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    【考研类试卷】考研数学三-419及答案解析.doc

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    【考研类试卷】考研数学三-419及答案解析.doc

    1、考研数学三-419 及答案解析(总分:150.02,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设函数 (分数:4.00)A.不存在B.有一个C.有两个D.有三个2. A B (分数:4.00)A.B.C.D.3.已知幂级数 在 x=0 处条件收敛,则幂级数 (分数:4.00)A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.敛散性与具体an有关4.设 D 是由直线 x=-1,y=1 与曲线 y=x 3 所围成的平面区域D 1 是 D 在第一象限的部分,则 等于_ A B C (分数:4.00)A.B.C.D.5.设 A 为 mn 矩阵,且 R(A)=mn,下列命题不正确的是_ AA

    2、 的任意 m 个列向量线性无关 B若矩阵 B 满足 BA=0,则 B=0 C对任意非零列向量 b,方程组 Ax=b 有无穷多解 DA 通过初等变换可化为 (分数:4.00)A.B.C.D.6.设 A 是 n 阶方阵,先交换 A 的第 i 列与第 j 列,然后交换 A 的第 i 行与第 j 行,得到的矩阵记为 B判断下述五种关系: |A|=|B| R(A)=R(B) A 与 B 等价 A 与 B 相似 A 与 B 合同 上述判断正确的是_(分数:4.00)A.,B.,C.,D.,7.设随机变量 X,Y 相互独立,且 ,PYx=x,0x1Z=XY 的数学期望 E(XY)=_ A1 B C D (分

    3、数:4.00)A.B.C.D.8.设 X 1 ,X 2 ,X n ,为来自总体 X 的简单随机样本,总体方差 D(X)= 2 0记 ,1kn,则 (1s,tn)的值等于_ A B (分数:4.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.当 x0 时, (分数:4.00)10.微分方程 y“-3y“+2y=xe x 的通解为 y= 1 (分数:4.00)11. ,则 (分数:4.00)12.差分方程 3y t -3y t+1 =t3 t +1 的通解为 1 (分数:4.00)13.设 是可逆矩阵,且 ,若 (分数:4.00)14.设 X 1 ,X 2 是来自 N(0, 2

    4、 )的简单随机样本,则 (分数:4.00)三、解答题(总题数:9,分数:94.00)设 f(x)为连续函数,且 ,且当 x0 时, (分数:10.00)(1).求 f(0),证明 f“(0)存在并求 f“(0);(分数:5.00)_(2).求 b,k(分数:5.00)_设某种产品的成本函数为 C=aq 2 +bq+c,需求函数为 (分数:9.99)(1).求利润最大时的产量及最大利润;(分数:3.33)_(2).求需求量对价格的弹性;(分数:3.33)_(3).当价格增加 1%时,需求量是增加还是减少?变化百分之几?(分数:3.33)_15.设函数 f(x)在区间(0,+)内可导,且 f“(x

    5、)0, (分数:10.00)_16.求函数 z=x 2 +y 2 在条件 (分数:10.00)_17.求二重积分 (分数:10.00)_设 A 是 4 阶非零矩阵, 1 , 2 , 3 , 4 是非齐次线性方程组 Ax=b 的 4 个不同的解向量(分数:11.00)(1).若 1 , 2 , 3 线性相关,证明 1 - 2 , 1 - 3 线性相关;(分数:5.50)_(2).若 1 , 2 , 3 , 4 线性无关,证明 1 - 2 , 1 - 3 , 1 - 4 是 Ax=0 的一个基础解系(分数:5.50)_设二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=x T Ax,其中|A|=2, (

    6、分数:11.01)(1).求矩阵 A 的特征值和特征向量;(分数:3.67)_(2).求正交矩阵 P,使得经过正交变换 x=Py,二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=x T Ax 化为标准形;(分数:3.67)_(3).求 A(分数:3.67)_袋中有 3 只红球,2 只白球,1 只黑球,从中任取两只球,随机变量 X,Y 分别表示取出红球与白球的个数(分数:11.01)(1).求(X,Y)的联合分布;(分数:3.67)_(2).U=maxX,Y,V=minX,Y,求(U,V)的联合分布;(分数:3.67)_(3).求 UV 的数学期望 E(UV)(分数:3.67)_设总体 X 服从 (

    7、分数:11.01)(1).求 的最大似然估计量 (分数:3.67)_(2).求 (分数:3.67)_(3).确定常数 c,使 (分数:3.67)_考研数学三-419 答案解析(总分:150.02,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设函数 (分数:4.00)A.不存在B.有一个C.有两个 D.有三个解析:解析 间断点为: (如下图),选 C 2. A B (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 3.已知幂级数 在 x=0 处条件收敛,则幂级数 (分数:4.00)A.条件收敛B.绝对收敛C.发散 D.敛散性与具体an有关解析:解析 在 x=0 处条件收敛,

