1、考研数学三-428 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：9，分数：36.00)1.设常数 a0，1，随机变量 XU0，1，Y=|X-a|，则 E(XY)= 1 （分数：4.00）2.设随机变量 X，Y 相互独立，D(X)=4D(Y)，令 U=3X+2Y，V=3X-2Y，则 UV = 1 （分数：4.00）3.设 X，Y 为两个随机变量，且 D(X)=9，Y=2X+3，则 X，Y 的相关系数为 1 （分数：4.00）4.设 X，Y 为两个随机变量，D(X)=4，D(Y)=9，相关系数为 （分数：4.00）5.设 X，Y 为两个随机变量，E(X)=E(Y)=1
2、，D(X)=9，D(Y)=1，且 （分数：4.00）6.设 X，Y 相互独立且都服从标准正态分布，则 E|X-Y|= 1，D|X-Y|= 2 （分数：4.00）7.设 D(X)=1，D(Y)=9， XY =-0.3，则 Cov(X，Y)= 1 （分数：4.00）8.设随机变量 X方差为 2，则根据切比雪夫不等式有估计 P|X-E(X)|2) 1 （分数：4.00）9.若随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布于 N(，2 2 )，则根据切比雪夫不等式得 P| （分数：4.00）二、选择题(总题数：7，分数：35.00)10.设 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立，则 X 1 ，
3、X 2 ，X n ，满足辛钦大数定律的条件是_（分数：5.00）A.X1，X2，Xn，同分布且有相同的数学期望与方差B.X1，X2，Xn，同分布且有相同的数学期望C.X1，X2，Xn，为同分布的离散型随机变量D.X1，X2，Xn，为同分布的连续型随机变量11.设(X 1 ，X 2 ，X 3 )为来自总体 X的简单随机样本，则下列不是统计量的是_ A B C D （分数：5.00）A.B.C.D.12.设(X 1 ，X 2 ，X n )(n2)为标准正态总体 X的简单随机样本，则_ A BnS 2 2 (n) C D （分数：5.00）A.B.C.D.13.没 Xt(2)，则 （分数：5.00）
4、A.B.C.D.14.设随机变量 XF(m，n)，令 PXF (m，n)=(01)，若 P(Xk)=，则 k等于_ AF (m，n) BF 1- (m，n) C D （分数：5.00）A.B.C.D.15.设 X，Y 都服从标准正态分布，则_ A.X+Y服从正态分布 B.X2+Y2服从 2分布 C.X2，Y 2都服从 2分布 D.X2/Y2服从 F分布（分数：5.00）A.B.C.D.16.设随机变量 XF(m，n)，令 p=P(X1)，q=P(X1)，则_（分数：5.00）A.pqB.pqC.p=qD.p，q 的大小与自由度 m有关三、解答题(总题数：6，分数：79.00)17.一民航班车上
5、有 20名旅客，自机场开出，旅客有 10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以 X表示停车次数，求 E(X)(设每位旅客下车是等可能的) （分数：13.00）_设某箱装有 100件产品，其中一、二、三等品分别为 80件、10 件和 10件，现从中随机抽取一件，记（分数：13.00）(1).求(X 1 ，X 2 )的联合分布；（分数：6.50）_(2).求 X 1 ，X 2 的相关系数（分数：6.50）_18.在长为 L的线段上任取两点，求两点之间距离的数学期望及方差 （分数：13.00）_19.设 X与 Y相互独立，且 XN(0， 2 )，YN(0， 2 )，令 （分数：13.
