1、考研数学三-69 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：4，分数：4.00)1.设 A 为三阶实对称矩阵， 1 =(a，-a，1) T 是方程组 AX=0 的解， 2 =(a，1，1-a) T 是方程组(A+E)X=0 的解，则 a= 1 （分数：1.00）2.设 （分数：1.00）3.设 （分数：1.00）4.f(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 )=X T AX 的正惯性指数是 2，且 A 2 -2A=O，该二次型的规范形为 1 （分数：1.00）二、选择题(总题数：4，分数：4.00)5.设 A 为 n 阶矩阵，下列结论正确的是_ A矩阵 A 的秩
2、与矩阵 A 的非零特征值的个数相等 B若 AB，则矩阵 A 与矩阵 B 相似于同一对角阵 C若 r(A)=rn，则 A 经过有限次初等行变换可化为 （分数：1.00）A.B.C.D.6.设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则_ A.存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B B.存在正交矩阵 Q，使得 QTAQ=B C.A，B 与同一个对角矩阵相似 D.存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B（分数：1.00）A.B.C.D.7.设 （分数：1.00）A.合同且相似B.相似但不合同C.合同但不相似D.既不相似又不合同8.设 A 是三阶实对称矩阵，若对任意的三维列向量 X，有 X T AX=0，则_（分数
3、：1.00）A.|A|=0B.|A|0C.|A|0D.以上都不对三、解答题(总题数：18，分数：92.00)9.设 （分数：5.00）_设方程组 有无穷多个解， （分数：6.00）(1).求 A；（分数：3.00）_(2).求|A * +3E|（分数：3.00）_设 A 为三阶实对称矩阵，A 的每行元素之和为 5，AX=0 有非零解且 1 =2 是 A 的特征值，对应特征向量为(-1，0，1) T （分数：6.00）(1).求 A 的其他特征值与特征向量；（分数：3.00）_(2).求 A（分数：3.00）_10.设 （分数：5.00）_11.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 r(A)+r(B)
4、n证明：A，B 有公共的特征向量 （分数：5.00）_设 A 是 b 阶矩阵， 1 ， 2 ， n 是 n 维列向量，且 n 0，若 A 1 = 2 ，A 2 = 3 ，A n-1 = n ，A n =0（分数：5.00）(1).证明： 1 ， 2 ， n 线性无关；（分数：2.50）_(2).求 A 的特征值与特征向量（分数：2.50）_12.设 A 为三阶方阵，A 的每行元素之和为 5，AX=0 的通解为 设 = （分数：5.00）_13. （分数：5.00）_14.设 （分数：5.00）_15.设 A 为 mn 实矩阵，且 r(A)=n证明：A T A 的特征值全大于零 （分数：5.00
5、）_16.设 A 为 n 阶正定矩阵证明：对任意的可逆矩阵 P，P T AP 为正定矩阵 （分数：5.00）_17.设 P 为可逆矩阵，A=P T P证明：A 是正定矩阵 （分数：5.00）_18.设 A，B 为 n 阶正定矩阵证明：A+B 为正定矩阵 （分数：5.00）_19.三元二次型 f=X T AX 经过正交变换化为标准形 ，且 A * +2E 的非零特征值对应的特征向量为 （分数：5.00）_20.设二次型 经过正交变换 X=QY 化为标准形 （分数：5.00）_21.设齐次线性方程组 有非零解，且 为正定矩阵，求 a，并求当|A|= （分数：5.00）_22.设 A 为实对称矩阵，
6、且 A 的特征值都大于零证明：A 为正定矩阵 （分数：5.00）_23.设 A 为 m 阶正定矩阵，B 为 mn 实矩阵证明：B T AB 正定的充分必要条件是 r(B)=n （分数：5.00）_考研数学三-69 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：4，分数：4.00)1.设 A 为三阶实对称矩阵， 1 =(a，-a，1) T 是方程组 AX=0 的解， 2 =(a，1，1-a) T 是方程组(A+E)X=0 的解，则 a= 1 （分数：1.00）解析：1 解析 因为 A 为实对称矩阵，所以不同特征值对应的特征向量正交，因为 AX=0 及(A+E)X=0 有
