1、考研数学三-407 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.在下列函数中，导数 f“(x)在点 x=0 处不连续的是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.2.y“+2y“-3y=e 2x 的特解是_ A B （分数：4.00）A.B.C.D.3.对于常数 k0，级数 （分数：4.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与 k 的取值有关4.某商品的需求量 x 对价格 p 的弹性 =-3p 3 ，市场对该商品的最大需求量为 1(万件)，则需求函数x=_ A.e-p3+1 B.e-p3+1 C.e-p3 D.Ce-
2、p3（分数：4.00）A.B.C.D.5.A 是 n 阶矩阵，下列命题中错误的是_ A.若 A2=E，则-1 必是 A 的特征值 B.若 r(A+E)n，则-1 必是 A 的特征值 C.若 A 中各列元素之和均为-1，则-1 必是 A 的特征值 D.若 A 是正交矩阵，且特征值乘积小于 0，则-1 也必是 A 的特征值（分数：4.00）A.B.C.D.6.若 1 =(-1，1，a，4) T ， 2 =(-2，1，5，a) T ， 3 =(A，2，10，1) T 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，则 a 的取值为_（分数：4.00）A.a5B.a-4C.a-3D.a-3 且 a47.设随机变量
3、 的概率密度为 （分数：4.00）A.B.C.D.8.已知随机变量 X 在-1，1上服从均匀分布，Y=X 3 ，则 X 与 Y_（分数：4.00）A.不相关且相互独立B.不相关且相互不独立C.相关且相互独立D.相关且相互不独立二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）10.函数 f(x)=sinx-xcosx 在(-2，2)内恰有 1 个零点 （分数：4.00）11.已知 D 是长方形域：axb，0y1，且 （分数：4.00）12.设 （分数：4.00）13.设 A 为 3 阶方阵，B 为 4 阶方阵，且 A 的三个特征值分别为 1，2，3，B 2 =0，则矩阵 （分
4、数：4.00）14.设随机，变量 X 的概率密度为 其中未知参数 0，又设 X 1 ，X n 是总体 X 的简单随机样本，则参数 的最大似数估计量 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.计算广义积分 （分数：10.00）_对一切实数 t，f(t)连续，且 f(t)0，f(-t)=f(t)对于函数 （分数：9.99）(1).证明 F“(x)单调增加；（分数：3.33）_(2).当 x 为何信时，F(x)取得最小值；（分数：3.33）_(3).若 F(x)的最小值可表示为 f(a)-a 2 -1，求 f(t)（分数：3.33）_16.设有抛物线 y=x 2 -(+)x+
5、()，已知该抛物线与 y 轴的正半轴及 x 轴所围图形的面积 S 1 等于这条抛物线与 x 轴所围图形的面积 S 2 ，求实数 ， 间的关系 （分数：10.00）_17. （分数：10.00）_18.已知 a 0 =3，a 1 =5，且对任何自然数 n1， ，证明当|x|1 时，幂级数 （分数：10.00）_19.设 n 阶矩阵 A 的 n 个列向量为 1 ， 2 ， n ，其中 i =(a 1i ，a 2i ，a ni ) T ，n 阶矩阵 B 的 n 个列向量为 1 + 2 ， 2 + 3 ， n-1 + n ， n + 1 ，试问：r(A)=n 时，线性齐次方程组 Bx=0 是否有非零解
6、?并证明你的结论 （分数：11.00）_20.已知 1 =1，0，2，3 T ， 2 =1，1，3，5 T ， 3 =1，-1，a+2，1 T ， 4 =1，2，4，a+8 T ，及 =1，1，b+3，5 T (1)a，b 为何值时， 不能表示成 1 ， 2 ， 3 ， 4 的线性组合； (2)a，b 为何值时， 有 1 ， 2 ， 3 ， 4 的唯一线性表示式，并写出该表示式 （分数：11.00）_设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：11.01）(1).系数 k；（分数：3.67）_(2).(X，Y)关于 X 和关于 Y 的边缘概率密度；（分数：3.67）_(3).X 和 Y 是否
