1、考研数学三-72 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：6.00)1.设随机变量 X 和 Y 相互独立，且分布函数为 F Y (y)= （分数：1.00）2.设随机变量(X，Y)的联合密度为 （分数：1.00）3.设 X，Y 为两个随机变量，且 P(X0，Y0)= ，P(X0)=P(Y0)= （分数：1.00）4.设随机变量 X 与 Y 的相关系数为 （分数：1.00）5.设随机变量 X 的密度函数为 （分数：1.00）6.设 X 的分布函数为 （分数：1.00）二、选择题(总题数：5，分数：5.00)7.设随机变量 X，Y 相互独立，它们的分布函
2、数为 F X (x)，F Y (y)，则 Z=min(X，Y)的分布函数为_（分数：1.00）A.FZ(z)=maxFX(z)，FY(z)B.FZ(z)=minFX(z)，FY(z)C.FZ(z)=1-1-FX(z)1-FY(z)D.FZ(z)=FY(z)8.设随机变量 X，Y 相互独立，它们的分布函数为 F X (x)，F Y (y)，则 Z=maxX，Y的分布函数为_（分数：1.00）A.FZ(z)=maxFX(z)，FY(z)B.FZ(z)=FX(z)FY(z)C.FZ(z)=maxFX(z)，FY(z)D.FZ(z)=FY(z)9.设随机变量 X 与 Y 相互独立且都服从参数为 的指数
3、分布，则下列随机变量中服从参数为 2 的指数分布的是_（分数：1.00）A.X+YB.X-YC.max(X，Y)D.min(X，Y)10.设随机变量 X 和 Y 都服从正态分布，则_（分数：1.00）A.X+Y 一定暇从正态分布B.(X，Y)一定服从二维正态分布C.X 与 Y 不相关，则 X，Y 相互独立D.若 X 与 Y 相互独立，则 X-Y 服从正态分布11.若(X，Y)服从二维正态分布，则X，Y 一定相互独立；若 XY =0，则 X，Y 一定相互独立；X和 Y 都服从一维正态分布；X，Y 的任一线性组合服从一维正态分布上述几种说法中正确的是_（分数：1.00）A.B.C.D.三、解答题(
4、总题数：13，分数：89.00)设随机变量(X，Y)的联合密度函数为 （分数：6.00）(1).求 P(X2Y)；（分数：3.00）_(2).设 Z=X+Y，求 Z 的概率密度函数（分数：3.00）_12.设随机变量 XN(， 2 )，YU-，且 X，Y 相互独立，令 Z=X+Y，求 f Z (z) （分数：7.00）_设随机变量 XU(0，1)，在 X=x(0x1)下，YU(0，x)（分数：6.00）(1).求 X，Y 的联合密度函数；（分数：3.00）_(2).求 Y 的边缘密度函数（分数：3.00）_13.设随机变量 X，Y 相互独立，且 （分数：7.00）_14.设随机变量 X，Y 相
5、互独立，且 XP(1)，YP(2)，求 Pmax(X，Y)0及 Pmin(X，Y)0 （分数：7.00）_15.设随机变量 X，Y 相互独立，且 （分数：7.00）_n 把钥匙中只有一把可以把门打开，现从中任取一把开门，直到打开门为止，针对下列两种情况分别求开门次数的数学期望和方差：（分数：7.00）(1).试开过的钥匙除去；（分数：3.50）_(2).试开过的钥匙重新放回（分数：3.50）_16.设一部机器一天内发生故障的概率为 （分数：7.00）_17.设由自动生产线加工的某种零件的内径 X(单位：毫米)服从正态分布 N(，1)，内径小于 10 或大于12 为不合格品，其余为合格产品销售合
6、格品获利，销售不合格产品亏损，已知销售利润 T(单位：元)与销售零件的内径 X 有如下关系： （分数：7.00）_18.某商店经销某种商品，每周进货数量 X 与顾客对该种商晶的需求量 Y 之间是相互独立的，且都服从10，20上的均匀分布商店每出售一单位商品可获利 1000 元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利 500 元，计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值 （分数：7.00）_19.设随机变量 X，Y 相互独立，且 （分数：7.00）_设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，令 （分数：7.00）(1).(U，V)的分布；（分数：3.50）_(2)
7、.U，V 的相关系数（分数：3.50）_20.设有 20 人在某 11 层楼的底层乘电梯上楼，电梯在途中只下不上，每个乘客在哪一层下等可能，且乘客之间相互独立，求电梯停的次数的数学期望 （分数：7.00）_考研数学三-72 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：6.00)1.设随机变量 X 和 Y 相互独立，且分布函数为 F Y (y)= （分数：1.00）解析： 解析 F U (u)=P(Uu)=P(X+Yu)，当 u0 时，F U (u)=0； 当 0u1 时， 当 1u2 时， 当 u2 时，F U (u)=1所以 2.设随机变量(X，Y)的联
