1、考研数学三-420 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在 x=0 处存在四阶导数，又设 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 （分数：4.00）A.，B.，C.，D.，3.设 存在，则_ A 收敛 B 收敛 C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.设平面区域 D(t)=(x，y)|0xy，0ty1， ，则 _ A4 B-4 C D （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 （分数：4.00）A.A 与 B 相似，C 与 D 相似B.A 与 D 相似，B 与 C 相似C.A 与 C 相似，B 与 D 相似D.
2、A，B，C，D 中没有相似矩阵6.设向量组： 1 ， 2 ， r 可由向量组： 1 ， 2 ， s 线性表示，下列命题正确的是_（分数：4.00）A.若向量组线性无关，则 rsB.若向量组线性相关，则 rsC.若向量组线性无关，则 rsD.若向量组线性相关，则 rs7.设连续型随机变量 X 的概率密度函数 f(x)是一个偶函数，F(x)为 X 的分布函数，则对任意实数 xR，有 F(-x)+F(x)等于_ A0 B （分数：4.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，令 Y=maxX，1，则 E(Y)=_ A1 B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填
3、空题(总题数：6，分数：24.00)9.数列极限 （分数：4.00）10.设 e -x2 是 f(x)的一个原函数，则 （分数：4.00）11.设 （分数：4.00）12.设某产品的需求函数为 Q=Q(p)，它对价格的弹性为 ，01已知产品收益 R 对价格 p 的边际函数为 m 元，则产品的产量应是 1 （分数：4.00）13.已知 ， 1 ， 2 ， 3 均为 4 维列向量，若|A|=|， 1 ， 2 ， 3 |=3，|B|=|， 1 ， 2 ， 3 |=1，则|A+2B|= 1 （分数：4.00）14.设随机变量 X 的密度函数为 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00
4、)15.设 y=y(x)由 y 3 +(x+1)y+x 2 =0 确定，且 y(0)=0 求 （分数：10.00）_设 f(x)具有一阶连续导数，f(0)=0，且表达式 xy(1+y)-f(x)ydx+f(x)+x 2 ydy 为某二元函数 u(x，y)的全微分（分数：10.00）(1).求 f(x)；（分数：5.00）_(2).求 u(x，y)的表达式，（分数：5.00）_16.求幂级数 （分数：10.00）_17.经济学中有柯布道格拉斯(Cobb-Douglas)生产函数模型 f(x，y)=Cx a y 1-a ，其中 x 表示劳动力的数量，y 表示资本数量，C 与 a(0a1)是常数，由
5、不同企业的具体情形决定，函数值表示生产量现已知某生产商的柯布道格拉斯生产函数为 （分数：10.00）_18.已知 D=(x，y)|2xx 2 +y 2 ，0yx2，求二重积分 （分数：10.00）_设 （分数：11.00）(1).求 ，a；（分数：5.50）_(2).求方程组 Ax=b 的通解（分数：5.50）_已知 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 1，1，0，且 =(1，1，1) T 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系（分数：11.01）(1).求正交矩阵 P，使得 ，其中 （分数：3.67）_(2).求 A；（分数：3.67）_(3).=(1，3，5) T ，求 A n （分数：3.67
6、）_设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为 （分数：11.00）(1).试确定常数 c；（分数：5.50）_(2).令 Z=maxX，Y，求 Z 的概率密度 f Z (z)（分数：5.50）_设总体 X 的概率密度为 （分数：11.00）(1).求 的矩估计；（分数：5.50）_(2).求 的极大似然估计（分数：5.50）_考研数学三-420 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在 x=0 处存在四阶导数，又设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 f“(0)=3选 B 本题还可用特例法，取 2.设 （分数：
7、4.00）A.， B.，C.，D.，解析：解析 由于 所以 (x)是 (x)的高阶无穷小 由于 3.设 存在，则_ A 收敛 B 收敛 C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 存在，设 所以 收敛，选 B 下面用特例法排除 A，C，D 取 发散，排除 A 取 而 故 发散，排除 C 取 4.设平面区域 D(t)=(x，y)|0xy，0ty1， ，则 _ A4 B-4 C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 5.设 （分数：4.00）A.A 与 B 相似，C 与 D 相似B.A 与 D 相似，B 与 C 相似 C.A 与 C 相似，B 与 D 相似D.A，B，C，
8、D 中没有相似矩阵解析：解析 A 为实对称矩阵，其特征值为 0，0，3，一定可以相似对角化，故 A 与 D 相似B，C 的特征值均为 0，0，4，0 为二重根，又 R(B-0E)=R(C-0E) =1，因此，对特征值 0，B，C 均有两个线性无关的特征向量，B，C 均可相似对角化，即 B，C 均与6.设向量组： 1 ， 2 ， r 可由向量组： 1 ， 2 ， s 线性表示，下列命题正确的是_（分数：4.00）A.若向量组线性无关，则 rs B.若向量组线性相关，则 rsC.若向量组线性无关，则 rsD.若向量组线性相关，则 rs解析：解析 由于向量组： 1 ， 2 ， r ，可由向量组： 1
9、 ， 2 ， s 线性表示，于是 R( 1 ， 2 ， r )R( 1 ， 2 ， s )，若向量组线性无关则 R( 1 ， 2 ， r ) =rR( 1 ， 2 ， s )s，选 A. 至于 B，C，D，可举反例排除 B 取：(1，0，0)，(0，0，0)，：(1，0，0)，(0，1，0)，r=2，s=2，r=s排除 B C 取：(1，0，0)，(2，0，0)，(0，0，0)，：(1，0，0)，(0，1，0)，r=3，s=2，rs，排除 C D取：(1，0，0)，：(1，0，0)，(2，0，0)，r=1，s=2，rs，排除 D7.设连续型随机变量 X 的概率密度函数 f(x)是一个偶函数，F
