1、考研数学三-421 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：7，分数：28.00)1.设 A 是三阶矩阵，其三个特征值为 （分数：4.00）2.设 A 为 n 阶可逆矩阵，若 A 有特征值 0 ，则(A * ) 2 +3A * +2E 有特征值 1 （分数：4.00）3.设 A 为三阶矩阵，A 的各行元素之和为 4，则 A 有特征值 1，对应的特征向量为 2 （分数：4.00）4.设 A 为三阶实对称矩阵，且 （分数：4.00）5.设 AB，其中 （分数：4.00）6.设 A 是三阶实对称矩阵，其特征值为 1 =3， 2 = 3 =5，且 1 =3 对应的线性
2、无关的特征向量为 （分数：4.00）7.设 ， 为三维非零列向量，(，)=3，A= T ，则 A 的特征值为 1 （分数：4.00）二、选择题(总题数：8，分数：32.00)8.设 A 是 n 阶矩阵，下列结论正确的是_（分数：4.00）A.A，B 都不可逆的充分必要条件是 AB 不可逆B.r(A)n，r(B)n 的充分必要条件是 r(AB)nC.AX=0 与 BX=0 同解的充分必要条件是 r(A)=r(B)D.AB 的充分必要条件是 E-AE-B9.设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 A 的特征值，则 A * 的一个特征值为_ A B （分数：4.00）A.B.C.D.10.设三阶矩阵 A
3、的特征值为 1 =-1， 2 =0， 3 =1，则下列结论不正确的是_（分数：4.00）A.矩阵 A 不可逆B.矩阵 A 的迹为零C.特征值-1，1 对应的特征向量正交D.方程组 AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量11.设 A 为三阶矩阵，方程组 AX=0 的基础解系为 1 ， 2 ，又 =-2 为 A 的一个特征值，其对应的特征向量为 3 ，下列向量中是 A 的特征向量的是_（分数：4.00）A.1+3B.33-1C.1+22+33D.21-3212.设 A 为 n 阶实对称矩阵，下列结论不正确的是_ A.矩阵 A 与单位矩阵 E 合同 B.矩阵 A 的特征值都是实数 C.存在可逆
4、矩阵 P，使 PAP-1为对角阵 D.存在正交阵 Q，使 QTAQ 为对角阵（分数：4.00）A.B.C.D.13.设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似，则_（分数：4.00）A.A 的 n 个特征值都是单值B.A 是可逆矩阵C.A 存在 n 个线性无关的特征向量D.A 一定为 n 阶实对称矩阵14.设 ， 为四维非零列向量，且 ，令 A= T ，则 A 的线性无关特征向量个数为_（分数：4.00）A.1B.2C.3D.415.设 A，B 是正定矩阵，C 是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是_ A.CTAC B.A-1+B-1 C.A*+B* D.A-B（分数：4.00）A.B.C.D.三、解答
5、题(总题数：8，分数：90.00)16.求矩阵 （分数：12.00）_设 （分数：12.00）(1).求 a，b 及 A 的所有特征值与特征向量（分数：6.00）_(2).A 可否对角化?若可对角化，求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP 为对角矩阵（分数：6.00）_17.设 （分数：11.00）_18.设 （分数：11.00）_19.设 A T A=E，证明：A 的实特征值的绝对值为 1 （分数：11.00）_设 0 为 A 的特征值（分数：11.01）(1).证明：A T 与 A 特征值相等；（分数：3.67）_(2).求 A 2 ，A 2 +2A+3E 的特征值；（分数：3.67）_(3
6、).若|A|0，求 A -1 ，A * ，E-A -1 的特征值（分数：3.67）_20.设 X 1 ，X 2 分别为 A 的属于不同特征值 1 ， 2 的特征向量证明：X 1 +X 2 不是 A 的特征向量 （分数：11.00）_21. （分数：11.00）_考研数学三-421 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：7，分数：28.00)1.设 A 是三阶矩阵，其三个特征值为 （分数：4.00）解析：10 解析 ，A * 的特征值为 2.设 A 为 n 阶可逆矩阵，若 A 有特征值 0 ，则(A * ) 2 +3A * +2E 有特征值 1 （分数：4.00
7、）解析： 解析 因为 A 可逆，所以 0 0，A * 对应的特征值为 ，于是(A * ) 2 +3A * +2E 对应的特征值为 3.设 A 为三阶矩阵，A 的各行元素之和为 4，则 A 有特征值 1，对应的特征向量为 2 （分数：4.00）解析： 解析 因为 A 的各行元素之和为 4，所以 A 于是 A 有特征值 4，对应的特征向量为4.设 A 为三阶实对称矩阵，且 （分数：4.00）解析：3解析 因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以有 6+3a+3-6a=0，a=35.设 AB，其中 （分数：4.00）解析：3 1解析 因为 AB，所以6.设 A 是三阶实对称矩阵，其特征值为
