1、考研数学三-86 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：21，分数：42.00)1.设 （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续，但不可微D.可微2.二元函数 （分数：2.00）A.m2，n2B.m2，n2C.m2，n2D.m2，n23.函数 （分数：2.00）A.连续，但偏导数不存在B.偏导数存在，但不可微C.可微D.偏导数存在且连续4.函数 z=x 3 +y 3 -3x 2 -3y 2 的极小值点是_（分数：2.00）A.(0，0)B.(2，2)C.(0，2)D.(2，0)5.函数 则极限 （分数：2.00）A.等于 1B.等于 2
2、C.等于 0D.不存在6.设函数 （分数：2.00）A.极小值点且是最小值点B.极大值点且是最大值点C.极小值点但非最小值点D.极大值点但非最大值点7.设 则 _ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.8. （分数：2.00）A.必要条件但非充分条件B.充分条件但非必要条件C.充要条件D.既非必要也非充分条件9.函数 （分数：2.00）A.y 轴上的所有点B.x=0，y0 的点集C.空集D.x=0，y0 的点集10.函数 （分数：2.00）A.连续，偏导数存在B.连续，偏导数不存在C.不连续，偏导数存在D.不连续，偏导数不存在11.极限 _ A等于 0 B不存在 C等于 D存在，但
3、不等于 （分数：2.00）A.B.C.D.12.设 则 _ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.13.极限 A等于 0 B不存在 C等于 D存在且不等于 0 及 （分数：2.00）A.B.C.D.14.设 u=f(r)，而 f(r)具有二阶连续导数，则 _ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.15.考虑二元函数 f(x，y)的下面 4 条性质： f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处连续； f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数连续； f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微； f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数存在若用 表示可
4、由性质 P 推出性质 Q，则有_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.16.设函数 u=u(x，y)满足 及 u(x，2x)=x， ，u 有二阶连续偏导数，则 _ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.17.利用变量代换 u=x， 可将方程 化成新方程_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.18.若函数 其中 f 是可微函数，且 （分数：2.00）A.B.C.D.19.已知 du(x，y)=axy 3 +cos(x+2y)dx+3x 2 y 2 +bcos(x+2y)dy，则_（分数：2.00）A.a=2，b=-2B.a=3，b=2C.a=2，b=2D.
5、a=-2，b=220.设 u(x，y)在平面有界闭区域 D 上具有二阶连续偏导数，且 （分数：2.00）A.最大值点和最小值点必定都在 D 的内部B.最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上C.最大值点在 D 的内部，最小值点在 D 的边界上D.最小值点在 D 的内部，最大值点在 D 的边界上21.设函数 z=(1+e y )cosx-ye y ，则函数 z=f(x，y)_（分数：2.00）A.无极值点B.有有限个极值点C.有无穷多个极大值点D.有无穷多个极小值点二、填空题(总题数：11，分数：22.00)22.函数 f(x，y)=ln(x 2 +y 2 -1)的连续区域是 1 （分数：2.0
6、0）23.设 （分数：2.00）24.若函数 z=2x 2 +2y 2 +3xy+ax+by+c 在点(-2，3)处取得极小值-3，则常数 a、b、c 之积 abc= 1 （分数：2.00）25.设 u=x 4 +y 4 -4x 2 y 2 ，则 （分数：2.00）26.设 则在极坐标 （分数：2.00）27.设 则 （分数：2.00）28.设 f 可微，则由方程 f(cx-az，cy-bz)=0 确定的函数 z=z(x，y)满足 （分数：2.00）29.设函数 z=z(x，y)由方程 sinx+2y-z=e z 所确定，则 （分数：2.00）30.函数 f(x，y，z)=-2x 2 在条件
