1、考研数学三-420 (1)及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）2.设 A 为 n 阶矩阵，A 的各行元素之和为 0 且 r(A)=n-1，则方程组 AX=0 的通解为 1 （分数：4.00）3.设 A 为 n 阶矩阵，且|A|=0，A ki 0，则 AX=0 的通解为 1 （分数：4.00）4.设 1 ， s 是非齐次线性方程组 AX=b 的一组解，则 k 1 1 +k s s 为方程组 AX=b 的解的充分必要条件是 1 （分数：4.00）5.设 BO 为三阶矩阵，且矩阵 B 的每个列向量为方程组 （分数：
2、4.00）6.设 1 ， 2 ， 3 是四元非齐次线性方程组 AX=b 的三个解向量，r(A)=3，且 1 + 2 = （分数：4.00）7.设方程组 （分数：4.00）8.设方程组 （分数：4.00）二、选择题(总题数：5，分数：20.00)9.设 A 是 mn 矩阵，下列命题正确的是_（分数：4.00）A.若方程组 AX=0 只有零解，则方程组 AX=b 有唯一解B.若方程组 AX=0 有非零解，则方程组 AX=b 有无穷多个解C.若方程组 AX=b 无解，则方程组 AX=0 一定有非零解D.若方程组 AX=b 有无穷多个解，则方程组 AX=0 一定有非零解10.设 A 是 mn 矩阵，则
3、下列命题正确的是_（分数：4.00）A.若 mn，则方程组 AX=b 一定有无穷多个解B.若 mn，则方程组 AX=b 一定有唯一解C.若 r(A)=n，则方程组 AX=b 一定有唯一解D.若 r(A)=m，则方程组 AX=b 一定有解11.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 为四维非零列向量组，令 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，AX=0 的通解为 X=k(0，-1，3，0) T ，则 A * X=0 的基础解系为_（分数：4.00）A.1，3B.2，3，4C.1，2，4D.3，412.设向量组 1 ， 2 ， 3 为方程组 AX=0 的一个基础解系，下列向量组中也是方程组 AX=0 的
4、基础解系的是_（分数：4.00）A.1+2，2+3，3-1B.1+2，2+3，1+22+3C.1+22，22+33，33+1D.1+2+3，21-32+223，31+51-5313.设 1 ， 2 为齐次线性方程组 AX=0 的基础解系， 1 ， 2 为非齐次线性方程组 AX=b 的两个不同解，则方程组 AX=b 的通解为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.三、解答题(总题数：15，分数：98.00)14.求方程组 （分数：7.00）_15.参数 a 取何值时，线性方程组 （分数：7.00）_16.设 （分数：7.00）_17. （分数：7.00）_18.设 1 ， 2 ，
5、3 为四维列向量组， 1 ， 2 线性无关， 3 =3 1 +2 2 ，A=( 1 ， 2 ， 3 )，求 AX=0 的一个基础解系。 （分数：7.00）_设 A 是 34 矩阵且 r(A)=1，设(1，-2，1，2) T ，(1，0，5，2) T ，(-1，2，0，1) T ，(2，-4，3，a+1) T 皆为 AX=0 的解（分数：7.00）(1).求常数 a；（分数：3.50）_(2).求方程组 AX=0 的通解（分数：3.50）_19.设 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )，其中 1 ， 3 ， 5 线性无关，且 2 =3 1 - 3 - 5 ， 4 =2 1 + 3 +6
6、 5 ，求方程组 AX=0 的通解 （分数：7.00）_20.四元非齐次线性方程组 AX=b 有三个解向量 1 ， 2 ， 3 且 r(A)=3，设 1 + 2 = 2 + 3 = （分数：7.00）_21.A nn =( 1 ， 2 ， m )，B nn =( 1 + 2 ， 2 + 3 ， n + 1 )，当 r(A)=n 时，方程组 BX=0 是否有非零解? （分数：6.00）_22.设 （分数：6.00）_设 n 阶矩阵 A=( 1 ， 2 ， n )的前 n-1 个列向量线性相关，后 n-1 个列向量线性无关，且 1 +2 2 +(n-1) n-1 =0，b= 1 + 2 + n （
7、分数：6.00）(1).证明方程组 AX=b 有无穷多个解；（分数：3.00）_(2).求方程组 AX=b 的通解（分数：3.00）_23.设 （分数：6.00）_24.就 a，b 的不同取值，讨论方程组 （分数：6.00）_设 （分数：6.00）(1).若 a i a j (ij)，求 A T X=b 的解；（分数：3.00）_(2).若 a 1 =a 3 =a0，a 2 =a 4 =-a，求 A T X=b 的通解（分数：3.00）_25.设向量组 1 ， 2 ， s 为齐次线性方程组 AX=0 的一个基础解系，A0证明：齐次线性方程组 BY=0 只有零解，其中 B=(，+ 1 ，+ s