8、合密度为 （分数：1.00）解析：解析 3.设 X，Y 为两个随机变量，且 P(X0，Y0)= ，P(X0)=P(Y0)= （分数：1.00）解析： 解析 令X0=A，Y0=B，则有 故 Pmax(X，Y)0=1-Pmax(X，Y)0=1-P(X0，Y0) = 4.设随机变量 X 与 Y 的相关系数为 （分数：1.00）解析：18 解析 D(X)=E(X 2 )-E(X) 2 =4，D(Y)7=E(Y 2 )-E(Y) 2 =9， 5.设随机变量 X 的密度函数为 （分数：1.00）解析： 解析 则 于是 6.设 X 的分布函数为 （分数：1.00）解析：-0.6 解析 随机变量 X 的分布律
9、为 二、选择题(总题数：5，分数：5.00)7.设随机变量 X，Y 相互独立，它们的分布函数为 F X (x)，F Y (y)，则 Z=min(X，Y)的分布函数为_（分数：1.00）A.FZ(z)=maxFX(z)，FY(z)B.FZ(z)=minFX(z)，FY(z)C.FZ(z)=1-1-FX(z)1-FY(z) D.FZ(z)=FY(z)解析：解析 F Z (z)=P(Zz)=Pmin(X，Y)z=1-Pmin(X，Y)z =1-P(Xz，Yz)=1-P(Xz)P(Yz) =1-1-P(Xz)1-P(Yz)=1-1-F X (z)1-F Y (z)，选 C8.设随机变量 X，Y 相互独
10、立，它们的分布函数为 F X (x)，F Y (y)，则 Z=maxX，Y的分布函数为_（分数：1.00）A.FZ(z)=maxFX(z)，FY(z)B.FZ(z)=FX(z)FY(z) C.FZ(z)=maxFX(z)，FY(z)D.FZ(z)=FY(z)解析：解析 F Z (z)=P(Zz)=Pmax(X，Y)z=P(Xz，Yz) =P(Xz)P(Yz)=F X (z)F Y (z)，选 B9.设随机变量 X 与 Y 相互独立且都服从参数为 的指数分布，则下列随机变量中服从参数为 2 的指数分布的是_（分数：1.00）A.X+YB.X-YC.max(X，Y)D.min(X，Y) 解析：解析
11、 由于 XE()，所以密度函数为 分布函数为 因为 ，E(X-Y)=0，而max(X，Y)的分布函数是 所以 A，B，C 项都不对，选 D 事实上，min(X，Y)的分布函数为 10.设随机变量 X 和 Y 都服从正态分布，则_（分数：1.00）A.X+Y 一定暇从正态分布B.(X，Y)一定服从二维正态分布C.X 与 Y 不相关，则 X，Y 相互独立D.若 X 与 Y 相互独立，则 X-Y 服从正态分布 解析：解析 若 X，Y 独立且都服从正态分布，则 X，Y 的任意线性组合也服从正态分布，选 D11.若(X，Y)服从二维正态分布，则X，Y 一定相互独立；若 XY =0，则 X，Y 一定相互独
12、立；X和 Y 都服从一维正态分布；X，Y 的任一线性组合服从一维正态分布上述几种说法中正确的是_（分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 因为(X，Y)服从二维正态分布，所以 X，Y 都服从一维正态分布，aX+bY 服从一维正态分布，且 X，Y 独立与不相关等价，所以选 B三、解答题(总题数：13，分数：89.00)设随机变量(X，Y)的联合密度函数为 （分数：6.00）(1).求 P(X2Y)；（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 (2).设 Z=X+Y，求 Z 的概率密度函数（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 F Z (z)=P(Zz)=P(X+Yz)= 当 z0 时，
13、F Z (z)=0；当 0z1 时， 当 1z2 时， 当 z2 时，F Z (z)=1 因此 12.设随机变量 XN(， 2 )，YU-，且 X，Y 相互独立，令 Z=X+Y，求 f Z (z) （分数：7.00）_正确答案：()解析：解 因为 XN(， 2 )，YU-，所以 X，Y 的密度函数为 又 X，Y 相互独立，所以 X，Y 的联合密度函数为 则 设随机变量 XU(0，1)，在 X=x(0x1)下，YU(0，x)（分数：6.00）(1).求 X，Y 的联合密度函数；（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为 XU(0，1)，所以 又在 X=x(0x1)下，YU(0，x)，所以
14、故 (2).求 Y 的边缘密度函数（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 当 y0 或 y1 时，f Y (y)=0； 当 0y1 时， 故 13.设随机变量 X，Y 相互独立，且 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解 令 k 1 ( 1 + 2 )+k 2 ( 2 +X 3 )+k 3 Y 1 =0，整理得 (k 1 +Yk 3 ) 1 +(k 1 +k 2 ) 2 +Xk 2 3 =0 因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以有 又 1 + 2 ， 2 +X 3 ，Y 1 线性相关的充分必要条件是上述方程组有非零解，即 从而XY=0， 即 1 + 2 ， 2 +X 3 ，Y 1
