1、考研数学三-62 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：11，分数：22.00)1.已知 （分数：2.00）2. （分数：2.00）3. （分数：2.00）4.设级数 （分数：2.00）5.设 y=y(x)满足 ，且有 y(1)=1，则 （分数：2.00）_6.微分方程 （分数：2.00）_7.微分方程 yy“-2(y“) 2 =0 的通解为_ （分数：2.00）_8.微分方程 （分数：2.00）_9.以 y=C 1 e x +e x (C 2 cosx+C 3 sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为_ （分数：2.00）_10.设 y(x)为微分方
2、程 y“-4y“+4y=0 满足初始条件 y(0)=1，y“(0)=2 的特解，则 （分数：2.00）_11.差分方程 y t+1 -2y t =32 t 的通解为 y(t)=_ （分数：2.00）_二、选择题(总题数：6，分数：12.00)12.设 条件收敛，且 （分数：2.00）A.|r|1B.|r|1C.r=-1D.r=113.设 ，则_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.14.设幂级数 在 x=6 处条件收敛，则幂级数 的收敛半径为_ A2 B4 C （分数：2.00）A.B.C.D.15.设 y(x)是微分方程 y“+(x-1)y“+x 2 y=e x 满足初始条件
3、y(0)=0，y“(0)=1 的解，则 （分数：2.00）A.等于 1B.等于 2C.等于 0D.不存在16.二阶常系数非齐次线性微分方程 y“-2y“-3y=(2x+1)e -x 的特解形式为_ A.(ax+b)e-x B.x2e-x C.x2(ax+b)e-x D.x(ax+b)e-x（分数：2.00）A.B.C.D.17.设 1 (x)， 2 (x)， 3 (x)为二阶非齐次线性方程 y“+a 1 (x)y“+a 2 (x)y=f(x)的三个线性无关解，则该方程的通解为_（分数：2.00）A.C11(x)+2(x)+C23(x)B.C11(x)-2(x)+C23(x)C.C11(x)+2
4、(x)+C21(x)-3(x)D.C11(x)+C22(x)+C33(x)，其中 C1+C2+C3=1三、解答题(总题数：12，分数：66.00)18.讨论级数 （分数：5.00）_19.设 收敛，举例说明级数 不一定收敛；若 是正项收敛级数，证明 （分数：5.00）_20.设 ，级数 （分数：5.00）_21.若正项级数 收敛，证明： （分数：5.00）_设 （分数：5.00）(1).求 （分数：2.50）_(2).证明：对任意常数 0， （分数：2.50）_22.设 ，讨论级数 （分数：5.00）_23.设na n 收敛，且 收敛，证明：级数 （分数：6.00）_24.设 a n 0(n=
5、1，2，)且 单调减少，又级数 发散，判断 （分数：6.00）_证明：（分数：6.00）(1).设 a n 0，且na n 有界，则级数 （分数：3.00）_(2).若 ，则级数 （分数：3.00）_设 （分数：6.00）(1).若级数 收敛，则级数 （分数：3.00）_(2).若级数 发散，则级数 （分数：3.00）_25.设u n ，c n 为正项数列，证明： (1)若对一切正整数 n 满足 c n u n -c n+1 u n+1 0，且 发散，则 也发散； (2)若对一切正整数 n 满足 ，且 收敛，则 （分数：6.00）_26.对常数 p，讨论幂级数 （分数：6.00）_考研数学三-
6、62 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：11，分数：22.00)1.已知 （分数：2.00）解析： 解析 则 所以 2. （分数：2.00）解析：3e 解析 令 则 于是 3. （分数：2.00）解析：2(1-ln2) 解析 令 则 因为 S(0)=0， 所以 则 4.设级数 （分数：2.00）解析： 解析 因为 条件收敛，所以 即 p 的范围是 5.设 y=y(x)满足 ，且有 y(1)=1，则 （分数：2.00）_正确答案：()解析： 解析 由 得函数 y=y(x)可微且 ，积分得 ，因为 y(1)=1，所以 C=0，于是 ，故 6.微分方程 （分数：
7、2.00）_正确答案：()解析： 解析 由 ，得 ，即 ， 令 z=e y ，则 ，解得 ， 所以原方程的通解为 7.微分方程 yy“-2(y“) 2 =0 的通解为_ （分数：2.00）_正确答案：()解析：y=C 或者 解析 令 y“=p，得 ，代入原方程得 则 p=0，或 当 p=0 时，y=C； 当 时， ，即 由 ，得 ，从而 ，所以原方程的通解为 y=C 或者 8.微分方程 （分数：2.00）_正确答案：()解析：lnx+C 解析 令 ， 所以 9.以 y=C 1 e x +e x (C 2 cosx+C 3 sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为_ （分数：2.00）_正
