R 2 ,则 17.设 (1) (2) (分数:3.50)_正确答案:()解析:【解】(1)按定义易知 (当(x,y)(0,0),所以 f(x,y)在点(0,0)处连续 按可微定义,若可微,则 即应有 但上式并不成立(例如取 y=kx,上式左边为 ),故不可微 (2)以下直接证明成立,由此可推知,均成立事实上, 所以 18.设 A,B,C 为常数,B 2 -AC0,A0u(x,y)具有二阶连续偏导数试证明:必存在非奇异
21、线性变换 = 1 x+y,= 2 x+y ( 1 , 2 为常数),将方程 (分数:3.50)_正确答案:()解析:【证】 代入所给方程,将该方程化为 由于 B 2 -AC0,A0,所以代数方程 A 2 +2B+C=0 有两个不相等的实根 1 与 2 取此 1 与 2 ,此时 代入变换后的方程,成为 19.设 f(x,y)在点 O(0,0)的某邻域 U 内连续,且 常数 (分数:3.50)_正确答案:()解析:【解】由 再令 于是上式可改写为 由 f(x,y)的连续性,有 另一方面,由 知,存在点(0,0)的去心邻域 当 时,有 故在 20.求函数 f(x,y)=x 2 +2y 2 -x 2
22、y 2 在区域 D=(x,y)|x 2 +y 2 4,y0上的最大值与最小值 (分数:3.50)_正确答案:()解析:【解】先求 f(x,y)在 D 的内部的驻点由 解得 x=0 或 y=1; 或 y=0经配对之后,位于区域 D 内部的点为 经计算, 再考虑 D 的边界上的 f(x,y)在 y=0 上,f(x,0)=x 2 ,最大值 f(2,0)=4,最小值 f(0,0)=0又在 x 2 +y 2 =4 上, 令 g“(x)=4x 3 -10x=0,得 x=0 或 有 g(0)=8, 比较以上所获得的那些函数值的大小,有 21.设 h(t)为三阶可导函数,u=h(xyz), 且满足 求 u 的
23、表达式,其中 (分数:3.50)_正确答案:()解析:【解】 故 3xyzh“(xyz)+h“(xyz)=0,令 xyz=t,得 3th“(t)+h“(t)=0 设 v=h“(t),得 3tv“+v=0,分离变量,得 又 f(x,0)=0,则易知 当(x,y)(0,0)时, 于是 所以 由对称性知 所以 h(1)=-1,h“(1)=1,从而 这样 从而 22.证明:f(x,y)=Ax 2 +2Bxy+Cy 2 在约束条件 (分数:3.50)_正确答案:()解析:【证】因为 f(x,y)在全平面连续, 为有界闭区域,故 f(x,y)在此约束条件下必有最大值和最小值 设(x 1 ,y 1 ),(x
24、 2 ,y 2 )分别为最大值点和最小值点,令 则(x 1 ,y 1 ),(x 2 ,y 2 )应满足方程 记相应乘子为 1 , 2 ,则(x 1 ,y 1 , 1 )满足 解得 同理 即 1 , 2 是 f(x,y)在椭圆 上的最大值和最小值 又方程组和有非零解,系数行列式为 0,即 23.某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售,售价分别为 p 1 和 p 2 ,销售量分别为 q 1 和 q 2 需求函数分别为:q 1 =2-ap 1 +bp 2 ,q 2 =1-cp 2 +dp 1 总成本函数 C=3+k(q 1 +q 2 )其中a,b,c,d,k 都为大于 0 的常数,且 4ac(b+d) 2 试问厂家如何确定两个市场的售价,能够使获得的总利润最大 (分数:3.50)_正确答案:()解析:【解】收益函数 24.设生产某种产品必须投入两种要素,x 1 和 x 2 分别为两要素的投入量,Q 为产出量如果生产函数为 (分数:3.50)_正确答案:()解析:【解】费用 c=p 1 x 1 +p 2 x 2 ,条件: 构造拉格朗日函数: 于是,有 解得 25.设生产函数和成本函数分别为 (分数:3.50)_正确答案:()解析:【解】令 F(x,y,)=ln(lx y )+(S-ax-by)=lnl+lnx+lny+(S-ax-by),则