1、考研数学三-62 (1)及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.微分方程 2yy“=(y)2的通解为_（分数：4.00）A.y=(x-c)2B.y=c1(x-1)2C.y=c1+(x-c)2D.y=c1(x-c2)22.若 n 维向量 a1、a 2、a 3线性相关，a 2、a 3、a 4/sub线性无关，则_（分数：4.00）A.a1 一定可以由 a2、a3 线性表示B.a4 一定可由 a1、a2、a3 线性表示C.a4 一定可由 a1、a3 线性表示D.a4 一定可由 a1、a2 线性表示3.设幂级数 （分数：4.00）A.B.C.
2、D.4.设 A 为三阶方阵，A1，A2，A3 表示 A 中三个列向量，则|A|=_（分数：4.00）A.|A3，A2，A1|B.|A1+A2，A2+A3，A3+A1|C.|-A1，-A2，-A3|D.|A1，A1+A2，A1+A2+A3|5.设函数 y=f(x)在(0，+)内有界且可导，则_（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 X，Y 是相互独立的随机变量，其分布函数分别为 FX(x)、FY(y)，则 Z=min(X，Y)的分布函数是_（分数：4.00）A.FZ(z)=maxFX(x)，FY(y)B.FZ(z)=minFX(x)，FY(y)C.FZ(z)=1-1-FX(x)1-FY(y)D
3、.FZ(z)=FY(y)7.下列说法中正确的是_（分数：4.00）A.若 z=f(x，y)在 M0(x0，y0)处存在偏导数，则它在 M，点必连续B.若 z=f(x，y)在 M0 点可微，则它在 M0 点的一阶偏导数连续C.若 z=f(x，y)在 M0 点存在二阶偏导数，则它在 M0 处的一阶偏导数连续D.若 z=f(x，y)在 M0 点不连续，则它在 M0 点不可微8.设函数 f(u)可导，y=f(x 3)当自变量 x 在 x=-1 处取得增量x=-0.1 时，相应的函数增量y 的线性主部为 0.1，则 f(1)=_（分数：4.00）A.-1B.0.1C.1D.0.5二、填空题(总题数：6，
4、分数：24.00)9.设其中 （分数：4.00）填空项 1:_10.已知 yt=3et 是差分方程 yt+1+ayt-1=et 的一个特解，则 a=_（分数：4.00）填空项 1:_11.设函数 z=z(x，y)由方程 F(x-az，y-bz)=0 所给出，其中 F(u，v)任意可微，则 （分数：4.00）填空项 1:_12.已知向量组 与向量组 具有相同的秩，且 3 可由 1，2，3 线性表出，则 a=_，b=_（分数：4.00）填空项 1:_13.设 A、B 为随机事件，P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，则 （分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 X 服从于参数为(2，p)
5、的二项分布，随机变量 Y 服从于参数为(3，p)的二项分布，若 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 （分数：9.00）_16.设每天生产某种商品 q 单位时的固定成本为 20 元，边际成本函数 C(q)=0.4q+2 元/件求成本函数 C(q)如果该商品的销售价为 18 元/件，并且所有产品都能够售出，求利润函数 L(q)，并问每天生产多少件产品时才能获得最大利润?（分数：9.00）_17.设函数 f(x)，g(x)满足 f(x)=g(x)，g(x)=2e x-f(x)且 f(0)=0，g(0)=2，求 （分数：11.00）_18.设 y(x)0
6、，y(0)=1，y(0)=1，又曲线 y=y(x)是单调的，凹凸性不变，且其上任意点处的切线及 y 轴和 y=y(x)所围成的平面图形的面积等于切点处横坐标的立方，求 L 的方程（分数：11.00）_19.求微分方程 y“+5y+6y=2e-x 的通解（分数：10.00）_20.设有三维列向量（分数：11.00）_21.设 A，B 为同阶方阵，(1) 如果 A、B 相似，试证 A、B 的特征多项式相等(2) 举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立(3) 当 A、B 均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立（分数：11.00）_22.设 X1，X2，Xn 是来自总体 X 的样本。X 的分布
7、密度为（分数：11.00）_23.设总体 X 服从(0，(0)上的均匀分布，x1，x2，xn 是来自总体 X 样本，求 的最大似然估计量与矩估量（分数：11.00）_考研数学三-62 (1)答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.微分方程 2yy“=(y)2的通解为_（分数：4.00）A.y=(x-c)2B.y=c1(x-1)2C.y=c1+(x-c)2D.y=c1(x-c2)2 解析：考点提示 微分方程的通解解题分析 因为此方程为二阶微分方程，故其通解中应含有 2 个自由常数，故可排除 A、B又 y=c1+(x-c)2不是方程的解，故
