1、考研数学三-419 及答案解析(总分：150.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 （分数：4.00）A.不存在B.有一个C.有两个D.有三个2. A B （分数：4.00）A.B.C.D.3.已知幂级数 在 x=0 处条件收敛，则幂级数 （分数：4.00）A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.敛散性与具体an有关4.设 D 是由直线 x=-1，y=1 与曲线 y=x 3 所围成的平面区域D 1 是 D 在第一象限的部分，则 等于_ A B C （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A 为 mn 矩阵，且 R(A)=mn，下列命题不正确的是_ AA
2、 的任意 m 个列向量线性无关 B若矩阵 B 满足 BA=0，则 B=0 C对任意非零列向量 b，方程组 Ax=b 有无穷多解 DA 通过初等变换可化为 （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 A 是 n 阶方阵，先交换 A 的第 i 列与第 j 列，然后交换 A 的第 i 行与第 j 行，得到的矩阵记为 B判断下述五种关系： |A|=|B| R(A)=R(B) A 与 B 等价 A 与 B 相似 A 与 B 合同 上述判断正确的是_（分数：4.00）A.，B.，C.，D.，7.设随机变量 X，Y 相互独立，且 ，PYx=x，0x1Z=XY 的数学期望 E(XY)=_ A1 B C D （分
3、数：4.00）A.B.C.D.8.设 X 1 ，X 2 ，X n ，为来自总体 X 的简单随机样本，总体方差 D(X)= 2 0记 ，1kn，则 (1s，tn)的值等于_ A B （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.当 x0 时， （分数：4.00）10.微分方程 y“-3y“+2y=xe x 的通解为 y= 1 （分数：4.00）11. ，则 （分数：4.00）12.差分方程 3y t -3y t+1 =t3 t +1 的通解为 1 （分数：4.00）13.设 是可逆矩阵，且 ，若 （分数：4.00）14.设 X 1 ，X 2 是来自 N(0， 2
4、 )的简单随机样本，则 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)设 f(x)为连续函数，且 ，且当 x0 时， （分数：10.00）(1).求 f(0)，证明 f“(0)存在并求 f“(0)；（分数：5.00）_(2).求 b，k（分数：5.00）_设某种产品的成本函数为 C=aq 2 +bq+c，需求函数为 （分数：9.99）(1).求利润最大时的产量及最大利润；（分数：3.33）_(2).求需求量对价格的弹性；（分数：3.33）_(3).当价格增加 1%时，需求量是增加还是减少?变化百分之几?（分数：3.33）_15.设函数 f(x)在区间(0，+)内可导，且 f“(x
5、)0， （分数：10.00）_16.求函数 z=x 2 +y 2 在条件 （分数：10.00）_17.求二重积分 （分数：10.00）_设 A 是 4 阶非零矩阵， 1 ， 2 ， 3 ， 4 是非齐次线性方程组 Ax=b 的 4 个不同的解向量（分数：11.00）(1).若 1 ， 2 ， 3 线性相关，证明 1 - 2 ， 1 - 3 线性相关；（分数：5.50）_(2).若 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，证明 1 - 2 ， 1 - 3 ， 1 - 4 是 Ax=0 的一个基础解系（分数：5.50）_设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax，其中|A|=2， （
6、分数：11.01）(1).求矩阵 A 的特征值和特征向量；（分数：3.67）_(2).求正交矩阵 P，使得经过正交变换 x=Py，二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax 化为标准形；（分数：3.67）_(3).求 A（分数：3.67）_袋中有 3 只红球，2 只白球，1 只黑球，从中任取两只球，随机变量 X，Y 分别表示取出红球与白球的个数（分数：11.01）(1).求(X，Y)的联合分布；（分数：3.67）_(2).U=maxX，Y，V=minX，Y，求(U，V)的联合分布；（分数：3.67）_(3).求 UV 的数学期望 E(UV)（分数：3.67）_设总体 X 服从 （
7、分数：11.01）(1).求 的最大似然估计量 （分数：3.67）_(2).求 （分数：3.67）_(3).确定常数 c，使 （分数：3.67）_考研数学三-419 答案解析(总分：150.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 （分数：4.00）A.不存在B.有一个C.有两个 D.有三个解析：解析 间断点为： (如下图)，选 C 2. A B （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 3.已知幂级数 在 x=0 处条件收敛，则幂级数 （分数：4.00）A.条件收敛B.绝对收敛C.发散 D.敛散性与具体an有关解析：解析 在 x=0 处条件收敛，