8、) （分数：6.00）_考研数学三-420 (1)答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）解析： 解析 因为 AX=0 有非零解，所以|A|=0， 而 且 a0，所以 a=-4 因为 r(A)=2，所以 r(A * )=1 因为 A * A=|A|E=0，所以 A 的列向量组为 A * X=0 的解， 故 A * X=0 的通解为 2.设 A 为 n 阶矩阵，A 的各行元素之和为 0 且 r(A)=n-1，则方程组 AX=0 的通解为 1 （分数：4.00）解析： (其中 k 为任意常数) 解析 k(1，1，1)
9、T ，其中 k 为任意常数因为 A 的各行元素之和为零，所以 又因为 r(A)=n-1，所以 为方程组 AX=0 的基础解系，从而通解为 3.设 A 为 n 阶矩阵，且|A|=0，A ki 0，则 AX=0 的通解为 1 （分数：4.00）解析：C(A k1 ，A k2 ，A ki ，A kn ) T (C 为任意常数) 解析 因为|A|=0，所以 r(A)n，又因为 A ki 0，所以 r(A * )1，从而 r(A)=n-1，AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量，又 AA * =|A|E=0，所以 A * 的列向量为方程组 AX=0 的解向量，故 AX=0 的通解为 C(A k1
10、，A k2 ，A ki ，A kn ) T (C 为任意常数)4.设 1 ， s 是非齐次线性方程组 AX=b 的一组解，则 k 1 1 +k s s 为方程组 AX=b 的解的充分必要条件是 1 （分数：4.00）解析：k 1 +k 2 +k s =1 解析 k 1 +k 2 +k s =1显然 k 1 1 +k 2 2 +k s s 为方程组 AX=b 的解的充分必要条件是 A(k 1 1 +k 2 2 +k s s )=b，因为 A 1 =A 2 =A s =b，所以(是 l+k 2+k s )b=b，注意到 b0，所以 k 1 +k 2 +k s =1，即 k 1 1 +k 2 2 +
11、k s s 为方程组 AX=b 的解的充分必要条件是 k 1 +k 2 +k s =15.设 BO 为三阶矩阵，且矩阵 B 的每个列向量为方程组 （分数：4.00）解析：1 0解析 令6.设 1 ， 2 ， 3 是四元非齐次线性方程组 AX=b 的三个解向量，r(A)=3，且 1 + 2 = （分数：4.00）解析： (k 为任意常数) 解析 因为 r(A)=3，所以方程组 AX=b 的通解为 k+，其中 = 3 - 1 =( 2 + 3 )-( 1 + 2 )= 于是方程组的通解为 7.设方程组 （分数：4.00）解析：-1 解析 因为方程组无解，所以 r(A)r( )3，于是 r(A)3，
12、即|A|=0由|A|=3+2a-a 2 =0，得 a=-1 或 a=3当 a=3 时，因为 r(A)=r( )=23，所以方程组有无穷多个解； 当 a=-1 时， 因为 r(A)r( 8.设方程组 （分数：4.00）解析： 1 + 2 + 3 + 4 =0 解析 因为原方程组有解，所以 r(A)=r( 二、选择题(总题数：5，分数：20.00)9.设 A 是 mn 矩阵，下列命题正确的是_（分数：4.00）A.若方程组 AX=0 只有零解，则方程组 AX=b 有唯一解B.若方程组 AX=0 有非零解，则方程组 AX=b 有无穷多个解C.若方程组 AX=b 无解，则方程组 AX=0 一定有非零解
13、D.若方程组 AX=b 有无穷多个解，则方程组 AX=0 一定有非零解 解析：解析 方程组 只有零解，而 无解，故 A 不对；方程组 有非零解，而 无解，故 B 不对；方程组 无解，但 只有零解，故 C 不对；若 AX=b 有无穷多个解，则 r(A)=r(10.设 A 是 mn 矩阵，则下列命题正确的是_（分数：4.00）A.若 mn，则方程组 AX=b 一定有无穷多个解B.若 mn，则方程组 AX=b 一定有唯一解C.若 r(A)=n，则方程组 AX=b 一定有唯一解D.若 r(A)=m，则方程组 AX=b 一定有解 解析：解析 因为若 r(A)=m(即 A 为行满秩矩阵)，则 r( )=m