8、排除 C应选 D2.若 n 维向量 a1、a 2、a 3线性相关，a 2、a 3、a 4/sub线性无关，则_（分数：4.00）A.a1 一定可以由 a2、a3 线性表示 B.a4 一定可由 a1、a2、a3 线性表示C.a4 一定可由 a1、a3 线性表示D.a4 一定可由 a1、a2 线性表示解析：考点提示 向量的线性相关解题分析 因为 n 维向量 2、3、4 线性无关所以 2 和 3 之间不能相互表出；又 1、2、3 线性相关，则可知 1 能由 2、3 表出故正确答案为 A3.设幂级数 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点提示 幂级数的敛散性解题分析 由幂级数性质知，级数在收敛
9、域内绝对收敛，在端点处收敛性不定，现在级数在-2 处条件收敛，故-2 为收敛域端点，则 R=2-(-2)=44.设 A 为三阶方阵，A1，A2，A3 表示 A 中三个列向量，则|A|=_（分数：4.00）A.|A3，A2，A1|B.|A1+A2，A2+A3，A3+A1|C.|-A1，-A2，-A3|D.|A1，A1+A2，A1+A2+A3| 解析：考点提示 行列式的性质解题分析 由行列性质，用排除法设 A=(A1，A2，A3)则|A|=|A1，A2，A3|由行列式性质|A3，A2，A1|=-|A1，A2，A3|故 A 不对|-A1，-A2，-A3|=-|A1，A2，A3|，故 C 不对|A1+
10、A2，A2+A3，A3+A1|=2|A1，A2，A3|故 B 不对所以，此题正确答案应为 D5.设函数 y=f(x)在(0，+)内有界且可导，则_（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点提示 函数的有界性、可导性解题分析 排除法由于当 x+时 f(x)0 可能是无穷振荡的，f(x)可能没有极限，如*不存在故 A 不对；例如 f(x)=sinx0(x0 +)，但 f(x)=cosx10，故 C、D 不对应选 B点评 用拉格朗日中值定理可以证明：设 f(x)在(0，+)内可导，*若 A0，则*6.设 X，Y 是相互独立的随机变量，其分布函数分别为 FX(x)、FY(y)，则 Z=min(X，
11、Y)的分布函数是_（分数：4.00）A.FZ(z)=maxFX(x)，FY(y)B.FZ(z)=minFX(x)，FY(y)C.FZ(z)=1-1-FX(x)1-FY(y) D.FZ(z)=FY(y)解析：考点提示 随机变量的分布函数解题分析 FZ(z)=PZz=Pmin(X，Y)z=1-Pmin(X，Y)z=1-PXz，Yz=1-PXzPYz=1-1-FX(x)1-FY(y)故选 C7.下列说法中正确的是_（分数：4.00）A.若 z=f(x，y)在 M0(x0，y0)处存在偏导数，则它在 M，点必连续B.若 z=f(x，y)在 M0 点可微，则它在 M0 点的一阶偏导数连续C.若 z=f(
12、x，y)在 M0 点存在二阶偏导数，则它在 M0 处的一阶偏导数连续D.若 z=f(x，y)在 M0 点不连续，则它在 M0 点不可微 解析：考点提示 偏导数解题分析 如果函数 z=f(x，y)在点 M0 处可微，则它在点 M0 处必定存在偏导数，且在点 M0 处必定连续，反之则不正确若函数在 M0 处不连续，则它在点M0 处必不可导故正确答案为 D8.设函数 f(u)可导，y=f(x 3)当自变量 x 在 x=-1 处取得增量x=-0.1 时，相应的函数增量y 的线性主部为 0.1，则 f(1)=_（分数：4.00）A.-1B.0.1C.1D.0.5 解析：考点提示 函数的导数值解题分析 函
13、数微分是函数增量的线性主部所以本题就是已知微分值、自变量 x 的增量，反过来求函数的导数值 f(1)因为 dy=f(x2)dx2=2xf(x2)dx，所以得 0.1=-2f(1)(-0.1)即 f(1)=0.5 故选 D二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设其中 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 参数函数求导数解题分析 因为*，且 f(0)0，所以*10.已知 yt=3et 是差分方程 yt+1+ayt-1=et 的一个特解，则 a=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 差分方程的特解解题分析 由*得*，故*11.设函数
14、z=z(x，y)由方程 F(x-az，y-bz)=0 所给出，其中 F(u，v)任意可微，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：考点提示 求偏导数解题分析 因*故*12.已知向量组 与向量组 具有相同的秩，且 3 可由 1，2，3 线性表出，则 a=_，b=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2，5）解析：考点提示 向量组的线性表出解题分析 因为*，所以 r(1，2，3)=r(1，2，3)=2又 3 可由 1，2，3 线性表出，则*，解得 b=513.设 A、B 为随机事件，P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答