7、非零解，所以 1 =0， 2 =-1 为矩阵 A 的特征值， 1 =(a，-a，1) T ， 2 =(a，1，1-a) T 是它们对应的特征向量，所以有 2.设 （分数：1.00）解析：4 解析 由 3.设 （分数：1.00）解析：0 解析 由|E-A|=0 得 A 的特征值为 1 =-2， 2 = 3 =6因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以对角化，从而 r(6E-A)=1，解得 a=04.f(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 )=X T AX 的正惯性指数是 2，且 A 2 -2A=O，该二次型的规范形为 1 （分数：1.00）解析： 解析 A 2 -2A=0 r(A)+
8、r(2E-A)=4 A 可以对角化， 1 =2， 2 =0，又二次型的正惯性指数为 2，所以 1 =2， 2 =0 分别都是二重，所以该二次型的规范形为 二、选择题(总题数：4，分数：4.00)5.设 A 为 n 阶矩阵，下列结论正确的是_ A矩阵 A 的秩与矩阵 A 的非零特征值的个数相等 B若 AB，则矩阵 A 与矩阵 B 相似于同一对角阵 C若 r(A)=rn，则 A 经过有限次初等行变换可化为 （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 A 不对，如 A 的两个特征值都是 0，但 r(A)=1； B 不对，因为 AB 不一定保证 A，B 可以对角化； C 不对，如 A 经过有限次行
9、变换化为 经过行变换不能化为 因为 A 可以对角化，所以存在可逆矩阵 P，使得 于是 r(A)= 6.设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则_ A.存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B B.存在正交矩阵 Q，使得 QTAQ=B C.A，B 与同一个对角矩阵相似 D.存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 A，B 都是可逆矩阵所以 A，B 等价，即存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B，选 D7.设 （分数：1.00）A.合同且相似B.相似但不合同C.合同但不相似 D.既不相似又不合同解析：解析 显然 A，B 都是实对称矩阵，由|E-A|=0，得
10、 A 的特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =9，由|E-B|=0，得 B 的特征值为 1 =1， 2 = 3 =3，因为 A，B 惯性指数相等，但特征值不相同，所以 A，B 合同但不相似，选 C8.设 A 是三阶实对称矩阵，若对任意的三维列向量 X，有 X T AX=0，则_（分数：1.00）A.|A|=0 B.|A|0C.|A|0D.以上都不对解析：解析 设二次型 其中 Q 为正交矩阵取 三、解答题(总题数：18，分数：92.00)9.设 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由 得 1 = 2 ， 3 =2 因为矩阵 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 一定可对角化，从而 r
11、(E-A)=1，即 a=1，故 由 =1 时，由(E-A)X=0，得 由 =2 时，由(2E-A)X=0，得 令 则 两边 n 次幂得 从而 设方程组 有无穷多个解， （分数：6.00）(1).求 A；（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为方程组有无穷多个解，所以 解得 a=1 令 则 从 (2).求|A * +3E|（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 |A|=2，A * 对应的特征值为 设 A 为三阶实对称矩阵，A 的每行元素之和为 5，AX=0 有非零解且 1 =2 是 A 的特征值，对应特征向量为(-1，0，1) T （分数：6.00）(1).求 A 的其他特征值与特征
12、向量；（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为 A 的每行元素之和为 5，所以有 即 A 有特征值 2 =5，对应的特征向量为 又因为 AX=0 有非零解，所以 r(A)3，从而 A 有特征值 0，设特征值 0 对应的特征向量为 ，根据不同特征值对应的特征向量正交得 解得特征值 0 对应的特征向量为 (2).求 A（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 令 由 得10.设 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 因为 AB，所以 tr(A)=tr(B)，|A|=|B|，即 解得 a=1，b=0，则 因为 AB，所以矩阵 A，B 的特征值都为 1 =1， 2 =0， 3 =6 当
