1、考研数学三-419 (1)及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：4，分数：16.00)1.设 （分数：4.00）2.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，且 1 +a 2 +4 3 ，2 1 + 2 - 3 ， 2 + 3 线性相关，则 a= 1 （分数：4.00）3.设 （分数：4.00）4.设 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )为 4 阶方阵，且 AX=0 的通解为 X=k(1，1，2，-3) T ，则 2 由 1 ， 3 ， 4 表示的表达式为 1 （分数：4.00）二、选择题(总题数：10，分数：40.00)5.若 1 ， 2 ， 3 线性相关
2、， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则_（分数：4.00）A.1 可由 2，3 线性表示B.4 可由 1，2，3 线性表示C.4 可由 1，3 线性表示D.4 可由 1，2 线性表示6.设向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则向量组_（分数：4.00）A.1+2，2+3，3+4，4+1 线性无关B.1-2，2-3，3-4，4-1 线性无关C.1+2，2+3，3+4，4-1 线性无关D.1+2，2+3，3-4，4-1 线性无关7.向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件是_（分数：4.00）A.向量组 1，2，m， 线性元关B.存在一组不全为零的常数 k1，k2，km，使得 k
3、11+k22+kmm0C.向量组 1，2，m 的维数大于其个数D.向量组 1，2，m 的任意一个部分向量组线性无关8.设向量组 1 ， 2 ， m 线性无关， 1 可由 1 ， 2 ， m 线性表示，但 2 不可由 1 ， 2 ， m 线性表示，则_（分数：4.00）A.1，2，m-1，1 线性相关B.1，2，m-1，1，2 线性相关C.1，2，m，1+2 线性相关D.1，2，m，1+2 线性无关9.设 n 维列向量组 1 ， 2 ， m (mn)线性无关，则 n 维列向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件是_（分数：4.00）A.向量组 1，2，m 可由向量组 1，2，m 线性表
4、示B.向量组 1，2，m 可由向量组 1，2，m 线性表示C.向量组 1，2，m 与向量组 1，2，m 等价D.矩阵 A=(1，2，m)与矩阵 B=(1，2，m)等价10.设 1 ， 2 ， 3 线性无关，卢。可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，卢。不可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，对任意的常数 k 有_（分数：4.00）A.1，2，3，印。+应线性无关B.1，2，3，印，+声 z 线性相关C.1，2，3，历+印。线性无关D.1，2，3，卢 t+印 z 线性相关11.设 n 阶矩阵 A=( 1 ， 2 ， n )，B=( 1 ， 2 ， n )，AB=( 1 ， 2 ， n )，记向量组(
5、)： 1 ， 2 ， n ；()： 1 ， 2 ， n ；()： 1 ， 2 ， n 若向量组()线性相关，则_（分数：4.00）A.()，()都线性相关B.()线性相关C.()线性相关D.()，()至少有一个线性相关12.设向量组()： 1 ， 2 ， s 的秩为 r 1 ，向量组()： 1 ， 2 ， s 的秩为r 2 ，且向量组()可由向量组()线性表示，则_（分数：4.00）A.1+1，2+2，s+s 的秩为 r1+r2B.向量组 1-1，2-2，s-s 的秩为 r1-r2C.向量组 1，2，s，1，2，s 的秩为 r1+r2D.向量组 1，2，s，1，2，s 的秩为 r113.向量组
6、 1 ， 2 ， s 线性无关的充分条件是_（分数：4.00）A.1，2，s 都不是零向量B.1，2，s 中任意两个向量不成比例C.1，2，s 中任一向量都不可由其余向量线性表示D.1，2，s 中有一个部分向量组线性无关14.设 A 为 n 阶矩阵，且|A|=0，则 A_（分数：4.00）A.必有一列元素全为零B.必有两行元素对应成比例C.必有一列是其余列向量的线性组合D.任一列都是其余列向量的线性组合三、解答题(总题数：12，分数：94.00)15.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，证明： 1 + 2 + 3 ， 1 +2 2 +3 3 ， 1 +4 2 +9 3 线性无关 （分数：7
