1、考研数学三-85 及答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、解答题(总题数:43,分数:100.00)1.计算 (分数:2.00)_2.已知 求积分 (分数:2.00)_3.求不定积分 (分数:2.00)_4.求不定积分 (分数:2.00)_5.设函数 f(x)连续,且 已知 f(1)=1,求 (分数:2.00)_6.设 f(x)具有二阶导数,且 f“(x)0又设 u(t)在区间0,a(或a,0)上连续证明: (分数:2.00)_7.设在区间e,e 2 上,数 p,q 满足条件 px+qlnx,求使得积分 (分数:2.00)_8.设 f(x)是在区间1,+)上单调减少且非负的连
2、续函数, 证明:(1) 存在; (2)反常积分 与无穷级数 (分数:2.00)_9.设 xOy 平面上有正方形 D=(x,y)|0x1,0y1及直线 l:x+y=t(t0)若 S(t)表示正方形 D位于直线 l 左下方部分的面积,试求 (分数:2.00)_10.设 f(x)在0,+)上连续,0ab,且 收敛,其中常数 A0证明: (分数:2.00)_11.求曲线 (分数:2.00)_12.设 D 是由曲线 y=sinx+1 与三条直线 x=0,x=,y=0 所围成的曲边梯形,求 D 绕 x 轴旋转一周所围成的旋转体的体积 (分数:2.00)_13.如图所示,设曲线方程为 梯形 OABC 的面积
3、为 D,曲边梯形 OABC 的面积为 D 1 ,点 A 的坐标为(a,0),a0证明: (分数:2.00)_14.设函数 f(x)在闭区间0,1上连续,在开区间(0,1)内大于零,并且满足 (分数:2.00)_15.设函数 y(x)(x0)二阶可导且 y“(x)0,y(0)=1过曲线 y=y(x)上任意一点 P(x,y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线,上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S 1 ,区间0,x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S 2 ,并设 2S 1 -S 2 恒为 1,求此曲线 y=y(x)的方程 (分数:2.00)_设 f(x)在(-,+)内连续,以 T
4、为周期,证明:(分数:6.00)(1). (分数:2.00)_(2). (分数:2.00)_(3).(即 f(x)的全体原函数)周期为 (分数:2.00)_16.计算不定积分 (分数:2.00)_17.计算不定积分 (分数:2.00)_18.求定积分的值 (分数:2.00)_19.设常数 0a1,求 (分数:2.00)_20.已知 求 (分数:2.00)_21.设 a,b 均为常数,a-2,a0,求 a,b 为何值时,使 (分数:2.00)_22.直线 y=x 将椭圆 x 2 +3y 2 =6y 分为两块,设小块面积为 A,大块面积为 B,求 (分数:2.00)_23.设 求曲线 y=f(x)
5、与直线 (分数:2.00)_24.设 , (分数:2.00)_25.设函数 f(x)在0,1上连续,(0,1)内可导,且 (分数:2.00)_26.设 f(x),g(x)在a,b上连续证明:至少存在一点 (a,b),使得 (分数:2.00)_27.设 f(x)在区间0,1上连续,在(0,1)内可导,且满足 (分数:2.00)_28.设函数 f(x)有连续导数, (分数:2.00)_29.f(x)在0,1上有连续导数,且 f(0)=0证明:存在 0,1,使得 (分数:2.00)_30.设 f(x)在a,b上连续且严格单调增加证明: (分数:2.00)_31.设函数 f“(x)在a,b上连续,且
6、f(a)=0证明: (分数:2.00)_32.设 f(x),g(x)在0,1上的导数连续,且 f(0)=0,f“(x)0,g“(x)0证明:对任意 a0,1,有 (分数:2.00)_33.设 f(x)在0,上连续,在(0,)内可导,且 (分数:2.00)_设函数 f(x)在a,b上有连续导数,在(a,b)内二阶可导,且 f(a)=f(b)=0, (分数:4.00)(1).在(a,b)内至少存在一点 ,使得 f“()=f“();(分数:2.00)_(2).在(a,b)内至少存在一点 ,且 ,使得 f“()=f()(分数:2.00)_34.设 f(x)在a,b上连续,且 g(x)0证明:存在一点