13、 =1 时，由(E-A)X=0，得 当 =0 时，由(0E-A)X=0，得 当 =6 时，由(6E-A)X=0，得 令 再令 11.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 r(A)+r(B)n证明：A，B 有公共的特征向量 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 因为 r(A)+r(B)n，所以 r(A)n，r(B)n，于是 =0 为 A，B 公共的特征值， A 的属于特征值 =0 的特征向量即为方程组 AX=0 的非零解； B 的属于特征值 =0 的特征向量即为方程组 BX=0 的非零解， 因为 所以方程组 设 A 是 b 阶矩阵， 1 ， 2 ， n 是 n 维列向量，且 n 0，若 A 1
14、 = 2 ，A 2 = 3 ，A n-1 = n ，A n =0（分数：5.00）(1).证明： 1 ， 2 ， n 线性无关；（分数：2.50）_正确答案：()解析：证明 令 x 1 1 +x 2 2 +r n n =0，则 x 1 A 1 +x 2 A 2 +x n A n =0 x 1 2 +x 2 3 +x n-1 n =0 x 1 A 2 +x 2 A 3 +x n-1 A n =0 (2).求 A 的特征值与特征向量（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 令 P=( 1 ， 2 ， n )，则 则 A 与 B 相似，由|E=B|=0 12.设 A 为三阶方阵，A 的每行元素之和
15、为 5，AX=0 的通解为 设 = （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 因为 A 的每行元素之和为 5，所以有 即 A 有一个特征值为 1 =5，其对应的特征向量为 又 AX=0 的通解为 则 r(A)=1 2 = 3 =0，其对应的特征向量为 A 2 =0，A 3 =0 令 x 1 1 ，x 2 2 ，x 3 3 =，解得 x 1 =8，x 2 =-1，x 3 =-2， 则 A=8A 1 -A 2 -2A 3 =8A 1 = 13. （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由|E-B|=0，得 1 =-1， 2 =1， 3 =2，因为 AB，所以 A 的特征值为 1 =-1， 2
16、 =1， 3 =2 由 tr(A)= 1 + 2 + 3 ，得 a=1，再由|A|=b= 1 2 3 =-2，得 b=-2，即 A= 由(-E-A)X=0，得 1 =(1，1，0) T ； 由(E-A)X=0，得 2 =(-2，1，1) T ； 由(2E-A)X=0，得 3 =(-2，1，0) T ， 令 则 由(-E-B)X=0，得 1 =(-1，0，1) T ； 由(E-B)X=0，得 2 =(1，0，0) T ； 由(2E-B)X=0，得 3 =(8，3，4) T ， 令 则 由 得 令 14.设 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 |E-A|= =(+a-1)(-a)(-a-1
17、)=0，得矩阵 A 的特征值为 1 =1-a， 2 =a， 3 =1+a (1)当 1-aa，1-a1+a，a1+a，即 a0 且 时，因为矩阵 A 有三个不同的特征值，所以 A 一定可以对角化 1 =1-a 时，由(1-a)E-AX=0 得 2 =a 时，由(aE-A)X=0 得 2 = 3 =1+a 时，由(1+a)E-AX=0 得 (2)当 a=0 时， 1 = 3 =1， 因为 r(E-A)=2，所以方程组(E-A)X=0 的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故矩阵 A 不可以对角化 (3)当 时， ， 因为 ，所以方程组 15.设 A 为 mn 实矩阵，且 r(A)=n证明：A T
18、 A 的特征值全大于零 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 首先 A T A 为实对称矩阵，r(A T A)=n，对任意的 X0，X T (A T A)X=(AX) T (AX)，令AX=，因为 r(A)=n，所以 0，所以(AX) T (AX)= T =| 2 0，即二次型 X T (A T A)X 是正定二次型，A T A 为正定矩阵，所以 A T A 的特征值全大于零16.设 A 为 n 阶正定矩阵证明：对任意的可逆矩阵 P，P T AP 为正定矩阵 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 首先 A T =A，因为(p T AP) T =P T A T (P T ) T
