1、考研数学三-408 (1)及答案解析(总分：163.99，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)连续，且满足 则关于 f(x)的极值问题有( )（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 A，B 为，n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（分数：4.00）A.若 A，B 有相同的特征值，则 ABB.A 的特征值中非零特征值的个数与 A 的秩相等C.若 AB，则 A，B 与同一个对角阵相似D.若 A 可对角化，且 AB，则 A，B 与同一个对角阵相似3.设 0，f(x)在(-，)内恒有 f(x)0，且|f(x)|x 2，记 （分数：4.00）A.B.C.D.
2、4.已知四维列向量 1， 2， 3线性无关，若向量 i(i=1，2，3，4)是非零向量且与向量 1， 2， 3均正交，则向量组 1， 2， 3， 4的秩为( )（分数：4.00）A.1B.2C.3D.45.设总体 X 服从标准正态分布，(X 1，X 2，X 3)为总体的简单样本，（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 在 x=0 处连续，则 f(x)在 x=0 处( )（分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)，且 f(x)为偶函数，F(x)为 X 的分布函数，则对任意 a，有( )（分数：4.00）A.B.C.D.8. （分数：4.00）A.B.C.D.二
3、、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）填空项 1:_10. （分数：4.00）填空项 1:_11. （分数：4.00）填空项 1:_12.微分方程 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 A 为三阶实对称矩阵， 为方程组 AX=0 的解， （分数：4.00）填空项 1:_14.设 X1，X 2，X m与 Y1，Y 2，Y n分别为来自相互独立的标准正态总体 X 与 Y 的简单随机样本，令（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：108.00)15.设 f(x)在0，1上二阶可导，|f“(x)|1(x0，1)，f(0)=f(1)证明：对任意的 z
4、0，1，有|f(x)| （分数：9.00）_16.某商品进价为 30 元/件，根据经验，当销售为 80 元/件时日销售量为 100 件，日常调查表明，销售每下降 10%，可使日销售量增加 30%，该商家在一日内以 72 元价格出售一批该商品后，决定再作一次性降价销售其余商品，当售价定为多少时，商家才能获得最大利润?（分数：9.00）_17.计算二重积分 其中 D 是由 （分数：11.00）_设 （分数：10.00）(1). （分数：5.00）_(2). （分数：5.00）_18.设 A 从原点出发，以固定速度 0沿 y 轴正向行驶，B 从(x 0，0)出发(x 00)，以始终指向点 A 的固定
5、速度 1朝 A 追去，求 B 的轨迹方程（分数：11.00）_19.当常数 a 取何值时，方程组 （分数：10.00）_设二次型 过正交变换化为标准形 （分数：12.00）(1).求常数 a，b；（分数：4.00）_(2).求正交变换矩阵；（分数：4.00）_(3).当|X|=1 时，求二次型的最大值（分数：4.00）_设随机变量 X 与 Y 相互独立同分布，其中（分数：24.99）_(2).求 PU=V（分数：8.33）_20.设总体 X 的分布律为 PX=k=(1-p)k-1(k=1，2，)，其中 p 是未知参数，X 1，X 2，X n为来自总体的简单随机样本，求参数 p 的矩估计量和极大
6、似然估计量（分数：11.00）_考研数学三-408 (1)答案解析(总分：163.99，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)连续，且满足 则关于 f(x)的极值问题有( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：详解*2.设 A，B 为，n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（分数：4.00）A.若 A，B 有相同的特征值，则 ABB.A 的特征值中非零特征值的个数与 A 的秩相等C.若 AB，则 A，B 与同一个对角阵相似D.若 A 可对角化，且 AB，则 A，B 与同一个对角阵相似 解析：详解*显然 A，B 的特征值相同，因为 r(A)=2r(B
7、)=1，所以 A 与 B 不相似，(A)不对；对*显然 A 的特征值为 1= 2= 3=0，而 r(A)=2，选(B)不对；若 AB，若 A 不可对角化，则 A，B 不可能与同一个对角阵相似，(C)不对；因为 AB，所以 A，B 有相同的特征值，设其为 1， 2， n，因为 A 可对角化，所以 A*又因为 AB，所以由相似的传递性知，*即 A，B 相似于同一个对角阵，选(D)3.设 0，f(x)在(-，)内恒有 f(x)0，且|f(x)|x 2，记 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：详解*4.已知四维列向量 1， 2， 3线性无关，若向量 i(i=1，2，3，4)是非零向量且与向量 1
