1、考研数学三-84 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：35，分数：100.00)1.求 （分数：2.00）_2.设 求 （分数：2.00）_3.求不定积分 （分数：2.00）_4.求不定积分 （分数：2.00）_5.已知 f(x)的一个原函数为(1+sinx)lnx，求 （分数：2.00）_6.求 （分数：2.00）_7.求 （分数：2.00）_8.求 （分数：2.00）_9.求 （分数：2.00）_10.求 （分数：2.00）_11.求 （分数：2.00）_12.求 （分数：2.00）_13.求 （分数：2.00）_14.求 （分数：2.00）_15.计
2、算 （分数：2.00）_16.设 计算 （分数：2.00）_17.求 （分数：2.00）_18.求不定积分 （分数：2.00）_求下列积分：（分数：14.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_(3). （分数：2.00）_(4). （分数：2.00）_(5). （分数：2.00）_(6). （分数：2.00）_(7). （分数：2.00）_计算下列积分：（分数：8.00）(1).其中，x表示不超过 x 的最大整数 （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_(3).设 求 （分数：2.00）_(4).已知 求 （分数：2.00）_19.求 （分数：2.00）_
3、20.设 求 （分数：2.00）_21.计算定积分 （分数：2.00）_22.计算定积分 （分数：2.00）_23.设函数 x=x(y)由方程 x(y-x) 2 =y 所确定，试求不定积分 （分数：2.00）_24.计算 （分数：2.00）_25.计算 其中，当 x0 时，f(x)=x，而 （分数：2.00）_26.已知 f(x)连续， 求 （分数：2.00）_27.计算 （分数：2.00）_设 （分数：4.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_28.计算 其中 （分数：2.00）_对于实数 x0，定义对数函数 （分数：6.00）(1). （分数：3.00）_(2)
4、.ln(xy)=lnx+lny(x0，y0)（分数：3.00）_29.计算 （分数：3.00）_30.计算 （分数：3.00）_(1).若 （分数：3.00）_(2).若 f(x)在(-，+)上连续，且 （分数：3.00）_考研数学三-84 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：35，分数：100.00)1.求 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】2.设 求 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】当 x1 时， 当 0x1 时， 当 x0 时， 因为 f(x)在(-，1)内连续，所以 在(-，1)内存在，因而 在 x=0 处连续可导，因此 又
5、因 x=1 为 f(x)的第一类间断点，所以在包含 x=1 的区间内 f(x)的原函数不存在，故 3.求不定积分 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】4.求不定积分 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】方法一 方法二 5.已知 f(x)的一个原函数为(1+sinx)lnx，求 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】由于 又由于(1+sinx)lnx 为 f(x)的一个原函数， 因此 故 6.求 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】方法一 方法二 7.求 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】借助下图得 8.求 （分数：2.00）_正确答案：()解析
6、：【解】 而 所以 于是 9.求 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】方法一 因为 所以可令 比较系数得， 方法二 10.求 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】方法一 方法二 11.求 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】方法一 方法二 于是 所以 12.求 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】13.求 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】利用表格的形式： 14.求 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】方法一 令 所以 方法二 15.计算 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】16.设 计算 （分数：2.00）_正确答案：(
7、)解析：【解】设 lnx=t，则 x=e t ， 17.求 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】设 x=tanu，则 dx=sec 2 udu， 18.求不定积分 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】令 于是 求下列积分：（分数：14.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】本题考查的知识点是不定积分的分部积分法，关键是选好 u 和 dv (2). （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】本题考查典型的有理函数的不定积分，首先凑微分，然后将分母配方 (3). （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】因 x=-(1-x)-1，从而可用凑微分法
8、 (4). （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】本题考查定积分的性质和定积分的计算，由于是对称区间上的定积分，一般利用奇函数，偶函数在对称区间上积分性质简化计算，本题还用到了华里士公式 (5). （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】此题计算量大些，考虑用分部积分法 先计算 然后分部积分，留 arccosx，移 到 d 后面，即 (6). （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】由于(x-lnx)“1-lnx，分子分母同时除以 x 2 得 注意到 (7). （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】一般会想到如下解法：用牛顿莱布尼茨公式，令 t=tanx，则 x=a
9、rctant， 则 故 积分值为负，这无疑是错误的，但错在哪里呢? 因为由函数 处无意义，可知 既不是 在整个积分区间 上的原函数，在积分区间 上也不是连续的，故不符合牛顿莱布尼茨公式及其推广的条件 如果用换元法呢?令 t=tanx，则 =tan0=0， 所以 这当然是错的，错在哪里呢?因为当 t-1，0时，x=arctant 之值不落在原积分区间 上 事实上，补救的办法是将积分区间拆开， 由此，得 计算下列积分：（分数：8.00）(1).其中，x表示不超过 x 的最大整数 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】因分段函数 则由定积分的分段可加性得 (2). （分数：2.00）_正确答
10、案：()解析：【解】因分段函数 则由定积分的分段可加性得 (3).设 求 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】令 t=x-2，则由定积分的分段可加性得， (4).已知 求 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】令 t=x-2n，则由定积分的分段可加性与分部积分得， 19.求 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】20.设 求 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】令 u=sin 2 x，则有 于是 21.计算定积分 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】令 1-x=sint，则22.计算定积分 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】23.设函数
11、 x=x(y)由方程 x(y-x) 2 =y 所确定，试求不定积分 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】令 y-x=t，则(y-t)t 2 =y，故 从而有 由 得 t 3 -3t=A(t 3 +t 2 -t-1)+B(t 2 +2t+1)+C(t 3 -t 2 -t+1)+D(t 2 -2t+1) =(A+C)t 3 +(A+B-C+D)t 2 +(-A+2B-C-2D)t-A+B+C+D 比较 t 的同次幂的系数得 解出 所以 24.计算 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】令 则 x=t 2 ，dx=2tdt，故 25.计算 其中，当 x0 时，f(x)=x，而 （分
12、数：2.00）_正确答案：()解析：【解】方法一 令 x=u-t，则 于是 方法二 令 x-t=u，则 26.已知 f(x)连续， 求 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】令 x-t=u，有 于是 两边对 x 求导，得 在上式中，令 得 27.计算 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】设 （分数：4.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：()解析：【证】 当 n=2k 时， 当 n=2k+1 时， 其中 (2). （分数：2.00）_正确答案：()解析：【证】由 时，0tanx1，于是 则 28.计算 其中 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】由分部积分法
13、可知 又因为，f(1)=0， 故 对于实数 x0，定义对数函数 （分数：6.00）(1). （分数：3.00）_正确答案：()解析：【证】令 则有 (2).ln(xy)=lnx+lny(x0，y0)（分数：3.00）_正确答案：()解析：【证】令 t=x，则有29.计算 （分数：3.00）_正确答案：()解析：【解】由分部积分可得 故 递推得 又 所以 30.计算 （分数：3.00）_正确答案：()解析：【解】因为 所以 x=0 不是瑕点 由 可得 这里用到了 (1).若 （分数：3.00）_正确答案：()解析：【证】因为 所以 (2).若 f(x)在(-，+)上连续，且 （分数：3.00）_正确答案：()解析：【证】由
