1、考研数学三-422 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：24，分数：150.00)设向量 =( 1 ， 2 ， n ) T ，其中 a 1 0，A= T （分数：6.00）(1).求方程组 AX=0 的通解；（分数：3.00）_(2).求 A 的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量（分数：3.00）_1.设 （分数：7.00）_2.设 A 为三阶矩阵，A 的特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =3，其对应的线性无关的特征向量分别为 （分数：7.00）_3.设 A 是 n 阶矩阵， 是 A 的特征值，其对应的特征向量为 X，证明： 2 是 A 2 的特征
2、值，X 为特征向量若 A 2 有特征值 ，其对应的特征向量为 X，X 是否一定为 A 的特征向量?说明理由 （分数：7.00）_设 A，B 为 n 阶矩阵（分数：6.00）(1).是否有 ABBA；（分数：3.00）_(2).若 A 有特征值 1，2，n，证明：ABBA（分数：3.00）_设 为 n 维非零列向量， （分数：6.00）(1).证明：A 可逆并求 A -1 ；（分数：3.00）_(2).证明： 为矩阵 A 的特征向量（分数：3.00）_设矩阵 （分数：6.00）(1).求 y；（分数：3.00）_(2).求可逆矩阵 P，使得(AP) T (AP)为对角矩阵（分数：3.00）_设
3、A 是三阶实对称矩阵，r(A)=1，A 2 -3A=O，设(1，1，-1) T 为 A 的非零特征值对应的特征向量（分数：6.00）(1).求 A 的特征值；（分数：3.00）_(2).求矩阵 A（分数：3.00）_4.设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 =8， 2 = 3 =2，矩阵 A 的属于特征值 1 =8 的特征向量为 属于特征值 2 = 3 =2 的特征向量为 （分数：7.00）_5.设 n 阶矩阵 A 满足(aE-A)(bE-A)=O 且 ab证明：A 可对角化 （分数：7.00）_6.设非零 n 维列向量 ， 正交且 A= T 证明：A 不可以相似对角化 （分数：7.00）_设
4、 （分数：6.00）(1).证明 A 可对角化；（分数：3.00）_(2).求 A m （分数：3.00）_7.设 （分数：6.00）_8.设 A 为 n 阶非零矩阵，且存在自然数 k，使得 A k =O证明：A 不可以对角化 （分数：6.00）_9.设 A 为三阶矩阵，A i =i i (i=1，2，3) （分数：6.00）_10.设 （分数：6.00）_11.设 （分数：6.00）_设 （分数：6.00）(1).求 a，b；（分数：3.00）_(2).求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=B（分数：3.00）_设 （分数：6.00）(1).求 a；（分数：3.00）_(2).求可逆矩阵 P
5、，使得 P -1 AP=B（分数：3.00）_设 （分数：6.00）(1).求 a；（分数：2.00）_(2).求 A 的特征向量；（分数：2.00）_(3).求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP 为对角阵（分数：2.00）_12.用配方法化二次型 （分数：6.00）_13.用配方法化二次型 （分数：6.00）_设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX，A 的主对角线上元素之和为 3，又 AB+B=O，其中 （分数：6.00）(1).求正交变换 X=QY 将二次型化为标准形；（分数：3.00）_(2).求矩阵 A（分数：3.00）_14.用正交变换法化二次型 （分数：6.00
6、）_考研数学三-422 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：24，分数：150.00)设向量 =( 1 ， 2 ， n ) T ，其中 a 1 0，A= T （分数：6.00）(1).求方程组 AX=0 的通解；（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为 r(A)=1，所以 AX=0 的基础解系含有 n-1 个线性无关的特征向量，其基础解系为 (2).求 A 的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为 A 2 =kA，其中 k=(，)= 1.设 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解 方法一 由 得|6
7、E-A n |=6 2 (6-2 n ) 方法二 A= T ，由|E-A|= 2 (-2)=0 得 1 = 2 =0， 3 =2，因为 6E-A n 的特征值为6，6，6-2 n ，所以|6E-A n |=6 2 (6-2 n ) 方法三 因为 A 是实对称矩阵且 1 = 2 =0， 3 =2，所以存在可逆阵 P，使得 2.设 A 为三阶矩阵，A 的特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =3，其对应的线性无关的特征向量分别为 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解 方法一 令 ，则 方法二 令 =x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 ，解得 x 1 =2，x 2 =-2，x 3 =1，则
