1、考研数学三-80 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：33，分数：100.00)1.设 0k1，f(x)=kx-arctanx证明：f(x)在(0，+)中有唯一的零点，即存在唯一的 x 0 (0，+)，使 f(x 0 )=0 （分数：2.00）_2.f(x)在(-，+)上连续， （分数：2.00）_3.设 T=cosn，=arccosx，求 （分数：2.00）_4.已知 y=x 2 sin2x，求 y (50) （分数：2.00）_5.计算 （分数：2.00）_6.已知 （分数：2.00）_7.已知 f(x)是周期为 5的连续函数，它在 x=0的某邻域内满
2、足关系式：f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+a(x)，其中 (x)是当 x0 时比 x高阶的无穷小，且 f(x)在 x=1处可导，求 y=f(x)在点(6，f(6)处的切线方程 （分数：2.00）_8.设 （分数：2.00）_求下列函数的导数：（分数：8.00）(1).y=a ax +a xx +a xa +a aa (a0)；（分数：2.00）_(2).y=e f(x) f(e x )；（分数：2.00）_(3). （分数：2.00）_(4).设 f(t)具有二阶导数， （分数：2.00）_(1).设 （分数：2.00）_(2).函数 y=y(x)由方程 cos(x 2 +y
3、2 )+e x -x 2 y=0所确定，求 （分数：2.00）_9.设 （分数：3.00）_10.设函数 y=f(x)由参数方程 所确定，其中 (t)具有二阶导数，且已知 证明：函数 (t)满足方程 （分数：3.00）_11.设 （分数：3.00）_12.设 （分数：3.00）_13.设 y=sin 4 x-cos 4 x，求 y (n) （分数：3.00）_14.设 y=e x sinx，求 y (n) （分数：3.00）_15.设 （分数：3.00）_16.设 f(x)满足 （分数：3.00）_17.设 （分数：3.00）_18.顶角为 60，底圆半径为 a的正圆锥形漏斗内盛满水，下接底圆
4、半径为 b(ba)的圆柱形水桶(假设水桶的体积大于漏斗的体积)，水由漏斗注入水桶，问当漏斗水平面下降速度与水桶水平面上升速度相等时，漏斗中水平面高度是多少? （分数：3.00）_19.防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如下图)，截面的面积为 5平方米，问底宽 x为多少时才能使建造时所用的材料最省? （分数：3.00）_20.试证明：曲线 （分数：3.00）_21.作函数的图形 （分数：3.00）_22.求函数 y=e x cosx的极值 （分数：3.00）_23.若函数 f(x)在(-，+)内满足关系式 f“(x)=f(x)，且 f(0)=1证明：f(x)=e x （分数：3.00）_24.设 f
5、(x)可导，证明：f(x)的两个零点之间一定有 f(x)+f“(x)的零点 （分数：3.00）_设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0求证：（分数：6.00）(1).存在 (a，b)，使 f()+f“()=0；（分数：3.00）_(2).存在 (a，b)，使 f()+f“()=0（分数：3.00）_25.设函数 f(x)在-2，2上二阶可导，且|f(x)|1，又 f 2 (0)+f“(0) 2 =4试证：在(-2，2)内至少存在一点 ，使得 f()+f“()=0 （分数：3.00）_26.设函数 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f“(0)=f“
6、(1)=0，f(1)=1求证：存在 (0，1)，使|f“()|4 （分数：3.00）_27.设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)上可导且 f(a)f(b)证明：存在 ，(a，b)，使得 （分数：3.00）_28.设函数 f(x)在闭区间a，b)上连续(a，b0)，在(a，b)内可导试证：在(a，b)内至少有一点 ，使等式 （分数：3.00）_29.设 f(x)在 上具有连续的二阶导数，f“(0)=0证明：存在 ， ，使得 （分数：3.00）_30.试求方程 e x =ax 2 (a0 为常数)的根的个数 （分数：3.00）_考研数学三-80 答案解析(总分：100.00，做题时间：90
7、 分钟)一、解答题(总题数：33，分数：100.00)1.设 0k1，f(x)=kx-arctanx证明：f(x)在(0，+)中有唯一的零点，即存在唯一的 x 0 (0，+)，使 f(x 0 )=0 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【证】令 则 而 所以 f(x)在 处取极小值，即 由 f(x)的连续性，在 中有一个零点，另外 f(0)=0，f(x)在 单调减少，在 2.f(x)在(-，+)上连续， （分数：2.00）_正确答案：()解析：【证】令 F(x)=f(x)-x 0 ，则 F(x)在(-，+)上连续，且 F(x 0 )0， +，由 使得 F(a)0； 使得 F(b)0，于是由
8、零点定理，知 使得 F(x 1 )=0； 3.设 T=cosn，=arccosx，求 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】 因为 =arccosx，当 x1 - 时，0，所以 4.已知 y=x 2 sin2x，求 y (50) （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】 由于 所以 5.计算 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】此题为用导数定义去求极限，关键在于把此极限构造为广义化的导数的定义式 6.已知 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】7.已知 f(x)是周期为 5的连续函数，它在 x=0的某邻域内满足关系式：f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8