7、相互独立?（分数：3.67）_设 X=e Y ，而 Y 服从 N(， 2 )分布，则 X 的分布称为对数正态分布（分数：11.00）(1).求出 X 的概率密度；（分数：5.50）_(2).设 X 1 ，X 2 ，X n 是 X 的一个简单随机样本，求 和 2 的矩估计量和最大似然估计量（分数：5.50）_考研数学三-407 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.在下列函数中，导数 f“(x)在点 x=0 处不连续的是_ A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 对于 A： 即 不存在，故 f“(x)在 x=0
8、处不连续 对于 B： 2.y“+2y“-3y=e 2x 的特解是_ A B （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由于 =2 不是特征根，可设特解为 y*=Ae 2x ，代入原方程得 ，即特解为 3.对于常数 k0，级数 （分数：4.00）A.绝对收敛B.条件收敛 C.发散D.收敛性与 k 的取值有关解析：解析 因为 单调下降，且 4.某商品的需求量 x 对价格 p 的弹性 =-3p 3 ，市场对该商品的最大需求量为 1(万件)，则需求函数x=_ A.e-p3+1 B.e-p3+1 C.e-p3 D.Ce-p3（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由弹性公式 即 5.A 是
9、 n 阶矩阵，下列命题中错误的是_ A.若 A2=E，则-1 必是 A 的特征值 B.若 r(A+E)n，则-1 必是 A 的特征值 C.若 A 中各列元素之和均为-1，则-1 必是 A 的特征值 D.若 A 是正交矩阵，且特征值乘积小于 0，则-1 也必是 A 的特征值（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 对于 A，如 A 2 =E，A 的特征值的取值范围是1，但并不保证 A 必有特征值 1 或-1，例如 可见 A 不正确 对于 B，从 r(A+E)n，知|A+E|=0，按特征值和特征多项式概念，知-1 必是 A 的特征值 对于 C，A 与 A T 有相同的特征值(注意，特征向量一
10、般是不同的)由于 A T 各行元素之和均是-1，从而有 6.若 1 =(-1，1，a，4) T ， 2 =(-2，1，5，a) T ， 3 =(A，2，10，1) T 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，则 a 的取值为_（分数：4.00）A.a5 B.a-4C.a-3D.a-3 且 a4解析：解析 1 ， 2 ， 3 是基础解系，则 1 ， 2 ， 3 线性无关，由 7.设随机变量 的概率密度为 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 故 8.已知随机变量 X 在-1，1上服从均匀分布，Y=X 3 ，则 X 与 Y_（分数：4.00）A.不相关且相互独立B.不相关且相互不独立C.相关
11、且相互独立D.相关且相互不独立 解析：解析 选项 C 对任意两个随机变量都不成立，因为相互独立必不相关对于 A 仅需证明相互独立即可，由题设知 X 与 Y 之间存在函数关系，因而不相互独立，故不能选 A.又 E(X)=0，二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）解析：0 解析 因为 故 10.函数 f(x)=sinx-xcosx 在(-2，2)内恰有 1 个零点 （分数：4.00）解析：3解析 f(x)是奇函数且 f(0)=0，因而只需确定 f(x)在区间(0，2)内的零点个数注意：当时 f(x)分别取正值及负值，从而只需讨论 f(x)在 和 内是否有零点及零点的个
12、数，因为f“(x)=xsinx，当 时，有 f“(x)0，结合 f(0)=0 知 f(x)0 在 成立；又当 时，有 f“(x)0，即 f(x)在区间 内单调减少，且 f()=0， ，可知 f(x)在11.已知 D 是长方形域：axb，0y1，且 （分数：4.00）解析：2 解析 由于 D 为长方形域，故由二重积分的计算法有 所以 12.设 （分数：4.00）解析：-2ln|1-x|+C 解析 因为 ，所以 13.设 A 为 3 阶方阵，B 为 4 阶方阵，且 A 的三个特征值分别为 1，2，3，B 2 =0，则矩阵 （分数：4.00）解析：5，7，13 解析 矩阵 的特征值由 2A*+E 与
13、 B 的特征值所组成，由 B 2 =0 知，B 的特征值全为 0，而 aA*+E 的特征值为 14.设随机，变量 X 的概率密度为 其中未知参数 0，又设 X 1 ，X n 是总体 X 的简单随机样本，则参数 的最大似数估计量 （分数：4.00）解析：min(X 1 ，X n ) 解析 似然函数 当 min(X 1 ，X n )时，似然函数为 0 当 min(X 1 ，X n )时，L 是 的单调增函数，因此当 =min(X 1 ，X n )时，L 达到最大值，即 的最大似然估计量是 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.计算广义积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：因为