10、(x)为 X 的分布函数，则对任意实数 xR，有 F(-x)+F(x)等于_ A0 B （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 8.设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，令 Y=maxX，1，则 E(Y)=_ A1 B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.数列极限 （分数：4.00）解析：1 解析 由定积分中值定理，存在 (n，n+1)，使得 10.设 e -x2 是 f(x)的一个原函数，则 （分数：4.00）解析： 解析 f(x)=(e -x2 )“=-2xe -x2 ， 而 f“(x)=-2e -x2 +4x
11、 2 e -x2 ， 11.设 （分数：4.00）解析：-dx+dz解析 12.设某产品的需求函数为 Q=Q(p)，它对价格的弹性为 ，01已知产品收益 R 对价格 p 的边际函数为 m 元，则产品的产量应是 1 （分数：4.00）解析： 解析 已知 则 13.已知 ， 1 ， 2 ， 3 均为 4 维列向量，若|A|=|， 1 ， 2 ， 3 |=3，|B|=|， 1 ， 2 ， 3 |=1，则|A+2B|= 1 （分数：4.00）解析：135 解析 由 A+2B=(+2，3 1 ，3 2 ，3 3 )， |A+2B|=|+2，3 1 ，3 2 ，3 3 |=3 3 |+2， 1 ， 2 ，
12、 3 | =27(|A|+2|B|)=13514.设随机变量 X 的密度函数为 （分数：4.00）解析：43 解析 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 y=y(x)由 y 3 +(x+1)y+x 2 =0 确定，且 y(0)=0 求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 由 y 3 +(x+1)y+x 2 =0 3y 2 y“+y+(x+1)y“+2x=0， 由 x=0，y(0)=0，得 y“(0)=0 6yy “2 +3y 2 y “ +y “ +y “ +(x+1)y “ +2=0， 由 x=0，y(0)=0，y“(0)=0，得 y“(0)=-2 设 f(x)具有一
13、阶连续导数，f(0)=0，且表达式 xy(1+y)-f(x)ydx+f(x)+x 2 ydy 为某二元函数 u(x，y)的全微分（分数：10.00）(1).求 f(x)；（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 du=xy(1+y)-f(x)ydx+f(x)+x 2 ydy， 由于 f(x)具有一阶连续导数，所以 u(x，y)的二阶混合偏导数连续，所以有 (2).求 u(x，y)的表达式，（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由 =xy(1+y)-(e -x +x-1)y=xy 2 -e -x y+y， 对 x 积分，得 ， 又 C“(y)=-1，C(y)=-y+C 1 ， 16.求幂
14、级数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 当 ，即 时，幂级数收敛，且为绝对收敛，而当 时，级数为 发散，所以收敛域为 得 17.经济学中有柯布道格拉斯(Cobb-Douglas)生产函数模型 f(x，y)=Cx a y 1-a ，其中 x 表示劳动力的数量，y 表示资本数量，C 与 a(0a1)是常数，由不同企业的具体情形决定，函数值表示生产量现已知某生产商的柯布道格拉斯生产函数为 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 这是个条件极值问题，要求目标函数 在约束条件 150x+250y=50000 下的最大值 作拉格朗日函数 18.已知 D=(x，y)|2xx 2 +y 2
15、，0yx2，求二重积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 x 2 +y 2 =2x 的极坐标方程为 r=2cos；x=2 的极坐标方程为 r=2sec；y=x 的极坐标方程为 如下图 设 （分数：11.00）(1).求 ，a；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 因为方程组 Ax=b 存在 2 个不同的解，所以 ， 于是 =1 或 =-1， 当 =1 时，R(A)=1， ，方程组 Ax=b 无解，舍去，当 =-1 时， 当 a=-2 时， (2).求方程组 Ax=b 的通解（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 当 =-1，a=-2 时， 所以方程组 Ax=b 的通解为
16、已知 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 1，1，0，且 =(1，1，1) T 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系（分数：11.01）(1).求正交矩阵 P，使得 ，其中 （分数：3.67）_正确答案：()解析：解 由 A=0=0，知 =(1，1，1) T 是矩阵 A 属于特征值 =0 的特征向量， 设 A 关于特征值 =1 的特征向量为(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，由于实对称矩阵不同的特征值所对应的特征向量彼此正交，所以有 x 1 +x 2 +x 3 =0， 得基础解系 1 =(-1，1，0) T ， 2 =(-1，0，1) T 把 1 ， 2 正交化 取 1 = 1 ， 于是特征值
17、为 1，1，0，对应的特征向量为(-1，1，0) T ，(1，1，-2) T ，(1，1，1) T 单位化得 令 (2).求 A；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 于是(3).=(1，3，5) T ，求 A n （分数：3.67）_正确答案：()解析：解 =(1，3，5) T ， 设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为 （分数：11.00）(1).试确定常数 c；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由 (2).令 Z=maxX，Y，求 Z 的概率密度 f Z (z)（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 F Z (z)=PZz =Pmax(X，Y)z 当 z0 时，F Z (z)=0； 当 z0 时， F Z (z)=PZz=Pmax(X，Y)z =PXz，Yz 即 所以 Z 的概率密度为 设总体 X 的概率密度为 （分数：11.00）(1).求 的矩估计；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由 (2).求 的极大似然估计（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 解得 ，则 的极大似然估计量为