9、x+a(x)，其中 (x)是当 x0 时比 x高阶的无穷小，且 f(x)在 x=1处可导，求 y=f(x)在点(6，f(6)处的切线方程 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】求切线方程的关键是求斜率，因 f(x)的周期为 5，故在(6，f(6)处和点(1，f(1)处曲线有相同的斜率，根据已知条件求出 f“(1) 由 得 f(1)-3f(1)=0，f(1)=0又 8.设 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】当 x0 时，f(x)可导，且 显然，当 x0 时，f“(x)连续 当 x=0， 从而， 又因 求下列函数的导数：（分数：8.00）(1).y=a ax +a xx +a
10、xa +a aa (a0)；（分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】y“=a ax lnaa x lna+a xx lna(x x )“+a xa lnaax a-1 ，其中(x x )“=(e xlnx )“=e xlnx (lnx+1)=x x (lnx+1)(2).y=e f(x) f(e x )；（分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】y“=e f(x) f“(x)f(e x )+e f(x) f“(e x )e x (3). （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】 故(4).设 f(t)具有二阶导数， （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】令 (1).设
11、（分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】两边取对数，得 两边同时对 x求导，得 化简可得 x+yy“=xy“-y，故 (2).函数 y=y(x)由方程 cos(x 2 +y 2 )+e x -x 2 y=0所确定，求 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】方程两端对 x求导得 -sin(x 2 +y 2 )(2x+2yy“)+e x -2xy-x 2 y“=0 因此 9.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：【解】两边取对数 求导，得 10.设函数 y=f(x)由参数方程 所确定，其中 (t)具有二阶导数，且已知 证明：函数 (t)满足方程 （分数：3.00）_正确答案：(
12、)解析：【证】因为 有 由题设 得 故(1+t)“(t)-“(t)=3(1+t) 2 ， 即 11.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：【解】因当 0 时，极限 不存在而当 0 时， 故 0 时，f(x)在 x=0处连续 当 -10 时，即 1 时，f“(0)=0，f(x)在 x=0处可导 当 2 时， 12.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：【解】 设 ，经计算 A=8，B=-1故 13.设 y=sin 4 x-cos 4 x，求 y (n) （分数：3.00）_正确答案：()解析：【解】因 y=(sin 2 x+cos 2 x)(sin 2 x-cos 2 x)=-cos
13、2x， 14.设 y=e x sinx，求 y (n) （分数：3.00）_正确答案：()解析：【解】 归纳可得：15.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：【解】当 x0 时， 当 x=0时， 故对任意 x(-,+),都有 又 比较系数，得 16.设 f(x)满足 （分数：3.00）_正确答案：()解析：【解】方程两边同时对 x求导得 原等式中 x换成 得 式两边同时对 x求导得 2=得 17.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：【解】因为 又 f(0)=1，所以 即 a=2， 及 c为任意值时，f(x)在 x=0处连续又因为 令 可得 时，f“(0)存在 当 18.顶角为 6
14、0，底圆半径为 a的正圆锥形漏斗内盛满水，下接底圆半径为 b(ba)的圆柱形水桶(假设水桶的体积大于漏斗的体积)，水由漏斗注入水桶，问当漏斗水平面下降速度与水桶水平面上升速度相等时，漏斗中水平面高度是多少? （分数：3.00）_正确答案：()解析：【解】设在时刻 t，漏斗中水平面的高度为 h，水量为 p，水桶中水平面的高度为为 H，水量为q(如下图)则 因为这两部分水量的总和应为开始漏斗盛满水时的水量，所以 两边对 t求导得 因为下降的速度与上升的速度方向相反，所以 得 h 2 =3b 2 ，故 19.防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如下图)，截面的面积为 5平方米，问底宽 x为多少时才能使建造
15、时所用的材料最省? （分数：3.00）_正确答案：()解析：【解】设截面周长为 S矩形高为 y，则 由解出 代入得 故唯一极值可疑点为 由问题的实际意义知，截面周长必有最小值，并且就在此驻点处取得，因此当底宽为 20.试证明：曲线 （分数：3.00）_正确答案：()解析：【证】 令 y“=0，得 x 1 =-1 列表 所以 均为此曲线的拐点，因 21.作函数的图形 （分数：3.00）_正确答案：()解析：【解】定义域(-，0)(0，+)，无周期性无奇偶性 y“=0的根为 y“=0的根为 x=-1 由表可知函数的极小值点为 拐点为(-1，0) 铅直渐近线： 无斜渐近线 作图(如下) 22.求函数