8、即 在 u=-2 处条件收敛，由阿贝尔定理， 的收敛区间为(-2，2)， 的收敛区间为(0，4)， 的收敛区间为(-3，1)，从而4.设 D 是由直线 x=-1，y=1 与曲线 y=x 3 所围成的平面区域D 1 是 D 在第一象限的部分，则 等于_ A B C （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 选 B. 5.设 A 为 mn 矩阵，且 R(A)=mn，下列命题不正确的是_ AA 的任意 m 个列向量线性无关 B若矩阵 B 满足 BA=0，则 B=0 C对任意非零列向量 b，方程组 Ax=b 有无穷多解 DA 通过初等变换可化为 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由
9、题设，R(A)=m，A 为行满秩矩阵，A 的 m 个行向量线性无关，当然也有 A 的 m 个列向量线性无关，但不是 A 的任意 m 个列向量也线性无关A 不正确，选 A 若 BA=0，那么(BA) T =0，A T B T =0，A T 为列满秩矩阵，A T x=0 仅有零解，B T =0，从而 B=0B 正确 ，方程组 Ax=b 有无穷多解C 正确， R(A)=m，通过初等变换可化为标准形 6.设 A 是 n 阶方阵，先交换 A 的第 i 列与第 j 列，然后交换 A 的第 i 行与第 j 行，得到的矩阵记为 B判断下述五种关系： |A|=|B| R(A)=R(B) A 与 B 等价 A 与
10、 B 相似 A 与 B 合同 上述判断正确的是_（分数：4.00）A.，B.，C.，D.， 解析：解析 由题设，有初等方阵 E(i，j)，且注意到E(i，j) -1 =E(i，j)，E(i，j) T =E(i，j)，使得 E(i，j)AE(i，j)=B， 当然， E(i，j) -1 AE(i，j)=B， E(i，j) T AE(i，j)=B 于是，都正确，选 D.7.设随机变量 X，Y 相互独立，且 ，PYx=x，0x1Z=XY 的数学期望 E(XY)=_ A1 B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 F Z (z)=PZz， z0，F Z (z)=0； z1，F Z (z
11、)=1； 0z1， F Z (z)=PZz =PX=0PZz|X=0+PX=1PZz|x=1 8.设 X 1 ，X 2 ，X n ，为来自总体 X 的简单随机样本，总体方差 D(X)= 2 0记 ，1kn，则 (1s，tn)的值等于_ A B （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 若 st，则 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.当 x0 时， （分数：4.00）解析：解析 10.微分方程 y“-3y“+2y=xe x 的通解为 y= 1 （分数：4.00）解析： 解析 先解齐次方程 y“-3y“+2y=0，对应的特征方程为 r 2 -3r+2=0，解得 r 1 =1，r
12、2 =2，Y=C 1 e x +C 2 e 2x (齐通) 再求 y“-3y“+2y=xe x 的特解，因为方程右端的 xe kx ，k=1 正好是特征方程的一重根，因此需要修正，令 y*=z(Ax+B)e x ，代入 y“-3y“+2y=xe x ，得 ，B=-1 11. ，则 （分数：4.00）解析： 解析 取对数，得 12.差分方程 3y t -3y t+1 =t3 t +1 的通解为 1 （分数：4.00）解析： 解析 原方程即为 先求 y t+1 -y t =0 的通解 Y t =C1 t =C(齐通) 再求 的特解 分两个差分方程求特解，然后叠加 先求 y t+1 -y t =-t
13、3 t-1 的特解 令 ，代入 y t+1 -y t =-t3 t-1 ，得 A(t+1)+B3 t -(At+B)3 t-1 =-t3 t-1 ， 3At+3A+3B-At-B=-t 2At+3A+2B=-t， 再求 的特解 方程的右端为常数 ，若以 (常数)代入 ，显然不成立，因此要修正，再令 代入 13.设 是可逆矩阵，且 ，若 （分数：4.00）解析： 解析 C=E(1，2)AE(13(1)， 14.设 X 1 ，X 2 是来自 N(0， 2 )的简单随机样本，则 （分数：4.00）解析：F(1，1) 解析 X 1 +X 2 N(0，2 2 )，X 1 -X 2 N(0，2 2 )，
14、又 Cov(X 1 +X 2 ，X 1 -X 2 )=DX 1 -DX 2 =0，且 X 1 +X 2 与 X 1 -X 2 服 从二维正态分布，故 X 1 +X 2 与 X 1 -X 2 独立，于是 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)设 f(x)为连续函数，且 ，且当 x0 时， （分数：10.00）(1).求 f(0)，证明 f“(0)存在并求 f“(0)；（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 (2).求 b，k（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由 ，可得 设某种产品的成本函数为 C=aq 2 +bq+c，需求函数为 （分数：9.99）(1).求利润最大时的产量及最