    8、即 在 u=-2 处条件收敛,由阿贝尔定理, 的收敛区间为(-2,2), 的收敛区间为(0,4), 的收敛区间为(-3,1),从而4.设 D 是由直线 x=-1,y=1 与曲线 y=x 3 所围成的平面区域D 1 是 D 在第一象限的部分,则 等于_ A B C (分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 选 B. 5.设 A 为 mn 矩阵,且 R(A)=mn,下列命题不正确的是_ AA 的任意 m 个列向量线性无关 B若矩阵 B 满足 BA=0,则 B=0 C对任意非零列向量 b,方程组 Ax=b 有无穷多解 DA 通过初等变换可化为 (分数:4.00)A. B.C.D.解析:解析 由

    9、题设,R(A)=m,A 为行满秩矩阵,A 的 m 个行向量线性无关,当然也有 A 的 m 个列向量线性无关,但不是 A 的任意 m 个列向量也线性无关A 不正确,选 A 若 BA=0,那么(BA) T =0,A T B T =0,A T 为列满秩矩阵,A T x=0 仅有零解,B T =0,从而 B=0B 正确 ,方程组 Ax=b 有无穷多解C 正确, R(A)=m,通过初等变换可化为标准形 6.设 A 是 n 阶方阵,先交换 A 的第 i 列与第 j 列,然后交换 A 的第 i 行与第 j 行,得到的矩阵记为 B判断下述五种关系: |A|=|B| R(A)=R(B) A 与 B 等价 A 与

    10、 B 相似 A 与 B 合同 上述判断正确的是_(分数:4.00)A.,B.,C.,D., 解析:解析 由题设,有初等方阵 E(i,j),且注意到E(i,j) -1 =E(i,j),E(i,j) T =E(i,j),使得 E(i,j)AE(i,j)=B, 当然, E(i,j) -1 AE(i,j)=B, E(i,j) T AE(i,j)=B 于是,都正确,选 D.7.设随机变量 X,Y 相互独立,且 ,PYx=x,0x1Z=XY 的数学期望 E(XY)=_ A1 B C D (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 F Z (z)=PZz, z0,F Z (z)=0; z1,F Z (z

    11、)=1; 0z1, F Z (z)=PZz =PX=0PZz|X=0+PX=1PZz|x=1 8.设 X 1 ,X 2 ,X n ,为来自总体 X 的简单随机样本,总体方差 D(X)= 2 0记 ,1kn,则 (1s,tn)的值等于_ A B (分数:4.00)A. B.C.D.解析:解析 若 st,则 二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.当 x0 时, (分数:4.00)解析:解析 10.微分方程 y“-3y“+2y=xe x 的通解为 y= 1 (分数:4.00)解析: 解析 先解齐次方程 y“-3y“+2y=0,对应的特征方程为 r 2 -3r+2=0,解得 r 1 =1,r

    12、2 =2,Y=C 1 e x +C 2 e 2x (齐通) 再求 y“-3y“+2y=xe x 的特解,因为方程右端的 xe kx ,k=1 正好是特征方程的一重根,因此需要修正,令 y*=z(Ax+B)e x ,代入 y“-3y“+2y=xe x ,得 ,B=-1 11. ,则 (分数:4.00)解析: 解析 取对数,得 12.差分方程 3y t -3y t+1 =t3 t +1 的通解为 1 (分数:4.00)解析: 解析 原方程即为 先求 y t+1 -y t =0 的通解 Y t =C1 t =C(齐通) 再求 的特解 分两个差分方程求特解,然后叠加 先求 y t+1 -y t =-t

    13、3 t-1 的特解 令 ,代入 y t+1 -y t =-t3 t-1 ,得 A(t+1)+B3 t -(At+B)3 t-1 =-t3 t-1 , 3At+3A+3B-At-B=-t 2At+3A+2B=-t, 再求 的特解 方程的右端为常数 ,若以 (常数)代入 ,显然不成立,因此要修正,再令 代入 13.设 是可逆矩阵,且 ,若 (分数:4.00)解析: 解析 C=E(1,2)AE(13(1), 14.设 X 1 ,X 2 是来自 N(0, 2 )的简单随机样本,则 (分数:4.00)解析:F(1,1) 解析 X 1 +X 2 N(0,2 2 ),X 1 -X 2 N(0,2 2 ),

    14、又 Cov(X 1 +X 2 ,X 1 -X 2 )=DX 1 -DX 2 =0,且 X 1 +X 2 与 X 1 -X 2 服 从二维正态分布,故 X 1 +X 2 与 X 1 -X 2 独立,于是 三、解答题(总题数:9,分数:94.00)设 f(x)为连续函数,且 ,且当 x0 时, (分数:10.00)(1).求 f(0),证明 f“(0)存在并求 f“(0);(分数:5.00)_正确答案:()解析:解 (2).求 b,k(分数:5.00)_正确答案:()解析:解 由 ,可得 设某种产品的成本函数为 C=aq 2 +bq+c,需求函数为 (分数:9.99)(1).求利润最大时的产量及最