14、，于是 r(A)=r(11.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 为四维非零列向量组，令 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，AX=0 的通解为 X=k(0，-1，3，0) T ，则 A * X=0 的基础解系为_（分数：4.00）A.1，3B.2，3，4C.1，2，4 D.3，4解析：解析 因为 AX=0 的基础解系只含一个线性无关的解向量， 所以 r(A)=3，于是 r(A * )=1 因为 A * A=|A|E=0，所以 1 ， 2 ， 3 ， 4 为 A * X=0 的一组解， 又因为- 2 +3 3 =0，所以 2 ， 3 线性相关，从而 1 ， 2 ， 4 线性无关，即为 A * X
15、=0的一个基础解系，应选 C12.设向量组 1 ， 2 ， 3 为方程组 AX=0 的一个基础解系，下列向量组中也是方程组 AX=0 的基础解系的是_（分数：4.00）A.1+2，2+3，3-1B.1+2，2+3，1+22+3C.1+22，22+33，33+1 D.1+2+3，21-32+223，31+51-53解析：解析 根据齐次线性方程组解的结构，四个向量组皆为方程组 AX=0 的解向量组，容易验证四组中只有 C 组线性无关，所以选 C13.设 1 ， 2 为齐次线性方程组 AX=0 的基础解系， 1 ， 2 为非齐次线性方程组 AX=b 的两个不同解，则方程组 AX=b 的通解为_ A
16、B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 选 D，因为 1 ， 1 + 2 为方程组 AX=0 的两个线性无关解，也是基础解系，而 三、解答题(总题数：15，分数：98.00)14.求方程组 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解 方法一 原方程组的同解方程组为 故原方程组的通解为 (其中 x 3 ，x 4 ，x 5 为任意常数) 方法二 原方程组的基础解系为 故通解为 15.参数 a 取何值时，线性方程组 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解 若 a=1，则 原方程组的通解为 X=k(-1，0，1) T +(2，-1，0)(k 为任意常数)； 若 a1，则 当 a
17、=2 时，方程组无解； 当 a=-2 时 16.设 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解 因为 A 有两行不成比例，所以 r(A)2，又原方程组有三个线性无关解，所以 4-r(A)+1=3，即 r(A)=2，于是原方程组的通解为 k 1 ( 2 - 1 )+k 2 ( 3 - 1 )+ 1 = 17. （分数：7.00）_正确答案：()解析：解 令 18.设 1 ， 2 ， 3 为四维列向量组， 1 ， 2 线性无关， 3 =3 1 +2 2 ，A=( 1 ， 2 ， 3 )，求 AX=0 的一个基础解系。 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解 方法一 AX=0 x 1 1 +x
18、2 2 +x 3 3 =0，由 3 =3 1 +2 2 可得(x 1 +3x 3 ) 1 +(x 2 +2x 3 ) 2 =0，因为 1 ， 2 线性无关，因此 AX=0 的一个基础解系为 方法二 由 r(A)=2 可知 AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量，而 3 1 +2 2 - 3 =0， 因此 设 A 是 34 矩阵且 r(A)=1，设(1，-2，1，2) T ，(1，0，5，2) T ，(-1，2，0，1) T ，(2，-4，3，a+1) T 皆为 AX=0 的解（分数：7.00）(1).求常数 a；（分数：3.50）_正确答案：()解析：解 因为 r(A)=1，所以方程组
19、AX=0 的基础解系含有三个线性无关的解向量， 故(1，-2，1，2) T ，(1，0，5，2) T ，(-1，2，0，1) T ，(2，-4，3，a+1) T 线性相关，即 (2).求方程组 AX=0 的通解（分数：3.50）_正确答案：()解析：解 因为(1，-2，1，2) T ，(1，0，5，2) T ，(-1，2，0，1) T 线性无关，所以方程组 AX=0 的通解为 X=k 1 (1，-2，1，2) T +k 2 (1，0，5，2) T +k 3 (-1，2，0，1) T (k 1 ，k 2 ，k 3 为任意常数)19.设 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )，其中 1 ，
20、 3 ， 5 线性无关，且 2 =3 1 - 3 - 5 ， 4 =2 1 + 3 +6 5 ，求方程组 AX=0 的通解 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解 因为 1 ， 3 ， 5 线性无关，又 2 ， 4 可由 1 ， 3 ， 5 线性表示，所以r(A)=3，齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含有两个线性无关的解向量 由 2 =3 1 - 3 - 5 ， 4 =2 1 + 3 +6 5 得方程组 AX=0 的两个解为 1 =(3，-1，-1，0，-1) T ， 2 =(2，0，1，-1，6) T 故 AX=0 的通解为 k 1 (3，-1，-1，0，-1) T +k 2 (2，