7、.00）_16.设 1 ， m ， 为 m+1 维向量，= 1 + m (m1)证明：若 1 ， m 线性无关，则 - 1 ，- m 线性无关 （分数：7.00）_17.设 1 ， 2 ， n (n2)线性无关，证明：当且仅当 n 为奇数时， 1 + 2 ， 2 + 3 ， n + 1 线性无关 （分数：8.00）_18.设 1 ， n 为 n 个 m 维向量，且 mn证明： 1 ， n 线性相关 （分数：8.00）_19.证明：若一个向量组中有一个部分向量组线性相关，则该向量组一定线性相关 （分数：8.00）_20.n 维列向量组 1 ， n-1 线性无关，且与非零向量 正交证明： 1 ，
8、n-1 ， 线性无关 （分数：8.00）_21.设向量组 1 ， n 为两两正交的非零向量组，证明： 1 ， n 线性无关，举例说明逆命题不成立 （分数：8.00）_22.设 A 为 nm 矩阵，B 为 mn 矩阵(mn)，且 AB=E证明：B 的列向量组线性无关 （分数：8.00）_23.设 1 ， 2 ， m ， 1 ， 2 ， n 线性无关，而向量组 1 ， 2 ， m ， 线性相关证明：向量 可由向量组 1 ， 2 ， m ， 1 ， 2 ， n 线性表示 （分数：8.00）_24.设向量组 （分数：8.00）_25.设 1 ， 2 ， n 为 n 个线性无关的 n 维向量，且与向量
9、正交证明：向量 为零向量 （分数：8.00）_26.设 A 为 n 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 为 n 维列向量，其中 1 0，且 A 1 = 1 ，A 2 = 1 + 2 ，A 3 = 2 + 3 ，证明： 1 ， 2 ， 3 线性无关 （分数：8.00）_考研数学三-419 (1)答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：4，分数：16.00)1.设 （分数：4.00）解析： 解析 1 ， 2 ， 3 线性相关的充分必要条件是 从而 2.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，且 1 +a 2 +4 3 ，2 1 + 2 - 3 ， 2 + 3 线性相关，则
10、 a= 1 （分数：4.00）解析：5 解析 ( 1 +a 2 +4 3 ，2 1 + 2 - 3 ， 2 + 3 )= 因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，而 1 +a 2 +4 3 ，2 1 + 2 - 3 ， 2 + 3 线性相关，所以 3.设 （分数：4.00）解析：-4 -13解析 因为 ， 正交，所以4.设 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )为 4 阶方阵，且 AX=0 的通解为 X=k(1，1，2，-3) T ，则 2 由 1 ， 3 ， 4 表示的表达式为 1 （分数：4.00）解析： 2 =- 1 -2 2 +3 4 解析 因为(1，1，2，-3) T 为 AX=0 的解
11、，所以 1 + 2 +2 3 -3 4 =0，故 2 =- 1 -2 2 +3 4 二、选择题(总题数：10，分数：40.00)5.若 1 ， 2 ， 3 线性相关， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则_（分数：4.00）A.1 可由 2，3 线性表示 B.4 可由 1，2，3 线性表示C.4 可由 1，3 线性表示D.4 可由 1，2 线性表示解析：解析 因为 2 ， 3 ， 4 线性无关，所以 2 ， 3 线性无关，又因为 1 ， 2 ， 3 线性相关，所以 1 可由 2 ， 3 线性表示，选 A6.设向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则向量组_（分数：4.00）A.1+2，2+
12、3，3+4，4+1 线性无关B.1-2，2-3，3-4，4-1 线性无关C.1+2，2+3，3+4，4-1 线性无关 D.1+2，2+3，3-4，4-1 线性无关解析：解析 因为-( 1 + 2 )+( 2 + 3 )-( 3 + 4 )+( 4 + 1 )=0，所以 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 线性相关； 因为( 1 - 2 )+( 2 - 3 )+( 3 - 4 )+( 4 - 1 =0，所以 1 - 2 ， 2 - 3 ， 3 - 4 ， 4 - 1 线性相关； 因为( 1 + 2 )-( 2 + 3 )+( 3 - 4 )+( 4 - 1 )=0，所以