8、， 2， 3均正交，则向量组 1， 2， 3， 4的秩为( )（分数：4.00）A.1 B.2C.3D.4解析：详解 设 i=(ai1，a i2，a i3，a i4)T(i=1，2，3)，由已知条件有*，2，3)即 i(i=1，2，3，4)为方程组*的非零解由于 1， 2， 3线性无关，所以方程组系数矩阵的秩为 3，所以其基础解系含 1 个解向量，从而向量组 1， 2， 3， 4的秩为 1，选(A)5.设总体 X 服从标准正态分布，(X 1，X 2，X 3)为总体的简单样本，（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：详解 因为 X1，X 2，X n与总体服从相同的分布，所以*(A)不对；显然*
9、所以(B)不对；由*相互独立，则*6.设 在 x=0 处连续，则 f(x)在 x=0 处( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：详解*7.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)，且 f(x)为偶函数，F(x)为 X 的分布函数，则对任意 a，有( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：详解*选(B)8. （分数：4.00）A.B. C.D.解析：详解*二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解*10. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解*11. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答
10、案：f 2+zf3+xf“12+xzf“13+xyf“22+2xyz2f“23+xyz2f“33）解析：详解*12.微分方程 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解*13.设 A 为三阶实对称矩阵， 为方程组 AX=0 的解， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 显然*为 A 的特征向量，其对应的特征值分别为 1=0， 2=2，因为 A 为实对称阵，所以*又因为|E+A|=0，所以 3=-1 为 A 的特征值，令 3=-1 对应的特征向量为*14.设 X1，X 2，X m与 Y1，Y 2，Y n分别为来自相互独立的标准正态总体 X 与 Y 的简单
11、随机样本，令（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2(m+n-2)）解析：详解*三、解答题(总题数：9，分数：108.00)15.设 f(x)在0，1上二阶可导，|f“(x)|1(x0，1)，f(0)=f(1)证明：对任意的 z0，1，有|f(x)| （分数：9.00）_正确答案：(对任意的 x0，1，由泰勒公式得*)解析：16.某商品进价为 30 元/件，根据经验，当销售为 80 元/件时日销售量为 100 件，日常调查表明，销售每下降 10%，可使日销售量增加 30%，该商家在一日内以 72 元价格出售一批该商品后，决定再作一次性降价销售其余商品，当售价定为多少时，商家才能获得最大
12、利润?（分数：9.00）_正确答案：(当该商品的售价从 p1降到 p2时，对应的日销售量从 q1上升为 q2，由题意有*即*商家以 72 元/件的价格出售该商品的日销售量为*设该商品一次性降价处理的价格设为 p 元/件，则相应的日销售量为*利润为*得 p=63，即若一次性以 63 元/件出售其余商品时，商家获得最大利润)解析：17.计算二重积分 其中 D 是由 （分数：11.00）_正确答案：(*)解析：设 （分数：10.00）(1). （分数：5.00）_正确答案：(*)解析：(2). （分数：5.00）_正确答案：(*)解析：18.设 A 从原点出发，以固定速度 0沿 y 轴正向行驶，B
13、从(x 0，0)出发(x 00)，以始终指向点 A 的固定速度 1朝 A 追去，求 B 的轨迹方程（分数：11.00）_正确答案：(*)解析：19.当常数 a 取何值时，方程组 （分数：10.00）_正确答案：(*)解析：设二次型 过正交变换化为标准形 （分数：12.00）(1).求常数 a，b；（分数：4.00）_正确答案：(*)解析：(2).求正交变换矩阵；（分数：4.00）_正确答案：(当 1= 2=2 时，由(2E-A)X=0，得*)解析：(3).当|X|=1 时，求二次型的最大值（分数：4.00）_正确答案：(因为 Q 为正交矩阵，所以|X|=1 时，|Y|=1，当|Y|=1 时，二次型的最大值为 2)解析：设随机变量 X 与 Y 相互独立同分布，其中（分数：24.99）_解析：(2).求 PU=V（分数：8.33）_正确答案：(*)解析：_解析：20.设总体 X 的分布律为 PX=k=(1-p)k-1(k=1，2，)，其中 p 是未知参数，X 1，X 2，X n为来自总体的简单随机样本，求参数 p 的矩估计量和极大似然估计量（分数：11.00）_正确答案：(*)解析：
