1、考研数学三-85 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：43，分数：100.00)1.计算 （分数：2.00）_2.已知 求积分 （分数：2.00）_3.求不定积分 （分数：2.00）_4.求不定积分 （分数：2.00）_5.设函数 f(x)连续，且 已知 f(1)=1，求 （分数：2.00）_6.设 f(x)具有二阶导数，且 f“(x)0又设 u(t)在区间0，a(或a，0)上连续证明： （分数：2.00）_7.设在区间e，e 2 上，数 p，q 满足条件 px+qlnx，求使得积分 （分数：2.00）_8.设 f(x)是在区间1，+)上单调减少且非负的连
2、续函数， 证明：(1) 存在； (2)反常积分 与无穷级数 （分数：2.00）_9.设 xOy 平面上有正方形 D=(x，y)|0x1，0y1及直线 l：x+y=t(t0)若 S(t)表示正方形 D位于直线 l 左下方部分的面积，试求 （分数：2.00）_10.设 f(x)在0，+)上连续，0ab，且 收敛，其中常数 A0证明： （分数：2.00）_11.求曲线 （分数：2.00）_12.设 D 是由曲线 y=sinx+1 与三条直线 x=0，x=，y=0 所围成的曲边梯形，求 D 绕 x 轴旋转一周所围成的旋转体的体积 （分数：2.00）_13.如图所示，设曲线方程为 梯形 OABC 的面积
3、为 D，曲边梯形 OABC 的面积为 D 1 ，点 A 的坐标为(a，0)，a0证明： （分数：2.00）_14.设函数 f(x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0，1)内大于零，并且满足 （分数：2.00）_15.设函数 y(x)(x0)二阶可导且 y“(x)0，y(0)=1过曲线 y=y(x)上任意一点 P(x，y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S 1 ，区间0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S 2 ，并设 2S 1 -S 2 恒为 1，求此曲线 y=y(x)的方程 （分数：2.00）_设 f(x)在(-，+)内连续，以 T
4、为周期，证明：（分数：6.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_(3).(即 f(x)的全体原函数)周期为 （分数：2.00）_16.计算不定积分 （分数：2.00）_17.计算不定积分 （分数：2.00）_18.求定积分的值 （分数：2.00）_19.设常数 0a1，求 （分数：2.00）_20.已知 求 （分数：2.00）_21.设 a，b 均为常数，a-2，a0，求 a，b 为何值时，使 （分数：2.00）_22.直线 y=x 将椭圆 x 2 +3y 2 =6y 分为两块，设小块面积为 A，大块面积为 B，求 （分数：2.00）_23.设 求曲线 y=f(x)
5、与直线 （分数：2.00）_24.设 ， （分数：2.00）_25.设函数 f(x)在0，1上连续，(0，1)内可导，且 （分数：2.00）_26.设 f(x)，g(x)在a，b上连续证明：至少存在一点 (a，b)，使得 （分数：2.00）_27.设 f(x)在区间0，1上连续，在(0，1)内可导，且满足 （分数：2.00）_28.设函数 f(x)有连续导数， （分数：2.00）_29.f(x)在0，1上有连续导数，且 f(0)=0证明：存在 0，1，使得 （分数：2.00）_30.设 f(x)在a，b上连续且严格单调增加证明： （分数：2.00）_31.设函数 f“(x)在a，b上连续，且
6、f(a)=0证明： （分数：2.00）_32.设 f(x)，g(x)在0，1上的导数连续，且 f(0)=0，f“(x)0，g“(x)0证明：对任意 a0，1，有 （分数：2.00）_33.设 f(x)在0，上连续，在(0，)内可导，且 （分数：2.00）_设函数 f(x)在a，b上有连续导数，在(a，b)内二阶可导，且 f(a)=f(b)=0， （分数：4.00）(1).在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f“()=f“()；（分数：2.00）_(2).在(a，b)内至少存在一点 ，且 ，使得 f“()=f()（分数：2.00）_34.设 f(x)在a，b上连续，且 g(x)0证明：存在一点
