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    【考研类试卷】考研数学三-418 (1)及答案解析.doc

    • 资源ID:1394797       资源大小:134.50KB        全文页数:10页
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    【考研类试卷】考研数学三-418 (1)及答案解析.doc

    1、考研数学三-418 (1)及答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:14,分数:28.00)1.设 A 是三阶矩阵,B 是四阶矩阵,且|A|=2,|B|=6,则 (分数:2.00)A.24B.-24C.48D.-482.设 A 为二阶矩阵,且 A 的每行元素之和为 4,且|E+A|=0,则|2E+A 2 |为_(分数:2.00)A.0B.54C.-2D.-243.设 n 维行向量 (分数:2.00)A.B.C.D.4.设 A,B 为 n 阶矩阵,则下列结论正确的是_(分数:2.00)A.若 A,B 可逆,则 A+B 可逆B.若 A,B 可逆,则 AB 可逆C.若

    2、 A+B 可逆,则 A-B 可逆D.若 A+B 可逆,则 A,B 都可逆5.设 A,B 为 n 阶对称矩阵,下列结论不正确的是_ A.AB 为对称矩阵 B.设 A,B 可逆,则 A-1+B-1为对称矩阵 C.A+B 为对称矩阵 D.kA 为对称矩阵(分数:2.00)A.B.C.D.6.设 A,B 皆为 n 阶矩阵,则下列结论正确的是_(分数:2.00)A.AB=O 的充分必要条件是 A=O 或 B=OB.ABO 的充分必要条件是 AO 且 BOC.AB=O 且 r(A)=n,则 B=OD.若 ABO,则|A|0 或|B|07.n 阶矩阵 A 经过若干次初等变换化为矩阵 B,则_(分数:2.00

    3、)A.|A|=|B|B.|A|B|C.若|A|=0 则|B|=0D.若|A|0 则|B|08.设 A 为 mn 矩阵,C 为 n 阶矩阵,B=AC,且 r(A)=r,r(B)=r 1 ,则_(分数:2.00)A.rr1B.rr1C.rr1D.r 与 r1 的关系依矩阵 C 的情况而定9.设 A 为 mn 矩阵,B 为 nm 矩阵,且 mn,令 r(AB)=r,则_(分数:2.00)A.rmB.r=mC.rmD.rm10.设 A 为四阶非零矩阵,且 r(A*)=1,则_(分数:2.00)A.r(A)=1B.r(A)=2C.r(A)=3D.r(A)=411.设 A,B 都是 n 阶矩阵,其中 B

    4、是非零矩阵,且 AB=O,则_ A.r(B)=n B.r(B)n C.A2-B2=(A+B)(A-B) D.|A|=0(分数:2.00)A.B.C.D.12.设 A,B 分别为 m 阶和 n 阶可逆矩阵,则 的逆矩阵为_ A B C D (分数:2.00)A.B.C.D.13.设 (分数:2.00)A.B=P1P2AB.B=P2P1AC.B=P2AP1D.B=AP2P114.设 则_ AB=P 1 AP 2 BB=P 2 AP 1 C D (分数:2.00)A.B.C.D.二、解答题(总题数:15,分数:72.00)设 (分数:4.00)(1).|-2B|;(分数:2.00)_(2).AB-B

    5、A(分数:2.00)_15.设 A,B 为 n 阶矩阵,且 A 2 =A,B 2 =B,(A+B) 2 =A+B证明:AB=O (分数:4.00)_16.设 AX=A+2X,其中 (分数:4.00)_17.设 (分数:4.00)_18.设四阶矩阵 B 满足 且 (分数:4.00)_19.设 A,B 满足 A*BA=2BA-8E,且 (分数:4.00)_20. (分数:4.00)_21. (分数:4.00)_设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 +2A-3E=O求:(分数:9.00)(1).(A+2E) -1 ;(分数:4.50)_(2).(A+4E) -1 (分数:4.50)_22.设 A 为 n

    6、 阶矩阵,且 A k =O,求(E-A) -1 (分数:4.50)_设 A,B 为 n 阶矩阵, (分数:9.00)(1).求 PQ;(分数:4.50)_(2).证明:当 P 可逆时,Q 也可逆(分数:4.50)_23.设 A 为 n 阶可逆矩阵,A 2 =|A|E证明:A=A* (分数:4.00)_24.设 A 为 n 阶矩阵,且 A 2 -2A-8E=O证明:r(4E-A)+r(2E+A)=n (分数:4.50)_25.证明:若矩阵 A 可逆,则其逆矩阵必然唯一 (分数:4.50)_26.设 A 是 mn 矩阵,若 A T A=O,证明:A=O (分数:4.50)_考研数学三-418 (1