7、x 2 -y 2 -2z 2 =2 下的极大值是 1 （分数：2.00）31.函数 （分数：2.00）32.设 z=e sinxy ，则 dz= 1 （分数：2.00）三、解答题(总题数：7，分数：36.00)33.设 f(x)可导， -x+，y0求(1) (2) (3) （分数：4.00）_34.试分析下列各个结论是函数 z=f(x，y)在点 P 0 (x 0 ，y 0 )处可微的充分条件还是必要条件 (1)二元函数的极限 存在； (2)二元函数 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )的某个邻域内有界； (3) (4)F(x)=f(x，y 0 )在点 x 0 处可微，G(y)=f(x 0
8、 ，y)在点 y 0 处可微； (5) (6) （分数：8.00）_设 f(x，y)在点(0，0)处连续，且 （分数：8.00）(1).讨论 f(x，y)在点(0，0)处是否可微，若可微则求出 df(x，y)| (0,0) ；（分数：4.00）_(2).讨论 f(x，y)在点(0，0)处是否取极值，说明理由（分数：4.00）_35.设函数 f(x，y)可微，又 f(0，0)=0， （分数：4.00）_36.设 其中 f 及 二阶可微，求 （分数：4.00）_37.已知 （分数：4.00）_38.设 其中 f，g 均可微，计算 （分数：4.00）_考研数学三-86 答案解析(总分：100.00，
9、做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：21，分数：42.00)1.设 （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续，但不可微 D.可微解析：解析 所以 f(x，y)在点 O 处连续，排除(A)，(B)下面考查(C) 所以 若在点 O(0，0)处可微，则应有 但是上式并不成立，事实上， 2.二元函数 （分数：2.00）A.m2，n2B.m2，n2 C.m2，n2D.m2，n2解析：解析 当(x，y)沿 y=kx(k0)趋向点(0，0)时， 当 m2，n2 时， 又 k 取不同值，上式结果不唯一，所以函数在(0，0)处极限不存在，故函数不连续 又因为 同理可得 故偏导数存在
10、当 n2 时，有 n=1， 3.函数 （分数：2.00）A.连续，但偏导数不存在B.偏导数存在，但不可微 C.可微D.偏导数存在且连续解析：解析 从讨论函数是否有偏导数和是否可微入手 由于 所以 同理 当(x，y)沿 y=x 趋于(0，0)点时， 4.函数 z=x 3 +y 3 -3x 2 -3y 2 的极小值点是_（分数：2.00）A.(0，0)B.(2，2) C.(0，2)D.(2，0)解析：解析 由 可得到 4 个驻点(0，0)，(2，2)，(0，2)和(2，0) 5.函数 则极限 （分数：2.00）A.等于 1B.等于 2C.等于 0 D.不存在解析：解析 当 xy0 时，6.设函数
11、（分数：2.00）A.极小值点且是最小值点B.极大值点且是最大值点 C.极小值点但非最小值点D.极大值点但非最大值点解析：解析 由极值点的判别条件可知7.设 则 _ A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 8. （分数：2.00）A.必要条件但非充分条件B.充分条件但非必要条件C.充要条件D.既非必要也非充分条件 解析：解析 若 ，则(0，0)为其极小值点，但9.函数 （分数：2.00）A.y 轴上的所有点B.x=0，y0 的点集C.空集 D.x=0，y0 的点集解析：解析 当 x0 时，f(x，y)为二元连续函数，而当 所以，(0，y 0 )为 f(x，y)的连续点，
12、故此函数的不连续点的集合为 10.函数 （分数：2.00）A.连续，偏导数存在B.连续，偏导数不存在C.不连续，偏导数存在 D.不连续，偏导数不存在解析：解析 取 y=kx，可得 f(x，y)在(0，0)处不连续由偏导数定义，可得 f(x，y)在(0，0)处的偏导数存在11.极限 _ A等于 0 B不存在 C等于 D存在，但不等于 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 当取 y=kx 时，12.设 则 _ A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 将 x 视为常数，属基本计算13.极限 A等于 0 B不存在 C等于 D存在且不等于 0 及 （分数：2.00）A.