7、a,b,使 (分数:2.00)_设 f(x)在区间-a,a(a0)上具有二阶连续导数,f(0)=0(分数:4.00)(1).写出 f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式;(分数:2.00)_(2).证明:存在 -a,a,使 (分数:2.00)_35.设 f(x)在0,1上连续,(0,1)内可导,且 f(0)f(1)0, (分数:3.00)_36.f(x)在0,1上连续,(0,1)内可导,且 (分数:3.00)_37.设 f(x)在a,b上连续且 f(x)0,证明: (分数:3.00)_38.设 ab,证明: (分数:3.00)_39.设 f(x),g(x)在a,b上连续,且满足 证明: (
8、分数:3.00)_40.设出售某种商品,已知某边际收益是 R“(x)=(10-x)e -x ,边际成本是 C“(x)=(x 2 -4x+6)e -x ,且固定成本是 2求使这种商品的总利润达到最大值的产量和相应的最大总利润 (分数:3.00)_考研数学三-85 答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、解答题(总题数:43,分数:100.00)1.计算 (分数:2.00)_正确答案:()解析:【解】因 k 值不同,故分情况讨论: 当 k1 时, 即积分收敛; 当 k=1 时, 即积分发散; 当 k1 时, 2.已知 求积分 (分数:2.00)_正确答案:()解析:【解】(1)当
9、0,1 时, (2)当 =1 时, (3)当 =-1 时, (4)当 =0 时, 综上, 故 3.求不定积分 (分数:2.00)_正确答案:()解析:【解】4.求不定积分 (分数:2.00)_正确答案:()解析:【解】5.设函数 f(x)连续,且 已知 f(1)=1,求 (分数:2.00)_正确答案:()解析:【解】令 u=2x-t,则 t=2x-u,dt=-du 当 t=0 时,u=2x;当 t=x 时,u=x故 由已知得 两边对 x 求导,得 即 令 x=1,得 故 6.设 f(x)具有二阶导数,且 f“(x)0又设 u(t)在区间0,a(或a,0)上连续证明: (分数:2.00)_正确答
10、案:()解析:【证】由泰勒公式 以 x=u(t)代入并两边对 t 从 0 到 a 积分,其中暂设 a0,于是有 取 于是得 即有 若 a0,则有 仍取 有 7.设在区间e,e 2 上,数 p,q 满足条件 px+qlnx,求使得积分 (分数:2.00)_正确答案:()解析:【解】要使 最小,直线 y=px+q 应与曲线 y=lnx 相切,从而可得到 p,q 的关系,消去一个参数通过积分求出 I(p)后再用微分方法求 I(p)的极值点 p 0 ,然后再求出 q 的值或将 p,q 都表示成另一个参数 t 的函数形式,求出 I(t)的极值点后,再求出 p,q 的值 方法一 设直线 y=px+q 与曲
11、线 y=lnx 相切于点(t,lnt),则有 于是 令 得唯一驻点 所以, 为极小值点,即最小值点。此时, 方法二 设直线 y=px+q 与曲线 y=lnx 相切于点(t,lnt),则有 于是 令 得唯一驻点 所以, 为极小值点,即最小值点此时, 8.设 f(x)是在区间1,+)上单调减少且非负的连续函数, 证明:(1) 存在; (2)反常积分 与无穷级数 (分数:2.00)_正确答案:()解析:由 f(x)单调减少,故当 kxk+1 时,f(k+1)f(x)f(k)两边从 k 到 k+1 积分,得 即 即a n 有下界又 即数列a n 单调减少,所以 存在 (2)由于 f(x)非负,所以 为
12、 x 的单调增加函数当 nxn+1 时, 所以 由(1)知 存在,所以 从而推知 9.设 xOy 平面上有正方形 D=(x,y)|0x1,0y1及直线 l:x+y=t(t0)若 S(t)表示正方形 D位于直线 l 左下方部分的面积,试求 (分数:2.00)_正确答案:()解析:【解】由题设知 所以, 当 0x1 时, 当 1x2 时, 当 x2 时, 因此 10.设 f(x)在0,+)上连续,0ab,且 收敛,其中常数 A0证明: (分数:2.00)_正确答案:()解析:【证】 所以 解析 积分 对于 A0 收敛,由于 对于 B0,积分 总是存在的,所以对任意 B0,积分 也收敛按定义, 11