13、1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 - 4 ， 4 - 1 线性相关，容易通过证明向量组线性无关的定义法得 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 - 1 线性无关，选 C7.向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件是_（分数：4.00）A.向量组 1，2，m， 线性元关B.存在一组不全为零的常数 k1，k2，km，使得 k11+k22+kmm0C.向量组 1，2，m 的维数大于其个数D.向量组 1，2，m 的任意一个部分向量组线性无关 解析：解析 A 不对，因为 1 ， 2 ， m ， 线性无关可以保证 1 ， 2 ， m 线性无关，但 1 ， 2 ， m 线性无关不能
14、保证 1 ， 2 ， m ， 线性无关； B 不对，因为 1 ， 2 ， m 线性无关可以保证对任意一组非零常数 k 1 ，k 2 ，k m ，有k 1 1 +k 2 2 +k m m ，但存在一组不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k m 使得 k 1 1 +k 2 2 +k m m 0 不能保证 1 ， 2 ， m 线性无关； C 不对，向量组 1 ， 2 ， m 线性无关不能得到其维数大于其个数，如 ， 2 = 8.设向量组 1 ， 2 ， m 线性无关， 1 可由 1 ， 2 ， m 线性表示，但 2 不可由 1 ， 2 ， m 线性表示，则_（分数：4.00）A.1，2，m-1，1
15、线性相关B.1，2，m-1，1，2 线性相关C.1，2，m，1+2 线性相关D.1，2，m，1+2 线性无关 解析：解析 A 不对，因为 1 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表示，但不一定能被 1 ， 2 ， m-1 线性表示，所以 1 ， 2 ， m-1 ， 1 不一定线性相关； B 不对，因为 1 ， 2 ， m-1 ， 1 不一定线性相关， 2 不一定可由 1 ， 2 ， m-1 ， 1 线性表示，所以 1 ， 2 ， m-1 ， 1 ， 2 不一定线性相关； C 不对，因为 2 不可由 1 ， 2 ， m 线性表示，而 1 可由 1 ， 2 ， m 线性表示，所以 1 + 2 不可
16、由 1 ， 2 ， m 线性表示，于是 1 ， 2 ， m ， 1 + 2 线性无关，选 D9.设 n 维列向量组 1 ， 2 ， m (mn)线性无关，则 n 维列向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件是_（分数：4.00）A.向量组 1，2，m 可由向量组 1，2，m 线性表示B.向量组 1，2，m 可由向量组 1，2，m 线性表示C.向量组 1，2，m 与向量组 1，2，m 等价D.矩阵 A=(1，2，m)与矩阵 B=(1，2，m)等价 解析：解析 因为 1 ， 2 ， m 线性无关，所以向量组 1 ， 2 ， m 的秩为 m，向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条
17、件是其秩为 m，所以选 D10.设 1 ， 2 ， 3 线性无关，卢。可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，卢。不可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，对任意的常数 k 有_（分数：4.00）A.1，2，3，印。+应线性无关 B.1，2，3，印，+声 z 线性相关C.1，2，3，历+印。线性无关D.1，2，3，卢 t+印 z 线性相关解析：解析 因为 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示， 2 不可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，所以 k 1 + 2 一定不可以由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表示，所以 1 ， 2 ， 3 ，k 1 + 2 线性无关，选 A11.设 n 阶矩阵 A=( 1