8、 3.设 A 是 n 阶矩阵， 是 A 的特征值，其对应的特征向量为 X，证明： 2 是 A 2 的特征值，X 为特征向量若 A 2 有特征值 ，其对应的特征向量为 X，X 是否一定为 A 的特征向量?说明理由 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解 由 AX=X 得 A 2 X=A(AX)=(AX)=AX= 2 X 可知 2 是 A 2 的特征值，X 为特征向量若A 2 X=X，其中 ，A 2 =O，A 2 的特征值为 =0，取 ，显然 A 2 X=0X，但 设 A，B 为 n 阶矩阵（分数：6.00）(1).是否有 ABBA；（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 一般情况下，AB
9、 与 BA 不等价，如 (2).若 A 有特征值 1，2，n，证明：ABBA（分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 因为|A|=n!0，所以 A 为可逆矩阵，取 P=A，则有 P -1 ABP=BA，故 ABBA设 为 n 维非零列向量， （分数：6.00）(1).证明：A 可逆并求 A -1 ；（分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 因为 (2).证明： 为矩阵 A 的特征向量（分数：3.00）_正确答案：()解析：因为设矩阵 （分数：6.00）(1).求 y；（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为 3 为 A 的特征值，所以|3E-A|=0，解得 y=2(2).求可逆
10、矩阵 P，使得(AP) T (AP)为对角矩阵（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 (AP) T (AP)=P T A T AP=P T A 2 P， 令 |E-A 1 |=0 得 1 =1， 2 =9， 当 =1 时，由(E-A 1 )X=0 得 ；=9 时，由(9E-A 1 )X=0 得 单位化得 则 设 A 是三阶实对称矩阵，r(A)=1，A 2 -3A=O，设(1，1，-1) T 为 A 的非零特征值对应的特征向量（分数：6.00）(1).求 A 的特征值；（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 A 2 -3A=0 |A|3E-A|=0 (2).求矩阵 A（分数：3.00）_
11、正确答案：()解析：解 设特征值 0 对应的特征向量为(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，则 x 1 +x 2 -x 3 =0，则 0 对应的特征向量为 2 =(-1，1，0) T ， 3 =(1，0，1) T ，令 4.设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 =8， 2 = 3 =2，矩阵 A 的属于特征值 1 =8 的特征向量为 属于特征值 2 = 3 =2 的特征向量为 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解 因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交，所以有 对应的特征向量为 令 2 = 3 =2 对应的另一个特征向量为 由不同特征值对应的特征向量正交，得 5.设 n 阶矩阵
12、A 满足(aE-A)(bE-A)=O 且 ab证明：A 可对角化 （分数：7.00）_正确答案：()解析：证明 由(aE-A)(bE-A)=O，得|aE-A|bE-A|=0，则|aE-A|=0 或者|bE-A|=0又由(aE-A)(bE-A)=0，得 r(aE-A)+r(bE-A)n 同时 r(aE-A)+r(bE-A)r(aE-A)-(bE-A)=r(a-b)E=n 所以 r(aE-A)+r(bE-A)=n (1)若|aE-A|0，则 r(aE-A)=n，所以 r(bE-A)=0，故 A=bE (2)若|bE-A|0，则 r(bE-A)=n，所以 r(aE-A)=0，故 A=aE (3)若|
13、aE-A|=0 且|bE-A|=0，则 a，b 都是矩阵 A 的特征值 方程组(aE-A)X=0 的基础解系含有 n-r(aE-A)个线性无关的解向量，即特征值 a 对应的线性无关的特征向量个数为 n-r(aE-A)个； 方程组(bE-A)X=0 的基础解系含有 n-r(bE-A)个线性无关的解向量，即特征值 b 对应的线性无关的特征向量个数为 n-r(bE-A)个 因为 n-r(aE-A)+n-r(bE-A)=n，所以矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量，所以 A 一定可以对角化6.设非零 n 维列向量 ， 正交且 A= T 证明：A 不可以相似对角化 （分数：7.00）_正确答案：()解
14、析：证明 令 为矩阵 A 的特征值，X 为 所对应的特征向量，则 AX=X，显然 A 2 X= 2 X，因为， 正交，所以 A 2 = T T =O，于是 2 X=0，而 X0，故矩阵 A 的特征值为 1 = 2 = n =0 又由 ， 都是非零向量得 A0， 因为 r(0E-A)=r(A)1，所以 n-r(0E-A)n-1n，所以 A 不可相似对角化设 （分数：6.00）(1).证明 A 可对角化；（分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 由|E-A|=(-1) 2 (+2)=0 得 1 = 2 =1， 3 =-2 当 =1 时，由(E-A)X=0 得 =1 对应的线性无关的特征向量为
15、当 =-2 时，由(-2E-A)X=0 得 =-2 对应的线性无关的特征向量为 (2).求 A m （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 令 于是 7.设 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 由 得 1 =-1， 2 = 3 =1， 因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以对角化，所以 r(E-A)=1， 由 8.设 A 为 n 阶非零矩阵，且存在自然数 k，使得 A k =O证明：A 不可以对角化 （分数：6.00）_正确答案：()解析：证明 方法一 令 AX=X(X0)，则有 A k X= k X，因为 A k =O，所以 k X=0，注意 到 X0，故 k =0，