13、B. C.D.解析：解析 取 y=x，则 取 y=x 2 ，则 14.设 u=f(r)，而 f(r)具有二阶连续导数，则 _ A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 属基本计算，考研计算中常考这个表达式15.考虑二元函数 f(x，y)的下面 4 条性质： f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处连续； f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数连续； f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微； f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数存在若用 表示可由性质 P 推出性质 Q，则有_ A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析
14、 本题考查下图中因果关系的认知： 16.设函数 u=u(x，y)满足 及 u(x，2x)=x， ，u 有二阶连续偏导数，则 _ A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 等式 u(x，2x)=x 两边对 x 求导得 两边再对 x 求导得 等式 两边对 x 求导得 将式及 代入式中得 17.利用变量代换 u=x， 可将方程 化成新方程_ A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 由复合函数微分法 于是 又 u=x，故 18.若函数 其中 f 是可微函数，且 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 设 则 u=xyf(t)， 于是 19.已知 d
15、u(x，y)=axy 3 +cos(x+2y)dx+3x 2 y 2 +bcos(x+2y)dy，则_（分数：2.00）A.a=2，b=-2B.a=3，b=2C.a=2，b=2 D.a=-2，b=2解析：解析 由 du(x，y)=axy 3 +cos(x+2y)dx+3x 2 y 2 +bcos(x+2y)dy 可知， 以上两式分别对 y，x 求偏导得 由于 连续，所以 20.设 u(x，y)在平面有界闭区域 D 上具有二阶连续偏导数，且 （分数：2.00）A.最大值点和最小值点必定都在 D 的内部B.最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上 C.最大值点在 D 的内部，最小值点在 D 的边界
16、上D.最小值点在 D 的内部，最大值点在 D 的边界上解析：解析 令 21.设函数 z=(1+e y )cosx-ye y ，则函数 z=f(x，y)_（分数：2.00）A.无极值点B.有有限个极值点C.有无穷多个极大值点 D.有无穷多个极小值点解析：解析 本题是二元具体函数求极值问题，由于涉及的三角函数是周期函数，故极值点的个数有可能无穷，给判别带来一定的难度，事实证明，考生对这类问题把握不好，请复习备考的同学们注意加强对本题的理解和记忆由 得驻点为(k，cosk-1)，k=0，1，2，又 当 k=0，2，4，时，驻点为(k，0)，从而 于是 B 2 -AC=-20，而 A=-20，即驻点(
17、k，0)均为极大值点，因而函数有无穷多个极大值； 当 k=1，3，时，驻点为(k，-2)，此时 二、填空题(总题数：11，分数：22.00)22.函数 f(x，y)=ln(x 2 +y 2 -1)的连续区域是 1 （分数：2.00）解析：x 2 +y 2 1 解析 一切多元初等函数在其有定义的区域内是连续的23.设 （分数：2.00）解析：0解析 本题属于基本计算，考研中多次考过这种表达式24.若函数 z=2x 2 +2y 2 +3xy+ax+by+c 在点(-2，3)处取得极小值-3，则常数 a、b、c 之积 abc= 1 （分数：2.00）解析：30解析 由极值的必要条件知在点(-2，3)
18、处，25.设 u=x 4 +y 4 -4x 2 y 2 ，则 （分数：2.00）解析：12x 2 -8y 2 解析 因 26.设 则在极坐标 （分数：2.00）解析：-sin解析 由 x=rcos，y=rsin，得 u=cos，27.设 则 （分数：2.00）解析：1解析 28.设 f 可微，则由方程 f(cx-az，cy-bz)=0 确定的函数 z=z(x，y)满足 （分数：2.00）解析：c 解析 本题考查多元微分法，是一道基础计算题 方程两边求全微分，得 即 29.设函数 z=z(x，y)由方程 sinx+2y-z=e z 所确定，则 （分数：2.00）解析：解析 方程两端对 x 求偏导