6、00）_设随机变量 X，Y 独立同分布，且 XN(0， 2 )，再设 U=aX+bY，V=aX-bY，其中 a，b 为不相等的常数求：（分数：13.00）(1).E(U)，E(V)，D(U)，D(V)， UV ；（分数：6.50）_(2).设 U，V 不相关。求常数 a，b 之间的关系（分数：6.50）_20.设 XU(-1，1)，Y=X 2 ，判断 X，Y 的独立性与相关性 （分数：14.00）_考研数学三-428 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：9，分数：36.00)1.设常数 a0，1，随机变量 XU0，1，Y=|X-a|，则 E(XY)= 1 （
7、分数：4.00）解析：解析 2.设随机变量 X，Y 相互独立，D(X)=4D(Y)，令 U=3X+2Y，V=3X-2Y，则 UV = 1 （分数：4.00）解析： 解析 Cov(U，V)=Cov(3X+2Y，3X-2Y)=9Cov(X，X)-4Cov(Y，Y)=9D(X)-4D(Y)=32D(Y) 由 X，Y 独立，得 D(U)=D(3X+2Y)=9D(X)+4D(Y)=40D(Y)， D(V)=D(3X-2Y)=9D(X)+4D(Y)=40D(Y)， 所以 3.设 X，Y 为两个随机变量，且 D(X)=9，Y=2X+3，则 X，Y 的相关系数为 1 （分数：4.00）解析：1 解析 D(Y)
8、=4D(X)=36， Cov(X，Y)=Cov(X，2X+3)=2Cov(X，X)+Cov(X，3)=2D(X)+Cov(X，3) 因为 Cov(X，3)=E(3X)-E(3)E(X)=3E(X)-3E(X)=0，所以 Cov(X，Y)=2D(X)=18， 于是 4.设 X，Y 为两个随机变量，D(X)=4，D(Y)=9，相关系数为 （分数：4.00）解析：36 解析 5.设 X，Y 为两个随机变量，E(X)=E(Y)=1，D(X)=9，D(Y)=1，且 （分数：4.00）解析：25 解析 E(X-2Y+3)=E(X)-2E(Y)+3=2， D(X-2Y+3)=D(X-2Y)=D(X)+4D(
9、Y)-4Cov(X，Y)， 由 6.设 X，Y 相互独立且都服从标准正态分布，则 E|X-Y|= 1，D|X-Y|= 2 （分数：4.00）解析： 解析 令 Z=X-Y，则 ZN(0，2)， 因为 E|Z| 2 =E(Z 2 )=D(Z)+E(Z) 2 =2， 所以 D|Z|=E|Z| 2 -(E|Z|) 2 = 7.设 D(X)=1，D(Y)=9， XY =-0.3，则 Cov(X，Y)= 1 （分数：4.00）解析：0.9解析 8.设随机变量 X方差为 2，则根据切比雪夫不等式有估计 P|X-E(X)|2) 1 （分数：4.00）解析：解析 9.若随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互
10、独立同分布于 N(，2 2 )，则根据切比雪夫不等式得 P| （分数：4.00）解析： 解析 因为 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布于 N(，2 2 )，所以 ， 从而 二、选择题(总题数：7，分数：35.00)10.设 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立，则 X 1 ，X 2 ，X n ，满足辛钦大数定律的条件是_（分数：5.00）A.X1，X2，Xn，同分布且有相同的数学期望与方差B.X1，X2，Xn，同分布且有相同的数学期望 C.X1，X2，Xn，为同分布的离散型随机变量D.X1，X2，Xn，为同分布的连续型随机变量解析：解析 根据辛钦大数定律的条件，应选 B11.设(X
11、1 ，X 2 ，X 3 )为来自总体 X的简单随机样本，则下列不是统计量的是_ A B C D （分数：5.00）A.B. C.D.解析：解析 因为统计量为样本的无参函数，故选 B12.设(X 1 ，X 2 ，X n )(n2)为标准正态总体 X的简单随机样本，则_ A BnS 2 2 (n) C D （分数：5.00）A.B.C.D. 解析：解析 由 得13.没 Xt(2)，则 （分数：5.00）A.B.C. D.解析：解析 因为 Xt(2)，所以存在 UN(0，1)，V 2 (2)，且 U，V 相互独立，使得 ， 则 ，因为 V 2 (2)，U 2 2 (1)且 V，U 2 相互独立，所以