16、从而 =0，即矩阵 A 只有特征值 0 因为 r(0E-A)=r(A)1，所以方程组(0E-A)X=0 的基础解系至多含 n-1 个线性无关的解向量，故矩阵 A 不可对角化 方法二 设矩阵 A 可以对角化，即存在可逆阵 P，使得 两边 k 次幂得 9.设 A 为三阶矩阵，A i =i i (i=1，2，3) （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 令 于是 10.设 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 令 A= 0 ，即 解得 0 =4，x=10，y=-9，根据一对逆矩阵的特征值互为倒数的性质知 11.设 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 因为 A * 的特征向量也是 A
17、 的特征向量，由 得 因为|A|=-1，所以 a=2，于是 a=2，b=-3，c=2， 设 （分数：6.00）(1).求 a，b；（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 方法一 因为 AB，所以 A，B 有相同的特征值， 1 = 2 =2，因为 A 相似于对角阵，所以r(2E-A)=1，而 (2).求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=B（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由(2E-A)X=0 得 =2 对应的线性无关的特征向量为 由(6E-A)X=0 得 =6 对应的线性无关的特征向量为 令 设 （分数：6.00）(1).求 a；（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为
18、AB，所以 tr(A)=tr(B)，即 2+a+0=1+(-1)+2，于是 a=0(2).求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=B（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由|E-A|= =(+1)(-1)(-2)=0 得 A，B 的特征值为 1 =-1， 2 =1， 3 =2 当 =-1 时，由(-E-A)X=0 即(E+A)X=0 得 1 =(0，-1，1) T ； 当 =1 时，由(E-A)X=0 得 2 =(0，1，1) T ； 当 =2 时，由(2E-A)X=0 得 3 =(1，0，0) T ，取 则 当 =-1 时，由(-E-B)X=0 即(E+B)X=0 得 1 =(0，1，2
19、) T ； 当 =1 时，由(E-B)X=0 得 2 =(1，0，0) T ； 当 =2 时，由(2E-B)X=0 得 3 =(0，0，1) T ，取 ，则 由 取 设 （分数：6.00）(1).求 a；（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 由 得矩阵 A 的特征值为 1 =-2， 2 = 3 =1，因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以相似对角化，从而 r(E-A)=1，由 (2).求 A 的特征向量；（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 将 =-2 代入(E-A)X=0，即(2E+A)X=0， 由 得 =-2 对应的线性无关的特征向量为 将 =1 代入(E-A)X=
20、0，即(E-A)X=0， 由 得 =1 对应的线性无关的特征向量为 (3).求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP 为对角阵（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 令 则12.用配方法化二次型 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 令 即 X=PY，其中 则 13.用配方法化二次型 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 令 即 X=PY，其中 则 设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX，A 的主对角线上元素之和为 3，又 AB+B=O，其中 （分数：6.00）(1).求正交变换 X=QY 将二次型化为标准形；（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 AB
21、+B=O 得(E+A)B=O，从而 r(E+A)+r(B)3，因为 r(B)=2，所以 r(E+A)1，从而 =-1 为A 的特征值且不低于 2 重，显然 =-1 不可能为三重特征值，则 A 的特征值为 1 = 2 =-1， 3 =5 由(E+A)B=O 得 B 的列组为(E+A)X=O 的解， 故 为 1 = 2 =-1 对应的线性无关解 令 为 3 =5 对应的特征向量， 因为 A T =A，所以 令 正交化得 令 Q=( 1 ， 2 ， 3 )，则 (2).求矩阵 A（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 得 14.用正交变换法化二次型 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX，其中 由 得 1 =-3， 2 = 3 =3 由(-3E-A)X=0 得 1 =-3 对应的线性无关的特征向量为 由(3E-A)X=0 得 2 = 3 =3 对应的线性无关的特征向量为 将 2 ， 3 正交化得 单位化得 令 则
