1、考研数学三-73 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：6.00)1.设随机变量 X 的密度函数为 （分数：1.00）2.设随机变量 XP()，且 E(X-1)(X-2)=1，则 = 1 （分数：1.00）3.设随机变量 X，Y 不相关，XU(-3，3)，Y 的密度为 （分数：1.00）4.将一均匀的骰子连续扔六次，所出现的点数之和为 X，用切比雪夫不等式估计 P(14X28)= 1 （分数：1.00）5.设 X 1 ，X 2 ，X 100 相互独立且在区间-1，1上同服从均匀分布，则由中心极限定理 （分数：1.00）6.设总体 X，Y 相互独立且
2、服从 N(0，9)分布，(X 1 ，X 9 )与(Y 1 ，Y 9 )分别为来自总体 X，Y的简单随机样本，则 （分数：1.00）二、选择题(总题数：4，分数：4.00)7.设随机变量 X，Y 都是正态变量，且 X，Y 不相关，则_（分数：1.00）A.X，Y 一定相互独立B.(X，Y)一定服从二维正态分布C.X，Y 不一定相互独立D.X+Y 服从一维正态分布8.设随机变量 X，Y 相互独立，且 （分数：1.00）A.X-YB.X+YC.X-2YD.Y-2X9.设 X 和 Y 分别表示扔 n 次硬币出现正面和反面的次数，则 X，Y 的相关系数为_ A-1 B0 C （分数：1.00）A.B.C
3、.D.10.设随机变量 XU-1，1，则随机变量 U=arcsinX，V=arccosX 的相关系数为_ A-1 B0 C （分数：1.00）A.B.C.D.三、解答题(总题数：14，分数：90.00)设随机变量 X 的密度函数为 （分数：6.00）(1).求 E(X)，D(X)；（分数：2.00）_(2).求 Cov(X，|X|)，问 X，|X|是否不相关?（分数：2.00）_(3).问 X，|X|是否相互独立?（分数：2.00）_设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 XN(1，3 2 )，YN(0，4 2 )，且 X，Y 的相关系数为 又设 （分数：6.00）(1).求 E(Z)，
4、D(Z)；（分数：2.00）_(2).求 XZ ；（分数：2.00）_(3).X，Z 是否相互独立?为什么?（分数：2.00）_设随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)|0x2，0y1上服从均匀分布，令 （分数：6.00）(1).求(U，V)的联合分布；（分数：3.00）_(2).求 UV （分数：3.00）_设随机变量 X 1 ，X 2 ，X m+n (mn)独立同分布，其方差为 2 ，令 Z= （分数：6.00）(1).D(Y)，D(Z)；（分数：3.00）_(2). YZ （分数：3.00）_设 X 1 ，X 2 ，X n (n2)相互独立且都服从 N(0，1)，Y i = （分数：6
5、.00）(1).D(Y i )(i=1，2，n)；（分数：2.00）_(2).Cov(Y 1 ，Y n )；（分数：2.00）_(3).P(Y 1 +Y n 0)（分数：2.00）_11.设随机变量 X，Y 相互独立且都服从 N(， 2 )分布，令 Z=max(X，Y)，求 E(Z) （分数：6.00）_12.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立且在0，a上服从均匀分布，令 U=maxX 1 ，X 2 ，X n ，求 U 的数学期望与方差 （分数：6.00）_13.电信公司将 n 个人的电话资费单寄给 n 个人，但信封上各收信人的地址随机填写，用随机变量 X 表示收到自己电话资费单
6、的人的个数，求 E(X)及 D(X) （分数：6.00）_14.设 X，Y 为随机变量，且 E(X)=1，E(Y)=2，D(X)=4，D(Y)=9 （分数：7.00）_15.一电路使用某种电阻一只，另外 35 只备用，若一只损坏，立即使用另一只更换，直到用完所有备用电阻为止设电阻使用寿命服从参数为 =0.01 的指数分布，用 X 表示 36 只电阻的使用总寿命，用中心极限定理估计 P(X4200)(1)=0.8413，(2)=0.9772) （分数：7.00）_16.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，已知 E(X k )= k (k=1，2，3，4) 证明：当 n
7、 充分大时，随机变量 （分数：7.00）_17.电话公司有 300 台分机每台分机有 6%的时间处于与外线通话状态，设每台分机是否处于通话状态相互独立，用中心极限定理估计至少安装多少条外线才能保证每台分机使用外线不必等候的概率不低于0.95? （分数：7.00）_18.设 X 1 ，X 9 为来自正态总体 XN(， 2 )的简单随机样本，令 （分数：7.00）_19.设总体 XN(0，1)，(X 1 ，X 2 ，X m ，X m+1 ，X m+n )为来自总体 X 的简单随机样本，求统计量 （分数：7.00）_考研数学三-73 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总