12、 14.设随机变量 XF(m，n)，令 PXF (m，n)=(01)，若 P(Xk)=，则 k等于_ AF (m，n) BF 1- (m，n) C D （分数：5.00）A.B. C.D.解析：解析 根据左右分位点的定义，选 B15.设 X，Y 都服从标准正态分布，则_ A.X+Y服从正态分布 B.X2+Y2服从 2分布 C.X2，Y 2都服从 2分布 D.X2/Y2服从 F分布（分数：5.00）A.B.C. D.解析：解析 因为 X，Y 不一定相互独立，所以 X+Y不一定服从正态分布，同理 B，D 也不对，选 C16.设随机变量 XF(m，n)，令 p=P(X1)，q=P(X1)，则_（分数
13、：5.00）A.pqB.pqC.p=q D.p，q 的大小与自由度 m有关解析：解析 因为 XF(m，m)，所以 ，于是 q=P(X1)=三、解答题(总题数：6，分数：79.00)17.一民航班车上有 20名旅客，自机场开出，旅客有 10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以 X表示停车次数，求 E(X)(设每位旅客下车是等可能的) （分数：13.00）_正确答案：()解析：解 令 显然 X=X 1 +X 2 +X 10 因为任一旅客在第 i个站不下车的概率为 0.9，所以 20位旅客都不在第 i个站下车的概率为 0.9 20 ，从而第 i个站有人下车的概率为 1-0.9 20
14、 ，即 X i 的分布律为 于是 E(X i )=1-0.9 20 (i=1，2，10)，从而有 设某箱装有 100件产品，其中一、二、三等品分别为 80件、10 件和 10件，现从中随机抽取一件，记（分数：13.00）(1).求(X 1 ，X 2 )的联合分布；（分数：6.50）_正确答案：()解析：解 (X 1 ，X 2 )的可能取值为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1) P(X 1 =0，X 2 =0)=P(X 3 =1)=0.1， P(X 1 =0，X 2 =1)=P(X 2 =1)=0.1， P(X 1 =1，X 2 =0)=P(X 1 =1)=0.8， P(X 1 =1，
15、X 2 =1)=0 (X 1 ，X 2 )的联合分布律为 (2).求 X 1 ，X 2 的相关系数（分数：6.50）_正确答案：()解析：解 则 D(X 1 )=0.16，D(X 2 )=0.09，Cov(X 1 ，X 2 )=-0.08， 于是 18.在长为 L的线段上任取两点，求两点之间距离的数学期望及方差 （分数：13.00）_正确答案：()解析：解 线段在数轴上的区间为0，L，设 X，Y 为两点在数轴上的坐标，两点之间的距离为 U=|X-Y|，X，Y 的边缘密度为 因为 X，Y 独立，所以(X，Y)的联合密度函数为 于是 则 D(U)=E(U 2 )-E(U) 2 = 19.设 X与
16、Y相互独立，且 XN(0， 2 )，YN(0， 2 )，令 （分数：13.00）_正确答案：()解析：解 因为 X与 Y相互独立，且 XN(0， 2 )，YN(0， 2 )， 所以(X，Y)的联合密度函数为 ， 故 设随机变量 X，Y 独立同分布，且 XN(0， 2 )，再设 U=aX+bY，V=aX-bY，其中 a，b 为不相等的常数求：（分数：13.00）(1).E(U)，E(V)，D(U)，D(V)， UV ；（分数：6.50）_正确答案：()解析：解 E(U)=E(aX+bY)=0，E(V)=E(aX-bY)=0， D(U)=D(V)=(a 2 +b 2 ) 2 Cov(U，V)=Cov(aX+bY，aX-bY)=a 2 D(X)-b 2 D(Y)=(a 2 -b 2 ) 2 (2).设 U，V 不相关。求常数 a，b 之间的关系（分数：6.50）_正确答案：()解析：解 U，V 不相关20.设 XU(-1，1)，Y=X 2 ，判断 X，Y 的独立性与相关性 （分数：14.00）_正确答案：()解析：解 Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)，E(X)=0，E(XY)=E(X 3 )= 因此 Cov(X，Y)=0，X，Y 不相关；判断独立性，可以采用试算法 由