8、确答案：()解析：y“-3y“+4y“-2y=0 解析 特征值为 1 =1， 2，3 =1i，特征方程为(-1)(-1+i)(-1-i)=0，即 3 -3 2 +4-2=0，所求方程为 y“-3y“+4y“-2y=010.设 y(x)为微分方程 y“-4y“+4y=0 满足初始条件 y(0)=1，y“(0)=2 的特解，则 （分数：2.00）_正确答案：()解析： 解析 y“-4y“+4y=0 的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e 2x ， 由初始条件 y(0)=1，y“(0)=2 得 C 1 =1，C 2 =0，则 y=e 2x ， 于是 11.差分方程 y t+1 -2y t =32
9、t 的通解为 y(t)=_ （分数：2.00）_正确答案：()解析： 解析 y t+1 -2y t =0 的通解为 y(t)=C2 t ，f(t)=32 t ，因为 2 为特征值，所以设特解为 y t * =at2 t ，代入原方程得 ，故原方程的通解 二、选择题(总题数：6，分数：12.00)12.设 条件收敛，且 （分数：2.00）A.|r|1B.|r|1C.r=-1 D.r=1解析：解析 因为 条件收敛，所以级数 一定不是正项或负项级数，故 r0 若|r|1，则 ，级数 绝对收敛，矛盾； 若|r|1，则 ，存在充分大的 N，当 nN 时，|u n |单调增加， ，于是 13.设 ，则_
10、A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 显然 条件收敛， ，因为 ，而 收敛，所以14.设幂级数 在 x=6 处条件收敛，则幂级数 的收敛半径为_ A2 B4 C （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 因为 在 x=6 处条件收敛，所以级数 的收敛半径为 R=4，又因为级数 有相同的收敛半径，所以 的收敛半径为 R=4，于是15.设 y(x)是微分方程 y“+(x-1)y“+x 2 y=e x 满足初始条件 y(0)=0，y“(0)=1 的解，则 （分数：2.00）A.等于 1 B.等于 2C.等于 0D.不存在解析：解析 微分方程 y“+(x-1)y“+x
11、2 y=e x 中，令 x=0，则 y“(0)=2，于是 16.二阶常系数非齐次线性微分方程 y“-2y“-3y=(2x+1)e -x 的特解形式为_ A.(ax+b)e-x B.x2e-x C.x2(ax+b)e-x D.x(ax+b)e-x（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 方程 y“-2y“-3y=(2x+1)e -x 的特征方程为 2 -2-3=0，特征值为 1 =-1， 2 =3，故方程 y“-2y“-3y=(2x+1)e -x 的特解形式为 x(ax+b)e -x ，选 D17.设 1 (x)， 2 (x)， 3 (x)为二阶非齐次线性方程 y“+a 1 (x)y“+a
12、 2 (x)y=f(x)的三个线性无关解，则该方程的通解为_（分数：2.00）A.C11(x)+2(x)+C23(x)B.C11(x)-2(x)+C23(x)C.C11(x)+2(x)+C21(x)-3(x)D.C11(x)+C22(x)+C33(x)，其中 C1+C2+C3=1 解析：解析 因为 1 (x)， 2 (x)， 3 (x)为方程 y“+a 1 (x)y“+a 2 (x)y=f(x)的三个线性无关解， 所以 1 (x)- 3 (x)， 2 (x)- 3 (x)为方程 y“+a 1 (x)y“+a 2 (x)y=0 的两个线性无关解， 于是方程 y“+a 1 (x)y“+a 2 (x
13、)y=f(x)的通解为 C 1 1 (x)- 3 (x)+C 2 2 (x)- 3 (x)+ 3 (x) 即 C 1 1 (x)+C 2 2 (x)+C 3 3 (x)，其中 C 3 =1-C 1 -C 2 或 C 1 +C 2 +C 3 =1，选 D三、解答题(总题数：12，分数：66.00)18.讨论级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 令 则 因为 而 收敛，所以 收敛， 由正项级数的比较审敛法得 19.设 收敛，举例说明级数 不一定收敛；若 是正项收敛级数，证明 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 令 ，由交错级数的 Leibniz 审敛法，级数 收敛， 而 发散设
