1、考研数学三-423 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：5，分数：20.00)1.设 是矩阵 （分数：4.00）2.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 -2x 2 ) 2 +4x 2 x 3 的矩阵为 1 （分数：4.00）3.设 （分数：4.00）4.设二次型 （分数：4.00）5.设 （分数：4.00）二、选择题(总题数：9，分数：36.00)6.设 A，B 为 n阶可逆矩阵，则_ A存在可逆矩阵 P 1 ，P 2 ，使得 为对角矩阵 B存在正交矩阵 Q 1 ，Q 2 ，使得 （分数：4.00）A.B.C.D.7.n阶实对称矩阵 A正
2、定的充分必要条件是_ A.A无负特征值 B.A是满秩矩阵 C.A的每个特征值都是单值 D.A*是正定矩阵（分数：4.00）A.B.C.D.8.下列说法正确的是_（分数：4.00）A.任一个二次型的标准形是唯一的B.若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同C.若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型D.二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的9.设 A为可逆的实对称矩阵，则二次型 X T AX与 X T A -1 X_（分数：4.00）A.规范形与标准形都不一定相同B.规范形相同但标准形不一定相同C.标准形相同但规范形不一定相同D.规范形和标准形都相同10.设
3、 n阶矩阵 A与对角矩阵合同，则 A是_（分数：4.00）A.可逆矩阵B.实对称矩阵C.正定矩阵D.正交矩阵11.设 A，B 都是 n阶矩阵，且存在可逆矩阵 P，使得 AP=B，则_（分数：4.00）A.A，B 合同B.A，B 相似C.方程组 AX=0与 BX=0同解D.r(A)=r(B)12.设 A，B 为 n阶实对称矩阵，则 A与 B合同的充分必要条件是_（分数：4.00）A.r(A)=r(B)B.|A|=|B|C.ABD.A，B 与同一个实对称矩阵合同13.设 （分数：4.00）A.相似且合同B.相似不合同C.合同不相似D.不合同也不相似14.设 A，B 为三阶矩阵，且特征值均为-2，1
4、，1，以下命题： (1)AB；(2)A，B 合同；(3)A，B 等价；(4)|A|=|B|中正确的命题个数为_（分数：4.00）A.1个B.2个C.3个D.4个三、解答题(总题数：10，分数：94.00)设二次型 （分数：10.00）(1).求 a；（分数：5.00）_(2).用正交变换法化二次型为标准形（分数：5.00）_设 n阶实对称矩阵 A的秩为 r，且满足 A 2 =A(A称为幂等阵) 求：（分数：10.00）(1).二次型 X T AX的标准形；（分数：5.00）_(2).|E+A+A 2 +A n |的值（分数：5.00）_设 A为 n阶实对称可逆矩阵， （分数：10.00）(1)
5、.记 X=(x 1 ，x 2 ，x n ) T ，把二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )写成矩阵形式；（分数：5.00）_(2).二次型 g(X)=X T AX是否与 f(x 1 ，x 2 ，x n )合同?（分数：5.00）_设 A是三阶实对称矩阵，且 A 2 +2A=O，r(A)=2（分数：10.00）(1).求 A的全部特征值；（分数：5.00）_(2).当 k为何值时，A+kE 为正定矩阵?（分数：5.00）_15.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +4x 2 2 +2x 3 2 +2tx 1 x 2 +2x 1 x 3 为正定二次型，求 t的取值范围 （
6、分数：9.00）_16.设 A是 n阶正定矩阵，证明：|E+A|1 （分数：9.00）_17.用配方法化下列二次型为标准形： （分数：9.00）_18.用配方法化下列二次型为标准形： f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 x 2 +2x 1 x 3 +6x 2 x 3 （分数：9.00）_二次型 经过正交变换化为标准形 （分数：9.00）(1).常数 a，b；（分数：4.50）_(2).正交变换的矩阵 Q（分数：4.50）_设 为正定矩阵，令 （分数：9.00）(1).求 P T CP；（分数：4.50）_(2).证明：D-BA -1 B T 为正定矩阵（分数：4.50）_考研数学三-
