1、考研数学三-445 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：35.00)1.设 f(x)，g(x)是连续函数，当 x0 时，f(x)与 g(x)是等价无穷小，令 ， （分数：5.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但非等价无穷小D.等价无穷小2.设 （分数：5.00）A.为正常数B.为负常数C.为零D.取值与 x 有关3.设 （分数：5.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶非等价无穷小D.等价无穷小4.设 其中 （分数：5.00）A.单调减少B.元界C.连续D.有第一类间断点5.设 f(x)在 R 上是以 T 为周期的连续奇函数，则下列函
2、数中不是周期函数的是_ A B C D （分数：5.00）A.B.C.D.6.设函数 f(x)连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是_ A B C D （分数：5.00）A.B.C.D.7.若由曲线 ，曲线上某点处的切线以及 x=1，x=3 围成的平面区域的面积最小，则该切线是_ A B Cy=x+1 D （分数：5.00）A.B.C.D.二、解答题(总题数：14，分数：115.00)8.设 f(x)连续，且 （分数：9.00）_9. （分数：9.00）_10. （分数：9.00）_11. （分数：8.00）_12.设 F(x)为 f(x)的原函数，且当 x0 时， （分数：8.00）_1
3、3.设 （分数：8.00）_14. （分数：8.00）_15.设 f(x)连续， （分数：8.00）_设 （分数：8.00）(1).证明：当 nx(n+1) 时，2nS(x)2(n+1)；（分数：4.00）_(2). （分数：4.00）_16.设 f(x)在0，+)上连续，非负且以 T 为周期，证明： （分数：8.00）_17.设 f(x)在0，1上连续，f(0)=0， 证明：存在 (0，1)，使得 （分数：8.00）_设 f(x)在(-a，a)(a0)内连续，且 f“(0)=2（分数：8.00）(1).证明：对 0xa，存在 01，使得 （分数：4.00）_(2). （分数：4.00）_18
4、.设 ，证明： （分数：8.00）_19.设 f(x)有界，且 f“(x)连续，对任意的 x(-，+)有|f(x)+f“(x)|1证明：|f(x)|1 （分数：8.00）_考研数学三-445 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：35.00)1.设 f(x)，g(x)是连续函数，当 x0 时，f(x)与 g(x)是等价无穷小，令 ， （分数：5.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但非等价无穷小D.等价无穷小 解析：解析 则 2.设 （分数：5.00）A.为正常数 B.为负常数C.为零D.取值与 x 有关解析：解析 由周期函数的平移性质， ，再
5、由对称区间积分性质得 3.设 （分数：5.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶非等价无穷小 D.等价无穷小解析：解析 因为4.设 其中 （分数：5.00）A.单调减少B.元界C.连续 D.有第一类间断点解析：解析 因为 f(x)在(0，2)内只有第一类间断点，所以 g(x)在(0，2)内连续，选 C5.设 f(x)在 R 上是以 T 为周期的连续奇函数，则下列函数中不是周期函数的是_ A B C D （分数：5.00）A.B.C.D. 解析：解析 设 6.设函数 f(x)连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是_ A B C D （分数：5.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 t
6、f(t)-f(-t)为偶函数，所以 为奇函数，A 不对；因为 f(t 2 )为偶函数，所以 为奇函数，C 不对；因为不确定 f 2 (t)的奇偶性，所以 D 不对；令 ， 7.若由曲线 ，曲线上某点处的切线以及 x=1，x=3 围成的平面区域的面积最小，则该切线是_ A B Cy=x+1 D （分数：5.00）A. B.C.D.解析：解析 计算下列不定积分： 曲线 在点 处的切线方程为 ，由于切线位于曲线 的上方，所以由曲线 ，切线及 x=1，x=3 围成的面积为 当 t(0，2)时，S“(t)0；当 t(2，3)时，S“(t)0，则当 t=2 时，S(t)取最小值，此时切线方程为 二、解答题
7、(总题数：14，分数：115.00)8.设 f(x)连续，且 （分数：9.00）_正确答案：()解析：解 ， 9. （分数：9.00）_正确答案：()解析：解 10. （分数：9.00）_正确答案：()解析：解 因为(x 2 e x )“=(x 2 +2x)e x ， 所以 11. （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 由 得 12.设 F(x)为 f(x)的原函数，且当 x0 时， （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 两边积分得 ，解得 ，由 F(0)=1，F(x)0，得 于是13.设 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 令 lnx=t，则 当 t0 时，f(t)=t+
8、C 1 ；当 t0 时，f(t)=e“+C 2 显然 f“(t)为连续函数，所以 f(t)也连续，于是有 C 1 =1+C 2 ，故 f(x)= 14. （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 令 ，当 0x1 时， ，当 1x2 时， ，则15.设 f(x)连续， （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 由 得 两边求导得 设 （分数：8.00）(1).证明：当 nx(n+1) 时，2nS(x)2(n+1)；（分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 当 nx(n+1) 时， (2). （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由 nx(n+1)，得 从而 根据夹逼定理得 16.
9、设 f(x)在0，+)上连续，非负且以 T 为周期，证明： （分数：8.00）_正确答案：()解析：证明 对充分大的 x，存在自然数 n，使得 nTx(n+1)T， 因为 f(x)0，所以 即 得 注意到当 x+时，n+，且 由夹逼定理得 17.设 f(x)在0，1上连续，f(0)=0， 证明：存在 (0，1)，使得 （分数：8.00）_正确答案：()解析：证明 令 因为 f(x)在0，1上连续，所以 (x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，又 (0)=0， ，由罗尔定理，存在 (0，1)，使得 “()=0，而 ，所以设 f(x)在(-a，a)(a0)内连续，且 f“(0)=2（分数：8.0
10、0）(1).证明：对 0xa，存在 01，使得 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 令 ，显然 F(x)在0，x上可导，且 F(0)=0，由微分中值定理，存在 01，使得F(x)=F(x)=F(0)=F“(x)x，即 (2). （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 得 于是 18.设 ，证明： （分数：8.00）_正确答案：()解析：证明 同理 因为 tan n x，tan n+2 x 在 上连续，tan n xtan n+2 x，且 tan n x，tan n+2 x 不恒等，所以 即 a n a n+2 ， 于是 即 同理可证 19.设 f(x)有界，且 f“(x)连续，对任意的 x(-，+)有|f(x)+f“(x)|1证明：|f(x)|1 （分数：8.00）_正确答案：()解析：证明 令 (x)=e x f(x)，则 “(x)=e x f(x)+f“(x)， 由|f(x)+f“(x)|1 得|“(x)|e x ，又由 f(x)有界得 (-)=0，则 ，两边取绝对值得