13、.求曲线 (分数:2.00)_正确答案:()解析:【解】因为 所以 在点 处的切线 l 方程为 即 所围面积 令 得 t=1 又 S“(1)0,故 t=1 时,S 取最小值,此时 l 的方程为 12.设 D 是由曲线 y=sinx+1 与三条直线 x=0,x=,y=0 所围成的曲边梯形,求 D 绕 x 轴旋转一周所围成的旋转体的体积 (分数:2.00)_正确答案:()解析:【解】13.如图所示,设曲线方程为 梯形 OABC 的面积为 D,曲边梯形 OABC 的面积为 D 1 ,点 A 的坐标为(a,0),a0证明: (分数:2.00)_正确答案:()解析:【证】 因为 所以 14.设函数 f(
14、x)在闭区间0,1上连续,在开区间(0,1)内大于零,并且满足 (分数:2.00)_正确答案:()解析:【解】由题设,当 x0 时, 据此并由 f(x)在点 x=0 处的连续性,得 又由已知条件 即 C=4-a因此, 旋转体的体积为 得 a=-5又 15.设函数 y(x)(x0)二阶可导且 y“(x)0,y(0)=1过曲线 y=y(x)上任意一点 P(x,y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线,上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S 1 ,区间0,x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S 2 ,并设 2S 1 -S 2 恒为 1,求此曲线 y=y(x)的方程 (分数:2.00)_
15、正确答案:()解析:【解】曲线 y=y(x)上点 P(x,y)处的切线方程为 Y-y=y“(X-x) 它与 x 轴的交点为 由于 y“(x)0,y(0)=1,从而 y(x)0,于是 又 由条件 2S 1 -S 2 =1 知 两边对 x 求导并化简得 yy“=(y“) 2 令 p=y“,则上述方程可化为 从而 解得 p=C 1 y,即 设 f(x)在(-,+)内连续,以 T 为周期,证明:(分数:6.00)(1). (分数:2.00)_正确答案:()解析:【证】方法一 故 方法二 其中 代入上式得 (2). (分数:2.00)_正确答案:()解析:【证】(3).(即 f(x)的全体原函数)周期为
16、 (分数:2.00)_正确答案:()解析:【证】只需注意16.计算不定积分 (分数:2.00)_正确答案:()解析:【解】设 右边通分后不难解得: 于是 17.计算不定积分 (分数:2.00)_正确答案:()解析:【解】18.求定积分的值 (分数:2.00)_正确答案:()解析:【解】令 对于任意的 有 用变量代换可得 所以 19.设常数 0a1,求 (分数:2.00)_正确答案:()解析:【解】 对后者作积分变换 x=-t,得 所以 20.已知 求 (分数:2.00)_正确答案:()解析:【解】令 上式两边对 a 求导得 令 y=2ax,则 dy=2adx,所以 上式积分可得 由于 I(0)
17、=0,所以 C=0,令 a=1,得到 21.设 a,b 均为常数,a-2,a0,求 a,b 为何值时,使 (分数:2.00)_正确答案:()解析:【解】 而 若 b-a0,上述极限不存在,所以要使原等式成立,必须 a=b那么 所以 22.直线 y=x 将椭圆 x 2 +3y 2 =6y 分为两块,设小块面积为 A,大块面积为 B,求 (分数:2.00)_正确答案:()解析:【解】直线与椭圆的交点为(0,0), 则 令 y-1=sint,则 而 所以 由于椭圆面积为 故 从而有 23.设 求曲线 y=f(x)与直线 (分数:2.00)_正确答案:()解析:【解】先求 f(x)的表达式,注意到函数
18、 e x 在 x+与 x-的极限,可知 当 x0 时,y=f(x)与 的交点横坐标为 x=1,且显然 0x1 时 所以所求旋转体体积 其中令 x=tant 得, 24.设 , (分数:2.00)_正确答案:()解析:【解】显然,g(0)=1而当 x0 时由“1 ”型极限得 其中, 则不论 x 是否为零都有 g(x)=e -x2 , (1)因令 t=-u 有 故 f(x)为奇函数因 故 y=f(x)有两条水平渐近线 (2)由所考虑的平面图形的对称性及分部积分法得所求的面积为 其中,由洛必达法则得 而 25.设函数 f(x)在0,1上连续,(0,1)内可导,且 (分数:2.00)_正确答案:()解