    15、大利润;(分数:3.33)_正确答案:()解析:解 L=pq-C=(d-eq)q-(aq 2 +bq+c) =-(e+a)q 2 +(d-b)q-c, 令 L“(q)=-2(e+a)q+d-b=0,得 又 L“(q)=-2(e+a)0, 当 时,利润最大,此时, (2).求需求量对价格的弹性;(分数:3.33)_正确答案:()解析:解 根据弹性的定义,需求对价格的弹性为 (3).当价格增加 1%时,需求量是增加还是减少?变化百分之几?(分数:3.33)_正确答案:()解析:解 当价格增加 1%时,需求量减少需求量减少 %,即减少15.设函数 f(x)在区间(0,+)内可导,且 f“(x)0,

    16、(分数:10.00)_正确答案:()解析:解 F“(x)0,F(x); 当 F“(x)0,F(x), 又 F“(1)=0,F(x)在(0,+)上单调增加 16.求函数 z=x 2 +y 2 在条件 (分数:10.00)_正确答案:()解析:解 方法 1 用拉格朗日乘数法,设 解得, 由于当 x,y时,z+,故函数 z 必在有限处取得最小值这里可疑点仅一个,因此,当 时,函数 z 取得极小值 方法 2 化条件极值为无条件极值 ,代入 z=x 2 +y 2 ,得 ,得驻点 ,所以 17.求二重积分 (分数:10.00)_正确答案:()解析:解 设 A 是 4 阶非零矩阵, 1 , 2 , 3 ,

    17、4 是非齐次线性方程组 Ax=b 的 4 个不同的解向量(分数:11.00)(1).若 1 , 2 , 3 线性相关,证明 1 - 2 , 1 - 3 线性相关;(分数:5.50)_正确答案:()解析:证明 令 k 1 ( 1 - 2 )+k 2 ( 1 - 2 )=0,即有 (k 1 +k 2 ) 1 -k 1 2 -k 2 3 =0, 由于 1 , 2 , 3 线性相关,于是一定有 k 1 +k 2 ,k 1 ,k 2 不全为零,若 k 1 0,则 1 - 2 , 1 - 3 线性相关;若 k 2 0,则 1 - 2 , 1 - 3 线性相关;若 k 1 +k 2 0,则有 k 1 0 或

    18、 k 2 0,仍然有 1 - 2 , 1 - 3 线性相关(2).若 1 , 2 , 3 , 4 线性无关,证明 1 - 2 , 1 - 3 , 1 - 4 是 Ax=0 的一个基础解系(分数:5.50)_正确答案:()解析:证明 设二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=x T Ax,其中|A|=2, (分数:11.01)(1).求矩阵 A 的特征值和特征向量;(分数:3.67)_正确答案:()解析:解 我们再求 A 的另外的特征值和特征向量 由 1 = 2 =-1 又因为 A 为实对称矩阵, 3 =2 的特征向量与 1 = 2 =-1 的特征向量(x 1 ,x 2 ,x 3 ) T 彼

    19、此正交, 既有 x 1 +x 2 -x 3 =0, 解得 A 的特征值为:-1,-1,2 对应的特征向量为: (2).求正交矩阵 P,使得经过正交变换 x=Py,二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=x T Ax 化为标准形;(分数:3.67)_正确答案:()解析:解 把 1 , 2 正交化,得 把 1 , 2 , 3 = 3 单位化,得 P=(e 1 ,e 2 ,e 3 ),令 x=Py, (3).求 A(分数:3.67)_正确答案:()解析:解 袋中有 3 只红球,2 只白球,1 只黑球,从中任取两只球,随机变量 X,Y 分别表示取出红球与白球的个数(分数:11.01)(1).求(X

    20、,Y)的联合分布;(分数:3.67)_正确答案:()解析:解 (X,Y)的取值只能为:(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0) (X,Y)的联合分布为: (2).U=maxX,Y,V=minX,Y,求(U,V)的联合分布;(分数:3.67)_正确答案:()解析:由第一小题可得 U,V 的联合分布律为 (3).求 UV 的数学期望 E(UV)(分数:3.67)_正确答案:()解析:由第一二小题可得 设总体 X 服从 (分数:11.01)(1).求 的最大似然估计量 (分数:3.67)_正确答案:()解析:解 L()= n , 取 (2).求 (分数:3.67)_正确答案:()解析:解 综上所述, (3).确定常数 c,使 (分数:3.67)_正确答案:()解析:解


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