1、考研数学三-82 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：25，分数：50.00)1.设 则 f(x)=_ A B （分数：2.00）A.B.C.D.2.设 （分数：2.00）A.I1I2I3B.I3I2I1C.I2I3I1D.I2I1I33. _ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.4. _ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.5. _ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.6. _ A B Carctan(-cos2x)+C D （分数：2.00）A.B.C.D.7. _ A B C D （分数：2.00）A.B.C
2、.D.8.设 f(x)在a，b上非负，在(a，b)内 f“(x)0，f“(x)0 I 2 = （分数：2.00）A.I1I2I3B.I2I3I1C.I1I3I2D.I3I2I19.设 （分数：2.00）A.等价无穷小B.同阶但非等价无穷小C.高阶无穷小D.低阶无穷小10.设 则_ （分数：2.00）A.NPQB.NQPC.QPND.PNQ11.若x表示不超过 x 的最大整数，则积分 （分数：2.00）A.0B.2C.4D.612.函数 的最小值为_ A B-1 C0 D （分数：2.00）A.B.C.D.13.设 f(x)连续，则在下列变上限积分中，必为偶函数的是_ A B C D （分数：2
3、.00）A.B.C.D.14.设函数 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0则方程 （分数：2.00）A.0 个B.1 个C.2 个D.无穷多个15.设 f(x)连续，f(0)=1，f“(0)=2下列曲线与曲线 y=f(x)必有公共切线的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.16.设 (x)在a，b上连续，且 (x)0，则函数 （分数：2.00）A.为凸B.为凹C.有拐点D.有间断点17.则_ （分数：2.00）A.F(x)为 f(x)的一个原函数B.F(x)在(-，+)上可微，但不是 f(x)的原函数C.F(x)在(-，+)上不连续D.F(x)在(-，+)上连续，但不是 f
4、(x)的原函数18.设 则在(-，+)内，下列正确的是_ （分数：2.00）A.f(x)不连续且不可微，F(x)可微，且为 f(x)的原函数B.f(x)不连续，不存在原函数，因而 F(x)不是 f(x)的原函数C.f(x)和 F(x)均为可微函数，且 F(x)为 f(x)的一个原函数D.f(x)连续，且 F“(x)=f(x)19.设 （分数：2.00）A.为正常数B.为负常数C.恒为零D.不为常数20.设 f(x)是以 l 为周期的周期函数，则 （分数：2.00）A.仅与 a 有关B.仅与 a 无关C.与 a 及 k 都无关D.与 a 及 k 都有关21.设 f(x)是以 T 为周期的可微函数
5、，则下列函数中以 T 为周期的函数是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.22.下列反常积分收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.23.以下 4 个命题，正确的个数为_ 设 f(x)是(-，+)上连续的奇函数，则 必收敛，且 设 f(x 在(-，+)上连续，且 存在，则 必收敛，且 若 与 都发散，则 未必发散； 若 与 都发散，则 （分数：2.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个24.由曲线 与 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转所成旋转体的体积为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.25.抛物线 y 2 =2x 与直线 y=x-
6、4 所围成的图形的面积为_ A B18 C （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：15，分数：50.00)26. （分数：3.00）27.已知 是 f(x)的原函数，则 （分数：3.00）28.x x (1+lnx)的全体原函数为 1 （分数：3.00）29. （分数：3.00）30. （分数：3.00）31.若 且 x=at+b(a0)，则 （分数：3.50）32. （分数：3.50）33.设 f“(e x )=1+x，则 f(x)= 1 （分数：3.50）34. （分数：3.50）35.将 （分数：3.50）36.设 f(x)的一个原函数为 lnx，则 f“(x)= 1 （
7、分数：3.50）37.已知函数 F(x)的导数为 且 （分数：3.50）38. （分数：3.50）39. （分数：3.50）40. （分数：3.50）考研数学三-82 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：25，分数：50.00)1.设 则 f(x)=_ A B （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 由题中所给式子变形得 记 (常数)，则在式两端作1，e上的积分，得 解得 2.设 （分数：2.00）A.I1I2I3B.I3I2I1C.I2I3I1D.I2I1I3 解析：解析 首先，由 可得，I 2 I 1 其次， 其中 3. _ A B C D （分
8、数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 4. _ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 设 x=t 6 ，则 dx=6t 5 dt 所以 5. _ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 6. _ A B Carctan(-cos2x)+C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 7. _ A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 8.设 f(x)在a，b上非负，在(a，b)内 f“(x)0，f“(x)0 I 2 = （分数：2.00）A.I1I2I3B.I2I3I1C.I1I3I2D.I3I2I1 解析：
9、解析 如下图所示，I 1 是梯形 AabB 的面积，I 2 是曲边梯形 AabB 的面积，I 3 是长方形 A 1 abB 的面积由于 f“(x)0，f“(x)0，y=f(x)单调减少且图形为凹由图可知 I 3 I 2 I 1 9.设 （分数：2.00）A.等价无穷小B.同阶但非等价无穷小 C.高阶无穷小D.低阶无穷小解析：解析 需要计算 f(x)与 g(x)比值的极限 10.设 则_ （分数：2.00）A.NPQB.NQPC.QPND.PNQ 解析：解析 x 2 sin 3 x 是奇函数，故 N=0，x 3 e x2 是奇函数，故 11.若x表示不超过 x 的最大整数，则积分 （分数：2.0
10、0）A.0B.2C.4D.6 解析：解析 12.函数 的最小值为_ A B-1 C0 D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 得唯一驻点 又 知 f(x)在 处取最小值13.设 f(x)连续，则在下列变上限积分中，必为偶函数的是_ A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 奇函数的原函数是偶函数(请读者自己证之，但要注意，偶函数 f(x)的原函数只有14.设函数 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0则方程 （分数：2.00）A.0 个B.1 个 C.2 个D.无穷多个解析：解析 令 则 F(x)在a，b上连续，而且 故 F(x)在(a，b)内有根 又 15.