14、 是正项收敛级数，则 ， 取 0 =1，存在自然数 N，当 nN 时，|a n -0|1，从而 0a n 1， 当 nN 时，有 由 收敛得 收敛，再由比较审敛法得 收敛，所以 20.设 ，级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 不一定收敛，如 ，显然 ， 而 ，因为 收敛，而 发散， 所以 发散； 不一定收敛，如 ，显然 发散； 不一定收敛，如 ，显然 发散； 一定收敛 由 ，得 ，又 收敛，所以 收敛，即 绝对收敛， 所以 21.若正项级数 收敛，证明： （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 因为 收敛，所以 ， 当 x0 时，ln(1+x)x，于是 为正项级数， 而 ，
15、 所以 再由 收敛，故 设 （分数：5.00）(1).求 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 ，则 ， ，因为 ，所以 (2).证明：对任意常数 0， （分数：2.50）_正确答案：()解析：证明 因为 ， 所以 ，而 收敛(0)，所以 22.设 ，讨论级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 因为 收敛，所以 收敛 因为 所以 于是 的和为 23.设na n 收敛，且 收敛，证明：级数 （分数：6.00）_正确答案：()解析：证明 令 S n =a 1 +a 2 +a n ，S“ n+1 =(a 1 -a 0 )+2(a 2 -a 1 )+(n+1)(a n+1 -a n )
16、， 则 S“ n+1 =(n+1)a n+1 -S n -a 0 ，因为 收敛且数列na n 收敛， 所以 都存在，于是 存在，根据级数收敛的定义， 24.设 a n 0(n=1，2，)且 单调减少，又级数 发散，判断 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 因为 单调减少且 a n 0(n=1，2，)，所以 存在，令 ， 由 发散，得 A0根据正项级数的根值审敛法，由 ，得级数 证明：（分数：6.00）(1).设 a n 0，且na n 有界，则级数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 因为na n 有界，所以存在 M0，使得 0na n M，即 ，而级数 收敛，所以级数 (2
17、).若 ，则级数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 取 ，因为 ，所以存在 N0，当 nN 时， ，即 ，或者 ，而收敛，所以设 （分数：6.00）(1).若级数 收敛，则级数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 由 ，则数列单调递减有下界，根据极限存在准则， 存在，令 无论 A=0 还是 A0，若级数 收敛，则级数(2).若级数 发散，则级数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 若 A=0，由级数 发散，得级数 发散；若 A0，级数 敛散性相同，故若级数发散，则级数25.设u n ，c n 为正项数列，证明： (1)若对一切正整数 n 满足 c n u n -
18、c n+1 u n+1 0，且 发散，则 也发散； (2)若对一切正整数 n 满足 ，且 收敛，则 （分数：6.00）_正确答案：()解析：证明 显然 为正项级数 (1)因为对所有 n 满足 c n u n -c n+1 u n+1 0，于是 c n u n c n+1 u n+1 c n u n c 1 u 1 0， 从而 因为 发散，所以 也发散 (2)因为对所有 n 满足 ，则 c n u n -c n+1 u n+1 au n+1 ，即 c n u n (c n+1 +a)a n+1 ，所以 ，于是 因为 收敛，所以 26.对常数 p，讨论幂级数 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 由 ，得幂级数的收敛半径为 R=1 (1)当 p0 时，记 q=-p，则有 ，因而当 x=1 时， 发散，此时幂级数的收敛区间为(-1，1)，(2)当 0p1 时，对 ，因为 ，所以 x=1 时，级数 发散，当 x=-1 时， 显然收敛，此时幂级数的收敛区间为-1，1)； (3)当 p1 时，对 ，因为 ，而 收敛，所以级数 收敛，当 x=-1 时，