    7、)答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:14,分数:28.00)1.设 A 是三阶矩阵,B 是四阶矩阵,且|A|=2,|B|=6,则 (分数:2.00)A.24B.-24C.48D.-48 解析:解析 2.设 A 为二阶矩阵,且 A 的每行元素之和为 4,且|E+A|=0,则|2E+A 2 |为_(分数:2.00)A.0B.54 C.-2D.-24解析:解析 因为 A 的每行元素之和为 4,所以 A 有特征值 4,又|E+A|=0,所以 A 有特征值-1,于是2E+A 2 的特征值为 18,3,于是|2E+A 2 |=54,选 B3.设 n 维行向量 (分数:

    8、2.00)A.B.C. D.解析:解析 由 4.设 A,B 为 n 阶矩阵,则下列结论正确的是_(分数:2.00)A.若 A,B 可逆,则 A+B 可逆B.若 A,B 可逆,则 AB 可逆 C.若 A+B 可逆,则 A-B 可逆D.若 A+B 可逆,则 A,B 都可逆解析:解析 若 A,B 可逆,则|A|0,|B|0,又|AB|=|A|B|,所以|AB|0,于是 AB 可逆,选 B5.设 A,B 为 n 阶对称矩阵,下列结论不正确的是_ A.AB 为对称矩阵 B.设 A,B 可逆,则 A-1+B-1为对称矩阵 C.A+B 为对称矩阵 D.kA 为对称矩阵(分数:2.00)A. B.C.D.解析

    9、:解析 由(A+B) T =A T +B T =A+B,得 A+B 为对称矩阵;由(A -1 +B -1 ) T =(A -1 ) T +(B -1 ) T =A -1 +B -1 ,得 A -1 +B -1 为对称矩阵;由(kA) T =kA T =kA,得 kA 为对称矩阵,选 A6.设 A,B 皆为 n 阶矩阵,则下列结论正确的是_(分数:2.00)A.AB=O 的充分必要条件是 A=O 或 B=OB.ABO 的充分必要条件是 AO 且 BOC.AB=O 且 r(A)=n,则 B=O D.若 ABO,则|A|0 或|B|0解析:解析 取 显然 AB=O,故 A、B 都不对,取 显然7.n

    10、 阶矩阵 A 经过若干次初等变换化为矩阵 B,则_(分数:2.00)A.|A|=|B|B.|A|B|C.若|A|=0 则|B|=0 D.若|A|0 则|B|0解析:解析 因为 A 经过若干次初等变换化为 B,所以存在初等矩阵 P 1 ,P s ,Q 1 ,Q t ,使得 B=P s P 1 AQ 1 Q t ,而 P 1 ,P s ,Q 1 ,Q t 都是可逆矩阵,所以 r(A)=r(B),若|A|=0,即 r(A)n,则 r(B)n,即|B|=0,选 C8.设 A 为 mn 矩阵,C 为 n 阶矩阵,B=AC,且 r(A)=r,r(B)=r 1 ,则_(分数:2.00)A.rr1B.rr1C

    11、.rr1 D.r 与 r1 的关系依矩阵 C 的情况而定解析:解析 因为 r 1 =r(B)=r(AC)r(A)=r,所以选 C9.设 A 为 mn 矩阵,B 为 nm 矩阵,且 mn,令 r(AB)=r,则_(分数:2.00)A.rmB.r=mC.rm D.rm解析:解析 显然 AB 为 m 阶矩阵,r(A)n,r(B)n,而 r(AB)minr(A),r(B)nm,所以选 C10.设 A 为四阶非零矩阵,且 r(A*)=1,则_(分数:2.00)A.r(A)=1B.r(A)=2C.r(A)=3 D.r(A)=4解析:解析 因为 r(A*)=1,所以 r(A)=4-1=3,选 C11.设 A

    12、,B 都是 n 阶矩阵,其中 B 是非零矩阵,且 AB=O,则_ A.r(B)=n B.r(B)n C.A2-B2=(A+B)(A-B) D.|A|=0(分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析 因为 AB=O,所以 r(A)+r(B)n,又因为 B 是非零矩阵,所以 r(B)1,从而 r(A)n,于是|A|=0,选 D12.设 A,B 分别为 m 阶和 n 阶可逆矩阵,则 的逆矩阵为_ A B C D (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析 A,B 都是可逆矩阵,因为 所以 13.设 (分数:2.00)A.B=P1P2AB.B=P2P1AC.B=P2AP1D.B=AP2P1 解析