16、 y=e x cosx的极值 （分数：3.00）_正确答案：()解析：【解】极值可疑点 y“=-2e x sinx，当 时，y“0，所以 为极大值点，极大值为 当 时，y“0，所以 为极小值点，极小值为 23.若函数 f(x)在(-，+)内满足关系式 f“(x)=f(x)，且 f(0)=1证明：f(x)=e x （分数：3.00）_正确答案：()解析：【证】作函数 x(-，+)，于是有 已知 f“(x)=f(x)，从而 于是 当 x=0时，易知 所以 C=1，即 故 f(x)=e x 解析 欲证 f(x)=e x ，一种思路是移项作辅助函数 如能证明 从而 由条件 得 C=0，即 于是 f(x
17、)=e x 但 利用已知条件 f“(x)=f(x)得 要证 即要证 f(x)=e x ，而这就是我们要证明的结论，故这种思路行不通另一种思路是由 f(x)=e x 两边同除以 e x 得辅助函数 若能证明 从而 由条件 得 C=1，即 于是 f(x)=e x 而 24.设 f(x)可导，证明：f(x)的两个零点之间一定有 f(x)+f“(x)的零点 （分数：3.00）_正确答案：()解析：【证】构造辅助函数 F(x)=f(x)e x ，由于 f(x)可导，故 F(x)可导，设 x 1 和 x 2 为 f(x)的两个零点，且 x 1 x 2 ，则 F(x)在x 1 ，x 2 上满足罗尔定理条件，
18、由罗尔定理，至少存在一点 (x 1 ，x 2 )，使得 F“()=0，即 f“()e +f()e =e f“()+f()=0 由于 e 0，因此必有 f“()+f()=0 解析 f(x)的两个零点 x 1 ，x 2 (不妨设 x 1 x 2 )之间有 f(x)+f“(x)的零点问题，相当于在(x 1 ，x 2 )内有 f(x)+f“(x)=0的点存在的问题若能构造一个函数 F(x)，使 F“(x)=f(x)+f(x)(x)，而 (x)0，则问题可以得到解决由(e x )“=e x 可以得到启发，令 F(x)=f(x)e x 设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(
19、b)=0求证：（分数：6.00）(1).存在 (a，b)，使 f()+f“()=0；（分数：3.00）_正确答案：()解析：【证】设 (x)=xf(x)，则 (x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 (a)=(b)=0，由罗尔定理得，存在 (a，b)，使 “()=0，即 f()+f“()=0(2).存在 (a，b)，使 f()+f“()=0（分数：3.00）_正确答案：()解析：【证】设 则 F(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 F(a)=F(b)=0，由罗尔定理得，存在(a，b)，使25.设函数 f(x)在-2，2上二阶可导，且|f(x)|1，又 f 2 (0)+f“(0) 2
20、 =4试证：在(-2，2)内至少存在一点 ，使得 f()+f“()=0 （分数：3.00）_正确答案：()解析：【证】f(0)-f(-2)=2f“( 1 )，-2 1 0， f(2)-f(0)=2f“( 2 )，0 2 2 由|f(x)|1 知 令 (x)=f 2 (x)+f“(x) 2 ，则有 ( 1 )2，( 2 )2 因为 (x)在 1 ， 2 上连续，且 (0)=4，设 (x)在 1 ， 2 上的最大值在 1 ， 2 26.设函数 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f“(0)=f“(1)=0，f(1)=1求证：存在 (0，1)，使|f“()|4 （分数：3.00）_正确答案：(
21、)解析：【证】把函数 f(x)在 x=0展开成带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式，得 在公式中取 利用题设可得 把函数 f(x)在 x=1展开成泰勒公式，得 在公式中取 利用题设可得 两式相减消去未知的函数值 即得 f“( 1 )-f“( 2 )=8 27.设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)上可导且 f(a)f(b)证明：存在 ，(a，b)，使得 （分数：3.00）_正确答案：()解析：【证】由拉格朗日中值定理知 f(b)-f(a)=f“()(b-a)，又由柯西中值定理知 所以 则 即 28.设函数 f(x)在闭区间a，b)上连续(a，b0)，在(a，b)内可导试证：在(a，b)内至少有
22、一点 ，使等式 （分数：3.00）_正确答案：()解析：【证】令 它们在区间a，b上连续，在(a，b)内可导，且 满足柯西中值定理的三个条件，于是在(a，b)内至少有一点 ，使得 29.设 f(x)在 上具有连续的二阶导数，f“(0)=0证明：存在 ， ，使得 （分数：3.00）_正确答案：()解析：【证】因 f(x)和 g(x)=cos2x在 上连续，在 内可导，且 g“(x)=(cos2x)“=-2sin2x0， 故由柯西中值定理知，存在 使得 即 因 f(x)在 上具有连续的二阶导数，故存在 使得 再由 f“(0)=0知 由式和式知 取 则 且式可以写成 其中 30.试求方程 e x =ax 2 (a0 为常数)的根的个数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：【解】令 x=0 不是原方程的根 考查区间(-，0)f(x)在(-，0)单调增，又 则有对 f(x)在(-，0)有唯一零点 考查区间(0，+)f(x)在(0，2单调减，在2，+)单调增，又 于是，当 f(2)0 即 时，f(x)在(0，+)内无零点当 时，f(x)在(0，+)有唯一零点(即 x=2)；当