21、0，1，-1，6) T (k 1 ，k 2 为任意常数)20.四元非齐次线性方程组 AX=b 有三个解向量 1 ， 2 ， 3 且 r(A)=3，设 1 + 2 = 2 + 3 = （分数：7.00）_正确答案：()解析：解 因为 r(A)=3，所以方程组 AX=b 的通解形式为 k+，其中 为 AX=0 的一个基础解系， 为方程组 AX=b 的特解，根据方程组解的结构的性质， 所以方程组 AX=b 的通解为 21.A nn =( 1 ， 2 ， m )，B nn =( 1 + 2 ， 2 + 3 ， n + 1 )，当 r(A)=n 时，方程组 BX=0 是否有非零解? （分数：6.00）_
22、正确答案：()解析：解 方法一 B=( 1 + 2 ， 2 + 3 ， n + 1 )= 由 r(A)=n 可知|A|0，而 当 n 为奇数时，|B|0，方程组 BX=0 只有零解； 当 n 为偶数时，|B|=0，方程组 BX=0 有非零解 方法二 BX=0 x 1 ( 1 + 2 )+x 2 ( 2 + 3 )+x n ( n + 1 )=0 (x 1 +x n ) 1 +(x 1 +x 2 )a 2 +(x n-1 +x n ) n =0， 因为 1 ， 2 ， n 线性无关， 所以 22.设 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 令 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 +x 4
23、 4 = (*) (1)当 a=-1，b0 时，因为 r(A)=2r( 设 n 阶矩阵 A=( 1 ， 2 ， n )的前 n-1 个列向量线性相关，后 n-1 个列向量线性无关，且 1 +2 2 +(n-1) n-1 =0，b= 1 + 2 + n （分数：6.00）(1).证明方程组 AX=b 有无穷多个解；（分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 因为 r(A)=n-1，又 b= 1 + 2 + n ，所以 r( (2).求方程组 AX=b 的通解（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为 1 +2 2 +(n-1) n-1 =0，所以 1 +2 2 +(n-1) n-1 +0
24、 n =0，即齐次线性方程组 AX=0 有基础解系 =(1，2，n-1，0) T ，又因为 b= 1 + 2 + n ，所以方程组AX=b 有特解 =(1，1，1) T ，故方程组 AX=b 的通解为 k+=k(1，2，n-1，0) T +(1，1，1) T (k 为任意常数)23.设 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 因为 r(A)=2，所以 t=1，方程组的通解为 24.就 a，b 的不同取值，讨论方程组 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 (1)当 a0 且 ab 时，方程组有唯一解，唯一解为 (2)当 a=0 时， 因为 r(A)r( )，所以方程组无解； (3)当
25、a=b0 时， 方程组有无穷多个解，通解为 设 （分数：6.00）(1).若 a i a j (ij)，求 A T X=b 的解；（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 D=|A T |=(a 4 -a 1 )(a 4 -a 2 )(a 4 -a 3 )(a 3 -a 1 )(a 3 -a 2 )(a 2 -a 1 )， 若 a i a j (ij)，则 D0，方程组有唯一解，又 D 1 =D 2 =D 3 =0，D 4 =D，所以方程组的唯一解为X=(0，0，0，1) T ；(2).若 a 1 =a 3 =a0，a 2 =a 4 =-a，求 A T X=b 的通解（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 当 a 1 =a 3 =a0，a 2 =a 4 =-a 时， 25.设向量组 1 ， 2 ， s 为齐次线性方程组 AX=0 的一个基础解系，A0证明：齐次线性方程组 BY=0 只有零解，其中 B=(，+ 1 ，+ s ) （分数：6.00）_正确答案：()解析：证明 1 ， 2 ， s 线性无关，因为 A0，所以 ，+ 1 ，+ s 线性无关，故方程组 BY=0 只有零解