    13、:解析 P 1 =E 12 ,P 2 =E 23 (2),显然 A 首先将第 2 列的两倍加到第 3 列,再将第 1 及第 2 列对调,所以 B=AE 23 (2)E 12 =AP 2 P 1 ,选 D14.设 则_ AB=P 1 AP 2 BB=P 2 AP 1 C D (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析 显然 因为 二、解答题(总题数:15,分数:72.00)设 (分数:4.00)(1).|-2B|;(分数:2.00)_正确答案:()解析:解 |-2B|=(-2) 3 |B|=-8;(2).AB-BA(分数:2.00)_正确答案:()解析:解 15.设 A,B 为 n 阶矩阵,

    14、且 A 2 =A,B 2 =B,(A+B) 2 =A+B证明:AB=O (分数:4.00)_正确答案:()解析:证明 由 A 2 =A,B 2 =B 及(A+B) 2 =A+B=A 2 +B 2 +AB+BA 得 AB+BA=O 即 AB=-BA,AB=-BA 两边左乘 A 得 AB=-ABA,再在 AB=-BA 两边右乘 A 得 ABA=-BA,则 AB=BA,于是 AB=O16.设 AX=A+2X,其中 (分数:4.00)_正确答案:()解析:解 由 AX=A+2X 得(A-2E)X=A,其中 因为|A-2E|=-10,所以 X=(A-2E) -1 A, 17.设 (分数:4.00)_正确

    15、答案:()解析:解 由 AX+|A|E=A*+X 得 (A-E)X=A*-|A|E=A*-AA*=(E-A)A*, 因为|E-A|=-30,所以 E-A 可逆,于是 X=-A*, 由|A|=6 得 X=-6A -1 , 18.设四阶矩阵 B 满足 且 (分数:4.00)_正确答案:()解析:解 19.设 A,B 满足 A*BA=2BA-8E,且 (分数:4.00)_正确答案:()解析:解 由 A*BA=2BA-8E 得 AA*BA=2ABA-8A, 即-2BA=2ABA-8A,整理得(A+E)B=4E,所以 20. (分数:4.00)_正确答案:()解析:解 21. (分数:4.00)_正确答

    16、案:()解析:解 设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 +2A-3E=O求:(分数:9.00)(1).(A+2E) -1 ;(分数:4.50)_正确答案:()解析:解 由 A 2 +2A-3E=O 得 A(A+2E)=3E, 根据逆矩阵的定义,有 (2).(A+4E) -1 (分数:4.50)_正确答案:()解析:解 由 A 2 +2A-3E=O 得(A+4E)(A-2E)+5E=O,则 22.设 A 为 n 阶矩阵,且 A k =O,求(E-A) -1 (分数:4.50)_正确答案:()解析:解 E k -A k =(E-A)(E+A+A 2 +A k-1 ),又 E k -A k =E, 所以

    17、(E-A) -1 =E+A+A 2 +A k-1 设 A,B 为 n 阶矩阵, (分数:9.00)(1).求 PQ;(分数:4.50)_正确答案:()解析:解 (2).证明:当 P 可逆时,Q 也可逆(分数:4.50)_正确答案:()解析:证明 因为|P|=|A|B|,所以当 P 可逆时,|A|B|0,而 PQ=|A|B|E,即 于是 Q 可逆且23.设 A 为 n 阶可逆矩阵,A 2 =|A|E证明:A=A* (分数:4.00)_正确答案:()解析:证明 因为 AA*=|A|E,又已知 A 2 =|A|E,所以 AA*=A 2 ,而 A 可逆,故 A=A*24.设 A 为 n 阶矩阵,且 A

    18、 2 -2A-8E=O证明:r(4E-A)+r(2E+A)=n (分数:4.50)_正确答案:()解析:证明 由 A 2 -2A-8E=O 得(4E-A)(2E+A)=O,根据矩阵秩的性质得 r(4E-A)+r(2E+A)n又 r(4E-A)+r(2E+A)r(4E-A)+(2E+A)=r(6E)=n,所以有 r(4E-A)+r(2E+A)=n25.证明:若矩阵 A 可逆,则其逆矩阵必然唯一 (分数:4.50)_正确答案:()解析:证明 设存在可逆阵 B,C,使得 AB=AC=E,于是 A(B-C)=O,故 r(A)+r(B-C)n,因为 A 可逆,所以 r(A)=n,从而 r(B-C)=0,B-C=O,于是 B=C,即 A 的逆矩阵是唯一的26.设 A 是 mn 矩阵,若 A T A=O,证明:A=O (分数:4.50)_正确答案:()解析:证明 因为 r(A)=r(A T A),而 A T A=O,所以 r(A)=0,于是 A=O


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