11、设 f(x)连续，f(0)=1，f“(0)=2下列曲线与曲线 y=f(x)必有公共切线的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 曲线 y=f(x)在横坐标 x=0 对应的点(0，1)处切线为 y=1+2x选项(D)中函数记为y=F(x)由 F(0)=1，F“(0)=2f(0)=2，知曲线 y=F(x)在横坐标 x=0 对应点处切线方程也为 y=1+2x故应选(D)16.设 (x)在a，b上连续，且 (x)0，则函数 （分数：2.00）A.为凸B.为凹 C.有拐点D.有间断点解析：解析 先将 (x)利用|x-t|的分段性分解变形，有 因为 (t)在a，b上连续，所以
12、 (x)可导，因而答案不可能是(D)其余三个选项，只需求出 “(x)，讨论 “(x)在(a，b)内的符号即可因 17.则_ （分数：2.00）A.F(x)为 f(x)的一个原函数B.F(x)在(-，+)上可微，但不是 f(x)的原函数C.F(x)在(-，+)上不连续D.F(x)在(-，+)上连续，但不是 f(x)的原函数 解析：解析 请看通常的解法： 求积分并用连续性确定积分常数，可得 但是 所以 18.设 则在(-，+)内，下列正确的是_ （分数：2.00）A.f(x)不连续且不可微，F(x)可微，且为 f(x)的原函数 B.f(x)不连续，不存在原函数，因而 F(x)不是 f(x)的原函数
13、C.f(x)和 F(x)均为可微函数，且 F(x)为 f(x)的一个原函数D.f(x)连续，且 F“(x)=f(x)解析：解析 可以验证 x=0 为 f(x)的第二类间断点，因为 不存在，故 x=0 为 f(x)的振荡间断点，可能存在原函数 通过计算 19.设 （分数：2.00）A.为正常数 B.为负常数C.恒为零D.不为常数解析：解析 因 e sinx sinx 是以 2 为周期的周期函数，所以 20.设 f(x)是以 l 为周期的周期函数，则 （分数：2.00）A.仅与 a 有关B.仅与 a 无关C.与 a 及 k 都无关 D.与 a 及 k 都有关解析：解析 因为 f(x)是以 l 为周
14、期的周期函数，所以 21.设 f(x)是以 T 为周期的可微函数，则下列函数中以 T 为周期的函数是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 当 g(x+T)=g(x)时，因为 因为，f(x)是以 T 为周期的函数，所以 4 个选项中的被积函数都是以 T 为周期的周期函数，但是仅 因此，只有 22.下列反常积分收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 选项(A)中， 在选项(B)中， 在选项(C)中， 在选项(D)中， 23.以下 4 个命题，正确的个数为_ 设 f(x)是(-，+)上连续的奇函数，则 必收敛，且 设 f(x 在(-，
15、+)上连续，且 存在，则 必收敛，且 若 与 都发散，则 未必发散； 若 与 都发散，则 （分数：2.00）A.1 个 B.2 个C.3 个D.4 个解析：解析 都收敛，此时 设 f(x)=x，则，f(x)是(-，+)上连续的奇函数，且 但是 故 发散，这表明命题，都不是真命题 设 f(x)=x，g(x)=-x，由上面讨论可知 都发散，但 24.由曲线 与 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转所成旋转体的体积为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 25.抛物线 y 2 =2x 与直线 y=x-4 所围成的图形的面积为_ A B18 C （分数：2.00）A.B. C.D
16、.解析：解析 选积分变量为 y(如下图)，两条曲线的交点 所求面积 二、填空题(总题数：15，分数：50.00)26. （分数：3.00）解析：解析 27.已知 是 f(x)的原函数，则 （分数：3.00）解析： 解析 因为 是 f(x)的原函数，所以 28.x x (1+lnx)的全体原函数为 1 （分数：3.00）解析：x x +C，其中 C 为任意常数 解析 因为(x x )“=(e xlnx )“=x x (1+lnx)，所以 29. （分数：3.00）解析：解析 30. （分数：3.00）解析：解析 31.若 且 x=at+b(a0)，则 （分数：3.50）解析：F(t)+C，其中
17、C 为任意常数解析 因 F“(x)=f(x)，故 F“(t)=f(t)，于是32. （分数：3.50）解析：解析 33.设 f“(e x )=1+x，则 f(x)= 1 （分数：3.50）解析：xlnx+C，其中 C 为任意常数 解析 设 u=e x ，则 x=lnu，由 f“(e x )=1+x，得 34. （分数：3.50）解析：解析 35.将 （分数：3.50）解析：36.设 f(x)的一个原函数为 lnx，则 f“(x)= 1 （分数：3.50）解析：解析 由题设，37.已知函数 F(x)的导数为 且 （分数：3.50）解析： 解析 由题意 故 又 得 故 38. （分数：3.50）解析：解析 39. （分数：3.50）解析： 解析 设 40. （分数：3.50）解析：解析