8、1 =3， 2 = 3 =5，且 1 =3 对应的线性无关的特征向量为 （分数：4.00）解析： 解析 因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，令 2 = 3 =5 对应的特征向量为 得 2 = 3 =5 对应的线性无关的特征向量为 7.设 ， 为三维非零列向量，(，)=3，A= T ，则 A 的特征值为 1 （分数：4.00）解析：0 或 3 解析 因为 A 2 =3A，令 AX=X，因为 A 2 X= 2 X，所以有( 2 -3)X=0，而 X0，故 A 的特征值为 0 或者 3，因为 1 + 2 + 3 =tr(A)=(，)，所以 1 =3， 2 = 3 =0二、选择题(总题数：8，
9、分数：32.00)8.设 A 是 n 阶矩阵，下列结论正确的是_（分数：4.00）A.A，B 都不可逆的充分必要条件是 AB 不可逆B.r(A)n，r(B)n 的充分必要条件是 r(AB)nC.AX=0 与 BX=0 同解的充分必要条件是 r(A)=r(B)D.AB 的充分必要条件是 E-AE-B 解析：解析 若 AB，则存在可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=B，于是 P -1 (E-A)P=E-P -1 AP=E-B，即E-AE-B； 反之，若 E-AE-B，即存在可逆矩阵 P，使得 P -1 (E-A)P=E-B，整理得 E-P -1 AP=E-B，即P -1 AP=B，即 AB，应选
10、D9.设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 A 的特征值，则 A * 的一个特征值为_ A B （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 A 可逆，所以 0，令 AX=X，则 A * AX=A * X，从而有 10.设三阶矩阵 A 的特征值为 1 =-1， 2 =0， 3 =1，则下列结论不正确的是_（分数：4.00）A.矩阵 A 不可逆B.矩阵 A 的迹为零C.特征值-1，1 对应的特征向量正交 D.方程组 AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量解析：解析 由 1 =-1， 2 =0， 3 =1 得|A|=0，则 r(A)3，即 A 不可逆，A 正确；又 1 + 2 + 3 =
11、tr(A)=0，所以 B 正确；因为 A 的三个特征值都为单值，所以 A 的非零特征值的个数与矩阵 A 的秩相等，即 r(A)=2，从而 AX=0 的基础解系仅含有一个线性无关的解向量，D 是正确的；C 不对，因为只有实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，一般矩阵不一定有此性质，选 C11.设 A 为三阶矩阵，方程组 AX=0 的基础解系为 1 ， 2 ，又 =-2 为 A 的一个特征值，其对应的特征向量为 3 ，下列向量中是 A 的特征向量的是_（分数：4.00）A.1+3B.33-1C.1+22+33D.21-32 解析：解析 因为 AX=0 有非零解，所以 r(A)n，故 0 为矩阵
12、 A 的特征值， 1 ， 2 为特征值 0 所对应的线性无关的特征向量，显然特征值 0 为二重特征值，若 1 + 3 为属于特征值 0 的特征向量，则有 A( 1 + 3 )= 0 ( 1 + 3 )，注意到 A( 1 + 3 )=0 1 -2 3 =-2 3 ，故-2 3 = 0 ( 1 + 3 )或 0 1 +( 0 +2) 3 =0，因为 1 ， 3 线性无关，所以有 0 =0， 0 +2=0，矛盾，故 1 + 3 不是特征向量，同理可证 3 3 - 1 及 1 +2 2 +3 3 也不是特征向量，显然 2 1 -3 2 为特征值 0 对应的特征向量，选 D12.设 A 为 n 阶实对称
13、矩阵，下列结论不正确的是_ A.矩阵 A 与单位矩阵 E 合同 B.矩阵 A 的特征值都是实数 C.存在可逆矩阵 P，使 PAP-1为对角阵 D.存在正交阵 Q，使 QTAQ 为对角阵（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 根据实对称矩阵的性质，显然 B、C、D 都是正确的，但实对称矩阵不一定是正定矩阵，所以 A 不一定与单位矩阵合同，选 A13.设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似，则_（分数：4.00）A.A 的 n 个特征值都是单值B.A 是可逆矩阵C.A 存在 n 个线性无关的特征向量 D.A 一定为 n 阶实对称矩阵解析：解析 矩阵 A 与对角阵相似的充分必要条件是其有 n 个