18、， 2 ， n )，B=( 1 ， 2 ， n )，AB=( 1 ， 2 ， n )，记向量组()： 1 ， 2 ， n ；()： 1 ， 2 ， n ；()： 1 ， 2 ， n 若向量组()线性相关，则_（分数：4.00）A.()，()都线性相关B.()线性相关C.()线性相关D.()，()至少有一个线性相关 解析：解析 若 1 ， 2 ， n 线性无关， 1 ， 2 ， n 线性无关，则 r(A)=n，r(B)=n，于是 r(AB)=n 因为 1 ， 2 ， n 线性相关，所以 r(AB)=r( 1 ， 2 ， n )n。 故 1 ， 2 ， n 与 1 ， 2 ， n 至少有一个线性相
19、关，选 D12.设向量组()： 1 ， 2 ， s 的秩为 r 1 ，向量组()： 1 ， 2 ， s 的秩为r 2 ，且向量组()可由向量组()线性表示，则_（分数：4.00）A.1+1，2+2，s+s 的秩为 r1+r2B.向量组 1-1，2-2，s-s 的秩为 r1-r2C.向量组 1，2，s，1，2，s 的秩为 r1+r2D.向量组 1，2，s，1，2，s 的秩为 r1 解析：解析 因为向量组 1 ， 2 ， s 可由向量组 1 ， 2 ， s 线性表示，所以向量组 1 ， 2 ， s 与向量组 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s 等价，选D13.向量组 1 ， 2 ， s 线
20、性无关的充分条件是_（分数：4.00）A.1，2，s 都不是零向量B.1，2，s 中任意两个向量不成比例C.1，2，s 中任一向量都不可由其余向量线性表示 D.1，2，s 中有一个部分向量组线性无关解析：解析 若向量组 1 ， 2 ， s 线性无关，则其中任一向量都不可由其余向量线性表示，反之，若 1 ， 2 ， s 中任一向量都不可由其余向量线性表示，则 1 ， 2 ， s 一定线性无关，因为若 1 ， 2 ， s 线性相关，则其中至少有一个向量可由其余向量线性表示，故选 C14.设 A 为 n 阶矩阵，且|A|=0，则 A_（分数：4.00）A.必有一列元素全为零B.必有两行元素对应成比例
21、C.必有一列是其余列向量的线性组合 D.任一列都是其余列向量的线性组合解析：解析 因为|A|=0，所以 r(A)n，从而 A 的 n 个列向量线性相关，于是其列向量中至少有一个向量可由其余向量线性表示，选 C三、解答题(总题数：12，分数：94.00)15.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，证明： 1 + 2 + 3 ， 1 +2 2 +3 3 ， 1 +4 2 +9 3 线性无关 （分数：7.00）_正确答案：()解析：证明 方法一 令 k 1 ( 1 + 2 + 3 )+k 2 ( 1 +2 2 +3 3 )+k 3 ( 1 +4 2 +9 3 )=0，即 (k 1 +k 2 +k
22、3 ) 1 +(k 1 +2k 2 +4k 3 ) 2 +(k 1 +3k 2 +9k 3 ) 3 =0， 因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以有 而 ，由克拉默法则得 k 1 =k 2 =k 3 =0， 所以 1 + 2 + 3 ， 1 +2 2 +3 3 ， 1 +4 2 +9 3 线性无关 方法二 令 A=( 1 ， 2 ， 3 )，B=( 1 + 2 + 3 ， 1 +2 2 +3 3 ， 1 +4 2 +9 3 )， 则 因为 16.设 1 ， m ， 为 m+1 维向量，= 1 + m (m1)证明：若 1 ， m 线性无关，则 - 1 ，- m 线性无关 （分数：7.00）_
23、正确答案：()解析：证明 令 k 1 (- 1 +k m (- m )=0，即 k 1 ( 2 + 3 + m )+k 2 ( 1 + 2 + m-1 )=0 或(k 2 +k 3 +k m ) 1 +(k 1 +k 3 +k m ) 2 +(k 1 +k 2 +k m-1 ) m =0， 因为 1 ， m 线性无关，所以 因为 17.设 1 ， 2 ， n (n2)线性无关，证明：当且仅当 n 为奇数时， 1 + 2 ， 2 + 3 ， n + 1 线性无关 （分数：8.00）_正确答案：()解析：证明 设有 x 1 ，x 2 ，x n ，使 x 1 ( 1 + 2 )+x 2 ( 2 +