8、题数：6，分数：6.00)1.设随机变量 X 的密度函数为 （分数：1.00）解析：1 解析 因为 所以 于是 E(X)=1，2.设随机变量 XP()，且 E(X-1)(X-2)=1，则 = 1 （分数：1.00）解析：1 解析 因为 XP()，所以 E(X)=，D(X)=，故 E(X 2 )=D(X)+E(X) 2 = 2 + 由 E(X-1)(X-2)=E(X 2 -3X+2)=E(X 2 )-3E(X)+2= 2 -2+2=1 得 =13.设随机变量 X，Y 不相关，XU(-3，3)，Y 的密度为 （分数：1.00）解析： 解析 E(X)=0，D(X)=3，E(Y)=0， 则 E(X-Y
9、)=0，D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X，Y)= 所以 P|X-Y|3=P|(X-Y)-E(X-Y)|3 4.将一均匀的骰子连续扔六次，所出现的点数之和为 X，用切比雪夫不等式估计 P(14X28)= 1 （分数：1.00）解析： 解析 设 X i 为第 i 次的点数(i=1，2，3，4，5，6)，则 其中 则 由切比雪夫不等式，有 5.设 X 1 ，X 2 ，X 100 相互独立且在区间-1，1上同服从均匀分布，则由中心极限定理 （分数：1.00）解析：0.8413 解析 令 则 E(U)=0，D(U)= 则 6.设总体 X，Y 相互独立且服从 N(0，9)分布，(X 1 ，X
10、 9 )与(Y 1 ，Y 9 )分别为来自总体 X，Y的简单随机样本，则 （分数：1.00）解析： 解析 由 X 1 +X 2 +X 9 N(0，81)得 因为 Y 1 ，Y 9 相互独立且服从N(0，9)分布，所以(Y 1 /3) 2 +(Y 2 /3) 2 +(Y 9 /3) 2 2 (9)，即 因此 二、选择题(总题数：4，分数：4.00)7.设随机变量 X，Y 都是正态变量，且 X，Y 不相关，则_（分数：1.00）A.X，Y 一定相互独立B.(X，Y)一定服从二维正态分布C.X，Y 不一定相互独立 D.X+Y 服从一维正态分布解析：解析 只有当(X，Y)服从二维正态分布时，X，Y 独
11、立才与 X，Y 不相关等价，由 X，Y 仅仅是正态变量且不相关不能推出 X，Y 相互独立，A 不对；若 X，Y 都服从正态分布且相互独立，则(X，Y)服从二维正态分布，但 X，Y 不一定相互独立，B 不对；当 X，Y 相互独立时才能推出 X+Y 服从一维正态分布，D 不对，故选 C8.设随机变量 X，Y 相互独立，且 （分数：1.00）A.X-YB.X+Y C.X-2YD.Y-2X解析：解析 Z=Y-XN(1，1)，因为 X-YN(-1，1)，X+YN(1，1)，9.设 X 和 Y 分别表示扔 n 次硬币出现正面和反面的次数，则 X，Y 的相关系数为_ A-1 B0 C （分数：1.00）A.
12、 B.C.D.解析：解析 设正面出现的概率为 P，则 XB(n，p)，Y=n-XB(n，1-p)， E(X)=npD(X)=np(1-p)，E(Y)=n(1-p)，D(Y)=np(1-p)， Cov(X，Y)=Cov(X，n-X)=Cov(X，n)-Cov(X，X)， 因为 Cov(X，n)=E(nX)-E(n)E(X)=nE(X)-nE(X)=0， Cov(X，X)=D(x)=np(1-p)，所以 10.设随机变量 XU-1，1，则随机变量 U=arcsinX，V=arccosX 的相关系数为_ A-1 B0 C （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 当 PY=aX+b=1(a0)
13、时， XY =1；当 PY=aX+b=1(a0)时， XY =-1 因为 ，即 三、解答题(总题数：14，分数：90.00)设随机变量 X 的密度函数为 （分数：6.00）(1).求 E(X)，D(X)；（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 (2).求 Cov(X，|X|)，问 X，|X|是否不相关?（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 因为 (3).问 X，|X|是否相互独立?（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 对任意的 a0，PXa，|X|a=P|X|a， 而 0P(Xa)1，所以 PXa，|X|aP|X|aP(Xa)， 故|X|，X 不相互独立设二维随机变量(X，Y)
14、服从二维正态分布，且 XN(1，3 2 )，YN(0，4 2 )，且 X，Y 的相关系数为 又设 （分数：6.00）(1).求 E(Z)，D(Z)；（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 (2).求 XZ ；（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 (3).X，Z 是否相互独立?为什么?（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 因为(X，Y)服从二维正态分布，所以 Z 服从正态分布，同时 X 也服从正态分布，又 X，Z 不相关，所以 X，Z 相互独立设随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)|0x2，0y1上服从均匀分布，令 （分数：6.00）(1).求(U，V)的联合分布；（分数：3