7、a，b，使 （分数：2.00）_设 f(x)在区间-a，a(a0)上具有二阶连续导数，f(0)=0（分数：4.00）(1).写出 f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；（分数：2.00）_(2).证明：存在 -a，a，使 （分数：2.00）_35.设 f(x)在0，1上连续，(0，1)内可导，且 f(0)f(1)0， （分数：3.00）_36.f(x)在0，1上连续，(0，1)内可导，且 （分数：3.00）_37.设 f(x)在a，b上连续且 f(x)0，证明： （分数：3.00）_38.设 ab，证明： （分数：3.00）_39.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，且满足 证明： （
8、分数：3.00）_40.设出售某种商品，已知某边际收益是 R“(x)=(10-x)e -x ，边际成本是 C“(x)=(x 2 -4x+6)e -x ，且固定成本是 2求使这种商品的总利润达到最大值的产量和相应的最大总利润 （分数：3.00）_考研数学三-85 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：43，分数：100.00)1.计算 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】因 k 值不同，故分情况讨论： 当 k1 时， 即积分收敛； 当 k=1 时， 即积分发散； 当 k1 时， 2.已知 求积分 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】(1)当
9、0，1 时， (2)当 =1 时， (3)当 =-1 时， (4)当 =0 时， 综上， 故 3.求不定积分 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】4.求不定积分 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】5.设函数 f(x)连续，且 已知 f(1)=1，求 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】令 u=2x-t，则 t=2x-u，dt=-du 当 t=0 时，u=2x；当 t=x 时，u=x故 由已知得 两边对 x 求导，得 即 令 x=1，得 故 6.设 f(x)具有二阶导数，且 f“(x)0又设 u(t)在区间0，a(或a，0)上连续证明： （分数：2.00）_正确答
10、案：()解析：【证】由泰勒公式 以 x=u(t)代入并两边对 t 从 0 到 a 积分，其中暂设 a0，于是有 取 于是得 即有 若 a0，则有 仍取 有 7.设在区间e，e 2 上，数 p，q 满足条件 px+qlnx，求使得积分 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】要使 最小，直线 y=px+q 应与曲线 y=lnx 相切，从而可得到 p，q 的关系，消去一个参数通过积分求出 I(p)后再用微分方法求 I(p)的极值点 p 0 ，然后再求出 q 的值或将 p，q 都表示成另一个参数 t 的函数形式，求出 I(t)的极值点后，再求出 p，q 的值 方法一 设直线 y=px+q 与曲
11、线 y=lnx 相切于点(t，lnt)，则有 于是 令 得唯一驻点 所以， 为极小值点，即最小值点。此时， 方法二 设直线 y=px+q 与曲线 y=lnx 相切于点(t，lnt)，则有 于是 令 得唯一驻点 所以， 为极小值点，即最小值点此时， 8.设 f(x)是在区间1，+)上单调减少且非负的连续函数， 证明：(1) 存在； (2)反常积分 与无穷级数 （分数：2.00）_正确答案：()解析：由 f(x)单调减少，故当 kxk+1 时，f(k+1)f(x)f(k)两边从 k 到 k+1 积分，得 即 即a n 有下界又 即数列a n 单调减少，所以 存在 (2)由于 f(x)非负，所以 为
12、 x 的单调增加函数当 nxn+1 时， 所以 由(1)知 存在，所以 从而推知 9.设 xOy 平面上有正方形 D=(x，y)|0x1，0y1及直线 l：x+y=t(t0)若 S(t)表示正方形 D位于直线 l 左下方部分的面积，试求 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】由题设知 所以， 当 0x1 时， 当 1x2 时， 当 x2 时， 因此 10.设 f(x)在0，+)上连续，0ab，且 收敛，其中常数 A0证明： （分数：2.00）_正确答案：()解析：【证】 所以 解析 积分 对于 A0 收敛，由于 对于 B0，积分 总是存在的，所以对任意 B0，积分 也收敛按定义， 11