7、423 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：5，分数：20.00)1.设 是矩阵 （分数：4.00）解析：2 3 解析 由 A= 得 2.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 -2x 2 ) 2 +4x 2 x 3 的矩阵为 1 （分数：4.00）解析：解析 因为 所以3.设 （分数：4.00）解析： 解析 令 3 = 3 ，正交规范化的向量组为 4.设二次型 （分数：4.00）解析：解析 该二次型的矩阵为 因为该二次型的秩为 2，所以|A|=0，解得5.设 （分数：4.00）解析：t2解析 二次型的矩阵为 因为二次型为正定二次型，所以有 5
8、0，二、选择题(总题数：9，分数：36.00)6.设 A，B 为 n阶可逆矩阵，则_ A存在可逆矩阵 P 1 ，P 2 ，使得 为对角矩阵 B存在正交矩阵 Q 1 ，Q 2 ，使得 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 A，B 都是可逆矩阵，所以 A，B 等价，即存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B，选 D7.n阶实对称矩阵 A正定的充分必要条件是_ A.A无负特征值 B.A是满秩矩阵 C.A的每个特征值都是单值 D.A*是正定矩阵（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 A 正定的充分必要条件是 A的特征值都是正数，A 不对；若 A为正定矩阵，则 A一定是满秩矩阵，但
9、 A是满秩矩阵只能保证 A的特征值都是非零常数，不能保证都是正数，B 不对；C 既不是充分条件又不是必要条件；显然 D既是充分条件又是必要条件8.下列说法正确的是_（分数：4.00）A.任一个二次型的标准形是唯一的B.若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同C.若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型D.二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的 解析：解析 A 不对，如 f=x 1 x 2 ，令 则 ；若令 则 9.设 A为可逆的实对称矩阵，则二次型 X T AX与 X T A -1 X_（分数：4.00）A.规范形与标准形都不一定相同B.规范形相同但标准形
10、不一定相同 C.标准形相同但规范形不一定相同D.规范形和标准形都相同解析：解析 因为 A与 A -1 合同，所以 X T AX与 X T A -1 X规范形相同，但标准形不一定相同，即使是同一个二次型也有多种标准形，选 B10.设 n阶矩阵 A与对角矩阵合同，则 A是_（分数：4.00）A.可逆矩阵B.实对称矩阵 C.正定矩阵D.正交矩阵解析：解析 因为 A与对角阵 A合同，所以存在可逆矩阵 P，使得 P T AP=A，从而 A=(P T ) -1 P -1 =(p -1 ) T P -1 ，A T =(p -1 ) T P -1 T =(P -1 ) T P -1 =A，选 B11.设 A，
11、B 都是 n阶矩阵，且存在可逆矩阵 P，使得 AP=B，则_（分数：4.00）A.A，B 合同B.A，B 相似C.方程组 AX=0与 BX=0同解D.r(A)=r(B) 解析：解析 因为 P可逆，所以 r(A)=r(B)，选 D12.设 A，B 为 n阶实对称矩阵，则 A与 B合同的充分必要条件是_（分数：4.00）A.r(A)=r(B)B.|A|=|B|C.ABD.A，B 与同一个实对称矩阵合同 解析：解析 因为 A，B 与同一个实对称矩阵合同，则 A，B 合同，反之若 A，B 合同，则 A，B 的正负惯性指数相同，从而 A，B 与13.设 （分数：4.00）A.相似且合同B.相似不合同C.