14、线性无关的特征向量，A 有 n 个单特征值只是其可对角化的充分而非必要条件，同样 A 是实对称阵也是其可对角化的充分而非必要条件，A 可逆既非其可对角化的充分条件，也非其可对角化的必要条件，选 C14.设 ， 为四维非零列向量，且 ，令 A= T ，则 A 的线性无关特征向量个数为_（分数：4.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析 因为 ， 为非零向量，所以 A= T 0，则 r(A)1，又因为 r(A)=r( T )r()=1，所以 r(A)=1 令 AX=X，由 A 2 X= T T X=0= 2 X 得 =0，因为 r(0E-A)=r(A)=1，所以 A 的线性无关的特征向量个数为
15、 3，应选 C15.设 A，B 是正定矩阵，C 是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是_ A.CTAC B.A-1+B-1 C.A*+B* D.A-B（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 显然四个选项中的矩阵都是实对称阵，因为 A，B 正定，所以 A -1 ，B -1 及 A * ，B * 都是正定的，对任意 X0，X T (C T AC)X=(CX) T A(CX)0(因为 C 可逆，所以当 X0 时，CX0)，于是 C T AC 为正定矩阵，同样用定义法可证 A -1 +B -1 与 A * +B * 都是正定矩阵，选 D三、解答题(总题数：8，分数：90.00)16.求矩阵 （分
16、数：12.00）_正确答案：()解析：解 由|E-A|=(-1) 2 (-4)=0 得 1 = 2 =1， 3 =4 当 =1 时，由(E-A)X=0 得属于特征值 =1 的线性无关的特征向量为 全部特征向量为 k 1 1 +k 2 2 (k 1 ，k 2 不同时为 0)； 当 =4 时，由(4E-A)X=0 得属于特征值 =4 的线性无关的特征向量为 设 （分数：12.00）(1).求 a，b 及 A 的所有特征值与特征向量（分数：6.00）_正确答案：()解析：解 由 A= 得 即 解得 a=1，b=1，=3 由|E-A|= (2).A 可否对角化?若可对角化，求可逆矩阵 P，使得 P -
17、1 AP 为对角矩阵（分数：6.00）_正确答案：()解析：解 因为 A 的特征值都是单值，所以 A 可相似对角化 将 1 =0 代入(E-A)X=0 得 1 =0 对应的线性无关特征向量为 将 2 =2 代入(E-A)X=0 得 2 =2 对应的线性无关特征向量为 将 3 =3 代入(E-A)X=0 得 3 =3 对应的线性无关特征向量为 令 17.设 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 由 18.设 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 由 得 1 =7， 2 = 3 =1，A * 对应的特征值为 19.设 A T A=E，证明：A 的实特征值的绝对值为 1 （分数：11
18、.00）_正确答案：()解析：证明 设 AX=X，则 X T A T =X T ，从而有 x T A T AX=X T AX= 2 X T X，因为 A T A=E， 所以( 2 -1)X T X=0，而 X T X=|X| 2 0，所以 2 =1，于是|=1设 0 为 A 的特征值（分数：11.01）(1).证明：A T 与 A 特征值相等；（分数：3.67）_正确答案：()解析：证明 因为|E-A T |=|(E-A) T |=|E-A|，所以 A T 与 A 的特征值相等(2).求 A 2 ，A 2 +2A+3E 的特征值；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 因为 A= 0 (0
19、)， 所以 A 2 = 0 A= ，(A 2 +2A+3E)= ， 于是 A 2 ，A 2 +2A+3E 的特征值分别为 (3).若|A|0，求 A -1 ，A * ，E-A -1 的特征值（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 因为|A|= 1 2 n 0，所以 0 0，由 A= 0 得 ， 由 A * A=|A| 得 ，又 ， 于是 A -1 ，A * ，E-A -1 的特征值分别为 20.设 X 1 ，X 2 分别为 A 的属于不同特征值 1 ， 2 的特征向量证明：X 1 +X 2 不是 A 的特征向量 （分数：11.00）_正确答案：()解析：证明 反证法 不妨设 X 1 +X
20、2 是 A 的属于特征值 的特征向量，则有 A(X 1 +X 2 )=(X 1 +X 2 )，因为 AX 1 = 1 X 1 ，AX 2 = 2 X 2 ，所以( 1 -)X 1 +( 2 -)X 2 =0，而 X 1 ，X 2 线性无关，于是 1 = 2 =，矛盾，故 X 1 +X 2 不是 A 的特征向量21. （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 令 T =k，则 A 2 =kA， 设 AX=X，则 A 2 X= 2 X=kX，即 (-k)X=0，因为 X0，所以矩阵 A 的特征值为 =0 或 =k 由 1 + n =tr(A)且 tr(A)=k 得 1 = n-1 =0， n =k 因为 r(A)=1，所以方程组(0E-A)X=0 的基础解系含有 n-1 个线性无关的解向量， 即 =0 有 n-1 个线性无关的特征向量，故 A 可以对角化