19、析:【证】由积分中值定理知,在 上存在一点 c 1 ,使 从而有 f(c 1 )=f(0),故 f(x)在区间0,c 1 上满足罗尔定理条件,因此在(0,c 1 )内存在一点 c,使f“(c)=0,c(0,c 1 ) 26.设 f(x),g(x)在a,b上连续证明:至少存在一点 (a,b),使得 (分数:2.00)_正确答案:()解析:【证】记 则 G(x)的原函数为 其中 C 为任意常数, 因为 f(x),g(x)在a,b上连续,所以 F(x):(1)在a,b上连续;(2)在(a,b)内可导;(3)F(a)=F(b)=C,即 F(x)在a,b上满足罗尔定理,所以,至少存在一个 (a,b),使
20、得 F“()=0,即 27.设 f(x)在区间0,1上连续,在(0,1)内可导,且满足 (分数:2.00)_正确答案:()解析:【证】由积分中值定理,得 令 F(x)=e 1-x2 f(x),则 F(x)在 1 ,1上连续,在( 1 ,1)内可导,且 由罗尔定理,在( 1 ,1)内至少有一点 ,使得 F“()=e 1-2 f“()-2f()=0, 于是 f“()=2f(),( 1 ,1) 28.设函数 f(x)有连续导数, (分数:2.00)_正确答案:()解析:【证】 其中 所以 又 29.f(x)在0,1上有连续导数,且 f(0)=0证明:存在 0,1,使得 (分数:2.00)_正确答案:
21、()解析:【证】因为 f“(x)在0,1上连续,所以 f“(x)在0,1上有最小值和最大值,设为 m,M,即有 x 1 ,x 2 0,1,使 f“(x 1 )=m,f“(x 2 )=M 由中值定理,对任意 x0,1,存在 (0,x),使 f(x)=f(x)-f(0)=f“()x,于是有 f“(x 1 )x=mxf(x)=f(x)-f(0)=f“()xMx=f“(x 2 )x, 积分得 因为 f“(x)在0,1上连续,由介值定理,必有 使 30.设 f(x)在a,b上连续且严格单调增加证明: (分数:2.00)_正确答案:()解析:【证】令 则 因为 axt,且 f(x)在a,b上严格单调增加,
22、所以 f(x)-f(t)0,于是有 即 F(t)单调递减,又 F(a)=0,所以 F(b)0,即 即 31.设函数 f“(x)在a,b上连续,且 f(a)=0证明: (分数:2.00)_正确答案:()解析:【证】因为 而 所以 32.设 f(x),g(x)在0,1上的导数连续,且 f(0)=0,f“(x)0,g“(x)0证明:对任意 a0,1,有 (分数:2.00)_正确答案:()解析:【证】令 则 F“(a)=g(a)f“(a)-f“(a)g(1)=f“(a)g(a)-g(1) 因为 x0,1时,f“(x)0,g“(x)0,即函数 f(x),g(x)在0,1上单调递增,又 a1,所以 F“(
23、a)=f“(a)g(a)-g(1)0, 即函数 F(a)在0,1上单调递减,又 所以,F(a)F(1)=0,即 即 33.设 f(x)在0,上连续,在(0,)内可导,且 (分数:2.00)_正确答案:()解析:【证】首先证明 f(x)在(0,)内必有零点 因为在(0,)内 f(x)连续,且 sinx0,所以,若无零点,则恒有 f(x)0 或 f(x)0,从而有 与题设矛盾所以 f(x)在(0,)内必有零点 下面证明 f(x)在(0,)内零点不唯一,即至少有两个零点 用反证法假设 f(x)在(0,)内只有一个零点 x 0 ,则 f(x)在(0,x 0 )和(x 0 ,)上取不同的符号(且不等于零),否则与 矛盾这样,函数 sin(x-x 0 )f(x)在(0,x 0 )和(x 0 ,)上取相同的符号即恒正或恒负 那么有: 但是 设函数 f(x)在a,b上有连续导数,在(a,b)内二阶可导,且 f(a)=f(b)=0, (分数:4.00)(1).在(a,b)内至少存在一点 ,使得 f“()=f“();(分数:2.00)_正确答案:()解析:【证】由加强型的积分中值定理知,至少存在一点 c(a,b),使得 (2).在(a,b)内至少存在一点 ,且 ,使得 f“()=f()(分数:2.00)_