14、，可考虑把广义积分分为两项，即 根据无穷限积分收敛性的极限判别法知，上述两个广义积分均收敛，从而题设中的广义积分收敛，又因为 对一切实数 t，f(t)连续，且 f(t)0，f(-t)=f(t)对于函数 （分数：9.99）(1).证明 F“(x)单调增加；（分数：3.33）_正确答案：()解析：证明 (2).当 x 为何信时，F(x)取得最小值；（分数：3.33）_正确答案：()解析：令 F“(x)=0，得 x=0(由于 f(x)0)，所以 x=0 是 F(x)的唯一驻点，又 F“(0)=2f(0)0，故 x=0 时，(3).若 F(x)的最小值可表示为 f(a)-a 2 -1，求 f(t)（分
15、数：3.33）_正确答案：()解析：令 16.设有抛物线 y=x 2 -(+)x+()，已知该抛物线与 y 轴的正半轴及 x 轴所围图形的面积 S 1 等于这条抛物线与 x 轴所围图形的面积 S 2 ，求实数 ， 间的关系 （分数：10.00）_正确答案：()解析：为使面积 S 1 存在，抛物线与 y 轴的正半轴应相交，故 0 (1)如图 1，当 0 时，0，由题意，两面积 S 1 与 S 2 相等，但一个图形在 x 轴上方，另一个图形在 x 轴下方，从而，有 所以，=3 图 1(2)如图 2，当 0 时，0，类似(1)，由图形可知 图 2所以，=3. 综上所述，0，且 0 时， 17. （分
16、数：10.00）_正确答案：()解析：18.已知 a 0 =3，a 1 =5，且对任何自然数 n1， ，证明当|x|1 时，幂级数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：由题设 当|x|1 时， 绝对收敛 解此一阶线性方程得 由条件 S(0)=a 0 =3，得 19.设 n 阶矩阵 A 的 n 个列向量为 1 ， 2 ， n ，其中 i =(a 1i ，a 2i ，a ni ) T ，n 阶矩阵 B 的 n 个列向量为 1 + 2 ， 2 + 3 ， n-1 + n ， n + 1 ，试问：r(A)=n 时，线性齐次方程组 Bx=0 是否有非零解?并证明你的结论 （分数：11.00）_正确
17、答案：()解析：B=( 1 + 2 ， 2 + 3 ， n-1 + n ， n + 1 ) 因为 r(A)=n，所以 Bx=0 有非零解 20.已知 1 =1，0，2，3 T ， 2 =1，1，3，5 T ， 3 =1，-1，a+2，1 T ， 4 =1，2，4，a+8 T ，及 =1，1，b+3，5 T (1)a，b 为何值时， 不能表示成 1 ， 2 ， 3 ， 4 的线性组合； (2)a，b 为何值时， 有 1 ， 2 ， 3 ， 4 的唯一线性表示式，并写出该表示式 （分数：11.00）_正确答案：()解析：设 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 +x 4 4 =，即 对增广矩阵作
18、初等行变换，化成阶梯形矩阵 令( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )=A，由阶梯形矩阵可知： (1)当 a=-1，b0 时， ，方程组无解， 不能表示成 1 ， 2 ， 3 ， 4 的线性组合； (2)当 a-1 时，无论 b 为何值，r(A)=4(等于未知量个数)，方程组有唯一解，即 有 1 ， 2 ， 3 ， 4 的唯一线性表示式，且可解得 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：11.01）(1).系数 k；（分数：3.67）_正确答案：()解析：由于 故 k=2，(X，Y)的概率密度为 (2).(X，Y)关于 X 和关于 Y 的边缘概率密度；（分数：3.67）_正确答案：()解析：(
19、X，Y)关于 X 和关于 Y 的边缘概率密度分别为 当 x0 时， 当 x0 时，f X (x)=0 当 y0 时， (3).X 和 Y 是否相互独立?（分数：3.67）_正确答案：()解析：由于 f(1，1)=e -2 ，fx(1)=e -1 ， 设 X=e Y ，而 Y 服从 N(， 2 )分布，则 X 的分布称为对数正态分布（分数：11.00）(1).求出 X 的概率密度；（分数：5.50）_正确答案：()解析： X 的概率密度为 (2).设 X 1 ，X 2 ，X n 是 X 的一个简单随机样本，求 和 2 的矩估计量和最大似然估计量（分数：5.50）_正确答案：()解析： 令 解得 而由矩估计量的求法得