19、=P T AP，所以 P T AP 为对称矩阵，对任意的 X0，X T (P T AP)X=(PX) T A(PX)，令 PX=，因为 P 可逆且 X0，所以 0，又因为 A 为正定矩阵，所以 T A0，即 X T (P T AP)X0，故 X T (P T AP)X 为正定二次型，于是 P T AP 为正定矩阵17.设 P 为可逆矩阵，A=P T P证明：A 是正定矩阵 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 显然 A T =A，对任意的 X0，X T AX=(PX) T (PX)，因为 X0 且 P 可逆，所以 PX0，于是 X T AX=(PX) T (PX)=|PX| 2 0，即
20、 X T AX 为正定二次型，故 A 为正定矩阵18.设 A，B 为 n 阶正定矩阵证明：A+B 为正定矩阵 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 因为 A，B 正定，所以 A T =A，B T =B，从而(A+B) T =A+B，即 A+B 为对称矩阵对任意的X0，X T (A+B)X=X T AX+X T BX，因为 A，B 为正定矩阵，所以 X T AX0，X T BX0，因此 X T (A+B)X0，于是 A+B 为正定矩阵19.三元二次型 f=X T AX 经过正交变换化为标准形 ，且 A * +2E 的非零特征值对应的特征向量为 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解
21、因为 f=X T AX 经过正交变换后的标准形为 ，所以矩阵 A 的特征值为 1 = 2 =1， 3 =-2由|A|= 1 2 3 =-2 得 A * 的特征值为 1 = 2 =-2， 3 =1，从而 A * +2E 的特征值为 0，0，3，即 1 为 A * +2E 的属于特征值 3 的特征向量，故也为 A 的属于特征值 3 =-2 的特征向量 令 A 的属于特征值 1 = 2 =1 的特征向量为 因为 A 为实对称矩阵，所以有 =0，即 x 1 +x 3 =0 故矩阵 A 的属于 1 = 2 =1 的特征向量为 令 由 得 所求的二次型为 20.设二次型 经过正交变换 X=QY 化为标准形
22、 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 二次型 的矩阵形式为 f=X T AX 其中 因为 所以 AB(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵)，于是 A 的特征值为1，1，4 而|E-A|= 3 -(a+4) 2 +(4a-b 2 +2)+(-3a-2b+2b 2 +2)，所以有 3 -(a+4) 2 +(4a-b 2 +2)+(-3a-2b+2b 2 +2)=(-1) 2 (-4)，解得 a=2，b=1当 1 = 2 =1 时，由(E-A)X=0 得 由 3 =4 时，由(4E-A)X=0 得 显然 1 ， 2 ， 3 两两正交，单位化为 则 21.设齐次线性方程组 有非零解，且 为正定
23、矩阵，求 a，并求当|A|= （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 因为方程组有非零解，所以 =a(a+1)(a-3)=0，即 a=-1 或 a=0 或 a=3因为 A 是正定矩阵，所以 a ii 0(i=1，2，3)，所以 a=3当 a=3 时，由 得 A 的特征值为 1，4，10因为 A 为实对称矩阵，所以存在正交矩阵 Q，使得 而当 时， =Y T Y=Y T Q T QY=(QY) T (QY)=X T X=|X| 2 =2 所以当 时，X T AX 的最大值为 20(最大值 20 可以取到，如 y 1 =y 2 =0，y 3 = 22.设 A 为实对称矩阵，且 A 的特征值都大
24、于零证明：A 为正定矩阵 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 A 所对应的二次型为 f=X T AX， 因为 A 是实对称矩阵，所以存在正交变换 X=QY，使得 对任意的 X0，因为 X=QY，所以 Y=Q T X0， 于是 23.设 A 为 m 阶正定矩阵，B 为 mn 实矩阵证明：B T AB 正定的充分必要条件是 r(B)=n （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 因为(B T AB) T =B T A T (B T ) T =B T AB，所以 B T AB 为对称矩阵， 设 B T AB 是正定矩阵，则对任意的 X0， X T B T ABX=(BX) T A(BX)0，所以 BX0，即对任意的 X0 有 BX0，或方程组 BX=0 只有零解，所以r(B)=n 反之，设 r(B)=n，则对任意的 X0，有 BX0， 因为 A 为正定矩阵，所以 X T (B T AB)X=(BX) T A(BX)0， 所以 B T AB 为正定矩阵