12、合同不相似 D.不合同也不相似解析：解析 由|E-A|=0 得 A的特征值为 1，3，-5，由|E-B|=0 得 B的特征值为 1，1，-1，所以 A与 B合同但不相似，选 C14.设 A，B 为三阶矩阵，且特征值均为-2，1，1，以下命题： (1)AB；(2)A，B 合同；(3)A，B 等价；(4)|A|=|B|中正确的命题个数为_（分数：4.00）A.1个B.2个 C.3个D.4个解析：解析 因为 A，B 的特征值为-2，1，1，所以|A|=|B|=-2，又因为 r(A)=r(B)=3，所以 A，B 等价，但 A，B 不一定相似或合同，选 B三、解答题(总题数：10，分数：94.00)设二
13、次型 （分数：10.00）(1).求 a；（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 (2).用正交变换法化二次型为标准形（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由|E-A|=0 得 1 = 2 =2， 3 =0 当 =2 时，由(2E-A)X=0 得 =2 对应的线性无关的特征向量为 当 =0 时，由(0E-A)X=0 得 =0 对应的线性无关的特征向量为 因为 1 ， 2 两两正交，单位化得 令 则 设 n阶实对称矩阵 A的秩为 r，且满足 A 2 =A(A称为幂等阵) 求：（分数：10.00）(1).二次型 X T AX的标准形；（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 因为 A
14、2 =A，所以|A|E-A|=0，即 A的特征值为 0或者 1，因为 A为实对称矩阵，所以 A可对角化，由 r(A)=r得 A的特征值为 =1(r 重)，=0(n-r 重)，则二次型 X T AX的标准形为 (2).|E+A+A 2 +A n |的值（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 令 B=E+A+A 2 +A n ，则 B的特征值为 =n+1(r 重)，=1(n-r 重)，故|E+A+A 2 +A n |=|B|=(n+1) r 设 A为 n阶实对称可逆矩阵， （分数：10.00）(1).记 X=(x 1 ，x 2 ，x n ) T ，把二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )写
15、成矩阵形式；（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 因为 r(A)=n，所以|A|0，于是 (2).二次型 g(X)=X T AX是否与 f(x 1 ，x 2 ，x n )合同?（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 因为 A可逆，所以 A的 n个特征值都不是零，而 A与 A -1 合同，故二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )与 g(X)=X T AX规范合同设 A是三阶实对称矩阵，且 A 2 +2A=O，r(A)=2（分数：10.00）(1).求 A的全部特征值；（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由 A 2 +2A=O得 r(A)+r(A+2E)=3，从而 A的特征值
16、为 0或-2，因为 A是实对称矩阵且 r(A)=2，所以 1 =0， 2 = 3 =-2(2).当 k为何值时，A+kE 为正定矩阵?（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 A+kE 的特征值为 k，k-2，k-2，当 k2 时，A+kE 为正定矩阵15.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +4x 2 2 +2x 3 2 +2tx 1 x 2 +2x 1 x 3 为正定二次型，求 t的取值范围 （分数：9.00）_正确答案：()解析：解 二次型的矩阵为 因为该二次型为正定二次型，所以有 解得16.设 A是 n阶正定矩阵，证明：|E+A|1 （分数：9.00）_正确答案
17、：()解析：证明 方法一 因为 A是正定矩阵，所以存在正交阵 Q，使得 其中 1 0， 2 0， n 0，因此 17.用配方法化下列二次型为标准形： （分数：9.00）_正确答案：()解析：解 令 则 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX， 令 设 显然 P可逆， 且 18.用配方法化下列二次型为标准形： f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 x 2 +2x 1 x 3 +6x 2 x 3 （分数：9.00）_正确答案：()解析：解 令 或 X=P 1 Y，其中 且 P 1 可逆， 则 再令 或 Y=P 2 Z， 其中 且 P 2 可逆， 令 P可逆，且 二次型 经过正交变
18、换化为标准形 （分数：9.00）(1).常数 a，b；（分数：4.50）_正确答案：()解析：解 令 则 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX，矩阵 A的特征值为 1 =5， 2 =b， 3 =-4， 由 从而 (2).正交变换的矩阵 Q（分数：4.50）_正确答案：()解析：解 将 1 = 2 =5代入(E-A)X=0，即(5-A)X=0， 由 得 1 = 2 =5对应的线性无关的特征向量为 将 3 =-4代入(E-A)X=0，即(4E+A)X=0， 由 得 3 =-4对应的线性无关的特征向量为 令 单位化得 所求的正交变换矩阵为 设 为正定矩阵，令 （分数：9.00）(1).求 P T CP；（分数：4.50）_正确答案：()解析：解 因为 为正定矩阵，所以 A T =A，D T =D， (2).证明：D-BA -1 B T 为正定矩阵（分数：4.50）_正确答案：()解析：解 因为 C与 合同，且 C为正定矩阵，所以