24、3 )+x n ( n + 1 )=0，即(x 1 +x n ) 1 +(x 1 +x 2 ) 2 +(x n-1 +x n ) n =0， 因为 1 ， 2 ， n 线性无关，所以有 该方程组系数行列式 D n =1+(-1) n+1 ，n 为奇数 18.设 1 ， n 为 n 个 m 维向量，且 mn证明： 1 ， n 线性相关 （分数：8.00）_正确答案：()解析：证明 方法一 向量组 1 ， n 线性相关的充分必要条件是方程组 x 1 1 +x n n =0 有非零解， 因为方程组 x 1 1 +x n n =0 中变量有 n 个，约束条件最多有 m 个且 mn，所以方,程组 x 1
25、 1 +x n n =0 一定有自由变量，即方程组有非零解，故向量组 1 ， n 线性相关 方法二 令 A=( 1 ， n )，r(A)minm，n)=mn，因为矩阵的秩与矩阵的行向量组与列向量组的秩相等，所以向量组 1 ， n 的秩不超过 m，于是向量组 1 ， n 线性相关19.证明：若一个向量组中有一个部分向量组线性相关，则该向量组一定线性相关 （分数：8.00）_正确答案：()解析：证明 设 1 ， n 为一个向量组，且 1 ， r (r 1，k r，使得k1 1+kr r=0，于是 k1 1+kr r+0 r+1+0 n=0，因为 k1，k r，0，0 不全为零，所以 1， n线性相
26、关20.n 维列向量组 1 ， n-1 线性无关，且与非零向量 正交证明： 1 ， n-1 ， 线性无关 （分数：8.00）_正确答案：()解析：证明 令 k 0 +k 1 1 +k n-1 n-1 =0，由 1 ， n-1 与非零向量 正交及(，k 0 +k 1 1 +k n-1 n-1 )=0 得 k 0 (，)=0，因为 为非零向量，所以(，)=| 2 0，于是 k 0 =0，故 k 1 1 +k n-1 n-1 =0，由 1 ， n-1 线性无关得 k 1 =k n-1 =0，于是 1 ， n-1 ， 线性无关21.设向量组 1 ， n 为两两正交的非零向量组，证明： 1 ， n 线性
27、无关，举例说明逆命题不成立 （分数：8.00）_正确答案：()解析：证明 令 k 1 1 +k n n =0，由 1 ， n 两两正交及( 1 ，k 1 1 +k n n )=0，得 k 1 ( 1 ， 1 )=0，而( 1 ， 1 )=| 1 | 2 0，于是 k 1 =0，同理可证 k 2 =k n =0， 故 1 ， n 线性无关令 22.设 A 为 nm 矩阵，B 为 mn 矩阵(mn)，且 AB=E证明：B 的列向量组线性无关 （分数：8.00）_正确答案：()解析：证明 首先 r(B)minm，n=n，由 AB=E 得 r(AB)=n，而 r(AB)r(B)，所以 r(B)n，从而
28、 r(B)=n，于是 B 的列向量组线性无关23.设 1 ， 2 ， m ， 1 ， 2 ， n 线性无关，而向量组 1 ， 2 ， m ， 线性相关证明：向量 可由向量组 1 ， 2 ， m ， 1 ， 2 ， n 线性表示 （分数：8.00）_正确答案：()解析：证明 因为向量组 1 ， 2 ， m ， 1 ， 2 ， n 线性无关，所以向量组 1 ， 2 ， m 也线性无关，又向量组 1 ， 2 ， m ， 线性相关，所以向量 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表示，从而 可由向量组 1 ， 2 ， m ， 1 ， 2 ， n 线性表示24.设向量组 （分数：8.00）_正确答案：()
29、解析：解 向量组 1 ， 2 ， 3 线性相关的充分必要条件是| 1 ， 2 ， 3 |=0， 而 25.设 1 ， 2 ， n 为 n 个线性无关的 n 维向量，且与向量 正交证明：向量 为零向量 （分数：8.00）_正确答案：()解析：证明 方法一 令 26.设 A 为 n 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 为 n 维列向量，其中 1 0，且 A 1 = 1 ，A 2 = 1 + 2 ，A 3 = 2 + 3 ，证明： 1 ， 2 ， 3 线性无关 （分数：8.00）_正确答案：()解析：证明 由 A 1 = 1 得(A-E) 1 =0； 由 A 2 一 1 + 2 得(A-E) 2 = 1 ；由 A 3 = 2 + 3 得(A-E) 3 = 2 ， 令 k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 =0， (1) (1)两边左乘 A-E 得 k 2 1 +k 3 2 =0， (2) (2)两边左乘 A-E 得 k 3 1 =0，因为 1 0，所以 k 3 =0，代入式(2)、式(1)得 k 1 =0，k 2 =0，故 1 ， 2 ， 3 线性无关