13、.求曲线 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】因为 所以 在点 处的切线 l 方程为 即 所围面积 令 得 t=1 又 S“(1)0，故 t=1 时，S 取最小值，此时 l 的方程为 12.设 D 是由曲线 y=sinx+1 与三条直线 x=0，x=，y=0 所围成的曲边梯形，求 D 绕 x 轴旋转一周所围成的旋转体的体积 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】13.如图所示，设曲线方程为 梯形 OABC 的面积为 D，曲边梯形 OABC 的面积为 D 1 ，点 A 的坐标为(a，0)，a0证明： （分数：2.00）_正确答案：()解析：【证】 因为 所以 14.设函数 f(
14、x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0，1)内大于零，并且满足 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】由题设，当 x0 时， 据此并由 f(x)在点 x=0 处的连续性，得 又由已知条件 即 C=4-a因此， 旋转体的体积为 得 a=-5又 15.设函数 y(x)(x0)二阶可导且 y“(x)0，y(0)=1过曲线 y=y(x)上任意一点 P(x，y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S 1 ，区间0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S 2 ，并设 2S 1 -S 2 恒为 1，求此曲线 y=y(x)的方程 （分数：2.00）_
15、正确答案：()解析：【解】曲线 y=y(x)上点 P(x，y)处的切线方程为 Y-y=y“(X-x) 它与 x 轴的交点为 由于 y“(x)0，y(0)=1，从而 y(x)0，于是 又 由条件 2S 1 -S 2 =1 知 两边对 x 求导并化简得 yy“=(y“) 2 令 p=y“，则上述方程可化为 从而 解得 p=C 1 y，即 设 f(x)在(-，+)内连续，以 T 为周期，证明：（分数：6.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：()解析：【证】方法一 故 方法二 其中 代入上式得 (2). （分数：2.00）_正确答案：()解析：【证】(3).(即 f(x)的全体原函数)周期为
16、 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【证】只需注意16.计算不定积分 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】设 右边通分后不难解得： 于是 17.计算不定积分 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】18.求定积分的值 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】令 对于任意的 有 用变量代换可得 所以 19.设常数 0a1，求 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】 对后者作积分变换 x=-t，得 所以 20.已知 求 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】令 上式两边对 a 求导得 令 y=2ax，则 dy=2adx，所以 上式积分可得 由于 I(0)
17、=0，所以 C=0，令 a=1，得到 21.设 a，b 均为常数，a-2，a0，求 a，b 为何值时，使 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】 而 若 b-a0，上述极限不存在，所以要使原等式成立，必须 a=b那么 所以 22.直线 y=x 将椭圆 x 2 +3y 2 =6y 分为两块，设小块面积为 A，大块面积为 B，求 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】直线与椭圆的交点为(0，0)， 则 令 y-1=sint，则 而 所以 由于椭圆面积为 故 从而有 23.设 求曲线 y=f(x)与直线 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】先求 f(x)的表达式，注意到函数
18、 e x 在 x+与 x-的极限，可知 当 x0 时，y=f(x)与 的交点横坐标为 x=1，且显然 0x1 时 所以所求旋转体体积 其中令 x=tant 得， 24.设 ， （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】显然，g(0)=1而当 x0 时由“1 ”型极限得 其中， 则不论 x 是否为零都有 g(x)=e -x2 ， (1)因令 t=-u 有 故 f(x)为奇函数因 故 y=f(x)有两条水平渐近线 (2)由所考虑的平面图形的对称性及分部积分法得所求的面积为 其中，由洛必达法则得 而 25.设函数 f(x)在0，1上连续，(0，1)内可导，且 （分数：2.00）_正确答案：()解