15、大利润；（分数：3.33）_正确答案：()解析：解 L=pq-C=(d-eq)q-(aq 2 +bq+c) =-(e+a)q 2 +(d-b)q-c， 令 L“(q)=-2(e+a)q+d-b=0，得 又 L“(q)=-2(e+a)0， 当 时，利润最大，此时， (2).求需求量对价格的弹性；（分数：3.33）_正确答案：()解析：解 根据弹性的定义，需求对价格的弹性为 (3).当价格增加 1%时，需求量是增加还是减少?变化百分之几?（分数：3.33）_正确答案：()解析：解 当价格增加 1%时，需求量减少需求量减少 %，即减少15.设函数 f(x)在区间(0，+)内可导，且 f“(x)0，
16、（分数：10.00）_正确答案：()解析：解 F“(x)0，F(x)； 当 F“(x)0，F(x)， 又 F“(1)=0，F(x)在(0，+)上单调增加 16.求函数 z=x 2 +y 2 在条件 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 方法 1 用拉格朗日乘数法，设 解得， 由于当 x，y时，z+，故函数 z 必在有限处取得最小值这里可疑点仅一个，因此，当 时，函数 z 取得极小值 方法 2 化条件极值为无条件极值 ，代入 z=x 2 +y 2 ，得 ，得驻点 ，所以 17.求二重积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 设 A 是 4 阶非零矩阵， 1 ， 2 ， 3 ，
17、4 是非齐次线性方程组 Ax=b 的 4 个不同的解向量（分数：11.00）(1).若 1 ， 2 ， 3 线性相关，证明 1 - 2 ， 1 - 3 线性相关；（分数：5.50）_正确答案：()解析：证明 令 k 1 ( 1 - 2 )+k 2 ( 1 - 2 )=0，即有 (k 1 +k 2 ) 1 -k 1 2 -k 2 3 =0， 由于 1 ， 2 ， 3 线性相关，于是一定有 k 1 +k 2 ，k 1 ，k 2 不全为零，若 k 1 0，则 1 - 2 ， 1 - 3 线性相关；若 k 2 0，则 1 - 2 ， 1 - 3 线性相关；若 k 1 +k 2 0，则有 k 1 0 或
18、 k 2 0，仍然有 1 - 2 ， 1 - 3 线性相关(2).若 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，证明 1 - 2 ， 1 - 3 ， 1 - 4 是 Ax=0 的一个基础解系（分数：5.50）_正确答案：()解析：证明 设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax，其中|A|=2， （分数：11.01）(1).求矩阵 A 的特征值和特征向量；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 我们再求 A 的另外的特征值和特征向量 由 1 = 2 =-1 又因为 A 为实对称矩阵， 3 =2 的特征向量与 1 = 2 =-1 的特征向量(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T 彼
19、此正交， 既有 x 1 +x 2 -x 3 =0， 解得 A 的特征值为：-1，-1，2 对应的特征向量为： (2).求正交矩阵 P，使得经过正交变换 x=Py，二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax 化为标准形；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 把 1 ， 2 正交化，得 把 1 ， 2 ， 3 = 3 单位化，得 P=(e 1 ，e 2 ，e 3 )，令 x=Py， (3).求 A（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 袋中有 3 只红球，2 只白球，1 只黑球，从中任取两只球，随机变量 X，Y 分别表示取出红球与白球的个数（分数：11.01）(1).求(X
20、，Y)的联合分布；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 (X，Y)的取值只能为：(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(2，0) (X，Y)的联合分布为： (2).U=maxX，Y，V=minX，Y，求(U，V)的联合分布；（分数：3.67）_正确答案：()解析：由第一小题可得 U，V 的联合分布律为 (3).求 UV 的数学期望 E(UV)（分数：3.67）_正确答案：()解析：由第一二小题可得 设总体 X 服从 （分数：11.01）(1).求 的最大似然估计量 （分数：3.67）_正确答案：()解析：解 L()= n ， 取 (2).求 （分数：3.67）_正确答案：()解析：解 综上所述， (3).确定常数 c，使 （分数：3.67）_正确答案：()解析：解