19、数 移项并解出 即得30.函数 f(x，y，z)=-2x 2 在条件 x 2 -y 2 -2z 2 =2 下的极大值是 1 （分数：2.00）解析：-4解析 由拉格朗日乘数法即得31.函数 （分数：2.00）解析：解析 由 即得32.设 z=e sinxy ，则 dz= 1 （分数：2.00）解析：e sinxy cosxy(ydx+xdy) 解析 三、解答题(总题数：7，分数：36.00)33.设 f(x)可导， -x+，y0求(1) (2) (3) （分数：4.00）_正确答案：()解析：【解】本题形式上的研究对象是多元函数，事实上，问题的主体知识是一元函数的极限、导数问题，需要考生在计算
20、的全过程中把握住“谁是变量” 34.试分析下列各个结论是函数 z=f(x，y)在点 P 0 (x 0 ，y 0 )处可微的充分条件还是必要条件 (1)二元函数的极限 存在； (2)二元函数 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )的某个邻域内有界； (3) (4)F(x)=f(x，y 0 )在点 x 0 处可微，G(y)=f(x 0 ，y)在点 y 0 处可微； (5) (6) （分数：8.00）_正确答案：()解析：【解】结论(1)(4)中每一个分别都是 x=f(x，y)在点 P 0 (x 0 ，y 0 )处可微的必要条件，而非充分条件而结论(5)是其既非充分也非必要条件，结论(6)是其充
21、分非必要条件 因 z=f(x，y)在点 P 0 (x 0 ，y 0 )处可微，故 z=f(x，y)在点 P 0 (x 0 ，y 0 )处连续，即 f(x 0 ，y 0 )，则极限 必存在，于是 z=f(x，y)在点 P 0 (x 0 ，y 0 )某邻域内有界 结论(3)表示一元函数 F(x)=f(x，y 0 )在 x 0 处连续，G(y)=f(x 0 ，y)在 y 0 处连续，它是二元函数z=f(x，y)在点 P 0 (x 0 ，y 0 )处连续的必要条件，而非充分条件而 z=f(x，y)在点 P 0 (x 0 ，y 0 )处连续又是其可微的必要条件，且非充分条件 只要在 z=f(x，y)，)
22、在 P 0 (x 0 ，y 0 )的全微分定义 中取特殊情况，分别令 y=0 与 x=0 即证得结论(4) 结论(5)的 表示偏导函数 在 y=y 0 时的一元函数 在 x 0 处连续，它仅是二元偏导函数 在 P 0 (x 0 ，y 0 )处连续的一个必要条件，对 有类似的结果而 z=f(x，y)在 P 0 (x 0 ，y 0 )处可微又是 在 P 0 (x 0 ，y 0 )处连续的另一个必要条件，所以结论(5)既不是充分条件也不是必要条件 结论(6)的等价形式是 设 f(x，y)在点(0，0)处连续，且 （分数：8.00）(1).讨论 f(x，y)在点(0，0)处是否可微，若可微则求出 df
23、(x，y)| (0,0) ；（分数：4.00）_正确答案：()解析：【解】当(x，y)(0，0)时，ln(1+x 2 +y 2 )x 2 +y 2 ， 由 f(x，y)在点(0，0)处的连续性即得 再由极限与无穷小的关系可知， (其中 o(1)为当(x，y)(0，0)时的无穷小量)， 则 f(x，y)-f(0，0)-bx-cy=x 2 +y 2 +(x 2 +y 2 )o(1)= 即 f(x，y)-f(0，0)=bx+cy+o()(0) 由可微性概念 f(x，y)在点(0，0)处可微且 (2).讨论 f(x，y)在点(0，0)处是否取极值，说明理由（分数：4.00）_正确答案：()解析：【解】
24、由 可知， 于是当 b，c 不同时为零时，f(x，y)在点(0，0)处不取极值 当 b=c=0 时，由于 又由极限保号性可知， 当 0x 2 +y 2 2 时， 35.设函数 f(x，y)可微，又 f(0，0)=0， （分数：4.00）_正确答案：()解析：【解】在 (f)=ft，f(t，t 2 )中令 u=t，v=f(1，t 2 )，得 (t)=f(u，v)， 所以 36.设 其中 f 及 二阶可微，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：【解】令 u=xy，v=x+y，则 由于 f 及 二阶可微，而 u=xy，v=x+y 均为初等函数，故满足 这里先求 较为简便一些由复合函数的求导法则，得 37.已知 （分数：4.00）_正确答案：()解析：【解】38.设 其中 f，g 均可微，计算 （分数：4.00）_正确答案：()解析：【解】方法一 设 z=f(u，v)+g(w)，u=xy， 则 方法二 由链式法则直接求导得