19、析：【证】由积分中值定理知，在 上存在一点 c 1 ，使 从而有 f(c 1 )=f(0)，故 f(x)在区间0，c 1 上满足罗尔定理条件，因此在(0，c 1 )内存在一点 c，使f“(c)=0，c(0，c 1 ) 26.设 f(x)，g(x)在a，b上连续证明：至少存在一点 (a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【证】记 则 G(x)的原函数为 其中 C 为任意常数， 因为 f(x)，g(x)在a，b上连续，所以 F(x)：(1)在a，b上连续；(2)在(a，b)内可导；(3)F(a)=F(b)=C，即 F(x)在a，b上满足罗尔定理，所以，至少存在一个 (a，b)，使
20、得 F“()=0，即 27.设 f(x)在区间0，1上连续，在(0，1)内可导，且满足 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【证】由积分中值定理，得 令 F(x)=e 1-x2 f(x)，则 F(x)在 1 ，1上连续，在( 1 ，1)内可导，且 由罗尔定理，在( 1 ，1)内至少有一点 ，使得 F“()=e 1-2 f“()-2f()=0， 于是 f“()=2f()，( 1 ，1) 28.设函数 f(x)有连续导数， （分数：2.00）_正确答案：()解析：【证】 其中 所以 又 29.f(x)在0，1上有连续导数，且 f(0)=0证明：存在 0，1，使得 （分数：2.00）_正确答案：
21、()解析：【证】因为 f“(x)在0，1上连续，所以 f“(x)在0，1上有最小值和最大值，设为 m，M，即有 x 1 ，x 2 0，1，使 f“(x 1 )=m，f“(x 2 )=M 由中值定理，对任意 x0，1，存在 (0，x)，使 f(x)=f(x)-f(0)=f“()x，于是有 f“(x 1 )x=mxf(x)=f(x)-f(0)=f“()xMx=f“(x 2 )x， 积分得 因为 f“(x)在0，1上连续，由介值定理，必有 使 30.设 f(x)在a，b上连续且严格单调增加证明： （分数：2.00）_正确答案：()解析：【证】令 则 因为 axt，且 f(x)在a，b上严格单调增加，
22、所以 f(x)-f(t)0，于是有 即 F(t)单调递减，又 F(a)=0，所以 F(b)0，即 即 31.设函数 f“(x)在a，b上连续，且 f(a)=0证明： （分数：2.00）_正确答案：()解析：【证】因为 而 所以 32.设 f(x)，g(x)在0，1上的导数连续，且 f(0)=0，f“(x)0，g“(x)0证明：对任意 a0，1，有 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【证】令 则 F“(a)=g(a)f“(a)-f“(a)g(1)=f“(a)g(a)-g(1) 因为 x0，1时，f“(x)0，g“(x)0，即函数 f(x)，g(x)在0，1上单调递增，又 a1，所以 F“(
23、a)=f“(a)g(a)-g(1)0， 即函数 F(a)在0，1上单调递减，又 所以，F(a)F(1)=0，即 即 33.设 f(x)在0，上连续，在(0，)内可导，且 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【证】首先证明 f(x)在(0，)内必有零点 因为在(0，)内 f(x)连续，且 sinx0，所以，若无零点，则恒有 f(x)0 或 f(x)0，从而有 与题设矛盾所以 f(x)在(0，)内必有零点 下面证明 f(x)在(0，)内零点不唯一，即至少有两个零点 用反证法假设 f(x)在(0，)内只有一个零点 x 0 ，则 f(x)在(0，x 0 )和(x 0 ，)上取不同的符号(且不等于零)，否则与 矛盾这样，函数 sin(x-x 0 )f(x)在(0，x 0 )和(x 0 ，)上取相同的符号即恒正或恒负 那么有： 但是 设函数 f(x)在a，b上有连续导数，在(a，b)内二阶可导，且 f(a)=f(b)=0， （分数：4.00）(1).在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f“()=f“()；（分数：2.00）_正确答案：()解析：【证】由加强型的积分中值定理知，至少存在一点 c(a，b)，使得 (2).在(a，b)内至少存在一点 ，且 ，使得 f“()=f()（分数：2.00）_