15、.00）_正确答案：()解析：解 (U，V)的可能取值为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1) P(U=0，V=1)=P(XY，X2Y)=0； P(U=1，V=0)=P(XY，X2Y)=P(YX2Y)= P(U=0，V=0)=P(XY，X2Y)=P(XY)= P(U=1，V=1)= (U，V)的联合分布律为 (2).求 UV （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由上一小题得 则 设随机变量 X 1 ，X 2 ，X m+n (mn)独立同分布，其方差为 2 ，令 Z= （分数：6.00）(1).D(Y)，D(Z)；（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为 X 1 ，X 2
16、 ，X m+n 相互独立，所以 (2). YZ （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 Cov(Y，Z)=Cov(X 1 +X m )+(X m+1 +X n )，X m+1 +X m+n =Cov(X 1 +X m ，X m+1 +X m+n )+Cov(X m+1 +X n ，X m+1 +X m+n ) =D(X m+1 +X n )+Cov(X m+1 +X n ，X n+1 +X m+n ) =(n-m) 2 则 设 X 1 ，X 2 ，X n (n2)相互独立且都服从 N(0，1)，Y i = （分数：6.00）(1).D(Y i )(i=1，2，n)；（分数：2.00）_正确
17、答案：()解析：解 (2).Cov(Y 1 ，Y n )；（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 (3).P(Y 1 +Y n 0)（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 11.设随机变量 X，Y 相互独立且都服从 N(， 2 )分布，令 Z=max(X，Y)，求 E(Z) （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 因为 X，Y 都服从 N(， 2 )分布，所以 ，且 U，V 相互独立，则X=U+，Y=V+，故 Z=max(X，Y)=max(U，V)+，由 U，V 相互独立得(U，V)的联合密度函数为 于是 E(Z)=Emax(U，V)+ 而 故 12.设随机变量 X 1 ，X 2
18、，X n 相互独立且在0，a上服从均匀分布，令 U=maxX 1 ，X 2 ，X n ，求 U 的数学期望与方差 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 于是 13.电信公司将 n 个人的电话资费单寄给 n 个人，但信封上各收信人的地址随机填写，用随机变量 X 表示收到自己电话资费单的人的个数，求 E(X)及 D(X) （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 令 A i =第 i 个人收到自己的电话资费单，i=1，2，n， i=1，2，n，则 X=X 1 +X 2 +X n 当 ij 时， 14.设 X，Y 为随机变量，且 E(X)=1，E(Y)=2，D(X)=4，D(Y)=9 （分数
19、：7.00）_正确答案：()解析：解 令 U=X+Y，则 E(U)=E(X)+E(Y)=3， D(U)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)= 于是 P|X+Y-3|10=P|U-E(U)|10 15.一电路使用某种电阻一只，另外 35 只备用，若一只损坏，立即使用另一只更换，直到用完所有备用电阻为止设电阻使用寿命服从参数为 =0.01 的指数分布，用 X 表示 36 只电阻的使用总寿命，用中心极限定理估计 P(X4200)(1)=0.8413，(2)=0.9772) （分数：7.00）_正确答案：()解析：解 设第 i 只电阻使用寿命为 X i ， 则 X i E(0.01)
20、，E(X i )=100，D(X i )=100 2 (i=1，2，36) 16.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，已知 E(X k )= k (k=1，2，3，4) 证明：当 n 充分大时，随机变量 （分数：7.00）_正确答案：()解析：证明 因为 X 1 ，X 2 ，X n 独立同分布，所以 也独立同分布且 当 n 充分大时，由中心极限定理得 近似服从标准正态分布，故 Z n 近似服从正态分布，两个参数为 17.电话公司有 300 台分机每台分机有 6%的时间处于与外线通话状态，设每台分机是否处于通话状态相互独立，用中心极限定理估计至少安装多少条外线才能保证
21、每台分机使用外线不必等候的概率不低于0.95? （分数：7.00）_正确答案：()解析：解 令 则 令 X 表示需要使用外线的分机数，则 E(X)=3000.06=18，D(X)=3000.0564=16.92 设至少需要安装 n 条外线，由题意及中心极限定理得 解得 18.设 X 1 ，X 9 为来自正态总体 XN(， 2 )的简单随机样本，令 （分数：7.00）_正确答案：()解析：证明 则 且 相互独立， 由 t 分布的定义得 即 19.设总体 XN(0，1)，(X 1 ，X 2 ，X m ，X m+1 ，X m+n )为来自总体 X 的简单随机样本，求统计量 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解 显然 且 U，V 相互独立， 于是 故