15、案：0.6）解析：考点提示 随机事件的计算解题分析 P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)*14.设随机变量 X 服从于参数为(2，p)的二项分布，随机变量 Y 服从于参数为(3，p)的二项分布，若 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 随机变量的二项分布解题分析 因*，故*解得*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 （分数：9.00）_正确答案：( )解析：考点提示 定积分计算16.设每天生产某种商品 q 单位时的固定成本为 20 元，边际成本函数 C(q)=0.4q+2 元/件求成本函数 C(q)如果该商品的销售价为 18 元/件，并且
16、所有产品都能够售出，求利润函数 L(q)，并问每天生产多少件产品时才能获得最大利润?（分数：9.00）_正确答案：(已知，成本=固定成本+变动成本；成本函数是边际成本的反导数；变动成本是边际成本函数在区间上的定积分：成本函数为)解析：考点提示 定积分应用题17.设函数 f(x)，g(x)满足 f(x)=g(x)，g(x)=2e x-f(x)且 f(0)=0，g(0)=2，求 （分数：11.00）_正确答案：(由 f(x)=g(x)，g(x)=2e x-f(x)，得 f“(x)=2ex-f(x)于是有解方程得 f(x)=sinx-cosx+ex又 )解析：考点提示 定积分的计算18.设 y(x)
17、0，y(0)=1，y(0)=1，又曲线 y=y(x)是单调的，凹凸性不变，且其上任意点处的切线及 y 轴和 y=y(x)所围成的平面图形的面积等于切点处横坐标的立方，求 L 的方程（分数：11.00）_正确答案：(此题是基于积分给出数量关系的微分方程的求解问题应特别注意由曲边梯形面积确定数量关系的正确性任意点 P 的坐标为(x，y)，如右图其切线方程为曲边三角形的面积根据题设，有两边对 x 求导，得y“=6y=3x2+c1x+c2由初始条件 y(0)=1，y(0)=1，得 c2=1，c1=1，L 的方程为y=3x2+x+1当曲边三角形的面积则 L 的方程为y=-3x2+x+1根据题设 y(x)
18、0，所以这个结果不符要求，舍去综合上述讨论，所求的 L 的方程为y=3x2+x+1)解析：考点提示 曲面积分19.求微分方程 y“+5y+6y=2e-x 的通解（分数：10.00）_正确答案：(所给微分方程的特征方程为 2+5+6=(+2)(+3)=0，故特征根为-2 和-3于是，对应齐次微分方程的通解为 )解析：考点提示 微分方程的通解20.设有三维列向量（分数：11.00）_正确答案：(向量 是否可以由 1，2，3 线性表示，相当于方程组 Ax= 是否有解，其中 A=1，2，3，因此本题实际上是线性方程组解的判定问题设 =x11+x22+x33，则其增广矩阵可见(1) 若 0 且 -3，方
19、程组有唯一解， 可由 1，2，3 唯一线性表示；(2)若 =0，则方程组有无穷多解， 可由 1，2，3 线性表示，但表达式不唯一；(3) 若 =-3，则)解析：考点提示 线性方程组的解21.设 A，B 为同阶方阵，(1) 如果 A、B 相似，试证 A、B 的特征多项式相等(2) 举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立(3) 当 A、B 均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立（分数：11.00）_正确答案：(1) 若 A，B 相似，那么存在可逆矩阵 P，使 P-1AP=B，故|E-B|=|E-P -1AP|=|P-1EP-P -1AP|=|P-1(E-A)P|=|P -1|E-A|P|=
20、|E-A|(2) 令 ，那么|E-A|= 2=|E-B|但 A，B 不相似，否则，存在否逆矩阵 P，使 P-1AP=B=0从而 A=P0P-1=0，矛盾，亦可从 r(A)=1，r(B)=0 而知 A 与 B 不相似(3) 由 A，B 均为实对称矩阵知，A，B 均相似于对角阵若 A，B 的特征多项式相等，记特征多项式的根为 1，N 则有即存在可逆矩阵 P，Q 使)解析：考点提示 可逆矩阵的相关证明题22.设 X1，X2，Xn 是来自总体 X 的样本。X 的分布密度为（分数：11.00）_正确答案：(因为所以所以 )解析：考点提示 矩估计的计算23.设总体 X 服从(0，(0)上的均匀分布，x1，x2，xn 是来自总体 X 样本，求 的最大似然估计量与矩估量（分数：11.00）_正确答案：(1) 总体 X 的密函数是似然函数是记 x(n)=maxxi当 x(n)时，L()是单调减小函数，所以当 时，L(；x1，x2，xn)最大所以 是 的最大似然估计量(2) 因为令得所以 的矩估计量是 )解析：考点提示 最大似然估计、矩估计计算