15、线性相关的充分必要条件是 XY=0 注意到 X，Y 相互独立，所以 1 + 2 ， 2 +X 3 ，Y 1 线性相关的概率为 14.设随机变量 X，Y 相互独立，且 XP(1)，YP(2)，求 Pmax(X，Y)0及 Pmin(X，Y)0 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解 Pmax(X，Y)0=1-Pmax(X，Y)=0=1-P(X=0，Y=0) =1-P(X=0)P(Y=0)=1-e -1 e -2 =1-e -3 Pmin(X，Y)0=1-Pmin(X，Y)=0， 令 A=X=0，B=Y=0，则min(X，Y)=0=A+B， 于是 Pmin(X，Y)=0=P(A+B)=P(A)+
16、P(B)-P(AB) =e -1 +e -2 -e -1 e -2 =e -1 +e -2 -e -3 ， 故 Pmin(X，Y)0=1-e -1 -e -2 +e -3 15.设随机变量 X，Y 相互独立，且 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解 当 u1 时，F U (u)=0； 当 1u2 时， 当 u2 时， 故 n 把钥匙中只有一把可以把门打开，现从中任取一把开门，直到打开门为止，针对下列两种情况分别求开门次数的数学期望和方差：（分数：7.00）(1).试开过的钥匙除去；（分数：3.50）_正确答案：()解析：解 设 X 为第一种情况开门次数，X 的可能取值为 1，2，n 且
17、(注意：设第 3 次才能打开门，则 (2).试开过的钥匙重新放回（分数：3.50）_正确答案：()解析：解 设 Y 为开门次数，Y 的可能取值为 1，2，n， 且 16.设一部机器一天内发生故障的概率为 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解 用 X 表示 5 天中发生故障的天数，则 以 Y 表示获利，则 17.设由自动生产线加工的某种零件的内径 X(单位：毫米)服从正态分布 N(，1)，内径小于 10 或大于12 为不合格品，其余为合格产品销售合格品获利，销售不合格产品亏损，已知销售利润 T(单位：元)与销售零件的内径 X 有如下关系： （分数：7.00）_正确答案：()解析：解 (T)
18、=-1P(X10)+20P(10X12)-5P(X12) =-(10-u)+20(12-)-(10-)-51-(12-) =25(12-u)-21(10-)-5 令 =21“(10-)-25“(12-)=0，即 解得 18.某商店经销某种商品，每周进货数量 X 与顾客对该种商晶的需求量 Y 之间是相互独立的，且都服从10，20上的均匀分布商店每出售一单位商品可获利 1000 元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利 500 元，计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解 设 R 为商店每周的利润，则有 因为 X，Y 相互
19、独立且都服从10，20上的均匀分布，所以(X，Y)的联合密度函数为 故 19.设随机变量 X，Y 相互独立，且 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解 令 U=X-Y，因为 X，Y 相互独立，且 所以 设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，令 （分数：7.00）(1).(U，V)的分布；（分数：3.50）_正确答案：()解析：解 因为 X 服从参数为 2 的指数分布，所以 X 的分布函数为 (U，V)的可能取值为(0，0)，(0，1)，(10)，(1，1) P(U=0，V=0)=P(X1，X2)=P(X1)=F(1)=1-e -2 ； P(U=0，V=1)=P(X1，X2)=0； P
20、(U=1，V=1)=P(X1，X2)=P(X2)=1-F(2)=e -4 ； P(U=1，V=0)=P(X1，X2)=e -2 -e -4 (U，V)的联合分布律为 (2).U，V 的相关系数（分数：3.50）_正确答案：()解析：解 由 得 E(U)=e -2 ，E(V)=e -4 ，E(UV)=e -4 ，E(U 2 )=e -2 ，E(V 2 )=e -4 ，则 D(U)=E(U 2 )-E(U) 2 =e -2 -e -4 ，D(V)=E(V 2 )-E(V) 2 =e -4 -e -8 ， Cov(U，V)=E(UV)=E(U)E(V)=e -4 -e -6 ， 于是 20.设有 20 人在某 11 层楼的底层乘电梯上楼，电梯在途中只下不上，每个乘客在哪一层下等可能，且乘客之间相互独立，求电梯停的次数的数学期望 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解 利用随机变量分解法(从未考过) 设随机变量 X 表示停靠的总的次数，令 则 X=X 2 +X 3 +X 11 ， 因为 所以
